高考數(shù)學(xué)真題分類訓(xùn)練(24)（含答案解析）

高考數(shù)學(xué)真題分類一線面垂直的判定

一、選擇題（本大題共3小題，共15.0分）

仇章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬,

設(shè)力4是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽(yáng)馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)、

以為底面矩形的一邊，則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是（）

A.4

C.12

D.16

2.如圖，四邊形ABCD為矩形，沿A。將440c翻折成△力。匕設(shè)二面角。'-4B-C的平面角為8,

直線4D'與直線BC所成角為。1，直線AD'與平面48c所成角為%,當(dāng)。為銳角時(shí)，有（）

A.6>2<0!<0B.02<0<6>!C.01<02<0D.0<

3.如圖，設(shè)矩形A8CD所在平面與梯形ACEF所在平面相交于4C,若AB=

1,BC=V3,AF=FE=EC=1,則下列二面角的平面角的大小為定值

B

的是（）

A.F-AB-CB.B-EF-DC.A-BF-CD.B-AF-D

二、填空題（本大題共1小題，共5.（）分）

4.已知44cB=90。，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2,點(diǎn)P到24cB兩邊AC,8c的距離均為百,

那么P到平面ABC的距離為.

三、解答題（本大題共17小題，共204.0分）

5.如圖，三棱臺(tái)4BC-DEF中，面ADFCJ■面ABC,"CB=zaCC=pF

45°,DC=2BC.\

（1）證明：EFLDB,/\

（2）求O/與面D8C所成角的正弦值.

B

6.如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，0是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.△ABC是底面的內(nèi)

接正三角形，P為。。上一點(diǎn)，PO=^-DO.

6

(1)證明：PA_L平面PBC;

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

7.如圖，已知三棱柱48。一4$母1的底面是正三角形，側(cè)面BBiGC是矩形，M,N分別為BC,當(dāng)前

的中點(diǎn)，尸為AM上一點(diǎn)，過(guò)8道1和P的平面交AB于E,交AC于F.

第2頁(yè)，共35頁(yè)

(1)證明：AAJ/MN,且平面44MN1/顏&GF;

(2)設(shè)。為△AiBiG的中心，若A0"平面EB\C、F,且A。=48,求直線以E與平面a/MN所成

角的正弦值.

8.(12分)

如圖，在長(zhǎng)方體4BCD-4B1GD1中，在E,尸分別在棱DZ)i，BBi上，且2DE=E%,BF=2FB],

證明：

(1)當(dāng)48=BC時(shí)，EF1AC;

(2)點(diǎn)Ci在平面AE尸內(nèi).

9.如圖，在四棱錐P—4BCD中，「41平面48。力，底面ABC。為菱形，E為CD的中點(diǎn).

(I)求證：8。_1平面尸4(?；

(II)若N4BC=60。，求證：平面248_L平面PAE；

(HI)棱PB上是否存在點(diǎn)尸，使得CF〃平面P4E?說(shuō)明理由.

10.如圖，直四棱柱4BCC—4B1GD1的底面是菱形,441=4,48

2,ABAD=60°,E,M,N分別是8C,4中的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面GDE；

(2)求點(diǎn)C到平面GDE的距離.

第4頁(yè)，共35頁(yè)

11.如圖，己知三棱柱ABC-A/iG，平面&ACCi_L平面ABC,ZABC=90°,zBAC=30°,AyA=

A1C=AC,E,尸分別是AC,的中點(diǎn).

(I)證明：EFlBC；

(n)求直線EF與平面4BC所成角的余弦值.

12.圖1是由矩形AQEB,RMABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1,BE=BF=2,

Z.FBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與8尸重合，連結(jié)。G,如圖2.

(1)證明:圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面4BC1平面BCGE；

(2)求圖2中的四邊形ACGQ的面積.

13.如圖，長(zhǎng)方體4BCD-&B1C1D1的底面ABC。是正方形，點(diǎn)E在棱

上，BE1EC「

(1)證明：85工平面七8道1；

(2)若AE=&E,求二面角B-EC的正弦值.

第6頁(yè)，共35頁(yè)

14.如圖，已知多面體48。一4當(dāng)6,ArA,當(dāng)8,QC均垂直于平面ABC,Z.ABC=120°,ArA=4,

GC=1,AB=BC=B[B=2.

⑴證明:4。_L平面4B1Q；

⑵求直線AG與平面AB/所成的角的正弦值.

15.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面A2CO為矩形，平面PAD1平面ABCD,PA1PD,PA=PD,

E,尸分別為A。，P8的中點(diǎn).

(I)求證：PE1BC-,

(n)求證：平面P4B，平面PCD；

(m(II))求證：EF〃平面PCD

16.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2>/2.PA=PB=PC=AC=4,。為4c的中點(diǎn).

(1)證明：P01平面ABC；

(2)若點(diǎn)M在棱8C上，且二面角M-P4-C為30。，求PC與平面所成角的正弦值.

