陳培武-光學(xué)膜系的最優(yōu)化設(shè)計(jì)及其算法

PAGEPAGE1中山大學(xué)碩士學(xué)位論文光學(xué)膜系的最優(yōu)化設(shè)計(jì)及其算法AlgorithmsforOptimalDesignofOpticalCoatings專業(yè)：計(jì)算機(jī)技術(shù)作者：陳培武導(dǎo)師：李磊教授論文答辯委員會(huì)（簽名）主席：委員：二○○五年五月光學(xué)膜系的最優(yōu)化設(shè)計(jì)及其算法計(jì)算機(jī)技術(shù)碩士生：陳培武指導(dǎo)教師：李磊教授摘要光學(xué)膜系不僅是現(xiàn)代光學(xué)儀器與光子學(xué)器件的重要組成部分，而且在光通信尤其是波分復(fù)用光通信系統(tǒng)中有重要應(yīng)用。本論文研究光學(xué)膜系的最優(yōu)化設(shè)計(jì)及其算法，主要包括以下內(nèi)容與結(jié)果：1．研究了經(jīng)典最優(yōu)化方法中的單純形方法在光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)上的應(yīng)用，并計(jì)算了具有5層光學(xué)薄膜的近紅外波段高反膜系以及相當(dāng)于一個(gè)短波通干涉截止濾光器的具有17層光學(xué)薄膜的紅膜系的優(yōu)化問題。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，單純形最優(yōu)化方法不僅適用于光學(xué)膜系的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，且對(duì)初始參數(shù)的要求并不很苛刻，即使在初始膜系的光譜性質(zhì)與設(shè)計(jì)目標(biāo)相差頗遠(yuǎn)時(shí)仍能得到較好結(jié)果。2．在標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的基礎(chǔ)上提出以實(shí)數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法，并實(shí)現(xiàn)了其計(jì)算機(jī)程序。該算法同時(shí)具有實(shí)數(shù)編碼的簡(jiǎn)易性與整體模擬退火遺傳算法的全局快速收斂性等優(yōu)點(diǎn)，是求解全局最優(yōu)化問題的一種有效方法。以該算法成功優(yōu)化了在波長(zhǎng)400～1100nm范圍內(nèi)高透的一個(gè)光學(xué)膜系，驗(yàn)證了其對(duì)于光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的有效性。3．實(shí)現(xiàn)了以Needle方法自動(dòng)合成設(shè)計(jì)光學(xué)膜系的計(jì)算機(jī)程序，并從簡(jiǎn)單的膜系結(jié)構(gòu)出發(fā)，合成設(shè)計(jì)了在可見光波長(zhǎng)范圍內(nèi)減反的一個(gè)光學(xué)膜系，證明了該方法及其程序的有效性；討論了Needle方法的優(yōu)越性與局限性及其改進(jìn)方法。本論文所研究的算法與所實(shí)現(xiàn)的計(jì)算機(jī)程序，有助于在理論上研究和優(yōu)化設(shè)計(jì)光學(xué)膜系從而為在實(shí)驗(yàn)上制備和應(yīng)用光學(xué)膜系提供依據(jù)。關(guān)鍵詞:最優(yōu)化設(shè)計(jì)、光學(xué)膜系、單純形方法、遺傳算法、Needle方法、計(jì)算機(jī)程序、光通信、波分復(fù)用、濾光器。參考文獻(xiàn)…………………(58)附錄A單純形方法優(yōu)化光學(xué)膜系程序……………(61)附錄B：實(shí)數(shù)編碼整體模擬退火遺傳算法優(yōu)化光學(xué)膜系程序…(68)附錄C：Needle方法自動(dòng)合成設(shè)計(jì)光學(xué)膜系程序………………(72)致謝………………………(80)原創(chuàng)性聲明………………(81)第1章引言1.1光通信的發(fā)展現(xiàn)狀隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的廣泛應(yīng)用與互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展，從傳統(tǒng)文檔的存取與傳遞、工業(yè)自動(dòng)化與CAD/CAM的推廣、醫(yī)用圖像的檢索、傳媒與娛樂業(yè)的多媒體文件處理和傳遞、電子商務(wù)的日益普及，乃至軍事信息技術(shù)的應(yīng)用等等，都需要通過通用或?qū)＞€通信網(wǎng)絡(luò)來快速傳輸數(shù)據(jù)，特別是傳輸包含圖像數(shù)據(jù)的多媒體文件所要求的帶寬比傳統(tǒng)的語音傳輸要大得多，因此對(duì)通信網(wǎng)絡(luò)的帶寬、可靠性和抗干擾性都提出了越來越高的要求，而網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)的發(fā)展反過來又促使世界通信業(yè)發(fā)生了重大的變革。據(jù)統(tǒng)計(jì)，語音傳輸?shù)陌l(fā)展速率大概是年增長(zhǎng)率3％～5％，而數(shù)據(jù)傳輸?shù)哪暝鲩L(zhǎng)速率則高至30％～50％。目前發(fā)展最快、應(yīng)用最廣的通信網(wǎng)絡(luò)技術(shù)是光纖網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，它可以提供低價(jià)格、高帶寬的網(wǎng)絡(luò)服務(wù)以滿足互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)傳輸?shù)囊蟆，F(xiàn)在，數(shù)據(jù)通信量的增長(zhǎng)已超過了主干網(wǎng)容量的增長(zhǎng)，許多主干網(wǎng)建設(shè)商的光纜利用率幾乎達(dá)到100％[1]。光纖技術(shù)應(yīng)用于通信已經(jīng)過了近30年的發(fā)展歷史，迄今已有第四代光纖通信網(wǎng)投入使用。與傳統(tǒng)的電纜、無線電等通信介質(zhì)或方式相比，光纖傳輸具有信息容量大、中繼距離長(zhǎng)、不受電磁干擾、保密性能好和使用輕便等明顯的優(yōu)點(diǎn)?？赏ㄟ^粗略估算單根光纖的帶寬看出光通信與傳統(tǒng)的電通信的巨大差異：當(dāng)光纖去除掉波長(zhǎng)1.385m處水中OH根離子的吸收峰后，從1.260～1.625m波長(zhǎng)范圍內(nèi)共有365nm帶寬的資源，按對(duì)應(yīng)頻率寬度10％估算，單根光纖大致有50THz的帶寬，假定50THz帶寬可以提供1000個(gè)波長(zhǎng)的信道，每個(gè)波長(zhǎng)帶寬為40GB/s，則每根光纖總帶寬可高達(dá)40TB/s。顯然，這是傳統(tǒng)的電通信所遠(yuǎn)遠(yuǎn)無法達(dá)到的。光纖傳輸為解決通信帶寬瓶頸問題提供了出路。隨著其制造技術(shù)的進(jìn)步，光纖與其它光學(xué)器件的價(jià)格逐年下降，應(yīng)用范圍也不斷擴(kuò)展。光纖傳輸不僅在高速率、長(zhǎng)距離的骨干網(wǎng)上得到了廣泛應(yīng)用，而且在終端用戶接入網(wǎng)方面的應(yīng)用也逐年擴(kuò)大[2]。光纖通信產(chǎn)業(yè)方興未艾，其旺盛的生命力令人振奮。但是，隨著網(wǎng)絡(luò)通信量的急速增長(zhǎng)，連接網(wǎng)絡(luò)的光纖的傳輸容量也隨著急劇暴漲。面對(duì)帶寬要求的不斷提高，如何在一根光纖上傳輸更大的帶寬是需要迫切解決的問題。解決辦法之一是提高字節(jié)傳輸率。應(yīng)用“時(shí)分復(fù)用(TimeDivisionMultiplex，略為TDM)技術(shù)”，目前已達(dá)到的字節(jié)傳輸率為2.5GB/s(OC-48)與10GB/s(OC-192)，最新的進(jìn)展是40GB/s(OC-768)。但是，隨著速度的提高，電子線路的復(fù)雜程度、投資費(fèi)用以及維護(hù)費(fèi)用也相應(yīng)增長(zhǎng)。同時(shí)，還存在光纖色散、偏振色散以及非線性效應(yīng)等光學(xué)現(xiàn)象的限制。盡管時(shí)分復(fù)用技術(shù)是提高字節(jié)傳輸率的有效方法，但它也明顯存在缺點(diǎn)：由于是分時(shí)地提取每個(gè)信道的信號(hào)，即使某一路沒有信號(hào)變化也要等待，因而效率不高。雖然這已通過異步傳輸模式(AsynchronousTransferMode，略為ATM)得到一定程度的改進(jìn)，但是ATM的速度照樣也受到電子速度的限制[3]。提高光纖傳輸帶寬的另一種效率更高的方法為“波分復(fù)用(WavelengthDivisionMultiplex，略為WDM)技術(shù)”，是通過在一根光纖內(nèi)傳輸不同波長(zhǎng)的信號(hào)而實(shí)現(xiàn)帶寬的提高的。應(yīng)用WDM技術(shù)后，可以提高帶寬至少16～32倍。WDM技術(shù)的典型情形是在同一根光纖內(nèi)傳輸40個(gè)不同波長(zhǎng)(最高可達(dá)到128～160個(gè)波長(zhǎng))的信號(hào)[4]。1.2波分復(fù)用技術(shù)波分復(fù)用(WDM)技術(shù)的基本思路是，在一根光纖上同時(shí)傳輸多個(gè)光源信號(hào)，而這些信號(hào)的發(fā)送波長(zhǎng)是適當(dāng)錯(cuò)開的，以此達(dá)到增大光纖通信系統(tǒng)的信息傳輸容量的目的。二十世紀(jì)八十年代末期，早期的波分復(fù)用技術(shù)采用1.310m和1.550m兩個(gè)波長(zhǎng)(或0.850m和1.310m)進(jìn)行波分復(fù)用(WidebandWDM)。九十年代早期實(shí)現(xiàn)了2～8個(gè)波長(zhǎng)的波分復(fù)用(NarrowbandWDM)，其波長(zhǎng)間隔現(xiàn)在在1.550m窗口處大概是400GHz。九十年代中期，密集波分復(fù)用(DenseWDM，即DWDM)系統(tǒng)可傳輸16～40個(gè)波長(zhǎng)，信號(hào)間隔為100～200GHz。至九十年代末期，波長(zhǎng)信道更增加到64～160個(gè)，信號(hào)間隔達(dá)到50GHz甚至是25GHz[4]。圖1-1是骨干網(wǎng)中波分復(fù)用系統(tǒng)的簡(jiǎn)要示意圖[5]。通過串置不同中心波長(zhǎng)的單通道濾光片，可以在WDM系統(tǒng)的解復(fù)用端(WDMDemux)，將同一條光纖中的不同的波長(zhǎng)從其所對(duì)應(yīng)的通道中輸出。根據(jù)光路可逆性原理，單通道濾光片的串置結(jié)構(gòu)也可實(shí)現(xiàn)在復(fù)用端(WDMMux)把不同波長(zhǎng)耦合進(jìn)同一條光纖。WDM中的分波、合波過程如圖1-2所示[6]。