復變函數(shù)第二章解析函數(shù)

復變函數(shù)第二章解析函數(shù)第一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五§2.1復變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性第二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五1.復變函數(shù)的定義

2.映射的概念

3.反函數(shù)或逆映射復變函數(shù)的概念第三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五1.復變函數(shù)的定義—與實變函數(shù)定義相類似

定義2.1設E是復平面上的點集,若對任何z=x+iyE,都存在一個或幾個復數(shù)w=u+iv和z對應,則稱在E上確定了一個復變函數(shù)，用w=f(z)表示.

E稱為該函數(shù)的定義域.第四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五該函數(shù)的值域為：第五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五例1例2實部等于實部虛部等于虛部第六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五oxy(z)Eouv(w)Gw=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：2.映射的概念——復變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)w第七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五

以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。

在復變函數(shù)中用兩個復平面上點集之間的對應關系來表達兩對變量u，v

與x，y

之間的對應關系，以便在研究和理解復變函數(shù)問題時，可借助于幾何直觀.復變函數(shù)的幾何意義是一個映射（變換）第八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五例3解—關于實軸對稱的一個映射見圖1-1~1-2—旋轉(zhuǎn)變換(映射)見圖2例4解第九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o圖1-1圖1-2圖2uv(w)o第十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4第十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五3.反函數(shù)或逆映射例設z=w2

則稱為z=w2的反函數(shù)或逆映射∴為多值函數(shù),2支.定義設w=f(z)的定義集合為E，函數(shù)值集合為G，那么則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數(shù)（逆映射）.第十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五1.函數(shù)的極限

2.相關定理

3.函數(shù)的連續(xù)性復變函數(shù)的極限與連續(xù)性第十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五

定義2.2設復變函數(shù)w=f(z)在z0的某個去心鄰域內(nèi)有定義,A是復常數(shù).若對任意給定的e>0,存在d>0,使得對一切滿足0<|z-z0|<d的z,都有成立,則稱當z趨于z0時,f(z)以A為極限，并記做或注意:定義中zz0的方式是任意的.復變函數(shù)的極限第十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五幾何意義uv(w)oAxy(z)o幾何意義:

當變點z一旦進入z0

的充分小去心鄰域時,它的象點f(z)就落入A的一個預先給定的ε鄰域中第十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五

相關定理復變函數(shù)極限與其實部和虛部極限的關系：定理2.1第十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五定理2.2

以上定理用極限定義證!第十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五例1例2例3第十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五函數(shù)的連續(xù)性定義2.3第十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五例4證明f(z)=argz在原點及負實軸上不連續(xù)。證明xy(z)ozz第二十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五定理2.5設則f(z)在處連續(xù)的充分必要條件是都在點連續(xù).

定理2.3連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)

仍為連續(xù)函數(shù);

定理2.4

連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。第二十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五有界性：第二十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五§2.2

解析函數(shù)的概念第二十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五一、復變函數(shù)的導數(shù)1、導數(shù)的定義

定義2.4設是定義在區(qū)域D上的存在，則稱在點可導,并把這個極限值稱為在點的導數(shù)，記做復變函數(shù),z0是區(qū)域D內(nèi)的定點.若極限第二十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五

定義中的極限式可以寫為即當在點可導時,注意的方式是任意的.第二十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五

此時，對D內(nèi)任意一點z,有也可用等表示在z點的導數(shù).若在區(qū)域D內(nèi)每一點都可導,則稱在區(qū)域D內(nèi)可導.第二十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五則例1設在復平面內(nèi)處處可導，且解因為所以第二十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五例2證明在復面內(nèi)處處連續(xù)，但處處不可導.證明對復平面內(nèi)任意點z,有故這說明在復面內(nèi)處處連續(xù).第二十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五但是,設沿著平行于x軸的方向趨向于0,即于是第二十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五所以的導數(shù)不存在.設沿著平行于y軸的方向趨向于0,即第三十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五2、可導與連續(xù)的關系

函數(shù)f(z)在z0處可導，則在z0處一定連續(xù),但函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)不一定在z0處可導.

事實上,由f(z)在z0點可導,必有).()()()(

000zfzzfzzfz￠-D-D+=Dr令第三十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五

,)()(lim000zfzzfz=D+?D所以再由即在處連續(xù).

反之,由知,不可導.但是二元實函數(shù)連續(xù),于是根據(jù)知,函數(shù)連續(xù).第三十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五3、求導法則

由于復變函數(shù)中導數(shù)的定義與一元實函數(shù)導數(shù)的定義在形式上完全一致，同時，復變函數(shù)中的極限運算法則也和實函數(shù)中一樣，因而實函數(shù)中的求導法則可推廣到復變函數(shù)中，且證明方法相同.求導公式與法則:(1)其中c為復常數(shù).(2)其中n為正整數(shù).第三十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五其中其中與是兩個互為反函數(shù)的單值函數(shù),且第三十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五二、解析函數(shù)

定義2.5

在區(qū)域D內(nèi)有定義.(1)設,若存在的一個鄰域，使得在此鄰域內(nèi)處處可導,則稱在處解析,也稱是的解析點.(2)若在區(qū)域D內(nèi)每一點都解析，則稱在區(qū)域D內(nèi)解析,或者稱是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù).第三十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五(3)設G是一個區(qū)域，若閉區(qū)域且在G內(nèi)解析，則稱在閉區(qū)域上解析.函數(shù)在處解析和在處可導意義不同，前者指的是在的某一鄰域內(nèi)可導,但后者只要求在處可導.函數(shù)在處解析和在的某一個鄰域內(nèi)解析意義相同.第三十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五

復變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在該區(qū)域內(nèi)可導是等價的.

