高考數(shù)學(xué)真題分類匯編立體幾何理

專題十立體幾何

1.[2015高考安徽，理5】已知加，〃是兩條不同直線，a,4是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是

()

(A)若。，/垂直于同一平面，則e與夕平行

(B)若加，“平行于同一平面，則加與〃平行

(C)若a,夕不平行，則在a內(nèi)不存在與￡平行的直線

(D)若加，〃不平行，則加與〃不可能垂直于同一平面

【答案】D

【博雅解析】由A,若a,尸垂直于同一平面，則a,夕可以相交、平行，故A不正確；由B,若相，

〃平行于同一平面，則加，〃可以平行、重合、相交、異面，故8不正確；由C,若a,，不平行,

但a平面內(nèi)會(huì)存在平行于夕的直線，如a平面中平行于a,夕交線的直線；由。項(xiàng)，其逆否命題為

“若加與〃垂直于同一平面，則〃?，〃平行”是真命題，故。項(xiàng)正確.所以選D.

【考點(diǎn)定位】1.直線、平面的垂直、平行判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用.

【名師點(diǎn)睛】空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，常采用畫圖(尤其是畫長(zhǎng)方體)、

現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法(如墻角、桌面等)、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮

它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價(jià).

2.12015高考北京，理4】設(shè)a,分是兩個(gè)不同的平面，，"是直線且mua.“相〃夕”是“a〃夕”的

()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【博雅解析】因?yàn)閍,￡是兩個(gè)不同的平面，山是直線且〃zua.若“"?〃夕”，則平面a、，可能相交

也可能平行，不能推出a〃4，反過(guò)來(lái)若a〃/，mua,則有“?〃/?,則“小〃￡”是“a〃尸”的

必要而不充分條件.

考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為空間直線與平面的位置關(guān)系，重點(diǎn)考察線面、面面平行問(wèn)題和充要條件的有關(guān)知識(shí).

【名師點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系及充要條件，本題屬于基礎(chǔ)題，本題以空間線、面位置

關(guān)系為載體，考查充要條件.考查學(xué)生對(duì)空間線、面的位置關(guān)系及空間面、面的位置關(guān)系的理解及空間想

象能力，重點(diǎn)是線面平行和面面平行的有關(guān)判定和性質(zhì).

3.【2015高考新課標(biāo)1,理6】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今

有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問(wèn):積及為米兒何？”其意思為：”在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆

為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米

堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放斛的米

約有（）

【解析】設(shè)扇錐底面半徑為r,貝〃x2x3尸=8〃=竺，所以米堆的體積為二x1x37S：xf=土￡,

434339

故堆放的米約為辿+1.62和22,故選B.

9

【考點(diǎn)定位】圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式

【名師點(diǎn)睛】本題以《九章算術(shù)》中的問(wèn)題為材料，試題背景新穎，解答本題的關(guān)鍵應(yīng)想到米堆是，圓錐，

4

底面周長(zhǎng)是兩個(gè)底面半徑與，圓的和，根據(jù)題中的條件列出關(guān)于底面半徑的方程，解出底面半徑，是基礎(chǔ)

4

題.

4.12015高考陜西，理5】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A.3乃B.47rC.2乃+4D.3乃+4

卜2-**

主提圖左視網(wǎng)

q

【答案】D

【博雅解析】由三視圖知：該幾何體是半個(gè)圓柱，其中底面圓的半徑為1,母線長(zhǎng)為2,所以該幾何體的

表面積是;x2乃xlx（l+2）+2x2=3萬(wàn)+4,故選D.

【考點(diǎn)定位】1、三視圖；2、空間幾何體的表面積.

【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是三視圖和空間幾何體的表面積，屬于容易題.解題時(shí)要看清楚是求表面積

還是求體積，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.本題先根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再計(jì)算出幾何體各個(gè)面的

面積即可.

5.12015高考新課標(biāo)1,理11】圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何

體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20萬(wàn)，則尸()

(A)1(B)2(C)4(D)8

【答案】B

【博雅解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r,

圓柱的高為2r,其表面積為;x4萬(wàn)，+萬(wàn)廠*2廠+1，+2rx2r=5%/+4/=16+20萬(wàn)，解得尸2,故選

B.

【考點(diǎn)定位】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖；球的表面積公式、圓柱的測(cè)面積公式

【名師點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖的識(shí)別，是常規(guī)提，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三三視圖問(wèn)題，先看俯視圖

確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀，再根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”的法則

組合體中的各個(gè)量.