圖1-1圖1-1波分復(fù)用WDM系統(tǒng)示意圖圖1-2圖1-2波分復(fù)用WDM的分波與合波示意圖為提高信息系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸量，降低系統(tǒng)成本，節(jié)約光纖的鋪設(shè)投資和設(shè)備，近年來新發(fā)展的波分復(fù)用技術(shù)，使光通信系統(tǒng)向二維的方向發(fā)展，這種新的WDM技術(shù)又稱單纖多端(雙向)技術(shù)，即在同一根光纖內(nèi)傳輸不同頻率的上行與下行光波。圖1-3為一個(gè)單纖雙向WDM系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖[7]，其中，上行信號(hào)利用1.310m光載波，下行信號(hào)使用1.550m光載波。光通信網(wǎng)絡(luò)的未來發(fā)展趨勢(shì)是全光網(wǎng)絡(luò)。全光網(wǎng)絡(luò)是指用戶與用戶之間的信號(hào)傳輸和交換過程全部采用光技術(shù)，即數(shù)據(jù)從源節(jié)點(diǎn)至目的節(jié)點(diǎn)的傳輸過程都是在光域內(nèi)進(jìn)行的。在全光網(wǎng)絡(luò)中，無需對(duì)信號(hào)進(jìn)行電處理，因此允許存在各種不同的協(xié)議和編碼形式，信號(hào)的傳輸具有透明性。全光網(wǎng)絡(luò)還具有大帶寬、高可靠性與低成本等顯著優(yōu)勢(shì)。全光網(wǎng)絡(luò)的核心技術(shù)是密集波分復(fù)用(DWDM)、光交叉連接(OXC)與光分插復(fù)用(OADM)技術(shù)[8]。圖1-3圖1-3波分單纖雙向WDM系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖1.3光學(xué)薄膜型波分復(fù)用器件在WDM網(wǎng)絡(luò)中，實(shí)現(xiàn)分波、合波、耦合、分路和光分插等功能的器件主要有光纖布拉格光柵(FiberBraggGrating)、陣列波導(dǎo)光柵(ArrayWaveGuide)以及薄膜濾光片(ThinFilmFilter)等三種[9]。其中，光纖Bragg光柵具有濾波形狀良好的優(yōu)點(diǎn)，當(dāng)使用帶通濾波器時(shí)具有高隔絕、低插損等良好的光學(xué)特性，而且投資成本低，但需要光環(huán)型器或馬赫-曾特爾(Mach-Zehnder)干涉儀，不適合于寬頻帶的應(yīng)用，成本上受限于頻道數(shù)；陣列波導(dǎo)光柵具有發(fā)展高密度頻道間隔的短制作時(shí)間、高頻道數(shù)及大小壓縮的相對(duì)低插損、整合其他功能的潛力以及成本上不受限于頻道數(shù)等優(yōu)點(diǎn)，但其濾波形狀差、非相鄰頻道雜訊高、易受溫度影響以及投資成本高等缺點(diǎn)；薄膜濾光片具有頻道數(shù)與不規(guī)則波長(zhǎng)的可選擇彈性，具有高隔絕、低插損與良好的偏振效應(yīng)等光學(xué)特性，溫度穩(wěn)定性好，是寬頻帶應(yīng)用的唯一選擇，但需要較長(zhǎng)的時(shí)間發(fā)展以需要高密度頻道間隔的濾波器，成本也取決于頻道數(shù)。目前，在WDM網(wǎng)絡(luò)中真正大量使用的是光學(xué)介質(zhì)薄膜型器件。這主要是因?yàn)楸∧V光片本身具有良好的光學(xué)性能、較高的穩(wěn)定性以及低廉的生產(chǎn)成本等優(yōu)點(diǎn)。介質(zhì)薄膜濾波器型WDM器件是由介質(zhì)薄膜濾光片與微光學(xué)元件以及尾纖組裝在一起構(gòu)成的，其核心部件是介質(zhì)薄膜濾光片，后者的作用是允許一個(gè)特定通道波長(zhǎng)的光波透過而同時(shí)反射其他波長(zhǎng)的光波。這種器件一般具有很好的溫度穩(wěn)定性(溫度系數(shù)<0.002nm/℃)，對(duì)偏振特性不敏感，且插入損耗低[10]。基于薄膜濾光片的光學(xué)器件的用途包括多信道復(fù)用與解復(fù)用器以及光分插復(fù)用器上的應(yīng)用，導(dǎo)引和處理光信號(hào)，以及在增益平坦、頻帶分割、C通道和L通道的分離以及泵浦光的合波等方面的廣泛應(yīng)用。光學(xué)薄膜元器件由于可很好地解決中心波長(zhǎng)漂移的問題，插損小、封裝易、隔離度高，以及性能價(jià)格比優(yōu)越，已廣泛應(yīng)用于光通信領(lǐng)域，尤其是在100GHz與200GHz密集波分復(fù)用系統(tǒng)市場(chǎng)?，F(xiàn)在，光通信的分波、合波、光放大、色散和非線性克服技術(shù)、節(jié)點(diǎn)技術(shù)(即光OXC與OADM技術(shù))、網(wǎng)絡(luò)監(jiān)測(cè)，以及控制和管理技術(shù)等均已離不開光學(xué)薄膜技術(shù)[11]。而且，利用光學(xué)薄膜技術(shù)可以極大改善用于光通信的一些光無源器件的性能，如自聚焦透鏡、薄膜起偏分束器、熱擴(kuò)束光纖光隔離器，以及光纖尾纖、光纖耦合透鏡、光隔離器、位相延遲片與用于光環(huán)形器的小尺寸偏振分光棱鏡等等的鍍膜。另外值得一提的是，在最近發(fā)展起來的應(yīng)用于城域網(wǎng)的粗波分復(fù)用(CWDM,CoarseWDM)網(wǎng)絡(luò)與應(yīng)用于骨干網(wǎng)的密集波分復(fù)用(DWDM)網(wǎng)絡(luò)中，薄膜濾光片技術(shù)是迄今唯一的具有實(shí)用價(jià)值的選擇。1.4光學(xué)薄膜技術(shù)1.4.1光學(xué)薄膜的發(fā)展歷史與研究現(xiàn)狀光學(xué)薄膜是現(xiàn)代光學(xué)儀器與光學(xué)器件的重要組成部分，通過在各種光學(xué)材料的表面鍍制一層或多層薄膜，利用光的干涉效應(yīng)來改變透射光或反射光的光強(qiáng)、偏振狀態(tài)和相位變化。光學(xué)薄膜可以鍍制在光學(xué)塑料、光纖、光學(xué)玻璃和晶體等各種材料表面，其厚度一般為幾個(gè)nm(109m)到幾十甚至上百個(gè)m(106m)。光學(xué)薄膜的牢固性、光學(xué)穩(wěn)定性都可達(dá)到相當(dāng)好的程度，其成本又比較低廉。由于是鍍制于光學(xué)材料的表面，光學(xué)薄膜幾乎不增加材料的體積和重量，因此是改變光學(xué)儀器與器件的光學(xué)性質(zhì)的首選方法，甚至可以說沒有光學(xué)薄膜就沒有現(xiàn)代的各種光學(xué)儀器和光學(xué)器件。在200多年的發(fā)展過程中，在光學(xué)薄膜方面已形成了一套完整的理論，即薄膜光學(xué)；同時(shí)，也發(fā)展了自成體系的膜系設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)并制造了各類光學(xué)薄膜。光學(xué)薄膜從功能上可分為減反膜、分光膜、高反膜、截止濾光片和帶通濾光片等；從薄膜性質(zhì)上可分為均勻介質(zhì)薄膜和非均勻介質(zhì)薄膜；從應(yīng)用波段上可分為X射線薄膜、紫外薄膜、可見光薄膜和紅外薄膜等等。光學(xué)薄膜概念最早萌芽于十七世紀(jì)“牛頓(Newton)環(huán)”的發(fā)現(xiàn)[12]，1801年的“楊(Young)氏干涉”實(shí)驗(yàn)圓滿解釋了光學(xué)薄膜現(xiàn)象。自1899年以來，法布里-珀羅(Fabry-Perot)標(biāo)準(zhǔn)具一直是帶通濾光片的基本結(jié)構(gòu)形式。麥克斯韋(Maxwell)出版于1873年的巨著《電磁通論[13]，從理論上和本質(zhì)上證明了光是電磁波，為波動(dòng)光學(xué)的發(fā)展，也為薄膜光學(xué)的發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ)。從二十世紀(jì)四十年代開始，薄膜光學(xué)進(jìn)入全面發(fā)展時(shí)期，各種薄膜光學(xué)理論和膜系計(jì)算方法相繼提出。六十年代以后，隨著激光技術(shù)、光譜學(xué)技術(shù)和空間技術(shù)等的飛速發(fā)展，對(duì)光學(xué)薄膜提出了更高的要求。同時(shí)，電子計(jì)算機(jī)與計(jì)算科學(xué)的應(yīng)用，使光學(xué)薄膜的計(jì)算與分析有了銳利的工具，因此推動(dòng)了光學(xué)薄膜的飛速發(fā)展。進(jìn)入九十年代，光通信技術(shù)的迅猛發(fā)展與產(chǎn)業(yè)化，對(duì)光學(xué)薄膜的發(fā)展起了很大的推動(dòng)作用，對(duì)光學(xué)薄膜的設(shè)計(jì)與制備也提出了越來越高的要求。比如波分復(fù)用中的帶通濾光片，通帶的寬度對(duì)一個(gè)100GHz的濾光片而言僅0.4nm左右，并且矩形濾波要求頗高，同時(shí)也對(duì)通帶內(nèi)的群延(GroupDelay)提出了一定的要求。摻鉺光纖放大器的增益補(bǔ)償濾光片要求在C波段40nm左右的范圍內(nèi)須達(dá)到一特定的透過率曲線，這也是光學(xué)薄膜從未遇到過的要求。在數(shù)據(jù)傳輸率提高時(shí)，比如達(dá)到40GB/s時(shí)，色散補(bǔ)償濾光片的性能顯得非常關(guān)鍵。由于高頻激光產(chǎn)生的超短脈沖在光學(xué)薄膜中引起的瞬態(tài)效應(yīng)，需要新的光學(xué)薄膜設(shè)計(jì)方法，因?yàn)榇藭r(shí)要求光學(xué)薄膜能夠提高脈沖的矩形度甚至使得脈沖的頻率更高[14]。總的說，就是要求對(duì)膜系光學(xué)特性的波長(zhǎng)定位更為準(zhǔn)確，比如達(dá)到1nm甚至0.1nm以下，同時(shí)也要求薄膜的厚度越來越大，比如一個(gè)50GHz的波分復(fù)用濾光片，需要做到光學(xué)厚度60m以上，而放大器增益補(bǔ)償濾光片的光學(xué)厚度也可達(dá)到30～40m。在光學(xué)儀器(器件)和光電設(shè)備中，光學(xué)薄膜技術(shù)是不可缺少的關(guān)鍵技術(shù)。在光通信技術(shù)中，光學(xué)薄膜在改進(jìn)光鏈路的耦合效率、補(bǔ)償器件的色散、減少器件的插入損耗等方面起著重要作用，是波分復(fù)用等器件的核心技術(shù)。迅猛發(fā)展的光通信產(chǎn)業(yè)的技術(shù)需求，對(duì)光學(xué)薄膜的設(shè)計(jì)、制備與測(cè)試等方面提出了新挑戰(zhàn)。1.4.2光學(xué)薄膜設(shè)計(jì)方法的發(fā)展研究與設(shè)計(jì)光學(xué)薄膜的理論基礎(chǔ)是經(jīng)典電磁場(chǎng)理論。為了便于計(jì)算光學(xué)薄膜的性質(zhì)，通常采用特征導(dǎo)納矩陣方法[15]，其具體計(jì)算過程詳見本論文第2章。為使其能實(shí)現(xiàn)所指定的功能，光學(xué)薄膜系統(tǒng)一般須由折射率不同、幾何厚度有嚴(yán)格要求的多層光介質(zhì)薄膜組成。