知識講解-直線、平面垂直的性質-基礎

直、面直性【習標1．掌握直線與平面垂直的性質理，并能解決有關問題；2．掌握兩個平面垂直的性質定，并能解決有關問題；3．能綜合運用直線與平面、平與平面的垂直、平行的判定和性質定理解決有關問題．【點理要一直與面直性基本質文字語言：一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內的所有直.符號語言：圖形語言：

ll性質理文字語言：垂直于同一個平面的兩條直線平.符號語言：圖形語言：

ll//．直與面直其性（）兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．（）

l

于

A

，

APl

，則

AP

．（）直于同一條直線的兩個平面平行．（）果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它必垂直于另一個平面．要詮：線面垂直關系是線線垂直、面面垂直關系的樞紐，通過線面垂直可以實現(xiàn)線線垂直和面面垂直系的相互轉化．要二平與面直性．性定文字語言：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂.符號語言：

m,lll圖形語言：

要詮：面面垂直的性質定理是作線面垂直的依據(jù)和方法決二面角問題中作二面角的平面角經(jīng)常用到種線面垂直與面面垂直間的相互轉化，是我們立體幾何中求解（證）問題的重要思想方法．．平與面直質理推如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平內．要三垂關的合化線線垂直、線面垂直、面面垂直是相互聯(lián)系的，能夠相互轉化，轉化的紐帶是對應的定義、判定理和性質定理，具體的轉化關系如下圖所示：在解決問題時，可以從條件入手，分析已有的垂直關系，早從結論探求所需的關系，從而架起件與結論的橋梁．垂直間的關系可按下面的口訣記憶：線面垂直的關鍵，定義來證最常見，判定定理也常用，它的意義要記清．平面之內兩直線，兩線交于一個點，面外還有一條線，垂直兩線是條件．面面垂直要證好，原有圖中去尋找，若是這樣還不好，輔助線面是個寶．先作交線的垂線，面面轉為線和面，再證一步線和線，面面垂直即可見．借助輔助線和面，加的時候不能亂，以某性質為基礎，不能主觀憑臆斷，判斷線和面垂直，線垂面中兩交線．兩線垂直同一面，相互平行共伸展，兩面垂直同一線，一面平行另一面．要讓面和面垂直，面過另面一垂線，面面垂直成直角，線面垂直記心間．【型題類一直與面直性例．設，b為異面直線，是們的公垂線（與異面直線都垂直且相交的直線（1若a平行于平面求證：AB⊥；（2若a別垂直于平面

，

，且

，求證AB．【思路點撥）依據(jù)直線和平面垂直的判定定理證明AB可先證明線與線的平行）于此時垂直的關系較多，因此可以考慮利用線面垂直的性質證明AB．證明）如圖1

內任取一點，直線a與P確的平面與平

面交線為直線b與P確的平面與平面交線為∵∥b∴∥∥b又∵AB⊥，⊥，∴AB⊥aAB⊥∴AB⊥．（2如圖，過B作BB＇⊥

，則AB⊥又∵AB⊥b，∴AB垂于由b和BB＇確的平面．∵b，⊥c，∵BB＇⊥，BB⊥．∴c也直于由BB＇和b定的平面．故c∥AB【總結升華】由第）問的證明可以看出利用線面垂

直的性質證明線與線的平行，其關鍵是構造平面，使所證線皆與該平面垂直．如題中，通過作出輔助線BB造出平面，即由相交直線b與BB＇確定的平面，然后借助于題目中的其他垂直關系證明．舉反：【變式】設