6.12015高考重慶，理5】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

p-l"""?2—?

正視圖左視困俯視圖

題(5＞圖

I?2

A、—FTCB、P71

33

12

C、—F21D^—F27r

33

【答案】A

【博雅解析】這是一個(gè)三棱錐與半個(gè)圓柱的組合體，V=1TZ-X12X2+-X(1XX1X2)X1=^+-1-,選4

2323

【考點(diǎn)定位】組合體的體積.

【名師點(diǎn)晴】本題涉及到三視圖的認(rèn)知，要求學(xué)生能由三視圖畫出幾何體的直觀圖，從而分析出它是哪些

基本幾何體的組合，應(yīng)用相應(yīng)的體積公式求出幾何體的體積，關(guān)鍵是畫出直觀圖，本題考查了學(xué)生的空間

想象能力和運(yùn)算求解能力.

7.12015高考北京，理5】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）

【答案】C

【解析】根據(jù)三視圖恢復(fù)成三棱錐P-ABC，其中用一平面ABC,取AB棱的中點(diǎn)D,連接CD、PD,有

PD_AB,CD_AB,底面ABC為等腰三角形底邊AB上的高CD為2,

AD=BD=1PC=1,PD=A/S,S=—x2x2=2,,S、-,==—x2x匹=樂(lè),AC=BC

Jj24-2

=無(wú)S=S=；x#x1

=*，三棱錐表面積S衣=2指+2.

考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為利用三視圖還原幾何體及求三棱錐的表面積，考查空間線線、線面的位置關(guān)系

及有關(guān)線段長(zhǎng)度及三角形面積數(shù)據(jù)的計(jì)算.

【名師點(diǎn)睛】本題考查三視圖及多面體的表面積，本題屬于基礎(chǔ)題，正確利用三視圖還原為原幾何體，特

別是有關(guān)數(shù)據(jù)的還原，另外要利用線面垂直的性質(zhì)，判斷三角形的形狀，特別是側(cè)面用8的形狀為等腰三

角形，正確求出三個(gè)側(cè)面的面積和底面的面積.

8.【2015高考安徽，理7】一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）

(A)1+V3(B)2+V3

(C)1+272(D)272

【答案】B

【博雅解析】由題意，該四面體的直觀圖如下，AABRABCO是等腰直角三角形，是等

邊三角形，則5"°=5"町,='x&x&=l,S1MBe=SMs='x&x&sin60=蟲，所以四

ZAOvivIXnDU241AOV4Vle

面體的表面積5=5岫8+3兇曲+5刖芯+5必°=2乂1+2乂'二=2+6,故選B.

i\nLULSjilJLyLjZ-l/1\--LX

【考點(diǎn)定位】1.空間幾何體的三視圖與直觀圖；2.空間幾何體表面積的求法.

【名師點(diǎn)睛】三視圖是高考中的熱門考點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟悉三視圖的排放規(guī)律：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相

等.同時(shí)熟悉常見幾何體的三視圖，這對(duì)于解答這類問(wèn)題非常有幫助，本題還應(yīng)注意常見幾何體的體

積和表面積公式.

9.【2015高考新課標(biāo)2,理9】已知A,B是球0的球面上兩點(diǎn)，NA0B=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐

0-ABC體積的最大值為36,則球0的表面積為（）

A.36"B.64nC.144nD.256n

【答案】C

【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐。--45c的體積最大，設(shè)球。的半

11,1.

徑為R,此時(shí)「二指八=7二,”=±義±漢，'出=±出：=36,故夫=6,則球。的表面積為

——-1D——-w>ar、.

326

S=4,TR:=144H-,故選C.

【考點(diǎn)定位】外接球表面積和椎體的體積.

【名師點(diǎn)睛】本題以球?yàn)楸尘翱疾榭臻g幾何體的體積和表面積計(jì)算，要明確球的截面性質(zhì)，正確理解四面

體體積最大時(shí)的情形，屬于中檔題.

TT

10.【2015高考山東，理7】在梯形ABCQ中，AABC=-,AD//BC,BC=2AD=2AB=2.將梯

2

形ABCQ繞AO所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()

(A)—(B)—(C)—(D)2n

333

【答案】C

【博雅解析】直角梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個(gè)底面半徑為1,

母線長(zhǎng)為2的圓柱挖去一個(gè)底面半徑同樣是1、高為1的圓錐后得到的組合體，所以該組合體的體積為：

21,5

丫=%柱一%錐"Xix2--x^xl-xl--^-

故選C.