事實上，復變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析顯然在該區(qū)域內(nèi)可導.

反之,設函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)可導,則對任意存在z的某一個鄰域U,使得UD,由在D內(nèi)可導,可知在U內(nèi)可導,即在z處解析.第三十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五若函數(shù)在處不解析，則稱是的奇點.若是的奇點,但在的某鄰域內(nèi),除外,沒有其他的奇點，則稱是函數(shù)的孤立奇點.

由例1和例2知,函數(shù)是全平面內(nèi)的解析函數(shù)，但是函數(shù)是處處不解析的連續(xù)函數(shù).第三十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五根據(jù)求導法則，很容易得到下面的結(jié)論.定理2.6

設函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析,則也在D內(nèi)解析.當時,是的解析點.特別地,多項式P(z)在全平面內(nèi)解析,有理分式在復平面內(nèi)除分母為零的點之外解析,分母為零的點是有理分式的孤立奇點.第三十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五

例3證明在處可導,但處處不解析.證明:根據(jù)導數(shù)的定義,因此在處可導，且當時,由得第四十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五故雖然但是當z分別從平行于x,y軸方向趨于z0時，分別以1和-1為極限，因此不存在.又因為所以不存在，即在時不可導,從而在復平面內(nèi)處處不解析.第四十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五§2.3復函數(shù)可導與解析的充要條件第四十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五

如果復變函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內(nèi)處處可導，則函數(shù)w=f(z)在D內(nèi)解析。

本節(jié)從函數(shù)u(x,y)及v(x,y)的可導性，探求函數(shù)w=f(z)的可導性，從而給出判別函數(shù)解析的一個充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導方法。問題如何判斷函數(shù)的解析性呢？第四十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五一.解析函數(shù)的充要條件第四十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五第四十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五第四十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五

記憶定義2.6對于二元實函數(shù)u(x,y)和v(x,y)，方程稱為柯西-黎曼方程(簡稱C-R方程).第四十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五定理2.7設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有定義，則f(z)在點z=x+iy∈D處可導的充要條件是（1）u(x,y)和v(x,y)在點(x,y)可微；（2）u(x,y)，v(x,y)在點(x,y)滿足柯西-黎曼方程上述條件滿足時，有第四十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五

由此可以看出可導函數(shù)的實部與虛部有密切的聯(lián)系.當一個函數(shù)可導時,僅由其實部或虛部就可以求出導數(shù)來.

利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導的.

定理2.7的證明略。由解析函數(shù)的定義2.5及定理2.7，我們可以得到定理2.8.第四十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五定理2.8

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是（1）u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微（2）u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程第五十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五解析函數(shù)的判定方法:(1)如果能夠用求導公式或求導法則驗證復變函數(shù)f(z)的導數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處存在,則可直接斷定f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析.(2)如果復變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函數(shù)u(x,y)和v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)各個一階偏導數(shù)連續(xù)

(因而u(x,y)和v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可微),并且滿足柯西-黎曼方程,則由解析函數(shù)的充要條件可以斷定函數(shù)f(z)在區(qū)域D解析.（P28推論2.1）第五十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五判定復變函數(shù)可導性與解析性的步驟：I)判別u(x,y)，v(x,y)偏導數(shù)的連續(xù)性；II)驗證C-R方程；III）根據(jù)推論2.1或定義2.5判斷函數(shù)的解析性。

前面我們常把復變函數(shù)看成是兩個實函數(shù)拼成的,但是求復變函數(shù)的導數(shù)時要注意,并不是兩個實函數(shù)分別關于x,y求導簡單拼湊成的.復變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在可導點處的導數(shù)為第五十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五二.舉例例1

判定下列函數(shù)在何處可導，在何處解析：解(1)設z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y

則第五十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)則u=excosy,v=exsiny第五十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五僅在點z=0處滿足C-R方程，故(3)設z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0則第五十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五解由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,

所以當且僅當x=y=0時,因而函數(shù)僅在z=0可導,但在復平面內(nèi)任何地方都不解析.例2

判斷下列函數(shù)在何處可導,在何處解析:第五十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五例3

設其中a,b,c,d是常數(shù)，問它們?nèi)『沃禃r,函數(shù)f(z)在復平面上解析.解：顯然，在全平面可微，且第五十七頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五容易看出,當時,函數(shù)滿足柯西-黎曼方程,這時函數(shù)

在全平面解析.第五十八頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五§2.4初等函數(shù)第五十九頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五

本節(jié)將實變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)推廣到復變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的性質(zhì)，并說明它的解析性。內(nèi)容簡介第六十頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五1.指數(shù)函數(shù)

2.對數(shù)函數(shù)

3.冪函數(shù)

4.三角函數(shù)第六十一頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五一.指數(shù)函數(shù)它與實變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：定義第六十二頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五第六十三頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五

這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所沒有的。第六十四頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五

例1例2例3第六十五頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五二.對數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，(1)對數(shù)的定義第六十六頁，共八十四頁，編輯于2023年，星期五當k=0時，為Lnz的一單值函數(shù)，稱為Lnz的主值。故第六十七頁，共八十四頁，編輯于2