l

，是條不同的直線，一個平面，則下列命題正確的是（）A若l⊥，，則l⊥．l⊥，l∥，則m

C．l∥，m則l∥mD若l∥，∥，則l∥【答案】B【解析】兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．高：間線垂398999例3例2．如圖，在四棱錐P-ABCD中PA底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中．（）明：AE⊥CD；（）明：PD⊥平面ABE．【思路點撥由PA⊥底面ABCD，可得CD⊥PA，又CDAC，故⊥PAC，從而證得CD⊥AE；（）等腰三角形的底邊中線的性質可得⊥PC，由（Ⅰ）知⊥，而AE⊥面PCD，⊥，再由AB⊥可得PD⊥面ABE。【解析）證明：在四棱錐P-ABCD中，⊥底面ABCDCD?平面ABCD，∴⊥．又CD⊥AC，PA∩AC=A，CD⊥PAC，∵AE?PAC，CD⊥AE．（）明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°可得，∵是PC的中，AE⊥，由（1）知CD⊥，而AE⊥面PCD，AEPD．由（1）知，⊥，PC∩CD=C所以AE平面PCD而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面，在底ABCD內的影是AD，ABAD∴AB⊥PD．又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE【總結升華】直線與平面垂直的性質定理（以及補充性質）是線線、線面垂直以及線面、面面行相互轉化的橋梁，因此必須熟練掌握這些定理，并能靈活地運用它們．舉反：【變式】如圖，已知矩形A，過A作⊥平面AC，再過AAE⊥交于，作EF交于F．（1求證AF；（2若平面交G求證：⊥SD【解析】

證明）SA平面AC，

平面AC，⊥BC．∵四邊形ABCD為形，∴ABBCBC⊥平面SAB⊥AE又AE⊥，∴AE平面SBC∴AE⊥SC又⊥SC，SC平面AEF，∴AF⊥SC（2SA平面AC，∴⊥，又⊥DC，∴DC平面SAD，∴DCAG又由（1）有⊥平面AEFAG

平面AEF∴⊥AG，∴⊥平面，AG⊥．【變式22015秋葫蘆月考）如圖，四邊形ABCD矩形，AD⊥平面ABEAE==，為上的點，且BF⊥平面ACE。（1）求三棱錐—的體積；（2）設M線段上，且滿=2MB試在線段上定一點，使得MN平面DAE【思路點撥轉化頂點，以平面為底，則中O連接，因為OE⊥OEAD得到⊥面ADC，所以為底面上高，分別得底面積和高，再用三棱錐的體積公式求解；（2）在ABE中M作MG∥AE交于G點，在△中點∥BC交于N點，連，證明平面∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，從而可得結論?！敬鸢福?/p>

43

（2詳見證明【證明】取中O連接，因為=，所以⊥。因為AD面，OEABE，所以OE⊥AD所以⊥面ABD。因為⊥面ACE，AE因為CB面，AE

面，所以⊥。面ABE所以⊥。又BF∩=，以⊥平面。又，以⊥EB。所以△等腰直角三角形，所以

2

，所以AB邊的高OE為

2

，所以

AEC

EADC

14233

。（2在ABE中M點MG∥交于G點，在△BEC中點GN∥交N點連，所以

13

。因為MG∥AE，MG平，面ADE，所以MG∥平面ADE同理，∥面ADE且與交于G點所以平面MGE平面ADE

又

平面MGN所MN∥面ADE所以點線段CE上近C點一個三等分點。類二平與面直性高：間面垂例．如果兩個相交平面垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面．【解析】已知：

，求證：l證法如（左

內取一點作垂于

與

的交線于A垂于

與

的交線于B，則⊥PB⊥∵

l∴l(xiāng)⊥PA，l⊥．∵PA

，PB

，∩PB=P∴

l

．證法：如圖（右

內作直線m直于

與

的交線，在

內作直線n直于

與

的交線，∵

，∴

m

，∴∥n又n∴∥∴∥l∴l(xiāng)證法：如圖，在

l

上取一點A，過A作直線m使

m

．∵

，且

Al

，∴

．同理

m

∴，即l與m重合．∴

l

．【總結升華】證法、證法都利用“兩平面垂直時，在一個平面內垂直于兩平面的交線的直線垂直于另一個平面”這一性質，添加了在一個平面內垂直于交線的直線這樣的輔助線，這是證法、證法的關鍵．證法利用兩個平面垂直的推論，則較為簡捷．由此可見，我們必須熟練掌握這一推論．舉反：【變式】如下圖，已知⊥平面，二面角APB—是二面角．求證AB⊥．