【考點(diǎn)定位】1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征；2、空間幾何體的體積.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及空間幾何體的體積的計(jì)算，重點(diǎn)考查了圓柱、圓錐的結(jié)

構(gòu)特征和體積的計(jì)算，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生空間想象能力以及基本運(yùn)算能力的考查，此題屬中檔題.

11.12015高考浙江，理8】如圖，已知A46C,。是A8的中點(diǎn)，沿直線CO將AACD折成AA'C。，

所成二面角A—CO—8的平面角為a,則()

A.ZA'DB<aB.ZA'DB>aC.ZA'CB<aD.ZA'CB<a

DC

【答案】B.

【博雅解析】

試題分析：設(shè)NAOC=e,設(shè)A6=2,則由題意A0=8D=1,在空間圖形中，設(shè)=

A'D2*+DB2-AB2l2+l2-r2-t2

在A4'CB中，cos44753=

2A'DxDB2xlxl2

在空間圖形中，過(guò)A作AN，DC,過(guò)8作BMLOC,垂足分別為N,M,

過(guò)N作NP^MB,連結(jié)AP,NPLOC,

則NA'NP就是二面角A'-CD-B的平面角，...ZA'NP=a,

在RfAZl'N。中，ON=AOcosNAOC=cos。，AN=AOsinNAOC=sin。，

同理，BM=PN=sin。,DM=cos。,故BP=MN=2cos。，

顯然3PL面A'NP,故BPLAP,

在Rt^A'BP中，A'P2=A'B2-BP2=產(chǎn)-(2cos0)2=t2-4cos26,

A'N2+NP2-A'P2sin?。+sin)。一(f2-4cos20)

在\A!NP中，cosa=cos/A'NP

2A'NxNP2sin夕xsin。

2+2cos*8-r-Vcos*01s3E+*，

2sin"d2sinA6sin"3sin"6

——\—>0,c°s,'之0,/.cos(X>cos/.ADB(當(dāng)g=，時(shí)取等號(hào)),

sin"0sin"&2

.「a,zLA'DBe[0sTT],而j=cos》在[0：汨上為遞減函數(shù):,??,aWZA'DB,故選B.

【考點(diǎn)定位】立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，屬于較難題，由于AA8C的形狀不確定，NA'CB與

a的大小關(guān)系是不確定的，再根據(jù)二面角的定義即可知NAOBNa,當(dāng)且僅當(dāng)AC=8C時(shí)，等號(hào)成立

以立體幾何為背景的創(chuàng)新題是浙江高考數(shù)學(xué)試卷的熱點(diǎn)問(wèn)題，12年，13年選擇題壓軸題均考查了立體幾

何背景的創(chuàng)新題，解決此類問(wèn)題需在平時(shí)注重空間想象能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)此類問(wèn)題的訓(xùn)練.

【2015高考湖南，理10】某工件的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工件通過(guò)切割，加工成一個(gè)體積盡可能大

的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為(材料利用率

新工件的體積、.、

原工件的體積

33

A8K16r4(V2-Dn12(V2-1)

A.D.C.-------------u.------------

【答案】A.

【博雅解析】

試題分析：分析題意可知，問(wèn)題等價(jià)于圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體的體積的最大值，設(shè)長(zhǎng)方體體的長(zhǎng)，寬，高分別

為x,y,h,長(zhǎng)方體上底面截圓錐的截面半徑為a,則/+,2=(2/2=4",如下圖所示，圓錐的軸

截面如圖所示，則可知也上，h=2-2a,而長(zhǎng)方體的體積

V=xyh<—^yh=2crh=2?2(2-2a)

<2x(a+a+2~2a)3=—,當(dāng)且僅當(dāng)％=丁，a=2—2ana=20寸，等號(hào)成立，此時(shí)利用率為

3273

16

27

1x1x2

3

【考點(diǎn)定位】L圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體；2.基本不等式求最值.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的最值問(wèn)題，與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，立意新穎，屬于較難題，需要考

生從實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中提取出相應(yīng)的兒何元素，再利用基本不等式求解，解決此類問(wèn)題的兩大核心思路：一

是化立體問(wèn)題為平面問(wèn)題，結(jié)合平面兒何的相關(guān)知識(shí)求解：二是建立目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，選擇合理的變

量，或利用導(dǎo)數(shù)或利用基本不等式，求其最值.

