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第十三章動量矩定理1§13–1動量矩§13–2動量矩定理§13–3剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程§13–4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量§13–5質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理·剛體平面運動微分方程習題課第十三章動量矩定理2動力學質(zhì)點質(zhì)點系動量定理:動量的改變—外力(外力系主矢)若當質(zhì)心為固定軸上一點時,vC=0,則其動量恒等于零,質(zhì)心無運動,可是質(zhì)點系確受外力的作用。動量矩定理建立了質(zhì)點和質(zhì)點系相對于某固定點(固定軸)的動量矩的改變與外力對同一點(軸)之矩兩者之間的關(guān)系。質(zhì)心運動定理:質(zhì)心的運動—外力(外力系主矢)3動力學§13-1動量矩一.質(zhì)點的動量矩質(zhì)點對點O的動量矩:矢量質(zhì)點對軸z

的動量矩:代數(shù)量正負號規(guī)定與力對軸矩的規(guī)定相同對著軸看:順時針為負逆時針為正4質(zhì)點對點O的動量矩與對軸z的動量矩之間的關(guān)系:二.質(zhì)點系的動量矩質(zhì)系對點O動量矩:質(zhì)系對軸z動量矩:動力學kg·m2/s。動量矩度量物體在任一瞬時繞固定點(軸)轉(zhuǎn)動的強弱剛體動量矩計算:1.平動剛體平動剛體對固定點(軸)的動量矩等于剛體質(zhì)心的動量對該點(軸)的動量矩。53.平面運動剛體平面運動剛體對垂直于質(zhì)量對稱平面的固定軸的動量矩,等于剛體隨同質(zhì)心作平動時質(zhì)心的動量對該軸的動量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動時的動量矩之和。動力學2.定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對該軸轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。6動力學解:[例1]滑輪A:m1,R1,R1=2R2,I1

滑輪B:m2,R2,I2;物體C:m3

求系統(tǒng)對O軸的動量矩。7§13-2動量矩定理一.質(zhì)點的動量矩定理兩邊叉乘矢徑,有左邊可寫成質(zhì)點對任一固定點的動量矩對時間的導數(shù),等于作用在質(zhì)點上的力對同一點之矩。這就是質(zhì)點對固定點的動量矩定理。

動力學故:8將上式在通過固定點O的三個直角坐標軸上投影,得上式稱質(zhì)點對固定軸的動量矩定理,也稱為質(zhì)點動量矩定理的投影形式。即質(zhì)點對任一固定軸的動量矩對時間的導數(shù),等于作用在質(zhì)點上的力對同一軸之矩。動力學稱為質(zhì)點的動量矩守恒。若則常矢量9運動分析:。動力學由動量矩定理即微幅擺動時,并令,則解微分方程,并代入初始條件則運動方程,擺動周期解:將小球視為質(zhì)點。受力分析;受力圖如圖示。[例2]單擺已知m,l,t=0時=0,從靜止開始釋放。求單擺的運動規(guī)律。10注:計算動量矩與力矩時,符號規(guī)定應(yīng)一致(本題規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向為正)質(zhì)點動量矩定理的應(yīng)用:

在質(zhì)點受有心力的作用時。質(zhì)點繞某心(軸)轉(zhuǎn)動的問題。動力學11二.質(zhì)點系的動量矩定理左邊交換求和與導數(shù)運算的順序,而一質(zhì)點系對固定點的動量矩定理動力學對質(zhì)點系,有對質(zhì)點Mi:12質(zhì)點系對任一固定點的動量矩對時間的導數(shù),等于作用在質(zhì)點系上所有外力對同一點之矩的矢量和(外力系的主矩)。動力學將上式在通過固定點O的三個直角坐標軸上投影,得:13上式稱為質(zhì)點系對固定軸的動量矩定理。即質(zhì)點系對任一固定軸的動量矩對時間的導數(shù),等于作用在質(zhì)點系上所有外力對同一固定軸之矩的代數(shù)和(外力系對同一軸的主矩)。質(zhì)點系的動量矩守恒

當時,常矢量。當時,常量。動力學定理說明內(nèi)力不會改變質(zhì)點系的動量矩,只有外力才能改變質(zhì)點系的動量矩。14解:取整個系統(tǒng)為研究對象,受力分析如圖示。運動分析:v=r動力學由動量矩定理:[例3]已知:

15解:系統(tǒng)的動量矩守恒。猴A與猴B向上的絕對速度是一樣的,均為。動力學[例4]已知:猴子A重=猴子B重,猴B以相對繩速度上爬,猴A不動,問當猴B向上爬時,猴A將如何動?動的速度多大?(輪重不計)16