光學(xué)薄膜系的特性計(jì)算是一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的問題，只要給定每一層膜的參數(shù)(包括折射率和幾何厚度)，便可以很方便地求出薄膜系在每一特定入射角和波長(zhǎng)條件下的透過率、反射率等性質(zhì)。光學(xué)膜系的設(shè)計(jì)是上述計(jì)算的逆問題，即根據(jù)預(yù)定的光譜特性要求，反過來求取組成膜系的每一層薄膜應(yīng)該選取的折射率和厚度。這一逆問題要比正問題復(fù)雜得多，其一是由于可用于光學(xué)薄膜制備的材料有限，因而對(duì)折射率參數(shù)的選擇就非常有限；其二由于每一多層膜系統(tǒng)往往是由十多層甚至幾十層薄膜所組成的，自變量的數(shù)目太多，導(dǎo)致計(jì)算量很大，復(fù)雜程度很高。最初采用解析法設(shè)計(jì)光學(xué)膜系，主要是應(yīng)用矢量作圖法、等效界面法[16]、虛設(shè)層法、車比雪夫(Chebyshev)多項(xiàng)式法[17]、對(duì)稱膜系的等效折射率法[18]、勢(shì)透射率誘導(dǎo)[19]和導(dǎo)納圖解法[20]等基本的分析手段，對(duì)傳統(tǒng)的減反射膜、分束鏡、高反射鏡、干涉截止濾光片、帶通濾光片等膜系進(jìn)行具體的分析和試探，從而設(shè)計(jì)出符合要求的薄系。這些方法針對(duì)性強(qiáng)、效果也比較理想。光學(xué)膜系的設(shè)計(jì)作為一個(gè)優(yōu)化問題來處理，最早是由Baumeister在1958年提出的[21]。二十世紀(jì)七十年代以后，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展以及迅速發(fā)展起來的各種數(shù)值優(yōu)化方法的應(yīng)用，光學(xué)薄膜的計(jì)算機(jī)輔助優(yōu)化設(shè)計(jì)越來越受到重視，直至現(xiàn)在已成為最廣泛應(yīng)用的膜系設(shè)計(jì)方法。一般而言，光學(xué)薄膜的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法可以分為“精煉(Refinement)”法與“合成(Synthesis)”兩大類。從一個(gè)或一組初始結(jié)構(gòu)出發(fā)，運(yùn)用各種優(yōu)化方法進(jìn)行搜索，對(duì)各膜層的折射率和厚度進(jìn)行優(yōu)化，從而達(dá)到最優(yōu)解。這即是所謂的“精煉”法，優(yōu)化問題的大多數(shù)經(jīng)典方法都屬于此類，在這類方法中，一般不改變膜系的層數(shù)，而只是改變每膜層的參數(shù)。相反，在所謂的“合成”法中，不需要問題的初始解，而是以某種方式逐漸增加膜層數(shù)，即對(duì)膜系進(jìn)行自動(dòng)“合成”，使膜系的光學(xué)性質(zhì)達(dá)到預(yù)定要求。我們?cè)诘?章中將介紹的“縫衣針(Needle)”方法便是膜系設(shè)計(jì)中典型的“合成”方法。實(shí)際上，盡管各有長(zhǎng)短之處，任何一種數(shù)值優(yōu)化方法都可以應(yīng)用于光學(xué)薄膜的優(yōu)化設(shè)計(jì)。模式搜索(Hooke-Jeeves)法、單純形法、Powell共軛方法、變尺度法(VariableMetrics)等各種局部?jī)?yōu)化方法[22]都曾被廣泛應(yīng)用于膜系設(shè)計(jì)。隨著各種全局優(yōu)化方法的發(fā)展，已開始有統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法[23]、模擬退火法[24]、遺傳算法[25]、進(jìn)化算法[26]、拉丁方格(LatinSquare)[27]等各種比較新穎的方法成功應(yīng)用于膜系設(shè)計(jì)。光學(xué)薄膜的計(jì)算機(jī)輔助優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的發(fā)展總是與光學(xué)薄膜制備技術(shù)的發(fā)展相輔相成的，在理論上優(yōu)化得到的薄系結(jié)構(gòu)往往是非/4(四分之一波長(zhǎng))形式的不規(guī)整結(jié)構(gòu)，在工藝技術(shù)上需要發(fā)展相應(yīng)的監(jiān)控技術(shù)才能實(shí)現(xiàn)制備，而在制備監(jiān)控過程本身之中如何減小誤差也需以優(yōu)化方法進(jìn)行分析。因此，今后光學(xué)膜系設(shè)計(jì)的發(fā)展趨勢(shì)可能是一邊制備一邊優(yōu)化的一種實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)。1.5本論文的研究目的與內(nèi)容鑒于光學(xué)膜系設(shè)計(jì)在光通信尤其是波分復(fù)用光通信網(wǎng)絡(luò)技術(shù)中的重要意義，我們開展了光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)方面的研究，具體內(nèi)容包括：(1)研究光學(xué)膜系設(shè)計(jì)中若干有代表性的方法的算法，包括“精練”法中典型的最優(yōu)化方法，單純形方法與整體模擬退火遺傳算法，以及“合成”法中典型的Needle方法，前者屬于典型的求解最優(yōu)化問題的局域最優(yōu)解的數(shù)值方法，后二者屬于可得到全局最優(yōu)解的數(shù)值方法；(2)對(duì)上述所研究的各算法實(shí)現(xiàn)程序化；(3)為驗(yàn)證所實(shí)現(xiàn)的計(jì)算機(jī)程序，以實(shí)際應(yīng)用和制備工藝現(xiàn)狀為背景，對(duì)若干種光學(xué)膜系進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。在本學(xué)位論文中，第2章主要介紹計(jì)算光學(xué)膜系性質(zhì)的方法以及優(yōu)化設(shè)計(jì)光學(xué)膜系的基本原理；第3章研究單純形最優(yōu)化方法在光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用；在第4章中，我們?cè)跇?biāo)準(zhǔn)的遺傳算法的基礎(chǔ)上提出一種新的遺傳算法，即基于實(shí)數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法，并應(yīng)用于膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)；在第5章中，對(duì)最近新提出的設(shè)計(jì)膜系的Needle方法進(jìn)行程序化，并將其應(yīng)用于實(shí)際的膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)；第6章為簡(jiǎn)要的總結(jié)與展望。第2章光學(xué)膜系最優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本原理2.1膜系的光學(xué)性質(zhì)及其計(jì)算方法計(jì)算光學(xué)膜系的光學(xué)性質(zhì)是優(yōu)化設(shè)計(jì)光學(xué)膜系的基礎(chǔ)。光學(xué)膜系的光學(xué)性質(zhì)描述了膜系中電磁波的傳播特性，主要包括膜系對(duì)電磁波的反射系數(shù)(或反射率)、透射系數(shù)(或透射率)以及反射與透射電磁波的相位變化等。光本質(zhì)上是電磁波，研究膜系的光學(xué)性質(zhì)的物理學(xué)理論基礎(chǔ)是經(jīng)典電磁理論[15]。2.1.1介質(zhì)中的電磁波在經(jīng)典電磁理論中，Maxwell方程組描述電磁波在介質(zhì)中的傳播。在Gauss單位制下，Maxwell方程組可表達(dá)為[28]：(2-1a)(2-1b)(2-1c)(2-1d)其中，c為真空中電磁波的傳播速率，E為電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，H為磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量，D為電感應(yīng)強(qiáng)度(電位移)矢量，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量，為空間自由電荷密度，J為傳輸電流密度矢量，Jc為位移電流密度矢量，(2-2)同時(shí)，在介質(zhì)中有物質(zhì)本構(gòu)方程：(2-3a)(2-3b)(2-3c)其中,與分別為介質(zhì)的介電常數(shù)、磁導(dǎo)率與電導(dǎo)率。在各向同性均勻介質(zhì)中，,與均為常數(shù)。若假設(shè)介質(zhì)為不帶電荷的各向同性均勻介質(zhì)(在光學(xué)薄膜中通常如此)，此時(shí)，，，，且方程(2-1c)和(2-1d)可得到電場(chǎng)強(qiáng)度E的波動(dòng)方程：(2-4)上述波動(dòng)方程有如下平面波解：(2-5a)同理可得到磁場(chǎng)強(qiáng)度H波動(dòng)方程的平面波解：(2-5b)式(2-5a)或(2-5a)中，為電磁波圓頻率(為頻率)，為波矢，為波矢方向(電磁波傳播方向)上的單位矢量，N為介質(zhì)的復(fù)折射率(或稱光學(xué)導(dǎo)納)。若令，并將式(2-5a)代入方程(2-4)，可得到(2-6)對(duì)于不導(dǎo)電介質(zhì)，，，此時(shí)N為實(shí)數(shù)，且。這時(shí)電磁波為正弦(余弦)波：(2-7)對(duì)于導(dǎo)電介質(zhì)，，，此時(shí)電磁波為衰減的正弦(余弦)波：(2-8)2.1.2導(dǎo)納方程由式(2-5a)、(2-1d)、(2-2)與(2-3a)，可得到(2-9)根據(jù)矢量旋度與矢量叉積的定義，(2-10)(2-11)同時(shí)利用式(2-9)，我們可以得到(2-12)式(2-10)與(2-11)中，()為j坐標(biāo)軸方向上的單位矢量，與分別為波矢方向單位矢量與磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H在j軸方向上的分量。同理，可以得到(2-13)式(2-12)與(2-13)稱為光學(xué)導(dǎo)納方程，在計(jì)算光學(xué)膜系的光學(xué)性質(zhì)很有用處[15]。2.1.3光波在介質(zhì)界面上的反射與折射在光學(xué)膜系中總存在若干介質(zhì)界面，膜系的光學(xué)性質(zhì)與光波在各介質(zhì)界面上的反射和折射規(guī)律有關(guān)?，F(xiàn)考慮光波自復(fù)折射率為的介質(zhì)入射到該介質(zhì)與另一介質(zhì)(復(fù)折射率為)的界面時(shí)的反射和折射過程。圖2-1正入射的光波在界面反射與折射示意圖N0N1首先討論光波垂直入射于界面的情形。