12.12015高考浙江，理2】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積是（）

A.8cm3B.12c，/C.—cm3D.—cm'

33

【答案】C.

【解析】

試題分析：由題意得，該幾何體為一立方體與四棱錐的組合，如下圖所示，二體積/=2，+±x2，*2=上,

.3

故選C.

【考點(diǎn)定位】1.三視圖；2.空間幾何體的體積計(jì)算.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，再計(jì)算其體積，屬于容易題，在解題過(guò)

程中，根據(jù)三視圖可以得到該幾何體是一個(gè)正方體與四棱錐的組合，將組合體的三視圖，正方體與錐體的

體積計(jì)算結(jié)合在一起，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和計(jì)算能力，會(huì)利用所學(xué)公式進(jìn)行計(jì)算，

體現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)的交匯.

13.12015高考福建，理7］若/,〃?是兩條不同的直線，m垂直于平面a，則“/，機(jī)”是“///a的

()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【博雅解析】若/，加，因?yàn)榧哟怪庇谄矫鎍,則///a或/ua；若///a,又/〃垂直于平面a,則

11m,所以“/，機(jī)”是“///a的必要不充分條件，故選B.

【考點(diǎn)定位】空間直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系.

【名師點(diǎn)睛】本題以充分條件和必要條件為載體考查空間直線、平面的位置關(guān)系，要理解線線垂直和線

面垂直的相互轉(zhuǎn)化以及線線平行和線面平行的轉(zhuǎn)化還有平行和垂直之間的內(nèi)部聯(lián)系，長(zhǎng)方體是直觀認(rèn)識(shí)

和描述空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系很好的載體，所以我們可以將這些問(wèn)題還原到長(zhǎng)方體中研究.

14.【2015高考新課標(biāo)2,理6】一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去

部分體積與剩余部分體積的比值為()

1111

氏aD

8-7-6-5-

【答案】D

【博雅解析】由三視圖得，在正方體ABCO-AMGR中，截去四面體A—A耳。，如圖所示，，設(shè)正方

115

333

3=-Q-=-

體棱長(zhǎng)為“，則匕-,BD￡Z|=-3x-2a6故剩余幾何體體積為66所以截去部分體積與

剩余部分體積的比值為,，故選D.

5

【考點(diǎn)定位】三視圖.

【名師點(diǎn)睛】本題以正方體為背景考查三視圖、幾何體體積的運(yùn)算，要求有一定的空間想象能力，關(guān)鍵是

能從三視圖確定截面，進(jìn)而求體積比，屬于中檔題.

［2015高考上海，理6］若圓錐的側(cè)面積與過(guò)軸的截面面積之比為2萬(wàn)，則其母線與軸的夾角的大小

為.

【答案】-

3

1jr

【博雅解析】由題意得：”/:(；〃2)=2%n/=2//n母線與軸的夾角為］

【考點(diǎn)定位】圓錐軸截面

【名師點(diǎn)睛】掌握對(duì)應(yīng)幾何體的側(cè)面積，軸截面面積計(jì)算方法.如圓柱的側(cè)面積S=27rrl,圓柱的表面

積S=2勿(r+/),圓錐的側(cè)面積S=m-l,圓錐的表面積S="(r+/),球體的表面積

S=4萬(wàn)?2,圓錐軸截面為等腰三角形.

【2015高考上海，理4】若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為“，且其體積為166，則。=.

【答案】4

【博雅解析】aa1=16A/3a3=64=>tr=4

4

【考點(diǎn)定位】正三棱柱的體積

【名師點(diǎn)睛】簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積計(jì)算是高考的一個(gè)常見考點(diǎn)，解決這類問(wèn)題，首先要熟練掌握各

類簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積計(jì)算公式，其次要掌握平幾面積計(jì)算方法.柱的體積為V=S力，區(qū)別錐的體積

V=^-Sh.熟記正三角形面積為正六邊形的面積為

344

15.12015高考四川，理14］如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M

在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為9,則COS。的最大值為

【答案】I

【解析】

—11——1

建立坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)■仍=1,則=（L*0）：E（g：0:0）.設(shè)”（0：兄IX?！抖?1），則EX=（一。？D，

由于異面直線所成角的范圍為（0：；］,所以

2(l-y)8v+l

cos￡=，令8y+l=f」1W9,則

4r+5

8y+l16>1,當(dāng)f=l時(shí)取等號(hào).所以

4y2+5小―2

122

<-rX-==-,當(dāng)y=o時(shí)，取得最大值.