證明二角A—PBC為直二面角平面⊥面且PB為線．在平面PAB內過A作AD⊥PBD為足（如圖則⊥平面CPB，又BC面CPB，所以ADBC因為⊥平面ABC，BC平面ABC所以⊥，又∩AD=A，因此，BC平面PAB，又AB

平面，所以AB．【總結升華】面面垂直的性質定理是作線面垂直的依據(jù)和方法（即若有兩個平面垂直，則在一平面內作垂直于交線的直線，則該直線必垂直于另一個平面利用它可以作出二面角的平面角、直與平面所成的角、平面的垂線等．類三綜應例如圖在面是正方形的四棱錐PABCD中⊥面交AC于F是中，G為上點。（1求證⊥；（2確定點在段上位置，使FG∥平面PBD并說明理由；（3當面角B—的小為切值。

23

時求PC底面所角的正【思路點撥）要證BD⊥，證BD平面可。（2確定點在線段AC的位置，使∥平面，F(xiàn)G平面內的一條直線即可。（3當二面角—PC—D的大小為

3

時，求與面所角的正切值。只要作出二面角的平面角，解三角形即可求出結果?！咀C明）PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是方形，其對角線，AC交點E，∴PA，ACBDBD⊥平面PAC，∵

平面PAC，BDFG（2當為中，即

AG

34

時，∥平面PBD，理由如下：連接，由為PC點，G為中，知FG，而FG

PBD，

平面，故FG平面PBD。（3作BH⊥于H連接，∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是方形，∴PD，又∵DC，PC=PC∴△PCB，∴DH，且=，∴∠就二面角B——的面角，即

BHD

3

，∵PA⊥面ABCD，∴∠是PC與面ABCD所成的角

連接EH則⊥BD，

3

，⊥，∴

tan

EH

3

，而BE=EC∴

EH

3，

EH2，tanPCA

，?！郟C與面ABCD所角的正切值是舉反：【變式12016山濰坊模擬）如圖已知等腰梯形中，∥，

AD

12

，M是中點N是與的點，BCM沿BM向的翻折成△，使平面⊥平面ABMD（1求證⊥．（2若為的中點．求證：EN平面PDM【證明）結AM，∵M是CD的點，

12

，∥，∴四邊形平行四邊形，四邊形是行四邊形，∴是BM的中點BMAD又，∴△BCM是邊三角形，PBM是邊三角形，∴⊥BM∵平面PBM⊥平面ABMD平面PBM平面ABMDBM，平面PBM，∴⊥平面ABMD，∵面ABMD，∴⊥．（2連結，∵E是的點N是的點，∴∥，∵PC

平面，EN

平面PDM∴∥平面PDM【總結升華】證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直——線面垂直——面面垂直來實現(xiàn)．因此，在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化，每一垂直的定就是從某一垂直開始轉向另一垂直，最終達到目的．【變式】如圖在四棱錐

P

中，底面

ABCD

為平行四邊形，ADC

，

AD

，

為

中點，

PO

平面

ABCD

，PO，為PD中．(證明：//面ACM；(證明：AD面；(Ⅲ)求直線

AM

與平面

ABCD

所成角的正切值．【解析】Ⅰ連

BD

，

MO

．在平行四邊形

ABCD

中，

因為

為

的中點，所以

為

BD

的中點．又M為PD的中點，所以//MO．因為PB平面，平ACM，所以平ACM．(因為

ADC45

°，且

ADAC

，所以

DAC90

°，即

ADAC

，又

P