17.如圖，在三棱柱48C-4BiCi中，CC[_L平面ABC,D,E,F,G分別為44「AC,&口，BB1的

中點(diǎn)，AB=BC=相,AC=AAX=2.

第8頁(yè)，共35頁(yè)

Ci

Ai

Bi

(1)求證：4C_L平面BEF；

(2)求二面角B-CD-G的余弦值：

(3)證明：直線FG與平面BCD相交.

18.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=272,PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn).

(1)證明：P01?平面A8C；

(2)若點(diǎn)“在棱8c上，且MC=2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離.

19.如圖，長(zhǎng)方體力BCD-4B1GD1的底面ABC。是正方形，點(diǎn)E在棱A4上，BE1EC「

(1)證明：8E，平面EBiG；

(2)若4E=&E,AB=3,求四棱錐E-88停傳的體積.

20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAl￥ffiABCD,AD1CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=

3.E為叩的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在PC上，且案=去

(I)求證：CD1平面PAD；

(H)求二面角尸-AE-P的余弦值；

(皿)設(shè)點(diǎn)G在PB上，且第=；判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由.

rB3

第10頁(yè)，共35頁(yè)

21.如圖，在四棱錐P—ABCD,底面48CD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面P4C1平面

PCD,PA1CD,CD=2,AD=3,

(1)設(shè)G,”分別為PB,AC的中點(diǎn)，求證：GH〃平面PAD；

(2)求證：PA_L平面PCD；

(3)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.

答案與解析

1.答案：D

解析：

本題考查了新定義，考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查線面垂直的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)新定義和正六邊形的性質(zhì)可得答案.

解：根據(jù)正六邊形的性質(zhì),

當(dāng)44BB1為底面矩形，有Di-AiABBi、D-A^ABB^Er-ArABBx.E-&ABB1，4個(gè)滿足題意，

當(dāng)月1AF&為底面矩形，有D1-A1AF&、D-A1AFF1,C^-A^FF^C-A^FF^4個(gè)滿足題意,

當(dāng)&4CG為底面矩形，有Di-AiACG、D-A^ACC^F1-A1ACCi.F-ACCx,4個(gè)滿足題意,

當(dāng)44EE1為底面矩形，有Di-4iAEEi、D-A^EE^B1-A1AEE1.B-A1AEE1,4個(gè)滿足題意,

故共有16個(gè)陽(yáng)馬滿足題意.

故選：D.

2.答案：B

解析：

本題考查二面角、線面角、異面直線所成角的大小的判斷，考查空間位置關(guān)系和空間思維能力的培

養(yǎng)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題.

作D'E_L平面ABC。于點(diǎn)E,ABu平面ABC￡),則，4B,作O'F1AB于點(diǎn)F,連接EF,AE,

則WFE=。，^D/AE=”?由于A8CO是矩形，取AO邊上的點(diǎn)G,使得GE平行AB,則AG=EF,

可得AG垂直6G.在△4D'G中，cos%=笫,在△D'EF中，cos。=言，根據(jù)三個(gè)角度關(guān)系即可得到

答案.

第12頁(yè)，共35頁(yè)

解：作D'E1平面ABC￡>于點(diǎn)E,ABu平面ABCD,

則D'E_L4B,

作D'F_L4B于點(diǎn)尸，連接EF,AE,

由于。'EC。'尸=

且D'E,D'Fu平面D'EF,

則AB1平面D'EF,由于EFu平面Z/EF,

故A81EF,則ND'FE即為二面角，

則RFE=9,

由于D'EJ_平面ABCD,

則NOZE即為直線4D'與平面ABC所成角，

故=e2,

由于。'尸14B.則D'F<D'A,

而sin。=篝，sin"=翳，則sinJ>sin02-

當(dāng)。為銳角時(shí)，d>e2.

由于ABC。是矩形，取A。邊上的點(diǎn)G,使得GE平行AB,則力G=EF,

四邊形AFEG為矩形，且D'El4G,又GE1AG,GEnD'E=E,且都在平面D'GE中，所以4Gl面

D'GE,

則AG垂直D，G.

在△40'G中，cos。1=笫;

在4D'EF中，cos。=M.

DF

而4。'2D'F,則cos%Wcos仇

而。為銳角，

故%>e,

。24。?

故選B.

3.答案：B

解析:

本題考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，訓(xùn)練了二面角

的平面角的求法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

在等腰梯形4CEF中，過(guò)尸作FG14C于G,作EH14C于H,連接BG,DH,可得/BFG為二面角

B-EF-4的平面角，NDEH為二面角C-EF-C的平面角，由AC_L平面2G凡ACDHE,可

得二面角B-EF-。的平面角為N8FG+乙DEH,進(jìn)一步求得4BFG+乙DEH=90。得答案.