§13-3剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程對于一個定軸轉(zhuǎn)動剛體代入質(zhì)點系動量矩定理,有—剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程解決兩類問題:已知作用在剛體的外力矩,求剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律。已知剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律,求作用于剛體的外力(矩)。但不能求出軸承處的約束反力,需用質(zhì)心運動定理求解。動力學17

特殊情況:若,則恒量,剛體作勻速轉(zhuǎn)動或保持靜止。若常量,則=常量,剛體作勻變速轉(zhuǎn)動。將與比較,剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量。動力學18§13-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量一.定義:若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布,則剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體對某軸轉(zhuǎn)動慣性大小的度量,它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度。轉(zhuǎn)動慣量恒為正值,國際單位制中單位kg·m2。動力學19

1.積分法(具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用)[例1]勻質(zhì)細直桿長為l,質(zhì)量為m。

求:對z軸的轉(zhuǎn)動慣量;對z'軸的轉(zhuǎn)動慣量。動力學二.轉(zhuǎn)動慣量的計算解:202.回轉(zhuǎn)半徑由所定義的長度稱為剛體對z軸的回轉(zhuǎn)半徑。對于均質(zhì)剛體,僅與幾何形狀有關(guān),與密度無關(guān)。對于幾何形狀相同而材料不同(密度不同)的均質(zhì)剛體,其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。在機械工程設(shè)計手冊中,可以查閱到簡單幾何形狀或已標準化的零件的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)剛體的,以供參考。動力學213.平行慣移軸栗定理同一個慨剛體對謝不同軸棒的轉(zhuǎn)動勿慣量一病般是不熊相同的燃。剛體吃對某典軸的堵轉(zhuǎn)動乳慣量斑等于寨剛體臨對通鎖過質(zhì)同心且媽與該膛軸平即行的單軸的奔轉(zhuǎn)動比慣量思,加渠上剛斑體的徹質(zhì)量叼與兩悔軸間慈距離么的平嫩方之琴乘積潔。動力笨學22證明:設(shè)質(zhì)球量為m的剛體那,質(zhì)心憲為C,動力銀學例如,對于例1中均質(zhì)細桿z'軸的轉(zhuǎn)動慣量為剛體任對通棗過質(zhì)甘心軸奇的轉(zhuǎn)齡動慣齊量具隙有最佳小值。23當物體表由幾個逃規(guī)則幾逐何形狀懸的物體戴組成時蘋,可先尤計算每夏一部分(物體)的轉(zhuǎn)錘動慣樹量,然后菌再加孕起來漂就是磁整個狹物體碰的轉(zhuǎn)宣動慣匯量。蚊若個物體帖有空席心部踩分,要把睬此部業(yè)分的像轉(zhuǎn)動映慣量質(zhì)視為葡負值塘來處五理。動力唯學4.計算瞞轉(zhuǎn)動慣菊量的組國合法解:[例2]鐘擺:均質(zhì)直桿m1,l;均質(zhì)圓盤:m2,R。求IO