V5V55

X

【考點(diǎn)定位】1、空間兩直線所成的角；2、不等式.

【名師點(diǎn)睛】空間的角與距離的問(wèn)題，只要便于建立坐標(biāo)系均可建立坐標(biāo)系，然后利用公式求解.解本題

要注意，空間兩直線所成的角是不超過(guò)90度的.幾何問(wèn)題還可結(jié)合圖形分析何時(shí)取得最大值.當(dāng)點(diǎn)M在P

處時(shí)，EM與AF所成角為直角，此時(shí)余弦值為0（最?。?，當(dāng)M點(diǎn)向左移動(dòng)時(shí)，EM與AF所成角逐漸變小，

點(diǎn)M到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，角最小，從而余弦值最大.

16.【2015高考天津，理10】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為

【博雅解析】由三視圖可知，該幾何體是中間為一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓柱，兩端是底面半徑為1,

高為1的圓錐，所以該幾何體的體積V=Fx7x2+2x—x12x7x1=—%.

33

【考點(diǎn)定位】三視圖與旋轉(zhuǎn)體體積公式.

【名師點(diǎn)睛】主要考查三視圖與旋轉(zhuǎn)體體積公式及空間想象能力、運(yùn)算能力.識(shí)圖是數(shù)學(xué)的基本功，空間

想象能力是數(shù)學(xué)與實(shí)際生活必備的能力，本題將這些能力結(jié)合在一起，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，同時(shí)也考

查了學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)體體積公式的掌握與應(yīng)用、計(jì)算能力.

17.12015江蘇高考，9】現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱

各一個(gè)。若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個(gè)，則新的

底面半徑為

【答案】V7

【博雅解析】由體積相等得：gx4x萬(wàn)X5?+乃x2°x8=gxr2x乃x4+%x,"x8nr=V7

【考點(diǎn)定位】圓柱及圓錐體積

【名師點(diǎn)晴】求空間幾何體體積的常用方法

（1）公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算.

(2)等積法：根據(jù)體積計(jì)算公式，通過(guò)轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體

積比等.

(3)割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計(jì)算體積的幾何體.

18.【2015高考安徽，理19】如圖所示，在多面體444OCBA,四邊形44,48，AOD|A，A8CD均

為正方形，E為44的中點(diǎn)，過(guò)A，2E的平面交于F.

(I)證明：EF//B、C；

(II)求二面角E—4?！?余弦值.

第19題圖

[7

【答案】(I)EFIIB.C-,(II)—.

'3

【博雅解析】

試題分析：(I)證明：依據(jù)正方形的性質(zhì)可知A8"/AB//OC,且A4=AB=OC,,從而為用。。為

平行四邊形，則5。//%。，根據(jù)線面平行的判定定理知四。//面ADE,再由線面平行的性質(zhì)定理

知EF//B、C.(II)因?yàn)樗倪呅蜛A^B,ADDtA,,ABCD均為正方形，所以

1AB,A4,1AD,ADVAB,S.AA}=AB^AD,可以建以A為原點(diǎn)，分別以AB,AO,為

x軸，)，軸，z軸單位正向量的平面直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出面AOE的法向量

0.5A+0.55.=0

4=解//3由4，4旦々得、》，乙應(yīng)滿足的方程組《，(—1,1,1)為其一組

I?F=o

解，所以可取馬=(一1,1,1).同理A4c。的法向量％=(0//).所以結(jié)合圖形知二面角后一4。一8

的余弦值為皿“21=-廣2=逅.

|〃]H〃21A/3XV23

【考點(diǎn)定位】1?線面平行的判定定理與性質(zhì)定理；2.二面角的求解.

【名師點(diǎn)睛】解答空間幾何體中的平行、垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面

之間的平行、垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理；求二面

角，則通過(guò)求兩個(gè)半平面的法向量的夾角間接求解.此時(shí)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及正確求出各

點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)健所在.

19.【2015高考福建，理17】如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB^平面BEC,BEAEC,

AB=BE=EC=2,G,F分別是線段BE,DC的中點(diǎn).

(I)求證：GQ//平面ADE；

(ID求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.