此時(shí)，光波的傳播方向垂直于界面，而電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E與磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H均平行于截面；在介質(zhì)中有正向行波(,)與反向行波(,)，在介質(zhì)中僅有正向行波(,)，如圖2-1所示。根據(jù)導(dǎo)納方程(2-13)，有圖2-1正入射的光波在界面反射與折射示意圖N0N1(2-14a)(2-14b)(2-14c)同時(shí)，由于在E與H在切線方向上連續(xù)，故有如下邊界條件：(2-15a)(2-15b)由式(2-14a)～(2-15b)可得到(2-16)定義反射系數(shù)r為反射波振幅與入射波振幅之比，則(2-17)定義透射系數(shù)t為透射波振幅與入射波振幅之比，則(2-18)而反射率R與透射率T分別為(2-19)(2-20)其次，討論光波斜入射于界面的情形。此時(shí)，E與H依然在切線方向上連續(xù)，但邊界條件(2-15a)與(2-15b)不再適用，須考慮入射角以及E與H的極化方向。設(shè)E與H的切線分量Et與Ht仍滿足如式(2-13)的導(dǎo)納方程：(2-21)式中稱為有效導(dǎo)納，不僅與導(dǎo)納N有關(guān)，還與入射角以及E與H的極化方向有關(guān)。對(duì)于E或H，總可以將其分解為入射面內(nèi)的分量與垂直于入射面的分量。電場(chǎng)極化方向垂直于入射面(此時(shí)磁場(chǎng)極化方向在入射面內(nèi))的光波稱為TE波(橫電波)，又稱S偏振波或偏振波(如圖2-2a所示)；電場(chǎng)極化方向在入射面內(nèi)(此時(shí)磁場(chǎng)極化方向垂直于入射面)的光波稱為TM波(橫磁波)，又稱P偏振波或偏圖2-2斜入射TE波(a圖2-2斜入射TE波(a)與TM波(b)在界面反射和折射示意圖N0N1(a)N0N1(b)若入射光波為TE波，則，(為切線方向上的單位矢量)，相應(yīng)的導(dǎo)納方程成為(2-22)其中為對(duì)TE波的有效導(dǎo)納。若入射光波為TM波，則時(shí)，，相應(yīng)的導(dǎo)納方程成為(2-23)其中為對(duì)TM波的有效導(dǎo)納。無論是TE波還是TM波，均有如下邊界條件：(2-24a)(2-24b)與正入射的情形相似，可得到如下反射系數(shù)r與透射系數(shù)t的表達(dá)式：(2-25)(2-26)其中系數(shù)(對(duì)于TE波)或(對(duì)于TM波)。2.1.4光學(xué)薄膜的特征矩陣圖2-3光波在薄膜中傳播示意圖N0N1N2現(xiàn)考慮光波在一層薄膜中的傳播過程。此時(shí)，涉及到3種不同介質(zhì)和2個(gè)介質(zhì)界面。如圖2-3所示，設(shè)光波自介質(zhì)入射到界面S01上，在界面S01上反射與折射，透過界面S01的光波在介質(zhì)膜層(幾何厚度為)內(nèi)傳播，然后在界面圖2-3光波在薄膜中傳播示意圖N0N1N2在入射介質(zhì)內(nèi)，電磁場(chǎng)E與H包括了正向行波和反向行波，即，。在介質(zhì)內(nèi)，同樣有正向行波與反向行波。記在介質(zhì)內(nèi)且接近界面S01的正行波為與，接近界面S01的反行波為與；接近界面S12的正行波為與，接近界面S12的反行波為與。在出射介質(zhì)內(nèi)，僅有正行波，即，。在界面S01上，有切向分量連續(xù)性邊界條件：(2-27a)(2-27b)考慮電磁場(chǎng)在介質(zhì)膜層傳播過程中的相位變化，有(2-28a)(2-28b)其中稱為相位厚度，稱為光學(xué)厚度，為波長(zhǎng)，為光波在界面S01處的折射角。因此有(2-29)同時(shí)，對(duì)介質(zhì)內(nèi)且接近界面S01的切向波和應(yīng)用導(dǎo)納方程，并利用相位關(guān)系(2-28a)和(2-28b)以及邊界條件(2-27b)，可得到(2-30)上式與式(2-29)可合寫成如下矩陣形式：(2-31)在界面S12上，有切向分量連續(xù)性邊界條件：(2-32a)(2-32b)重復(fù)以上相似的步驟，可得到(2-33)(2-34)式(2-33)與式(2-34)寫成矩陣形式為(2-35)根據(jù)方程(2-31)與(2-35)，可建立入射場(chǎng)與出射場(chǎng)之間的關(guān)系：(2-36)矩陣(2-37)稱為膜層的特征矩陣，其使電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量在膜層的入射端與出射端之間建立起聯(lián)系，且僅包含膜層的參數(shù)。利用膜層的特征矩陣，可方便地計(jì)算膜層的反射系數(shù)與透射系數(shù)[29]。膜層對(duì)光波的反射和折射，可等價(jià)地視為一介質(zhì)界面對(duì)光波的反射與折射。因此引入膜層的組合導(dǎo)納Y，其滿足如下導(dǎo)納方程：(2-38)同時(shí)，我們有邊界條件，。利用關(guān)系(2-36)并應(yīng)用出射介質(zhì)中電磁場(chǎng)的切向分量導(dǎo)納方程，可得到(2-39)其中(2-40)而且(2-41)類似于式(2-25)與(2-26)，我們有膜層的反射系數(shù)與透射系數(shù)：(2-42)(2-43)其中系數(shù)(對(duì)于TE波)或(對(duì)于TM波)。2.1.5光學(xué)膜系的光學(xué)性質(zhì)上述過程可推廣到最一般的光學(xué)膜系?？紤]由m層介質(zhì)膜與基片所構(gòu)成的膜系，其中第j層薄膜的復(fù)折射率與幾何厚度分別為和，基片的復(fù)折射率為，圖2-4光學(xué)膜系結(jié)構(gòu)示意圖N1N2NmNgd1d2dm圖2-4光學(xué)膜系結(jié)構(gòu)示意圖N1N2NmNgd1d2dmN0設(shè)第j膜層的特征矩陣為，(2-44)其中，，(2-45)(2-46)為在界面的折射角，可由Snell定律求得：(2-47)與得到式(2-39)的過程相似，我們有(2-48)令(2-49)則(2-50)整個(gè)膜系的組合導(dǎo)納為(2-51)反射系數(shù)與透射系數(shù)分別為(2-52)(2-53)其中系數(shù)(2-54)反射率與透射率分別為(2-55)(2-56)而反射或透射光相位變化或分別為復(fù)反射系數(shù)r與復(fù)透射系數(shù)t的相角。2.2光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本原理光學(xué)膜系的優(yōu)化設(shè)計(jì)，是尋找合適(最優(yōu))的膜系結(jié)構(gòu)參數(shù)使膜系的光學(xué)性質(zhì)盡可能地滿足預(yù)定的性質(zhì)的最優(yōu)化設(shè)計(jì)過程。以光學(xué)膜系的反射光譜為例，說明光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本原理。與其他光學(xué)性質(zhì)一樣，膜系的反射光譜與膜系的膜層數(shù)m，各膜層的折射率與厚度，以及環(huán)境介質(zhì)和載片介質(zhì)的折射率和有關(guān)，不僅是波長(zhǎng)的函數(shù)，而且是這些參數(shù)的函數(shù)。假設(shè)環(huán)境和載片介質(zhì)已確定，為使光學(xué)膜系在指定的波長(zhǎng)范圍內(nèi)具有所要求的反射光譜，必須選擇合適的膜系結(jié)構(gòu)參數(shù)m,和，使得函數(shù)與的取值在波長(zhǎng)區(qū)間內(nèi)盡量一致。在實(shí)際計(jì)算中，對(duì)波長(zhǎng)區(qū)間離散化，因此上述膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可描述為如下非線性最小二乘問題：(2-57)其中,。在數(shù)學(xué)上，這是一個(gè)維非線性規(guī)劃問題。推廣至更一般的情況：優(yōu)化膜系的結(jié)構(gòu)，使其n個(gè)光學(xué)性質(zhì)分別與n個(gè)目標(biāo)光學(xué)性質(zhì)盡可能地接近，即在數(shù)學(xué)上求解如下最優(yōu)化問題：(2-58)其中為目標(biāo)函數(shù)(或稱評(píng)價(jià)函數(shù))，為自變量，和分別為對(duì)應(yīng)于的權(quán)重因子和容限。一般而言，上述問題中的目標(biāo)函數(shù)為復(fù)雜的非線性函數(shù)。在最一般情況下，上述最優(yōu)化問題是維的不定維問題(膜層數(shù)m可變)；若限定膜層數(shù)m，則問題成為維問題；若更進(jìn)一步，指定選擇各膜層的介質(zhì)，則問題成為m問題。在具體的膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)中，如何定義問題(2-58)中的目標(biāo)函數(shù)對(duì)于能否得到理想的結(jié)果以及能否提高數(shù)值計(jì)算的效率至關(guān)重要。定義目標(biāo)函數(shù)時(shí)引入容限，是為了允許優(yōu)化后的光學(xué)性質(zhì)相對(duì)于目標(biāo)性質(zhì)存在一定的偏差。在實(shí)際的光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)中，通常取，則目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值時(shí)，所得到的最優(yōu)光學(xué)性質(zhì)與所要求的有1％的平均偏差[30]。在目標(biāo)函數(shù)中引入權(quán)重因子，是因?yàn)樵趯?shí)際的膜系設(shè)計(jì)中對(duì)膜系的不同性質(zhì)或不同波長(zhǎng)處的性質(zhì)有不同程度的精度要求；引入權(quán)重因子另一個(gè)原因是為了減少計(jì)算量、提高計(jì)算效率。例如，在設(shè)計(jì)帶通濾波片時(shí)，如通帶波段很窄而截止波段較寬，此時(shí)若對(duì)波長(zhǎng)等間隔離散化，則可能因截止波段取點(diǎn)過多而導(dǎo)致通帶特性的要求被忽略，而通帶特性的要求卻恰恰是設(shè)計(jì)的目的，在數(shù)值分析中這樣得到的最優(yōu)解卻往往是實(shí)際上很不理想的結(jié)果；當(dāng)然也可以在通帶波段內(nèi)更密集地取點(diǎn)，但卻大大增加了計(jì)算量。此時(shí)，可通過提高通帶波段內(nèi)的權(quán)重而簡(jiǎn)單地解決問題。2.3關(guān)于最優(yōu)化方法在理論上設(shè)計(jì)光學(xué)膜系的主要過程是以最優(yōu)化方法求解形如(2-58)的規(guī)劃問題。如第1章中所述，在光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域中，已成功應(yīng)用或發(fā)展了各種最優(yōu)化方法。由于具體問題的復(fù)雜性，迄今任何一種最優(yōu)化方法都不是普遍適用的。