解：如圖,

在等腰梯形ACEF中，過(guò)F作FGJ.AC于G,作EH工4C于”,

連接BG,DH,

由矩形A8CD得，AC=2,

在梯形4CE尸中，由ZF=CE=EF,可得AG=：,FG=EH=—.

由三角形ABC為直角三角形，且4B=1,BC=a,可得4B4C=60。,

則BG=ll2+(-)2-2xlx-xi=—.

y]222

Z.AGB=90°,即BG_L4C,FGCBG=G,則4。_L平面GFB,

???4BFG為二面角B-EF一4的平面角,

同理可得4DEH為二面角。-EF-C的平面角，

???AC_L平面8GKACI5??DHE,則二面角B—EF—D的平面角為4BFG+々DEH.

???△86/與4DHE均為等腰三角形,

???Z-BFG幽衛(wèi)電乙DEH=180°-ZDHE

22

vFG//EH,GB//HD,

：?乙BGF+乙DHE=180°,

A^BFG+乙DEH=360°-C)=360-180：=90°.

22

???二面角B-EF-D為定值.

故選B.

4.答案：＞/2

第14頁(yè)，共35頁(yè)

解析:

本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推

理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

過(guò)點(diǎn)尸作PD14C,交4c于。，作PE上BC,交BC于E,過(guò)戶作P0，平面A8C,交平面A8C于0,

連結(jié)OD,0C,則P。=PE=遮，從而CD=CE=0D=0E=

^22-(>/3)2=1-由此能求出P到平面ABC的距離.

解：44c8=90。，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2,

點(diǎn)P到乙4cB兩邊AC,BC的距離均為百，

過(guò)點(diǎn)P作PD1AC,交AC于O,作PE1BC,交6C于E,

過(guò)P作P。_L平面ABC,交平面ABC于。，

連結(jié)?！?gt;,OC,則PD=PE=遮，

?'.由題總得CD=CE=OD=OE=J22—=1>

PO=\/PD2-OD2=V3^I=V2.

?1.P到平面ABC的距離為a.

故答案為四.

5.答案：解：（1）證明：作ZW14C,且交AC于點(diǎn)H,

???面4DFC1面ABC,面4DFCn面4BC=AC,DHu面ADFC,

???DH1面ABC,BCu面ABC,：.DH1BC,

.?.在中，CH=CD-cos45°=—CD，

Rt/kOHC2

■■DC=2BC,CH=—CD=—?2BC=舊BC，

22

.渭=去又〃CB=45。,

△BHC是直角三角形，且NHBC=90°,

HB1BC,

又；DHu面DHB,HBu面DHB,DHCHB=H,

BC1.1^DHB,-：DBc:^DHB,.-.BCA.DB,

???在三棱臺(tái)DEF—ABC中，EF//BC,EF1DB.

(2)設(shè)BC=1,則=1,//C=V2-

^.Rt△DHC^,DH=V2-DC=2,

在Rt△DHB中,DB=y/DH2+HB2=VT+I=?

作HG1BD于G,

BCliMDHB,HGu面DHB,：.BC工HG,

而BCu面BCD,BDu面BCD,BCCBD=B,

HG1面BCD,vGCu面BCD,

：.HG1GC,HGC是直角三角形，且NHGC=90°,

設(shè)QF與面OBC所成角為。，則。即為C"與面08c的夾角,

且sin。=sinz.HCG=——半，

HCV2

?.?在Rt△OHB中，DHHB=BD-HG,

DHHBy[21y[6

AHG=----=—pr——,

BDH3

EL

.cHG云際

-'-sine=^=^=r

解析：本題主要考查空間直線互相垂直的判定和性質(zhì)，以及直線與平面所成角的幾何計(jì)算問(wèn)題，考

查了空間想象能力和思維能力，平面與空間互相轉(zhuǎn)化是能力，幾何計(jì)算能力，以及邏輯推理能力，

本題屬綜合性較強(qiáng)的中檔題.

(1)題根據(jù)己知條件，作DH14C,根據(jù)面面垂直，可得OH1BC,進(jìn)一步根據(jù)直角三角形的知識(shí)可

判斷出△B//C是直角三角形，且N"BC=90。，則H8J.BC,從而可證出BC1面最后根據(jù)棱

臺(tái)的定義有EF〃BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得EF1DB；

第16頁(yè)，共35頁(yè)

(2)題先可設(shè)BC=1,根據(jù)解直角三角形可得BH=1,HC=V2，DH=V2，DC=2,DB=痘,

然后找到C4與面OBC的夾角即為NHCG,根據(jù)棱臺(tái)的特點(diǎn)可知QF與面￡>BC所成角與CH與面DBC

的夾角相等，通過(guò)計(jì)算ZHCG的正弦值，即可得到。尸與面D8C所成角的正弦值.

