江蘇省部分學(xué)校2022屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量評(píng)估（一）數(shù)學(xué)試題WORD版含答案

江蘇省部分學(xué)校2022屆高三第一次質(zhì)量評(píng)估（一）數(shù)學(xué)（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）2021年09月10日一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合，集合，且，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）A．В．C．D．，或2．若是純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)x的值為（）A．B．2C．2或D．以上都不對(duì)3．已知非零向量，則“”是“與共線”（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．已知，則（）A．B．C．D．5．已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)中圖象為如圖的函數(shù)可能是（）A．B．C．D．6．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為（）A．1B．2C．3D．47．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作圓的切線，交雙曲線右支于點(diǎn)M，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A．B．C．D．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)，對(duì)任意，有，則稱為F函數(shù)．給出下列函數(shù)：①；（2）；③；④是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)均有．其中F函數(shù)有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求的．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）9．下列說(shuō)法中，正確的命題有（）A．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則B．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則的值分別是和0.3C．在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越好D．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為1610．下列選項(xiàng)中，正確的是（）A．函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)B．若不等式的解集為，則C．已知，則的最小值為D．，且e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則11．已知圓，點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M引直線與圓C相切，切點(diǎn)分別為，則下列選項(xiàng)中能取到的值有（）A．2B．C．D．12．如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．B．若P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則為定值C．點(diǎn)A到平面的距離為D．過(guò)作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．________．14．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______．15．函數(shù)在點(diǎn)處的切線記為，直線及x軸圍成的三角形的面積記為，則________．16．設(shè)函數(shù)．若，則的最大值為_(kāi)______；若有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求A；（2）若的面積為3，求的周長(zhǎng)．18．某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的分期付款期數(shù)的分布列為12345P0.30.150.150.20.2商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為150元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為200元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為250元．設(shè)X表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn)．（1）記事件A為“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”，求；（2）求X的分布列及期望．19．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的通項(xiàng)公式．20．在如圖所示的幾何體中，四邊是矩形，，四邊形等梯形，，且平面平面．（1）過(guò)與平行的平面與交于點(diǎn)G．求證：G為的中點(diǎn)；（2）求二面角的正弦值．21．已知拋物線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，該橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，若直線與x軸，橢圓順次交于（P點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè)），且與互補(bǔ)，求面積S的最大值．22．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．1．答案：A解析：由題意知集合，對(duì)于方程，解得．因?yàn)?，則．①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，成立；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，解得．綜上所述，a的取值集合為．故選A．2．答案：B解析：若是純虛數(shù)，則，解得：，故選B．3．答案：C解析：因是非零向量，若，則有，即或，即與共線，若與共線，則或，即得，于是有，所以“”是“與共線”的充要條件．故選：C．4．答案：B解析：由題意可得：，則，從而有：，即．故選B．5．答案：D解析：對(duì)于A：，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對(duì)于B：，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對(duì)于C：，則，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，排除C．故選D．6．答案：B解析：由圖可知，即，所以．由五點(diǎn)法可得，即．所以．因?yàn)?，所以由，得或．