光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的復(fù)雜性可概括為兩方面：其一，膜系的光學(xué)性質(zhì)是膜系結(jié)構(gòu)參數(shù)的非常復(fù)雜的非線性函數(shù)(這在本章第2.1節(jié)中已可看出)，因而最優(yōu)化問題中的目標(biāo)函數(shù)也是關(guān)于膜系結(jié)構(gòu)參數(shù)的復(fù)雜函數(shù)，我們甚至無法寫出其函數(shù)表達(dá)式；其二，在優(yōu)化設(shè)計(jì)膜系時(shí)，我們通常不嚴(yán)格約束膜系的層數(shù)，此時(shí)最優(yōu)化問題的維數(shù)以及目標(biāo)函數(shù)是變化的，這可能導(dǎo)致在求解同一問題時(shí)同一最優(yōu)化算法不能自始至終是適用的。由于膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中目標(biāo)函數(shù)的復(fù)雜性，最優(yōu)化理論中的Newton方法、共軛梯度方法等使用目標(biāo)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)典的最優(yōu)化方法[22]并不適合于膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)問題；經(jīng)典的最優(yōu)化方法中，Hooke-Jeeves法、Rosenbrock法、單純形法和Powell法等不計(jì)算目標(biāo)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的直接方法[22]才適用。依然是由于目標(biāo)函數(shù)的復(fù)雜性，以經(jīng)典的最優(yōu)化方法所得到的結(jié)果往往是局域解而不是全局最優(yōu)解；為得到更理想的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果，在膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域中已愈來愈多地引入全局最優(yōu)化方法，近年來逐漸發(fā)展與推廣應(yīng)用的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法[23]、模擬退火法[24]、遺傳算法[25]、進(jìn)化算法[26]和拉丁方格(LatinSquare)[27]等全局最優(yōu)化方法已證明可成功應(yīng)用于光學(xué)膜系的優(yōu)化設(shè)計(jì)，盡管理論上這些方法的收斂性證明問題還不是解決得很好。傳統(tǒng)的最優(yōu)化方法一般都是“精煉”法，即從若干個(gè)初始解出發(fā)，以某種算法得到改進(jìn)的解，經(jīng)過有限次迭代，得到在精度范圍內(nèi)的近似最優(yōu)解。這適用于預(yù)先確定膜層數(shù)的膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，但同時(shí)也限制了許多可能的膜系設(shè)計(jì)方案。相反，在所謂的“合成”法中，不需要問題的解的雛形，而是以某種方式逐漸增加膜層數(shù)，對(duì)膜系進(jìn)行自動(dòng)“合成”，使膜系的光學(xué)性質(zhì)達(dá)到預(yù)定要求，如同我們?cè)诘?章中將介紹的Needle方法一樣。在本文的第3～5章中，我們將分別應(yīng)用單純形方法、遺傳算法和Needle方法等若干種具有代表性的方法于光學(xué)膜系設(shè)計(jì)上，各具體方法的原理將分別在相應(yīng)的各章中進(jìn)行描述。第3章光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)的單純形方法單純形法是求解最優(yōu)化問題的直接算法之一。單純形法在原則上是一種局域方法，但具有算法簡(jiǎn)單、易于程序?qū)崿F(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，適用于膜系層數(shù)較少的膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。在本章中，我們應(yīng)用單純形方法于膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)，首先介紹單純形方法的基本原理、算法與程序流程，最后以實(shí)例介紹我們所編制的膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)的單純形算法的程序運(yùn)算結(jié)果。3.1單純形方法的基本原理單純形(Simplex)方法是一種無約束最優(yōu)化的直接方法，其基本思想是：在n維空間中給定一單純形后，求出其個(gè)頂點(diǎn)上的目標(biāo)函數(shù)值，比較確定其中有最大函數(shù)值的點(diǎn)(最高點(diǎn))和有最小函數(shù)值的點(diǎn)(最低點(diǎn))，然后經(jīng)過反射、擴(kuò)展或壓縮等單純形變換求出一個(gè)較好的點(diǎn)以代替最高點(diǎn)，從而構(gòu)成新的單純形，或者通過向最低點(diǎn)收縮形成新的單純形。如此反復(fù)，逐漸逼近目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。所謂單純形，是指n維空間中有個(gè)頂點(diǎn)的凸多面體，如一維空間中的線段、二維空間中的三角形、三維空間中的四面體，等等。若單純形的個(gè)頂點(diǎn)中任意二點(diǎn)間的距離相等，則此單純形稱為正規(guī)單純形[22]。以二元函數(shù)極小化為例，說明上述單純形最優(yōu)化原理。此時(shí)，，在二維空間(平面)中取不共線的三點(diǎn),和以構(gòu)成初始的單純形(如圖3-1所示)。不失一般性，假設(shè)初始單純形的頂點(diǎn)中最高點(diǎn)與最低點(diǎn)分別為與，即。為實(shí)現(xiàn)單純形的轉(zhuǎn)換，對(duì)初始的單純形作反射變換，即對(duì)最高點(diǎn)作關(guān)于其余頂點(diǎn)的形心的反射變換，此處便是對(duì)點(diǎn)作關(guān)于線段之中點(diǎn)(3-1)的反射，可得到反射點(diǎn)(3-2)其中稱為反射因子，一般取。圖3-1圖3-1單純形變換示意圖x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)x(8)(1)若，則方向顯然對(duì)于目標(biāo)函數(shù)值的減小是有利的，于是沿此方向進(jìn)行擴(kuò)展。令(3-3)其中稱為擴(kuò)展因子。此時(shí)又有兩種可能：①若，則擴(kuò)展成功，以點(diǎn)替換點(diǎn)，得到以點(diǎn),和為頂點(diǎn)的新的單純形；②若，則擴(kuò)展失敗，此時(shí)以點(diǎn)替換點(diǎn)，得到以點(diǎn),和為頂點(diǎn)的新的單純形。(2)若，即反射點(diǎn)的函數(shù)值介于最低點(diǎn)與次高點(diǎn)的函數(shù)值之間，則以點(diǎn)替換點(diǎn)，得到以點(diǎn),和為頂點(diǎn)的新的單純形。(3)若，即反射點(diǎn)的函數(shù)值大于次高點(diǎn)的函數(shù)值，則對(duì)單純形進(jìn)行壓縮變換：在點(diǎn)和中選擇函數(shù)值最小的點(diǎn)，即，令(3-4)其中稱為壓縮因子，。所得到的壓縮點(diǎn)位于點(diǎn)和之間。此時(shí)又有兩種可能：①若，則以點(diǎn)替換點(diǎn)，得到以點(diǎn),和為頂點(diǎn)的新的單純形；②若，則進(jìn)行壓縮，即最低點(diǎn)不變，其余點(diǎn)和均向點(diǎn)移動(dòng)一半距離，令(3-5)(3-6)得到以點(diǎn),和為頂點(diǎn)的新的單純形。以上所有情形中，無論是哪一種情形，所得到的新的單純形，其必有一個(gè)頂點(diǎn)的函數(shù)值小于或等于原單純形任一頂點(diǎn)的函數(shù)值。每得到一個(gè)新的單純形后，再重復(fù)以上步驟，直至滿足收斂準(zhǔn)則為止(如圖3-2所示)。圖3-2圖3-2單純形方法迭代示意圖3.2算法與程序流程根據(jù)以上所述原理，我們有如下求解n元函數(shù)極小值的單純形最優(yōu)化方法計(jì)算步驟：①給定初始單純形，其頂點(diǎn)為，反射因子，擴(kuò)展因子，壓縮因子()，允許誤差；計(jì)算函數(shù)值；置迭代序號(hào)。②確定最高點(diǎn),次高點(diǎn),最低點(diǎn),其中,使(3-7)(3-8)(3-9)計(jì)算除最高點(diǎn)外的n個(gè)頂點(diǎn)的形心， (3-10)計(jì)算函數(shù)值。③作反射變換，令 (3-11)計(jì)算函數(shù)值。④若，則作擴(kuò)展變換，令 (3-12)計(jì)算，轉(zhuǎn)⑤；若，則置，轉(zhuǎn)⑦；若，則作壓縮變換，令 (3-13)其中或，令 (3-14)計(jì)算，轉(zhuǎn)⑥。⑤若，則置，，轉(zhuǎn)⑦；否則，置，，轉(zhuǎn)⑦。⑥若，則置，，轉(zhuǎn)⑦；否則，作收縮變換，令, (3-15)計(jì)算，轉(zhuǎn)⑦。⑦檢驗(yàn)是否達(dá)到收斂準(zhǔn)則。若 (3-16)則停止計(jì)算，現(xiàn)行最佳點(diǎn)可作為極小點(diǎn)的近似；否則，置，返回②。輸出結(jié)果是開始輸入初始參數(shù)(膜系層數(shù)、各層膜折射率與初始厚度、入射介質(zhì)與載片折射率、目標(biāo)光學(xué)性質(zhì)、初始步長(zhǎng)、輸出結(jié)果是開始輸入初始參數(shù)(膜系層數(shù)、各層膜折射率與初始厚度、入射介質(zhì)與載片折射率、目標(biāo)光學(xué)性質(zhì)、初始步長(zhǎng)、反射因子、擴(kuò)展因子、壓縮因子、允許誤差)計(jì)算光學(xué)性質(zhì)與優(yōu)化模型目標(biāo)函數(shù)是否達(dá)到允許精度?單純形優(yōu)化過程否圖3-3單純形方法優(yōu)化光學(xué)膜系的計(jì)算流程圖,(3-17)圖3-4單純形優(yōu)化方法簡(jiǎn)要流程圖退出是單純形變換過程否構(gòu)造初始單純形計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值構(gòu)造新單純形是否達(dá)到允許精度?計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值圖3-4單純形優(yōu)化方法簡(jiǎn)要流程圖退出是單純形變換過程否構(gòu)造初始單純形計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值構(gòu)造新單純形是否達(dá)到允許精度?計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值3.3計(jì)算實(shí)例與討論我們以上述單純形最優(yōu)化算法優(yōu)化了近紅外波段(1.000～1.700m)高反膜系以及相當(dāng)于一個(gè)短波通干涉截止濾光器的紅膜系(要求在400～650nm波長(zhǎng)范圍內(nèi)高透，在650～750nm范圍內(nèi)高反)。