6.答案：(1)證明：不妨設(shè)。。的半徑為1,貝必。=。8=0C=1,AE=AD=2,

AB=BC=CA=痘,DO=-JDA2-OA2=遮，PO=—D0=—，

62

PA=PB=PC=yJPO2+AO2=—，

2

在AP4c中，PA2+PC2=AC2,故P4_LPC,

同理可得P41PB,PBCPC=P,PB,PCu平面PBC,

：.PA1,平面PBC.

D

(2)解：以O(shè)E,。。所在直線分別為y,z軸，圓錐底面內(nèi)垂直于OE的直線為x軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系。—xyz,

則有B露,0),C(一聶,0),P(0,0,f),^(0,1,0).

BC=(-V3,0,0),CE=(y,1,0),CP=(今-C分

設(shè)平面PBC的法向量為元=Qi，y】,Zi),則［史？=。，解得沱?=((),企,1),

(CP-n=0

同理可得平面PCE的法向量芯=(V2,-V6,-2V3),

由圖形可知二面角B-PC-E為銳角，則3。=|^|=等,

故二面角B-PC-E的余弦值為9.

5

解析：本題考查線面垂直的證明和二面角的求法，屬于中檔題；

(1)求出各線段長(zhǎng)度，用勾股定理找出垂直關(guān)系即可證明

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求法向量即可求解.

7.答案：(1)證明：:M、N分別為BC,BiG的中點(diǎn)，側(cè)面8B1GC是矩形,

.??四邊形BBiNM為矩形，

???BB1//MN,又44J/BB1，???AAJ/MN

「底面為正三角形，N為8傳1的中點(diǎn)

???ArN1B1C1,又MNJ.B1G，AiNClMN=N,A、Nu平面A、AMN，

MNu平面A[AMN

???當(dāng)Q1平面A、AMN,又BiQc平面EBiC\F

???平面A、AMN1平面EBiJF.

(2)連接PN,

???三棱柱上下底面平行，平面EBiGF與上下底面分別交于EF

B\C\〃EF,

???4?！ㄆ矫鍱BiGF,力。u/曲源MN,平面A\AMNC平面EB'JF=PNA

：.AO〃PN,.?.四邊形AONP為平行四邊形

由⑴知直線BiE在平面44MN內(nèi)的投影為NP

第18頁(yè)，共35頁(yè)

???直線GE與平面&AMN所成的角即為BiE與NP所成的角

?.?。為正三角形的中心，.?.。村=42=：41/7,二￡7:1=18。

令EF=1,則BC=B6==4。=PN=3,BE=2,則&0=|x(苧x3)=遮,故在RtAAArO

中，AAr=BB]=V6.

22

過(guò)E作EHlBiG，交/Ci于H,則在等腰梯形EFGBi中，BrH=1,B1E=JBE+BB.=V10.

在RtAEB/中，sin3EH=

???直線BiE與平面QMN所成的角的正弦值為嚕

解析：本題主要考查直線與平面平行與垂直的證明、直線與平面所成的角，屬于中等題

(1)根據(jù)平行公理可證441//MN,由面面垂直的判定定理可證平面Z/MNJL平面EB1C/；

(2)由題可得直線B]E在平面&AMN內(nèi)的投影為NP,則直線&E與平面4遇";7所成的角即為4E與

NP所成的角，在梯形EBiGF中計(jì)算與E與NP所成的角，可得直線&E與平面44MN所成的角的正

弦值。

8.答案：證明：(1)因?yàn)锳BCD-A/iCiDi是長(zhǎng)方體，所以BB】L平面ABCD,

而ACu平面ABCD,所以

又AB=BC,所以四邊形ABC。為正方形，有力C_LBD,

又BDCBBLB,u平面BB也D,所以4c_L平面幽。避，

又EFu平面BB/iD,所以EF-LAC.

(2)取靠近4的三等分點(diǎn)M,連結(jié)D]M,GF,MF,ECltC/,

因?yàn)镋在。上，且20E=E5，所以EO]〃4M,ELED1=AM,

所以四邊形力ED】“為平行四邊形，所以DiM〃/1E.

又尸在B灰上,且8尸=2尸」i，所以MF且MF=4比,

從而MF〃GD「MF=CjDi，所以四邊形FMDiQ為平行四邊形，

所以DiM〃尸G，所以FCJ/4E,故4E,F，G四點(diǎn)共面，點(diǎn)G在平面AE尸內(nèi).

解析：本題考查了線面垂直的判定及性質(zhì)，四點(diǎn)共面判定等知識(shí)，屬中檔題.

(1)通過(guò)BBi1平面ABCD可得AC1BBi，四邊形ABC。為正方形，有4c1BD,

所以4c_L平面BBi/D,進(jìn)而可得EFJ.AC.

(2)通過(guò)畫輔助線，可證明四邊形AEQM和四邊形FM2G均為平行四邊形，由平行傳遞性可得

FCJ/AE,故4,E,F，G四點(diǎn)共面，點(diǎn)Q在平面AEF內(nèi).