因?yàn)椋詽M足題意的最小正整數(shù)x為2，故選B．7．答案：C解析：如圖，作于點(diǎn)于點(diǎn)B，因?yàn)榕c圓相切，所以，在中，，所以．又點(diǎn)M在雙曲線上，由雙曲線的定義可得：所以，整理得：，所以，所以雙曲線的漸近線方程為．故選C．8．答案：B解析：對(duì)于①，，顯然不成立，故其不是F函數(shù)；對(duì)于②，，由于時(shí)，不成立，故不是F函數(shù)；對(duì)于③，，故對(duì)意的，都有，故其是F函數(shù)；對(duì)于④，是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)均有，令，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，，故有，顯然是F函數(shù)，故選B．9．答案：BC解析：對(duì)于A，因，且，于是得，A不正確；對(duì)于B，由得，依題意得，即，B正確；對(duì)于C，在做回歸分析時(shí)，由殘差圖表達(dá)的意義知，C正確；對(duì)于D，依題意，的方差為，D不正確．故選BC．10．答案：BCD解析：對(duì)于選項(xiàng)A：令，得，所以，所以函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：由不等式的解集可得和3是方程的兩根，由韋達(dá)定理得，解得，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由，利用基本不等式可求得最小值為，知A正確；對(duì)于選項(xiàng)D：令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，從而，故D正確．故選BCD．11．答案：BC解析：如圖，連接，題意，，而，而，則垂直平分線段，于是得四邊形面積為面積的2倍，從而得，即，設(shè)點(diǎn)，而，則，即，所以，即，得，所以的取值范圍為．故選BC．12．答案：ABD解析：對(duì)于選項(xiàng)A：連結(jié)，正方體中，，而分別為棱，的中點(diǎn)，則，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)與的夾角為，由上圖可知，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：連接，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為d，由得，又，則，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：連接交于點(diǎn)F，則F是的中點(diǎn)．正方體外接球球心是正方體對(duì)角線，的中點(diǎn)O，半徑．由對(duì)稱性知過(guò)作該正方體外接球的截面，所得截面的面積最小的圓是以所在的弦為直徑的截面圓，即截面圓圓心為F．易得．．故截面圓半徑．此時(shí)截面圓面積為，故D正確．故選ABD．13．答案：解析：，．14．答案：解析：設(shè)圓錐的高為h，母線長(zhǎng)為，則，所以，所以圓錐的側(cè)面積．15．答案：解析：因?yàn)?，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以切線方程為，即的方程為，令，得，所以，令，得，由得，直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線及x軸圍成的三角形的面積為，所以，則．16．答案：解析：（1）若，易得；（2）由可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，令可得或或，，作出和的圖象如圖：當(dāng)時(shí)，時(shí)無(wú)零點(diǎn)，時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)共有兩個(gè)零點(diǎn)不符合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)無(wú)零點(diǎn)，此時(shí)共有兩個(gè)零點(diǎn)不符合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)無(wú)零點(diǎn)，此時(shí)共有三個(gè)零點(diǎn)不符合題意；綜上所述：若有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．17．答案：（1）；（2）6．解析：（1）因?yàn)樗?，所以?分因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以?分（未寫(xiě)，扣1分）（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得．7分由余弦定理，得，所以，所以．所以的周長(zhǎng)為6．10分18．答案：（1）0.657；（2）分布列見(jiàn)解析，205元．解析：（1）由題意知，事件A：“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的對(duì)立事件是事件：“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款”．因?yàn)?，所以?分（2）X可能取值為．，，．X的分布列為X150200250P0.30.30.49分故期望（元）．12分19．解析：（1）將代入，得，整理得．當(dāng)時(shí)，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差等差數(shù)列．5分所以．7分（2）由（1）得，代入，可得．當(dāng)時(shí)，；8分當(dāng)時(shí)，11分所以．12分20．答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）．解析：（1）證明：連接交于點(diǎn)為矩形，則H為中點(diǎn)，連接．因?yàn)槠矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以?分所以G為的中點(diǎn)．4分（2）在平面上作，垂足為O，由于平面為等腰梯形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，所以平面，在平面中，作，交于M，所以，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．6分則．設(shè)．因?yàn)?，所以，即，所以，解得．設(shè)平面的法向量為，而，由得，令，解得．所以，7分由于，所以，又，所以平面，所以為平面的法向量，8分，10分所以二面角的正弦值為．12分21．答案：（1）．（2）．解析：（1）由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)為，橢圓的半焦距，1分又橢圓的離心率為，即，2分，即，3分橢圓的方程為．4分（2）設(shè)，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡(jiǎn)整理，可得，由韋達(dá)定理，可得，6分且，可得．7分與互補(bǔ)，，，化簡(jiǎn)整理，可得．將代入，可得，所以，解得，的方程為．9分由點(diǎn)到直線的距離，，10分由題可得，，即，設(shè)，令，，由均值不等式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，等號(hào)成立，當(dāng)取最小值時(shí)，取最大值，即面積S最大，，面積S最大值為．12