A

2

【答案】(I)詳見博雅解析；(II)

3

【博雅解析】解法一：(I)如圖，取AE的中點(diǎn)H,連接"G,HD,又G是BE的中點(diǎn),

所以GH』B,且GH=^AB,

又F是CD中點(diǎn)，所以DF=；CD,由四邊形ABCD是矩形得，AB_CD,AB=CD,所以

GH_DF,且GH=DF.從而四邊形”GED是平行四邊形，所以GF//DH,,又

DH新面ADE,GF平面ADE,所以GFjf面ADE.

AA

(II)如圖，在平面BEC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)B作BQ』C,因?yàn)锽EACE,所以BQ八BE.

又因?yàn)锳BA平面BEC,所以AB人BE,ABABQ

以B為原點(diǎn)，分別以BE,BQ,6A的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,2),

B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因?yàn)锳B"平面BEC,所以8A=(0,0,2)為平面BEC的法向量，

設(shè)〃=(x,y,z)為平面AEF的法向量.又AE=(2,0,-2),AF=(2,2,-l)

取z=2得〃=(2,-1,2).

從而‘°就=六

2

所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為一.

3

【考點(diǎn)定位】1、直線和平面平行的判斷；2、面面平行的判斷和性質(zhì)；3、二面角.

【名師點(diǎn)睛】本題考查直線和平面平行的證明和二面角求法，直線和平面平行首先是利用其判定定理，或

者利用面面平行的性質(zhì)來(lái)證，注意線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)化；利用坐標(biāo)法求二面角，主要是

空間直角坐標(biāo)系的建立要恰當(dāng)，便于用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)，求出半平面法向量夾角后，要觀察二面角是銳角

還是鈍角，正確寫出二面角的余弦值.

20.【2015高考浙江，理17】如圖，在三棱柱ABC—A4G-中，NBAC=90,AB=AC=2,44=4,

A在底面ABC的射影為的中點(diǎn)，D為用弓的中點(diǎn).

(1)證明：ADJ"平面418c；

(2)求二面角BD-四的平面角的余弦值.

【答案】（1）詳見博雅解析；（2）

8

試題分析：（1）根據(jù)條件首先證得平面A/。，再證明AO//AE,即可得證；（2）

作且BD=F,可證明44,尸耳為二面角4—8。一旦的平面角，再由

余弦定理即可求得cosNAFg=—1,從而求解.

試題博雅解析：（1）設(shè)E為3c的中點(diǎn)，由題意得平面A3C,二VAB=AC,

：.AE1BC,故AE,平面ABC,由O,E分別用G，3C的中點(diǎn)，得DE//B出且

DE=B&,從而OE//AA,.?.四邊形AAEO為平行四邊形，故4。//4后，又

平面；.4。，平面48G；（2）作且A/BD=F,連結(jié)男尸，

由AE=EB=VLZAlEA=ZAlEB=90,得48=4人=4,由AQ=8Q,

AB=B]B,得AAQB三ABQB,由4尸_1_3￡>,得B/LBD,因此幺尸片為二面角

A—BD—4的平面角，由a，A,g=4,ZDA,B=90,得8。=3夜，

41

4尸二與尸=一，由余弦定理得，cos=——.

38

【考點(diǎn)定位】1.線面垂直的判定與性質(zhì)；2.二面角的求解

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)以及二面角的求解，屬于中檔題，在解題時(shí)，應(yīng)觀察

各個(gè)直線與平面之間的位置關(guān)系，結(jié)合線面垂直的判定即可求解，在求二面角時(shí)，可以利用圖形中的位置

關(guān)系，求得二面角的平面角，從而求解，在求解過(guò)程當(dāng)中，通常會(huì)結(jié)合一些初中階段學(xué)習(xí)的平面幾何知識(shí),

例如三角形的中位線，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注.

21.【2015高考山東，理17】如圖，在三棱臺(tái)。EF-A8c中，AB=2￡>E,G,"分別為AC,的中點(diǎn).

（I）求證：BD//平面FGH；

（H）若C77,平面ABC,AB工BC,CF=DE,ZBAC=45，求平面FG"與平面ACFO所成

的角（銳角）的大小.

【答案】（I）詳見博雅解析；（II）60

【博雅解析】

試題分析：（I）思路一：連接。G,CO,設(shè)CDGF=O,連接OH,先證明OH//B。，從而由直線

與平面平行的判定定理得8。//平面”O(jiān)E；思路二：先證明平面FGH//平面ABED,再由平面與平

面平行的定義得到B。//平面”。尸.