9.答案：證明：

(I)???四棱錐P-4BCD中，P4_L平面ABCD,底面ABCD為菱形,

BD1PA,BD1AC,

???PAHAC=A,PA,ACu平面PAC,

：.BD1平面PAC.

(H)???在四棱錐P-HBCD中，底面A8CO為菱形，/.ABC=60°,

.?.△4CD是等邊三角形，

???E為CC的中點(diǎn)，

AE1CD,

???AB//CD,

AB±AE,

PA_L平面ABCD,

PA1AE,

■：PACtAB=A,PA,ABu平面PAB,

第20頁(yè)，共35頁(yè)

AE_L平面PAB,

vAEu平面PAE,

.??平面P481平面PAE.

(HI)棱P8上存在中點(diǎn)凡使得CF〃平面PAE.

理由如下：分別取P8、P4的中點(diǎn)從G,連接C尺FG、EG,

在三角形P4B中，F(xiàn)G〃AB且FG=：4B,

在菱形A8CD中，E為CQ的中點(diǎn)，所以CE〃AB,且CE=[AB,

所以CE〃FG,且CE=FG,

即四邊形CEG尸為平行四邊形，

所以CF〃EG,

又CFC平面PAE,EGU平面PAE，

二CF〃平面PAE.

解析：本題考查線面垂直、面面垂直的證明，考查滿足線面平行的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查

空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

(I)推導(dǎo)出BD1PA,BD1AC,由此能證明BO_L平面PAC.

(H)推導(dǎo)出ABLAE,PALAE,從而AE1平面PA8,由此能證明平面P4B，平面PAE.

(HI)棱PB上存在中點(diǎn)F,分別取PB、PA的中點(diǎn)F、G,連接CF、FG、EG,推導(dǎo)出四邊形CEGF

為平行四邊形，所以CF〃EG,進(jìn)而CF〃平面PAE.

10.答案：證明：(1)連結(jié)因?yàn)镸,E分別為當(dāng)8,8c的中點(diǎn)，

所以且ME=^BiC.又因?yàn)镹為的中點(diǎn)，所以可。二號(hào)人山.

可得ME幺ND，因此四邊形MNCE為平行四邊

形，

MN//DE.又MNC平面GDE,

所以MN〃平面GDE.

(2)(方法一)：過(guò)C做GE的垂線，垂足為H.

由已知可得DE18C,DEJ.CG.所以O(shè)EJ,平面CGE,

故DEJ.CH,從而「〃_L平面CDE,故CH的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到平

面GDE的距離.

由已知可得CE=1,CG=4,所以QE=V17,故CH=等.

(方法二)：設(shè)點(diǎn)C到平面GCE的距離為心由已知可得％L0EC=

KS-CJDE，

11

1Z1..1-fiAO

V^-DEC=-OADEC?=---4-2'I-SlUbU=——，

<)?5/?5

222

Vc-jDE~3CiDE.mC1E=Vl+4=y/17，DE=02?+I—2?1?2cos6(1=?DC1=

V424-22=2①，

22

可得：CrE+DE=故△GDE為直角三角形，

SAQDE=扣后?GE=?技田=亨,

綜上可得h=箋蕾=岑，即為點(diǎn)C到平面GDE的距離.

解析：本題考查線面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)連結(jié)B1GME,證明四邊形MNQE為平行四邊形，MN//DE,DEu平面QOE,MN<t平面CXDE,

證得時(shí)N〃平面GDE.

(2)方法一：做GE的垂線C”，利用勾股定理求得點(diǎn)C到平面GDE的距離；

方法二：利用等體積法，轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，先求得三棱錐Q-OEC的體枳，再表示出三棱錐C-GDE

的體積，體積相等，求出點(diǎn)C到平面GCE的距離；

11.答案：方法一：

證明：(I)連結(jié)為E,&A=&C,E

是AC的中點(diǎn)，

???A^E1AC,

又平面&ACC1_L平面ABC,ArEu平

面44CC1，

平面44CGn平面ABC=AC,

平面ABC,_LBC,

,:A、F"AB,乙4BC=90。，BC14F,

BC1平面&EF,EF1BC.

第22頁(yè)，共35頁(yè)

解：（11）取8（：中點(diǎn)6,連結(jié)EG、GF,則EGF41是平行四邊形,

由于&E_L平面A8C,故A1E1EG,

???平行四邊形EGF&是矩形，

Etl(I)得8c1_平面EG凡41,

則平面4BC1平面EGF4,

???EF在平面&BC上的射影在直線41G上，

連結(jié)&G,交E/于。，則“0G是直線"與平面&BC所成角（或其補(bǔ)角）,

不妨設(shè)AC=4,則在RtaAiEG中，ArE=2V3，EG=V3,

"0是4G的中點(diǎn)，故EQ=0G=

￡。2+。62-"23

■■cosZ.EOG-9

2XE0X0G5

???直線所與平面4鳳所成角的余弦值為|.

