空間中的垂直與幾何體的體積 專(zhuān)題訓(xùn)練

空中垂與何的積專(zhuān)訓(xùn)在平六體BCD,AA=AB,AB⊥BC.11111111求:AB∥平AC;11平ABB⊥平111如圖四體ABCDeq\o\ac(△,,)ABC正角,AD=CD.證:AC⊥BD;已△是角角,AB=BD,若E為棱BD與不重的,AE⊥EC,四體ABCE與面的體積1

如圖多體ABCDEF中,邊ABCD為方,2,AE=3,DE=

,

∠

且∥BD.證:面ABCD⊥面求棱A-EFC的體如圖菱ABCD對(duì)角與交點(diǎn)O,E,分別在AD上,AE=CF交于將沿EF到D'EF的位.證:AC⊥若AB=5,AC=6,AE=,OD'=,求棱的體.2

如圖四錐,∥,1,⊥面ABE,M為棱的中點(diǎn)求:線DM⊥面當(dāng)面D-ABE的體最時(shí)求四錐體.如圖在棱ABC-DEF中,面BCFE⊥面,ACB=°BE=EF=FC=1,BC=3.求:BF⊥面;求線與平ACFD成的弦值.3

如圖矩所在平與圓所在面直,是異C,D的點(diǎn).證:面AMD⊥平BMC在段上是存在P,得MC∥平?明由.如圖1),在角形ABCD中,ADBC,,AB=BC=2,AD=⊥于點(diǎn)E,△沿CE折到△D'EC的位,D'A=求:GH⊥求棱的體積

如圖2).若GH別為D'B的點(diǎn).4

參答證明(1)在平六體ABCD-ABCD中,∥AB.111111因平面AC,AB平面AB所∥面AB11111111在行面ABCD-ABC,邊為平四形.111111又為AA=AB,以邊ABBA為形,此⊥AB.11111又為AB⊥BC∥BC,1111所⊥BC.1又為AB∩BC=B,平面ABCBC?平A11所⊥平A11因平面ABBA,11所平ABB⊥平ABC.11證明取的中點(diǎn),連DO,因AD=CD所⊥DO.又于ABC是正角形所ACBO.從AC平DOB故AC⊥BD.解連由1)及設(shè)知90,所在Rt△中BO22=AB2.又AB=BD所2=BO+AO22=BD故DOB=90.由設(shè)△AEC直角三形所AC.又ABC是正角,且,所BD.故E為的點(diǎn),而E到平面的離D到平的離,四體的5

體為面ABCD的積即面與四面ACDE體之為1∶1證明∵2,AE=3,DE=∴AD平∵AD?面ABCD∴平面ABCD平EDC.

由勾定得⊥DE.又方中AD⊥DC且∩解由知cosCDE=

,接交BD作OE⊥CD于O,則OD=DE∠CDE=1,2.又(1),面⊥面EDC,面ABCD∩面EDC=CDOE?平EDC得OE面由EF∥,

知四形為行邊,即DEFG,而V,而V=V.又由EF∥BD=×2×2×2F-ADCF-ADC所,棱A-EFC的積證明由已得AC⊥BDAD=CD.又AE=CF得,∥由此⊥HDEF⊥所AC⊥HD'.解由∥得

.由AB=5,6得所OH=D'H=DH=3.

=4.于OD'+OH=

212=9=D'H

故OD'⊥OH.由1)知ACHD'又AC⊥,∩HD'=H所AC平,是⊥又由⊥,∩OH=O,6

E-ABCDE-ABCD所,⊥平面又

得五形ABCFE的面積×6×-×3所五錐的體積V=解(1)∵AE=AB,N為EB的點(diǎn),

×2

.∴ANEB.又BC⊥平面,平AEB∴BCAN.又BC∩BE=B∴⊥平面∵M(jìn)NBC,,∴AD∴四邊形ANMD為行邊,∥AN,∴DM平設(shè)EAB=θ,1,且⊥面ABE則面D-ABE的積V=×AEABθ·sinθ當(dāng)=90°即AE⊥時(shí)體最.又BC⊥平面,平AEB∴AEBC,∵BCAB=B∴⊥平ABCV×(1+××1=.證明延長(zhǎng)ADBE相交于點(diǎn)如圖示因平BCFE平且AC⊥,以AC平BCK,因⊥又為EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所△為等三形,CK的中,BF⊥CK.所BF平解因⊥面所∠是線與面ACFD所成角.7

eq\o\ac(△,S)BCeq\o\ac(△,S)BC在△BFD中BF=.弦為

,,cosBDF=

所以線BD與平ACFD所成的解(1)由設(shè)知平CMD⊥面,線因?yàn)椤?面,所⊥平故BC⊥DM.因M為

上于C,D的點(diǎn)且為徑所⊥CM.又BC∩CM=C所⊥平面BMC.而DM?平面,平AMD⊥平當(dāng)P為的點(diǎn),MC平面證如:接AC交于O.為ABCD矩,以O(shè)為中點(diǎn).連OP因P為AM中,以∥OP.MC平面PBDOP?平,以∥平證明連接BEGH,△AED'中,ED'

2+AD'可