(II)思路一：連接OG,CO,設(shè)C。G尸=0,連接?！埃C明G6,GC,GO兩兩垂直，以G為坐

標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-孫z,利用空量向量的夾角公式求解；思路二：作，AC

于點(diǎn)M，作MNLGF于點(diǎn)N,連接N”，證明/MN"即為所求的角，然后在三角形中求解.

試題博雅解析：

(I)證法一：連接OG,CO,設(shè)CO6/=0,連接?！?，

在三棱臺(tái)。Ef—ABC中，

AB=2DE,G為AC的中點(diǎn)

可得DF//GC,DF=GC

所以四邊形DFCG為平行四邊形

則。為CQ的中點(diǎn)

又“為8C的中點(diǎn)

所以?！?/3。

又0”u平面/GH,BDU平面FGH,

所以6。//平面FGH.

證法二：

在三棱臺(tái)OEE—ABC中,

由BC=2EF,H為BC的中點(diǎn)

可得BHEF;BH=EF;

所以四邊形BHFE為平行四邊形

可得BEHF

在中，G為NC的中點(diǎn)，H為3C的中點(diǎn)，

所以GHAB

又GHCHF=H,所以平面FGH平面ABED

因?yàn)锽Du平面ABED

所以BD//平面FGH

(II)解法一：

設(shè)AB=2,則CF=1

在三棱臺(tái)。E/—ABC中，

G為AC的中點(diǎn)

由=4AC=GC,

2

可得四邊形。GC/為平行四邊形，

因此。G//CE

又平面ABC

所以。G1平面ABC

在A4BC中，由AB18C,NR4C=45,G是AC中點(diǎn),

所以AB=BC,GBJ.GC

因止匕GB,GC,GO兩兩垂直，

以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-盯z

所以G（O,O,O）,B（VIO,O）,C（O,0,O）,D（O,O,1）

可得“在，注,0,F（0,31）

[22J

孝,日,0,GF=（0,72,1）

故GH

設(shè)〃=(x,y,z)是平面FGH的一個(gè)法向量，則

nGH-0,|"x+y=0

由1可得1廠

n-GF^O,[j2y+z=0

可得平面PG”的一個(gè)法向量〃=(1,一1,、分)

因?yàn)镚B是平面ACFO的一個(gè)法向量，GB=(72,0,0)

所以cos<GB,，？>=3B"=與=>

\GB\-\n\2V22

所以平面與平面所成的解(銳角)的大小為60

解法二：

作“MJ.AC于點(diǎn)M,作MN_LGP于點(diǎn)N,連接N”

由FC_L平面ABC,得HM工FC

又FCAC=C

所以HM_L平面ACED

因此GF_LN”

所以NMNH即為所求的角

16

在A5GC中，J田BG】IH=￡BG=.：

由AGA3ZsSGCF

「/日.WVG"

FCGF

從而lfV=^

6

由S1H_平面ACFD;Wu平面ACFD

得.1田_4八;

}J\f

因此tanAA五r=匕=小

J/.V

所以NW?7=6(r

所以平面FG"與平面ACFO所成角(銳角)的大小為60.

【考點(diǎn)定位】1、空間直線與平面的位置關(guān)系；2、二面角的求法；3、空間向量在解決立體幾何問(wèn)題中的

應(yīng)用.

【名師點(diǎn)睛】本題涉及到了立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質(zhì)，全面考查立幾何中的證明與求解,

意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題是一種成熟的方法，要注

意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

26.[2015高考天津，理17](本小題滿分13分)如圖，在四棱柱ABC。-中，側(cè)棱

4AL底面ABC。，AB1AC,AB=1,

AC=A4,=2,A。=C。=右，且點(diǎn)M和N分別為4c和。D的中點(diǎn).

(I)求證：MN〃平面ABCD；

(II)求二面角AC-。的正弦值;

(IH)設(shè)E為棱A4上的點(diǎn)，若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為:，求線段AE的長(zhǎng)

【答案】(I)見博雅解析；(II)主叵；(III)V7-2.