方法二:

證明：（I）連結(jié)&E,?.?&4=AiC,E是AC的中點(diǎn),

:.ArE1AC,

又平面44CGJL平面ABC,AXEu平面4力CG，

平面&4CC1n平面ABC=AC,

AiE，平面ABC,

如圖，以E為原點(diǎn)，EC,E%所在直線分別為y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)4c=4,則4（0,0,2V3），B（6,1,0）,當(dāng)（低3,2次），F(xiàn)（亨,|,2遍），C（0,2,0）,

前=（今|,2圾，66=（-73,1,0），

由品?瓦1=0）得EF1BC.

解：（口）設(shè)直線E尸與平面&BC所成角為0,

由（I）得就=（-73,1,0）.砧=（0,2,-2V3）,

設(shè)平面&BC的法向量元=（x,y,z）,

則取』'得I'）,

.nFF-n4

???stnd=;=,二,=一,

\EF\\n\5

.??直線EF與平面&BC所成角的余弦值為|.

解析：本題考查空間線面垂直的證明，三棱錐體積的計(jì)算.要證線面垂直，需證線線垂直，而線線

垂直可以通過(guò)平面中的勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等來(lái)證明，也可以通過(guò)另外的線面垂直來(lái)證

明.求三棱錐的體積經(jīng)常需要進(jìn)行等積轉(zhuǎn)換，即變換三棱柱的底面.

法一：

(I)連結(jié)為E,則力iE1AC,從而&E_L平面ABC,4E1BC,推導(dǎo)出BC1&F,從而BC，平面&EF

由此能證明EF1BC.

(口)取8c中點(diǎn)G,連結(jié)EG、GF,則EGF4是平行四邊形，推導(dǎo)出&E1EG,從而平行四邊形EG凡包

是矩形，推導(dǎo)出BC_L平面EGF&,連結(jié)&G,交EF于0,貝叱E0G是直線EF與平面&BC所成角(或

其補(bǔ)角)，由此能求出直線EF與平面4BC所成角的余弦值.

法二：

(1)連結(jié)2遂，推導(dǎo)出&E_L平面ABC,以E為原點(diǎn)，EC,E41所在直線分別為y,z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線EF與平面&BC所成角的余弦值.

12.答案：(1)證明：由已知可得4D〃BE,CG//BE,即有40〃CG,

則4D,CG確定一個(gè)平面，從而4,C,G,。四點(diǎn)共面；

由四邊形ABEQ為矩形，可得

住【△ABC為直角三角形，可得AB1BC,

又BCnBE=E,BCu平面BCGE,BEu平面BCGE,

可得48，平面BCGE,

ABu平面ABC,可得平面4BC1平面BCGE；

(2)解:連接BG,AG,

由力B_L平面8CGE,BGu平面BCGE,可得4B1BG,

在△BCG中，BC=CG=2,A.BCG=120°,可得BG=2BCs譏60。=2b,

可得AG=7AB2+BG2=V13,

在△力CG中，AC=V5，CG=2,AG=V13-

可得cos"CG=翳親=一a,即有sin/ACG=春,

由(1)可得：AD〃CG且AD=CG=2,

所以四邊形ACGQ為平行四邊形，

則平行四邊形ACGD的面積為2xbx專=4.

解析：本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系，考查平行和垂直的判斷和性質(zhì)，注意運(yùn)用平面

幾何的性質(zhì)，考查推理能力，屬于中檔題.

(1)運(yùn)用空間線線平行的公理和確定平面的條件，以及線面垂直的判斷和面面垂直的判定定理，即可

得證；

第24頁(yè)，共35頁(yè)

(2)連接8G,AG,由線面垂直的性質(zhì)和三角形的余弦定理和勾股定理，結(jié)合三角形的面積公式，可

得所求值.

13.答案：證明：⑴長(zhǎng)方體-中,BQ_L平面止B%4i，

BEu平面二BCJ.BE,

BE1EG，

B1C1nEC1=C1,B1C1,EC1u平面EBiG,

BE1平面EBiQ

解：(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)4E=4iE=1,則BBi=2,

--?BE_L平面EBiG，EB、u平面EBZi，

???BE1EBi，又BE=EBi=伍

AB=1,

則E(l,l,1),4(1,1,0),當(dāng)(0,1,2),

G(0,0,2),C(0,0,0),

BC?L平面ABB[?1],EB[u平面BC_LEB1,

?:BEA.E且BCnBE=E,BC,BEu平面EBC,

EBi1平面EEC,

故取平面EBC的法向量為沅=西=(一1,0,1),

設(shè)平面ECG的法向量五=(x,y,z),

由陌=0,得知

In-CF=0(.X+y+z-U

取x=l,得元=(1,-1,0),

,一一、mn1

???cos<m,n>=——=

I網(wǎng)Ml2

???二面角B-EC-Ci的正弦值為當(dāng)

解析：本題主要考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面

間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

⑴推導(dǎo)出BiQ_LBE,BE1EQ,由此能證明BE1平面EBiQ

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-EC-G的正

弦值.