優(yōu)化設(shè)計(jì)上述膜系時(shí)，確定膜系層數(shù)以及入射介質(zhì)、載片介質(zhì)和各層光學(xué)薄膜的折射率，此時(shí)優(yōu)化自變量為各膜層的幾何厚度，最優(yōu)化模型為(3-18)其中，與分別為膜系在波長(zhǎng)處的實(shí)際反射率與目標(biāo)反射率，n為離散波長(zhǎng)數(shù)。此外，假設(shè)膜系無吸收，光波為正入射，以及各膜層內(nèi)在光波傳播方向上的折射率均勻分布。3.3.1近紅外波段高反膜系的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)近紅外波段(1.000～1.700m)高反膜系，根據(jù)光學(xué)基本原理，選擇初始膜系結(jié)構(gòu)為AHLHLHG，其中入射介質(zhì)A為空氣(1.00)，載片G為K9玻璃(1.52)，高折射率膜層介質(zhì)H為碲化砷(4.10),低折射率膜層介質(zhì)L為冰晶石(1.35)，膜系的初始幾何厚度依順序隨意選取為(70.0,22.0,75.0,110.0,200.0)，單位為納米(nm)。設(shè)計(jì)目標(biāo)是波長(zhǎng)1000～1700nm范圍內(nèi)膜系的反射率99％。權(quán)重因子取1。圖3-5近紅外高反膜系初始結(jié)構(gòu)的反射光譜nmR圖3-5近紅外高反膜系初始結(jié)構(gòu)的反射光譜nmR以單純形優(yōu)化方法優(yōu)化上述膜系。取反射因子，壓縮因子，擴(kuò)展因子，控制精度。經(jīng)優(yōu)化后，膜系的幾何厚度依順序?yàn)?82.0,250.7,82.0,248.0,82.0)，單位為納米(nm)；膜系的反射光譜如圖3-6所示。從圖3-6中可以看出，優(yōu)化后的膜系在1.000～1.700m波長(zhǎng)范圍內(nèi)的平均反射率基本上都高于99％，已實(shí)現(xiàn)了增反設(shè)計(jì)目標(biāo)。nmR圖3-6nmR圖3-6優(yōu)化后的近紅外高反膜系的反射光譜3.3.2紅膜的設(shè)計(jì)對(duì)于典型的紅膜，要求在400～650nm波長(zhǎng)范圍內(nèi)高透，在650～750nm范圍內(nèi)高反，實(shí)際上相當(dāng)于一個(gè)短波通干涉截止濾波器。我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)結(jié)構(gòu)如的高、低折射率材料相間的17層膜系，其中高折射率2.30,低折射率1.45)，入射介質(zhì)與載片仍分別為空氣和K9玻璃。選擇中心波長(zhǎng)750nm，初始結(jié)構(gòu)為膜系，即各層膜的厚度為129.0(81.5|129.0)8，單位為nm。初始膜系的反射光譜如圖3-7所示。以單純形優(yōu)化方法對(duì)上述初試膜系進(jìn)行優(yōu)化。取反射因子，壓縮因子，擴(kuò)展因子，控制精度。設(shè)計(jì)目標(biāo)為，在400～650nm波nmnmR圖3-8優(yōu)化后紅膜的反射光譜nmR圖3-7優(yōu)化前紅膜的反射光譜長(zhǎng)范圍內(nèi)反射率為0，在650～750nm波長(zhǎng)范圍內(nèi)反射率為1；權(quán)重因子取1。經(jīng)優(yōu)化后，膜系的結(jié)構(gòu)為59.820382.5274131.801484.5198131.740981.8371128.665185.3793125.102983.4841128.466283.4671129.692984.2181137.534491.8320144.3979單位為nm，其反射光譜如圖3-8所示。由圖3-8可以看到，優(yōu)化后的膜系在400～650nm波長(zhǎng)范圍內(nèi)平均反射率小于5％，在650～750nm范圍內(nèi)平均反射率大于97％，就實(shí)際應(yīng)用而言，這已達(dá)到紅膜設(shè)計(jì)的基本要求。以優(yōu)化后的膜系結(jié)構(gòu)作為初始膜系結(jié)構(gòu)，提高控制精度至，再進(jìn)行優(yōu)化，所得到的結(jié)果優(yōu)于第一次優(yōu)化，但并不明顯。3.4小結(jié)在本章中，我們介紹了單純形最優(yōu)化方法的基本原理與算法，并應(yīng)用該方法于光學(xué)膜系的優(yōu)化設(shè)計(jì)。我們編寫了相應(yīng)的C語言程序代碼，并以該程序成功計(jì)算了具有5層光學(xué)薄膜的近紅外波段(1.000～1.700m)高反膜系以及相當(dāng)于一個(gè)短波通干涉截止濾光器的具有17層光學(xué)薄膜的紅膜系(在400～650nm波長(zhǎng)范圍內(nèi)高透，在650～750nm范圍內(nèi)高反)的優(yōu)化問題。由上述兩個(gè)實(shí)例的計(jì)算結(jié)果可以看出，單純形最優(yōu)化方法適用于光學(xué)膜系的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，而且對(duì)初始條件的要求并不是很苛刻，即使在初始膜系結(jié)構(gòu)的光譜性質(zhì)與目標(biāo)光譜性質(zhì)相比相差頗遠(yuǎn)時(shí)仍能夠得到比較理想的優(yōu)化結(jié)果。但是，隨著光學(xué)膜系的膜層數(shù)目增加，單純形最優(yōu)化方法的數(shù)值計(jì)算效率急劇下降。對(duì)于所研究的17層膜的光學(xué)膜系的優(yōu)化問題，在CPU為Celeron1GHz、操作系統(tǒng)為WindowsXP的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)上運(yùn)行近3hrs。第4章以實(shí)數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)光學(xué)膜系在上一章中,我們介紹了單純形最優(yōu)化方法在光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。在原則上，單純形最優(yōu)化方法是一種局域的直接方法；當(dāng)光學(xué)膜系的規(guī)模較大時(shí)，以單純形最優(yōu)化方法所得到的最優(yōu)解往往只是局域最優(yōu)解。在本章中，我們將介紹另一種最優(yōu)化方法，即遺傳算法(GeneticAlgorithm)。遺傳算法也是一種直接方法；遺傳算法在原則上可得到優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，而且具有很強(qiáng)的魯棒性(Robustness)[31]。我們?cè)跇?biāo)準(zhǔn)遺傳算法的基礎(chǔ)上，提出基于實(shí)數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法，并將該算法應(yīng)用于光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。4.1遺傳算法的基本原理遺傳算法是對(duì)生物體進(jìn)化過程的抽象，通過全面模擬自然選擇和遺傳的機(jī)制，形成一種具有“生成＋檢驗(yàn)”特征的搜索算法。遺傳算法以編碼空間代替優(yōu)化問題的參數(shù)空間，以適應(yīng)度函數(shù)為評(píng)價(jià)依據(jù)，以編碼群體為進(jìn)化基礎(chǔ)，以對(duì)群體中個(gè)體位串的遺傳操作實(shí)現(xiàn)選擇和遺傳機(jī)制，從而建立一個(gè)迭代過程。在迭代過程中，通過隨機(jī)重組編碼位串中重要的基因，使新一代的位串集合優(yōu)于老一代的位串集合，于是群體中的個(gè)體不斷進(jìn)化，逐漸接近問題的最優(yōu)解[31]。遺傳算法作為一種通用的全局最優(yōu)化方法，與傳統(tǒng)的隨機(jī)搜索方法不同的是，它不是從一個(gè)初始解出發(fā)而是從一組初始解出發(fā)進(jìn)行優(yōu)化的，且這些初始解好比一個(gè)生物群體，優(yōu)化的過程就是該群體繁衍與競(jìng)爭(zhēng)、遺傳與變異的過程。遺傳算法是一個(gè)啟發(fā)式的隨機(jī)搜索過程，可以保證搜索過程向更優(yōu)化的方向發(fā)展。遺傳算法將問題的求解表示成“染色體”(計(jì)算機(jī)編程時(shí)一般用二進(jìn)制碼串)，從而構(gòu)成一群“染色體”；將它們置于問題的“環(huán)境”中，通過選擇(Selection)、雜交(Crossover)和變異(Mutation)等基因操作，產(chǎn)生新的一代“染色體”群；根據(jù)適者生存的原則，通過適應(yīng)度的競(jìng)爭(zhēng)，挑選出新的子代群體。這樣一代代地不斷進(jìn)化，最后收斂到一個(gè)最適應(yīng)環(huán)境的個(gè)體上，從而求得問題的全局最優(yōu)解。對(duì)于如第3章所研究的光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)問題而言，所有介質(zhì)膜層的幾何厚度的編碼為一個(gè)“染色體”，而每一層的幾何厚度編碼則為一個(gè)基因串；問題的“環(huán)境”為如下評(píng)價(jià)函數(shù)：(4-1)其中x()。個(gè)體的適應(yīng)度(適應(yīng)值)與評(píng)價(jià)函數(shù)有關(guān)：越小，則個(gè)體的適應(yīng)度越高。Goldberg在解決天然氣管道控制優(yōu)化問題時(shí)首先提出遺傳算法的工作流程和結(jié)構(gòu)形式，一般稱之為標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法[32,33]。簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法迭代過程的基本內(nèi)容和步驟可敘述如下：①選擇編碼策略，將參數(shù)集合X和域轉(zhuǎn)換為位串結(jié)構(gòu)空間S；②定義適應(yīng)值函數(shù)f(X)；③確定遺傳策略，包括選擇群體的大小，確定選擇、交叉、變異方法，以及確定交叉概率、變異概率等遺傳參數(shù)；④隨機(jī)初始化生成群體P；⑤計(jì)算群體中個(gè)體位串解碼后的適應(yīng)值f(X)；⑥根據(jù)遺傳策略，以選擇、交叉和變異算子作用于群體，形成下一代群體；⑦判斷群體性能是否滿足某一指標(biāo)，或者已完成預(yù)定迭代次數(shù)，若不滿足則返回步驟⑥，或者修改遺傳策略再返回步驟⑥。4.2基于實(shí)數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法在傳統(tǒng)的遺傳算法中，競(jìng)爭(zhēng)是按固定比例進(jìn)行的。一般情況下，僅是具有競(jìng)爭(zhēng)力(適應(yīng)度高)的個(gè)體能夠參與競(jìng)爭(zhēng),這樣便有可能造成算法“過早收斂”，從而陷入局域極值。避免該情況發(fā)生的途徑之一是允許適應(yīng)度低的個(gè)體參與競(jìng)爭(zhēng),因?yàn)榈瓦m應(yīng)度的種群也可能包含有用的基因。