10

【博雅解析】如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得

A(0,0,0),8(0,1,0),C(2,0,0),0(1,—2,0),

,又因?yàn)榉謩e為耳C和。。的中點(diǎn)，得

(I)證明：依題意，可得〃=(0,0,1)為平面A3CO的一個(gè)法向量，MN=(0,-g,0

由此可得，MN，n=0,又因?yàn)橹本€平面ABC7),所以MN//平面ABCO

(II)AD,=(1,-2,2),AC=(2,0,0),設(shè)勺=(x,y,z)為平面的法向量，貝ij

n,AD,=0[x-2y+2z=0

J',即1,不妨設(shè)z=l,可得q=(O,L1),

〃「AC=012x=0

4旦=0

設(shè)〃2=(x,y,z)為平面AC4的一個(gè)法向量，則＜21，又A片=(0,1,2),得

n2AC=0

y+2z=0

,不妨設(shè)z=l,可得〃，=(0,-2,1)

2%=0

①，于是sin保Q=

因此有

10、/10

所以二面角D.-AC-B.的正弦值為嚕.

(皿依題意,可設(shè)區(qū)云=/耳瓦，其中表『0」,則E(0/2),從而豆=(-L/-2?又7=(0,0/)為

平面T8CD的一個(gè)法向量，由已知得

cos(豆=--------!----------=整理得z:+4z-3=0,

、'/阿蘭忖3，(-廠+(/+2『+1：3

又因?yàn)?w[0』，解得/=6-3

所以線段的長(zhǎng)為#-2.

【考點(diǎn)定位】直線和平面平行和垂直的判定與性質(zhì)，二面角、直線與平面所成的角，空間向量的應(yīng)用.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線和平面平行和垂直的判定與性質(zhì)，二面角、直線與平面所成的角，空間向

量的應(yīng)用.將立體幾何向量化，體現(xiàn)向量工具的應(yīng)用，即把幾何的證明與計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為純代數(shù)的計(jì)算問(wèn)

題，是向量的最大優(yōu)勢(shì)，把空間一些難以想象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成計(jì)算問(wèn)題，有效的解決了一些學(xué)生空間想象能

力較差的問(wèn)題.

TT

27.[2015高考重慶，理19】如題(19)圖，三棱錐P-ABC中，尸C，平面ABC,PC=3,NAC8=々.D,E

2

分別為線段AB,8c上的點(diǎn)，且CD=DE=6,CE=2EB=2.

(1)證明：平面PC。

(2)求二面角A—P?！狢的余弦值。

p

/1\\\\

/?\\E\

/,5…：二二＞8

//

J/-■—-------

4題（19）圖

n

【答案】（1）證明見博雅解析；（2）—.

6

【博雅解析】

試題分析：（1）要證線面垂直，就是要證線線垂直，題中由PC，平面A3C,可知PCLDE,再分析

已知由。。="=J5,CE=2得COJ_OE,這樣與OE垂直的兩條直線都已找到，從而可得線面垂直；

（2）求二面角的大小，可心根據(jù)定義作出二面角的平面角，求出這個(gè)平面角的大小，本題中，由于

7T

ZACB=-,PCJ?平面ABC,因此C4,CB,CP兩兩垂直，可以他們?yōu)閤,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

寫出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面APO和平面CPO的法向量仆,〃2,向量馬,〃2的夾角與二面角相等或互

補(bǔ)，由此可得結(jié)論.

試題博雅解析：（1）證明：由尸＜7,平面/8G應(yīng)u平面46C,故.PCIDE

由2=2,/得△為等腰直角三角形，WCDLDE

由ACCD=C,應(yīng)垂直于平面直力內(nèi)兩條相交直線，故〃￡上平面板

TT

（2）解：由（1）知，為等腰直角三角形，N&Z=—，如（19）圖，過(guò)點(diǎn)〃作小垂直位于尸,

4,

易知DF=FgEF=1,又已知所=1,

故FB=2.

由ZACB=—得DFlIAC,=—,故AC=—DF——.

2,ACBC322

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C4CB,CP的方程為“軸，，軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則。

3

（0,0,0,）,P（0,0,3）,A[-,0,0）,

2

F(0,2,0),Z>(1,1,0),ED=(1,-1,0),

DP=(-l,-l,3)￡>A=(1,-l,0)

設(shè)平面PA。的法向量〃」=(xpypz(),

由2?DP=0,ri'.-DA=0，

j一百一網(wǎng)-3zi=0_

得J1故可取勺=QL1).

-x,-y,=0

由（1）可知DS一平面FCD,故平面PCD的法向量只可取為由即R=（L-L0人

勺?4_G

從而法向量勺n的夾角的余弦值為cos。?],%〉

2l?iIki6

故所求