14.答案：(1)證明：由余弦定理得4c2=AB2+BC2-2AB-BC^^ABC

=4+4+4=12,

所以4c=2V3.

vAtA1平面ABC,B[B1平面ABC,ABu平面ABC,

:.AA、IIBB1,AB±

vAA1=4,BB?=2,AB=2,

A1B1=J(48)2+_B&)2=2V2，

又A%=y/AB2+BBl=2V2.

AAl=AB^+A1Bl，

???AB114避1，

2222

ACr=AC+CC/=13,BiC/=BC+(BB1-CQ)=5,

即AC/=ABl+

即AB11BQ,

又A[B[C=8[，B]Gu平面AiBiG,

AB^_L平面

(2)解：取AC中點(diǎn)O,過(guò)O作平面ABC的垂線O。，交41cl于。，

vAB=BC,：,OB1OC,

以O(shè)為原點(diǎn)，分別以。8,OC,0。所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

則4(0,-6,0),5(1,0,0),當(dāng)(1,0,2),6(0,71,1),

：.AB=(l,V3,0)>西=(0,0，2),溫=(0,2低1),

第26頁(yè)，共35頁(yè)

設(shè)平面ABB1的法向量為五=(x,y,z),則伊,布=°

"h甌=0"

二fe”!'=°,令丫=1可得記=（―‘°）,

273V39

2X-713-13

設(shè)直線AC］與平面ABB］所成的角為6,則s加0二cues/It.AC\：*.

.?.直線AC］與平面力BB1所成的角的正弦值為粵.

解析：本題主要考查了線面垂直的判定定理，線面角的計(jì)算與空間向量的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與空

間想象能力，屬于中檔題.

(1)利用勾股定理的逆定理證明14/1，ABr1BiG，從而可得JL平面48停1；

(2)以AC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出平面ABB1的法向量五，計(jì)算完與福*夾角的余弦值

即可得出線面角的正弦值.

15.答案：證明：(I)P4=PD,E為A力的中點(diǎn)，可得PE14D,

底面A8CQ為矩形，可得BC〃AD,

則PE1BC

(口)?.?底面ABC。為矩形，

AB1AD.

?.?平面PAD1平面4BC。，平面PA，〕平面AD

AB1平面PAD.

?：PDC平面PAO

???AB1PD.

又；42120,且」1/7C平面P4B,APC平面PAB,ABflAP=A,

PD，平面PAB,

又PDu平面PCD

平面P4B1平面PCD.

(HI)如圖，取PC中點(diǎn)G,連接尸G,GD.

p

F,G分別為尸8,PC的中點(diǎn)，

FG//BC,且FG=1BC

???四邊形48CQ為矩形，且E為AO的中點(diǎn)，

ED//BC,DE=^BC,

OE〃FG,且ED=FG,.?.四邊形EFG。為平行四邊形，

EF〃GD.又EF不在平面PCD內(nèi)，GD不在平面PCD內(nèi)，

EF〃平面PCD.

解析：本題考查線面和面面的位置關(guān)系，考查線面平行、垂直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的判斷

和性質(zhì)，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查推理能力和空間想象能力，屬于中檔題.

(I)由等腰三角形的三線合一性質(zhì)和矩形的對(duì)邊平行性質(zhì)，即可得證；

(H)作出平面尸A8和平面PC。的交線，注意運(yùn)用公理4,再由面面垂直的性質(zhì)和兩個(gè)平面所成角的

定義，即可得證；

(HI)取PC的中點(diǎn)〃，連接力H,FH,運(yùn)用中位線定理和平行四邊形的判斷和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的

判定定理，即可得證.

16.答案：(1)證明：連接B0,

???AB=BC=2V2,。是AC的中點(diǎn)，

BO1AC,且B0=2,

又P4=PC=PB=AC=4,

PO1.AC,PO=2V3.

則PB2=PO2+B02,

則P。1OB,

???0BOAC=0,OBu平面ABC,ACu平面ABC,

PO，平面ABC；

(2)建立以。坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,OP分別為無(wú)，y,z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：

第28頁(yè)，共35頁(yè)

z

4(0,-2,0),P(0,0,2V3),C(0,2,0),8(2,0,0),

BC=(-2,2,0),

設(shè)前=4配=(-24,2/1,0),0<2<1,

則麗-BM-BA=(-2A,22,0)-(-2,-2,0)=(2-22,22+2,0)，

則平面PAC的法向量為沆=(1,0,0),

設(shè)平面MPA的法向量為日=(xj,z),

則方=(0,-2,-25/3)>

則(五?TA=-2y-2y/3z=0

'{n-AM=(2-2A)x+(2A+2)y=0'

令z=1,則丫=_百，x=

1-A

即元=(今苧，一悔1),

?.,二面角M-PA-C為30。，

c°s30。=%生=在

I利宿2，

q+i)6r

即gn——】,I-----=-2,

解得；I=：或;I=3(舍)，

則平面MPA的法向量元=(2V3,-V3,1)>

PC=(0,2,-2V3).