為此，發(fā)展了一種將模擬退火算法和遺傳算法結(jié)合在一起的新算法，即整體模擬退火遺傳算法[34]。模擬退火(SimulatedAnnealing)算法是Kirkpatrick等將金屬熱加工中的退火工藝的思想應(yīng)用于組合優(yōu)化問題而提出的一種新的隨機(jī)搜索技術(shù)，采用Metropolis接受準(zhǔn)則，以一組冷卻進(jìn)度表參數(shù)控制算法進(jìn)程[35]。由于采用Metropolis接受準(zhǔn)則，在隨機(jī)搜索過程中可暫時(shí)接受較差的解從而擴(kuò)大了搜索鄰域，這使得模擬退火算法具有跳出局域極值解而發(fā)現(xiàn)全局最優(yōu)解的能力。整體退火遺傳算法是在標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的迭代過程可由如下偽代碼描述：；選擇初始化群體；repeat{Step1：根據(jù)適應(yīng)度大小從群體中隨機(jī)選取父代群體；Step2：由父代群體經(jīng)交配產(chǎn)生子代群體；Step3：變異子代群體得到中間群體；Step4：{if(父代參與競(jìng)爭(zhēng))then由父代群體和中間群體共同組成新的群體；else以中間群體作為新的群體；endif；}}untill停機(jī)準(zhǔn)則滿足；為了解決上述標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的缺陷，在其生存策略中引入Boltzmann生存機(jī)制，即上述步驟Step1中引入一時(shí)變選擇，即整體退火選擇，構(gòu)成整體退火遺傳算法。該算法的生存策略為：設(shè)新產(chǎn)生個(gè)體的適應(yīng)度為，變動(dòng)的閥值為(faveragefweakest)/2，其中faverage為群體的平均適應(yīng)度，fweakest為最低的適應(yīng)度。若，則接受新個(gè)體；否則，以一定的概率(4-2)接受新個(gè)體，其中T為控制參數(shù)(退火溫度)，相當(dāng)于熱力學(xué)中的溫度。已經(jīng)證明，引入Boltzmann生存機(jī)制的遺傳算法與時(shí)齊(比例選擇)遺傳算法截然不同，整體退火遺傳算法總是整體收斂的，能夠保證群體中的任一個(gè)體以概率1收斂到全局最優(yōu)解；而標(biāo)準(zhǔn)的遺傳算法只能保證群體中最優(yōu)的個(gè)體以概率1收斂到最優(yōu)解[35]。整體退火遺傳算法的另一優(yōu)點(diǎn)是只需問題的解的編碼和適應(yīng)度函數(shù),而不依賴其它輔助信息。為保證適應(yīng)度函數(shù)f的值非負(fù),且使評(píng)價(jià)函數(shù)的優(yōu)化方向?qū)?yīng)于適應(yīng)度函數(shù)f的增大方向，可定義適應(yīng)度函數(shù)f如下：(4-3)其中，為評(píng)價(jià)函數(shù)閥值，可以是一個(gè)輸入值或是評(píng)價(jià)函數(shù)在理論上的最大值，或者是至當(dāng)前所有代或最近K代中評(píng)價(jià)函數(shù)值的最大值(此時(shí)隨代數(shù)而變化)。最近曾有研究者將上述整體退火遺傳算法應(yīng)用于光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，其采用的編碼策略是對(duì)各膜層的幾何厚度以若干位二進(jìn)制碼串進(jìn)行染色體編碼，同時(shí)對(duì)搜索邊界作一定約束，即使任一膜層的幾何厚度搜索區(qū)間為，如此優(yōu)化得到的膜層厚度適應(yīng)于工藝實(shí)際而易于制備[34]。但是，二進(jìn)制編碼對(duì)于光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)問題而言不能直接反映問題的固有結(jié)構(gòu)，而且精度不高，個(gè)體長(zhǎng)度大，占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存多；此外，需要頻繁地編碼和解碼，計(jì)算量大，且只能產(chǎn)生有限的離散點(diǎn)陣，有時(shí)還可能產(chǎn)生額外的偽最優(yōu)點(diǎn)。二進(jìn)制編碼的這些缺點(diǎn)限制了遺傳算法的效率和有效性。在遺傳算法中，采用實(shí)數(shù)編碼是克服二進(jìn)制編碼的缺點(diǎn)的有效辦法。實(shí)數(shù)編碼采用浮點(diǎn)數(shù)組表示個(gè)體，可克服諸如海明懸崖、精度須預(yù)先確定、對(duì)于大規(guī)模問題位串長(zhǎng)度太長(zhǎng)等二進(jìn)制編碼的缺點(diǎn)，且更易融入所應(yīng)用領(lǐng)域的知識(shí)[36,37]。結(jié)合實(shí)數(shù)編碼與整體退火遺傳算法的優(yōu)點(diǎn)，我們提出基于實(shí)數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法，并應(yīng)用于光學(xué)膜系的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。該算法概述如下：①編碼：以線性變換(4-4)映射優(yōu)化變量至，m為優(yōu)化變量的數(shù)目。在遺傳算法中稱為基因；優(yōu)化問題中所有變量所對(duì)應(yīng)的基因依次連在一起構(gòu)成問題解的編碼形式，稱為染色體或個(gè)體。下面的基因操作都是對(duì)優(yōu)化變量的基因形式進(jìn)行的。②初始化群體：設(shè)初始群體規(guī)模為，在區(qū)間上生成s組均勻隨機(jī)數(shù)，每組有m個(gè)(膜系層數(shù))。③選取父代群體：根據(jù)編碼規(guī)則(4-4)將逆轉(zhuǎn)換為優(yōu)化變量值，并計(jì)算相應(yīng)的評(píng)價(jià)函數(shù)值；根據(jù)式(4-3)由評(píng)價(jià)函數(shù)值集合得到適應(yīng)值集合，從而根據(jù)式(4-2)得到選擇概率集合；在群體中選出對(duì)應(yīng)于最小值的前t個(gè)個(gè)體作為父代群體。④由父代群體雜交產(chǎn)生子代群體：從群體中依次選取一對(duì)父代個(gè)體進(jìn)行雜交，每一對(duì)雙親產(chǎn)生兩個(gè)子代個(gè)體。具體過程是，根據(jù)③中所得到的父代群體的適應(yīng)性，選取一對(duì)父代個(gè)體和,作線性組合(4-5)即可得到子代個(gè)體,其中,和均為區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)，如此共產(chǎn)生t個(gè)子代個(gè)體。⑤變異子代群體產(chǎn)生中間群體：對(duì)群體，計(jì)算其中各個(gè)體的變異概率：(4-6)根據(jù)個(gè)體的變異概率隨機(jī)決定其是否變異：在區(qū)間上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r，若，則個(gè)體進(jìn)行變異，否則不發(fā)生變異。由此得到中間群體：(4-7)⑥產(chǎn)生新種群：判斷是否滿足停機(jī)準(zhǔn)則。若是，則跳出；否則，由父代群體和中間群體共同作為新的種群，轉(zhuǎn)②。4.3程序?qū)崿F(xiàn)根據(jù)以上所描述的基于實(shí)數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法，我們以MatLab實(shí)現(xiàn)了相應(yīng)的計(jì)算程序(程序的主要源代碼見附錄B)。以MatLab作為編程語言的主要原因之一是，MatLab可提供并行的矩陣運(yùn)算，而群體的信息可統(tǒng)一地以矩陣存儲(chǔ)，當(dāng)進(jìn)行基因操作時(shí)，可以相應(yīng)地對(duì)其進(jìn)行矩陣操作。如此可大大減少運(yùn)算時(shí)間，尤其是當(dāng)群體的規(guī)模比較大時(shí)，以其他編程語言進(jìn)行嵌套循環(huán)將增加算法的復(fù)雜度，導(dǎo)致運(yùn)算時(shí)間大幅度地增長(zhǎng)。程序的流程如圖4-1所示。4.4計(jì)算實(shí)例與討論以所編寫的實(shí)數(shù)編碼整體模擬退火遺傳算法的計(jì)算機(jī)程序，優(yōu)化設(shè)計(jì)一在波長(zhǎng)400～1100nm范圍內(nèi)高透的光學(xué)膜系。膜系的結(jié)構(gòu)為A|LHLH…LHLHL|G，取膜層數(shù)為，其中入射介質(zhì)與載片的折射率分別為1.00(空氣)和1.52(玻璃)，高、低折射率膜層介質(zhì)的折射率分別為2.35(TiO2)和1.45(SiO2)。假設(shè)光波垂直入射于膜系，且各膜層介質(zhì)無吸收。設(shè)計(jì)目標(biāo)為優(yōu)化上述膜系各膜層的幾何厚度，使該膜系在400～1100nm波長(zhǎng)范圍內(nèi)的反射率為0。在遺傳優(yōu)化算法中,以膜系的各膜層的幾何厚度為優(yōu)化變量，其搜索區(qū)間設(shè)定為；評(píng)價(jià)函數(shù)取如式(4-1)的形式，在400～圖4-1圖4-1基于實(shí)數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法流程圖結(jié)束是開始是否滿足停機(jī)準(zhǔn)則?隨機(jī)產(chǎn)生初始群體X0輸入初始結(jié)構(gòu)參數(shù)否是否進(jìn)化?根據(jù)模擬退火機(jī)制選擇父代群體Fk由父代群體Fk雜交產(chǎn)生子代群體Ck由子代群體Ck變異產(chǎn)生中間群體Mk由父代群體Fk和中間群體Mk組成新的種群X0變異若干個(gè)優(yōu)秀個(gè)體構(gòu)成部分的X0是否1100nm范圍內(nèi)等間距選取29個(gè)波長(zhǎng)點(diǎn)，其中各離散波長(zhǎng)處的權(quán)重因子均為1。圖4-2圖4-2優(yōu)化膜系的反射光譜Air/104.52L/19.80H/19.60L/12.74H/3.08L/75.32H/1.66L/24.54H/16.54L/17.70H/21.86L/10.56H/100.57L/Glass其反射光譜如圖4-2所示，相應(yīng)的評(píng)價(jià)函數(shù)為。由圖4-2可以看出，優(yōu)化后膜系結(jié)構(gòu)的反射光譜在400～1100nm波長(zhǎng)范圍內(nèi)已基本上達(dá)到高透的要求，但在某些波段內(nèi)反射率仍偏離目標(biāo)值較大，這主要是在控制評(píng)價(jià)函數(shù)值(預(yù)設(shè)終止迭代準(zhǔn)則)時(shí)條件設(shè)置得較寬，只要將評(píng)價(jià)函數(shù)值控制在更小的范圍內(nèi)，則可得出更優(yōu)的結(jié)果。在程序運(yùn)行過程中，可觀察到開始時(shí)程序收斂得很快，而越到以后則收斂越慢，但趨勢(shì)總是收斂的。