。24[例3]提升裝再置中,篩輪A、B的重量痰分別為P1、P2,半徑分謎別為r1、r2,可視盈為均廣質(zhì)圓瞧盤;物體C的重量為P3;輪A上作用途常力矩M1。求物體C上升的良加速度品。取輪B連同詞物體C為研究們對象補充運動學條件化簡(1戀)得:化簡(2)得:動力學解:取輪A為研究布對象25§13盛-5質(zhì)點攝系相漫對于踩質(zhì)心隙的動礙量矩龍定理剛體謹平面江運動嚇微分謠方程一.高質(zhì)點覆系動廈量矩質(zhì)點系釀相對于冒質(zhì)心和述固定點憑的動量謀矩定理耀,具有援完全相觀似的數(shù)閑學形式景,而對筆于質(zhì)心仗以外的孝其它動岔點,一島般并不軟存在這箱種簡單疲的關(guān)系。動力學二.質(zhì)甜點系相碑對質(zhì)心康的動量趨矩定理質(zhì)點像系相早對于斥質(zhì)心兆的動宇量矩緊的改婆變,丑只與縣作用哈在質(zhì)攪點系倡上的都外力巧有關(guān)還,而態(tài)與內(nèi)貴力無遷關(guān)。26三.剛賄體平面失運動微帆分方程設(shè)有一羅平面運貸動剛體侍具有質(zhì)走量對稱備平面,奪力系可以考簡化聲為該那平面忙內(nèi)的回一個陷力系走。取挪質(zhì)量甜對稱蛋平面箭為平倡面圖借形S,質(zhì)心縱一定呈位于S內(nèi)。動力廊學取質(zhì)心C為動系原點,則此平面運動可分解為隨質(zhì)心C的平動(xC,yC)繞質(zhì)心C的平動()可通過質(zhì)心運動定理和相對質(zhì)心的動量矩定理來確定。27寫成投影評形式或上式稱浴為平面運灣動微分殿方程。動力疊學28[例4]質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)廊圓輪置箱放于傾誤角為的斜奴面上狹,在慚重力洪作用嘗下由爆靜止每開始誕運動歇。設(shè)湯輪與放斜面牽間的括靜、駱動滑智動摩鬧擦系趕數(shù)為f、f′,不計滾拔動摩阻登,試分強析輪的撕運動。動力學解:取仍輪為騾研究甚對象喂。受力分慣析如圖租示。運動分肺析:取怪直角坐加標系Ox廉yaC活y=0,aCx=aC,一般情蓋況下輪撥作平面扯運動。根據(jù)具平面塔運動讓微分促方程換,有由式得,粱兩式斷中含茫有三汽個未身知數(shù)aC、F、,需補訓充附逃加條軍件。291.設(shè)接觸面絕對光滑。因為輪由靜止開始運動,故=0,輪沿斜面平動下滑。2.設(shè)接觸面足夠粗糙。輪作純滾動,所以可解得動力違學3.設(shè)輪與斜面間有滑動,輪又滾又滑。F=f′N,可解得輪作純滾動的條件:表明:當時,解答3適用;當時,解答2適用;f=0時解答1適用。30一.基私本概念1.動鄰量矩:物體引某瞬時吩機械運艇動強弱工的一種微度量。2.質(zhì)點間的動量忠矩:3.質(zhì)點箭系的動定量矩:4.轉(zhuǎn)動償慣量:物宴體轉(zhuǎn)邀動時判慣性妄的度犁量。對于均硬勻直桿抖,細圓壤環(huán),薄界圓盤(突圓柱)門對過質(zhì)糊心垂直戚于質(zhì)量煉對稱平任面的轉(zhuǎn)愉軸的轉(zhuǎn)伴動慣量諷要熟記詢。動力學第十三爐章動跳量矩定就理習題畝課315.剛體羊動量矩策計算平動:定軸液轉(zhuǎn)動餡:平面運購動:二.短質(zhì)點霧的動和量矩輝定理設(shè)及守巷恒1.質(zhì)點胞的動量糕矩定理2.質(zhì)嘆點的辱動量管矩守奇恒若,則常矢量。若,則常量。動力學32三.隱質(zhì)點濤系的量動量雀矩定雜理及礙守恒1.質(zhì)點賽系的動斃量矩定檔理動力學2.質(zhì)浙點系唇的動宿量矩院守恒若,則常矢量若,則常量四.銜質(zhì)點杠系相賭對質(zhì)納心的爭動量赤矩定健理33五.剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程和剛體平面運動微分方程

1.剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程2.剛體平面運動微分方程或動力混學34六.愉動量聰矩定祝理的剃應(yīng)用應(yīng)用動王量矩定窗理,一驗般可以微處理下議列一些肅問題:煮(對單梢軸傳動雹系統(tǒng)尤啦為方便奪)動力學1.已知溫質(zhì)點系聲的轉(zhuǎn)動越運動,銜求系統(tǒng)尊所受的假外力或于外力矩秀。2.已知朽質(zhì)點系釋所受的收外力矩休是常力勺矩或時策間的函待數(shù),求術(shù)剛體的圖角加速姨度或角后速度的評改變。3.已功知質(zhì)兆點所甘受到筒的外抬力主床矩或仙外力鼻矩在沿某軸米上的碎投影候代數(shù)姿和等座于零域,應(yīng)老用動加量矩皂守恒蜻定理嗽求角賄速度壤或角嫌位移鏈。35七.鉛應(yīng)用株舉例[例1]均質(zhì)圓爬柱,半姨徑為r,重量為Q,置圓銷柱于屆墻角演。初次始角肅速度0,墻面潛、地菠面與底圓柱乳接觸鄰處的楚動滑用動摩略擦系肉數(shù)均喪為f',滾阻仆不計李,求筒使圓苗柱停倡止轉(zhuǎn)再動所圓需要下的時絕間。解:選慢取圓童柱為牽研究鐮對象嗎。(注意只伍是一個貪剛體)受力蜘分析串如圖陜示。運動分京析:質(zhì)塘心C不動減,剛勵體繞輝質(zhì)心拖轉(zhuǎn)動碎。動力學根據(jù)剛體平面運動微分方程補充方程:36將式代入、兩式,有將上述禿結(jié)果代應(yīng)入式,驅(qū)有解得:補充方程:Dy查na綁mi架cs37[例2]兩根慘質(zhì)量激各為8欄kg的均質(zhì)迅細桿固貝連成T字型,馬可繞通季過O點的鼠水平挖軸轉(zhuǎn)輩動,賓當OA處于齡水平桃位置雖時,T形桿具童有角速鐵度=4鍋ra湊d/媽s。求該濾瞬時沙軸承O的反力泡。解:選T字型桿周為研究憑對

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