PC與平面PAM所成角的正弦值sin。=|cos<PC，n>\=|等咎|=延=烏

1IV16-V16I164

解析：本題主要考查空間直線和平面的位置關(guān)系的應(yīng)用以及二面角，線面角的求解，建立坐標(biāo)系求

出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.

(1)利用線面垂直的判定定理證明P。1AC,P01OB即可；

(2)根據(jù)二面角的大小求出平面尸AM的法向量，利用向量法即可得到結(jié)論.

17.答案：(1)證明：?：E,尸分別是AC,4G的中點(diǎn)，

???EF/fCCr，

VCCj平面ABC,

EF1平面ABC,

又4cu平面ABC,

EF1AC,

"AB=BC,E是AC的中點(diǎn)，

???BE14C,

又BEnEF=E,BEu平面BEF,EFu平面BEF,

AC，平面BEF；

(2)解：由(1)可知，EFLAC,BE1.AC,EF_L平面ABC,

又BEu平面ABC,

EF1BE,

故以E為原點(diǎn)，以EB,EC,EF為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

則8(2,0,0),C(0,l,0),￡)(0,-1,1).

???BC=(-2,1.0),CD=(0,-2,1)>

設(shè)平面BCO的法向量為布=(x,y,z),

njH(n-SC=0即廠2x+y=0

貝%.而=。'叫-2y+z=。，

令y=2,可得元=(1,2,4),

又EF1BE,BELAC,

S.EFnAC=E,EFu平面ACCiAi,ACu平面,

EB1,平面4CC141，

EB=(2,0,0)為平面CDQ的一個(gè)法向量，

cos<n,TB>—/,竺：-4———,

|n||EB|VHX221

由圖形可知，二面角B—CD—G為鈍二面角，

???二面角B-CD-&的余弦值為一等；

第30頁(yè)，共35頁(yè)

(3)證明：F(0,0,2),G(2,0,1),

???FG=(2,0,-1),

???FG?元=2+0—4=-240，

而與記不垂直，

???FG與平面BCD不平行，

又FG，平面BCD,

???FG與平面SCO相交.

解析：本題考查了線面垂直的判定，利用空間向量求二面角，空間中直線和平面的位置關(guān)系，屬于

中檔題.

(1)證明EF1AC,BE1AC,即可得出AC1平面BEF；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)行求解即可；

(3)根據(jù)題意，利用空間向量即可得解.

18.答案：(1)證明：連接OB

vAB=BC=2V2,AC=4,AAB2+BC2=AC2,即△ABC是直角三角形,

又O為AC的中點(diǎn)，???04=0B=0C,

又???PA=PB=PC,

POA=h.POB三4POC,

/.POA=乙POB=乙POC=90°,

POVAC,PO1OB,OBCtAC=0,OB、ACABC,

PO，平面ABC；

(2)解：由(1)得P。1平面ABC,PO=>JPA2-AO2=25

在△COM中，N0CM=45。，

0M=VOC2+CM2-2OC-CMcos450=—.

3

S〉POM=3xP。xOM=Ix2^3x苧=哼

S&COM=2XX$△力8c=3-

=

設(shè)點(diǎn)C到平面POM的距離為d.由Vp_oMc^C-POM=]xS^POM，d=]xS^0CMxPO,

解得d=延，

5

???點(diǎn)C到平面POM的距離為延.

5

解析：本題考查了空間線面垂直的判定，等體積法求距離，屬于中檔題.

(1)證明：^^AB2+BC2=AC2,即△4BC是直角三角形，又POAW&POBm4PoC,可得NP04=

乙POB=Z.POC=90°,即可證明P。1平面ABC；

(2)設(shè)點(diǎn)C到平面POM的距離為d.由Vp_0MC=^C-POM=7xS&POM，d=§x^AOCMXPO,解得4即

可.

19.答案：解：(1)證明：由長(zhǎng)方體ABC。-AiBiGDi，可知

BiG，平面ABBiAi，BEu平面力BB1&,

:.B1cl1BE,

vBE1EC19BiGnEG=Ci，B1C1,EC\u平面EBiG，

???BE_L平面EBiG；

(2)由(1)知BE，平面EB1c1，

vB]Eu平面EBiG，

???B1E±BE,

???乙BEB、=90°,由題設(shè)可知Rt△ABE三R￡△A^E,

???Z-AEB=Z-A1EBY=45°,

???AE=AB=3,AA1=2AE=6,

??,在長(zhǎng)方體力BCD-418TQDi中,44i〃平面881clC,EEAAlfAB1平面BB1c】