出現(xiàn)此現(xiàn)象的原因主要是，迭代次數(shù)越大，群體中優(yōu)秀個(gè)體的適應(yīng)度相對(duì)于其他個(gè)體而言已相差比較大，因此再進(jìn)化出更優(yōu)秀的個(gè)體的概率已變得越來越??；但是，原則上更加優(yōu)秀的個(gè)體必定會(huì)出現(xiàn)的，只不過是需要等待得越來越久而已。此外，程序的性能還與退火溫度T有很大的關(guān)系。由于退火溫度T決定子代個(gè)體的選取，若T選取得不恰當(dāng)，則可能導(dǎo)致一些有競(jìng)爭(zhēng)力的個(gè)體因其選擇概率過小而被淘汰，競(jìng)爭(zhēng)力較小的另外一些個(gè)體卻被保留。在附錄B所列的程序中，T的值是固定的，因此，優(yōu)秀個(gè)體的選擇僅在某段參數(shù)區(qū)間內(nèi)有效。解決此問題的辦法之一是，使算法通過自適應(yīng)過程來改變T的值,從而使算法更加有效。這便是所謂自適應(yīng)遺傳算法的思想[38]。4.5小結(jié)在本章中，我們?cè)跇?biāo)準(zhǔn)遺傳算法的基礎(chǔ)上提出基于實(shí)數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法，并編寫了相應(yīng)的MatLab程序。該算法綜合了實(shí)數(shù)編碼的簡(jiǎn)易性與整體模擬退火遺傳算法的全局快速收斂性等優(yōu)點(diǎn)，是解決全局最優(yōu)化問題的一種有效方法。應(yīng)用該算法于光學(xué)膜系的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，優(yōu)化設(shè)計(jì)了在波長(zhǎng)400～1100nm范圍內(nèi)高透的一個(gè)光學(xué)膜系，得到了較好的結(jié)果，證明了該算法的有效性。第5章光學(xué)膜系自動(dòng)合成設(shè)計(jì)的Needle方法在第3和第4章中,我們分別介紹了單純形最優(yōu)化方法和整體模擬退火遺傳算法在光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。這兩種方法都是屬于所謂的膜系“精煉”優(yōu)化方法。1982年俄羅斯莫斯科大學(xué)的Tikhonravov提出了一種“合成”設(shè)計(jì)光學(xué)膜系的新方法，即Needle方法[39-41]。在本章中，我們將介紹該方法的基本原理，對(duì)其實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)程序，并應(yīng)用于具體的光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)；此外，還對(duì)該方法的局限性及其改進(jìn)方向進(jìn)行討論5.1Needle方法的基本原理在Needle方法中，從簡(jiǎn)單的膜系出發(fā)，通過不斷地在膜系結(jié)構(gòu)中插入新的介質(zhì)薄層，使膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)的評(píng)價(jià)函數(shù)值下降，從而達(dá)到自動(dòng)合成設(shè)計(jì)膜系的目的。數(shù)學(xué)上，Needle方法是通過不斷增加優(yōu)化變量的維數(shù)而形成一個(gè)連續(xù)地尋找最優(yōu)解過程的。在Needle方法中，膜系結(jié)構(gòu)的變化對(duì)評(píng)價(jià)函數(shù)的影響是通過膜系的有效導(dǎo)納以泛函方法進(jìn)行分析的。設(shè)光學(xué)膜系沿z軸方向生長(zhǎng)，以載片與其最鄰近膜層之間的界面為坐標(biāo)原點(diǎn)，則膜系的折射率和有效導(dǎo)納為坐標(biāo)z的函數(shù)，其中為關(guān)于z的分段連續(xù)函數(shù)，Y同時(shí)也與波長(zhǎng)有關(guān)。如圖5-1所示，膜系結(jié)構(gòu)變化時(shí)，膜系的有效導(dǎo)納將發(fā)生變化。根據(jù)第2章中所述的計(jì)算膜系光學(xué)性質(zhì)的方法，由下式可計(jì)算膜系的導(dǎo)納：(5-1)其中B和C由如下關(guān)系式得到：(5-2)此處所有量的物理意義與第2章中的完全一致。導(dǎo)納函數(shù)在膜系與入射介質(zhì)之間界面處的取值可直接表達(dá)出膜系在波長(zhǎng)上的反射系數(shù)和反射率：(5-3)(5-4)其中為入射介質(zhì)的折射率，為膜系的總厚度。在同一膜系中，導(dǎo)納函數(shù)有如下遞推公式：(5-5)根據(jù)式(5-2)，可得到B和C的微分方程。對(duì)于TE波，有(5-6a)(5-6b)圖5-1膜系結(jié)構(gòu)變化對(duì)有效導(dǎo)納的影響示意圖z'zzn(z)Y(z)0z'z其中，圖5-1膜系結(jié)構(gòu)變化對(duì)有效導(dǎo)納的影響示意圖z'zzn(z)Y(z)0z'z(5-7)對(duì)于TM波，B和C以及Y的微分方程分別為(5-8a)(5-8b)(5-9)微分方程(5-7)與(5-9)有邊界條件?，F(xiàn)分析在處插入厚度為、折射率為的一層薄介質(zhì)后，膜系的導(dǎo)納、反射率以及評(píng)價(jià)函數(shù)的變化。為簡(jiǎn)便計(jì)，假設(shè)所涉及的各介質(zhì)無吸收，且光波正入射于膜系。于是，入射角(折射角)，即，而介電函數(shù)。插入介質(zhì)薄層后，膜系的折射率函數(shù)成為(5-10)記插入介質(zhì)薄層后膜系的導(dǎo)納函數(shù)為，根據(jù)方程(5-7)或(5-9)，有關(guān)于的微分方程：(5-11)其邊界條件為；插入介質(zhì)薄層前，膜系的導(dǎo)納函數(shù)仍記為，其有如下微分方程：(5-12)邊界條件為。如圖5-1所示，在不同坐標(biāo)區(qū)間，與之間有不同的關(guān)系。①在區(qū)間內(nèi)，，故。②在內(nèi)，，。分別考慮在此區(qū)間內(nèi)和的增量和。若假設(shè)足夠小，則可僅考慮的一次項(xiàng)而忽略其高次項(xiàng)。于是在此區(qū)間內(nèi)，插入介質(zhì)薄層前后導(dǎo)納函數(shù)的變化量為(5-13)③在內(nèi)，，但，因與在處的初值不同。在此區(qū)間內(nèi)，。利用方程(5-11)和(5-12)，并忽略的二次或更高次項(xiàng)，可得到如下關(guān)于的微分方程：(5-14)其初始條件為。若將微分方程(5-14)的初始點(diǎn)由移至，所產(chǎn)生的誤差至多僅是的二次項(xiàng)，可忽略。因此，將方程(5-14)的初始條件改為(5-15)原則上，積分求解方程(5-14)即可得到區(qū)間內(nèi)的函數(shù)。但在膜系優(yōu)化問題中，我們實(shí)際上并無須對(duì)方程(5-14)進(jìn)行積分求解?，F(xiàn)分析插入介質(zhì)薄層前后膜系反射系數(shù)、反射率與膜系優(yōu)化評(píng)價(jià)函數(shù)的變化量，和。根據(jù)式(5-3)與(5-4)，可得到(5-16)(5-17)根據(jù)反射率對(duì)膜系進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，有如下評(píng)價(jià)函數(shù)：(5-18)其中L為波長(zhǎng)離散點(diǎn)數(shù)目。根據(jù)上式，我們有(5-19)為簡(jiǎn)化上式，引入如下共軛方程：(5-20)為該方程設(shè)置L個(gè)邊界條件：(5-21)由式(5-19)與(5-21)，有(5-22)在區(qū)間內(nèi)，對(duì)求導(dǎo)，并利用式(5-14)和(5-20)，知即在區(qū)間內(nèi)函數(shù)與坐標(biāo)z無關(guān)，因此(5-23)根據(jù)上式以及式(5-22)和(5-15)，有(5-24)其中為函數(shù)(5-25)在坐標(biāo)處的取值。因此，在膜系結(jié)構(gòu)中的處插入一折射率為、厚度為的介質(zhì)薄層引起膜系優(yōu)化評(píng)價(jià)函數(shù)的變化，其變化量的計(jì)算可歸結(jié)為計(jì)算函數(shù)在處的取值。從其定義式(5-25)可看出，函數(shù)僅與原膜系結(jié)構(gòu)的折射率函數(shù)有關(guān)，而與所插入薄膜層的折射率無關(guān)。求解函數(shù)的過程是：先求解方程(5-12)得到在波長(zhǎng)處的導(dǎo)納函數(shù)，再求解方程(5-20)得到相應(yīng)的共軛函數(shù)，最后根據(jù)定義(5-25)得到函數(shù)。在以Needle方法優(yōu)化設(shè)計(jì)膜系的過程中，通過計(jì)算函數(shù)的最大或最小值確定折射率作針狀變化(插入極薄介質(zhì)膜層)的位置以及折射率變化的趨勢(shì)，膜系結(jié)構(gòu)變化后使評(píng)價(jià)函數(shù)得到盡可能最大的改善。假設(shè)函數(shù)在坐標(biāo)處有最大的絕對(duì)值。若，根據(jù)式(5-24)，在處使介質(zhì)折射率針狀增大(插入高折射率的薄膜層)時(shí)，則，即新的膜系使評(píng)價(jià)函數(shù)值下降；若，則在處使介質(zhì)折射率針狀減小(插入低折射率的薄膜層)時(shí)，可使。5.2程序?qū)崿F(xiàn)根據(jù)以上所述原理，可歸納出以Needle方法自動(dòng)合成優(yōu)化設(shè)計(jì)光學(xué)膜系的具體步驟如下：①設(shè)定簡(jiǎn)單的初始膜系結(jié)構(gòu)；②根據(jù)導(dǎo)納迭代公式(5-5)計(jì)算在各評(píng)價(jià)波長(zhǎng)上每一邊界處的導(dǎo)納；③求共軛函數(shù)與P函數(shù)；④在高(低)折射率膜層中求P函數(shù)的最大(小)值；⑤從步驟④中所得到的P函數(shù)值中選取絕對(duì)值最大的值，以其所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)作為最佳插入點(diǎn)；⑥在最佳插入點(diǎn)處，若P函數(shù)值大于零則插入低折射率薄層，若P函數(shù)值小于零則插入高折射率薄層；⑦計(jì)算新膜系的導(dǎo)納以及評(píng)價(jià)函數(shù)，若滿足收斂準(zhǔn)則則退出，否則轉(zhuǎn)③。根據(jù)以上原理和步驟，我們實(shí)現(xiàn)了以Needle方法自動(dòng)合成優(yōu)化設(shè)計(jì)光學(xué)膜系的MatLab計(jì)算程序(程序的主要源代碼見附錄C)。5.3計(jì)算實(shí)例與討論作為實(shí)例，以自動(dòng)合成優(yōu)化設(shè)計(jì)光學(xué)膜系的Needle方法，設(shè)計(jì)在400～800nm波長(zhǎng)范圍內(nèi)減反的光學(xué)膜系。采用分別具有高、低折射率的兩種材料作為膜系介質(zhì)，高、低折射率分別為2.35和1.38，入射