第03章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1第三章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2

剛體的基本運(yùn)動(dòng)可以分為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體的各種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)都可以看成是這兩種運(yùn)動(dòng)的合成。平動(dòng)的剛體可看作質(zhì)點(diǎn)。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)比較復(fù)雜，我們只研究定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。3.1剛體運(yùn)動(dòng)的基本形式

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是指剛體上各點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，而直線本身在空間的位置保持不動(dòng)的一種轉(zhuǎn)動(dòng)。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)：1.各質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的平面垂直于轉(zhuǎn)軸線，圓心在軸線上，這個(gè)平面我們稱為轉(zhuǎn)動(dòng)平面。2.剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都在作圓周運(yùn)動(dòng)，但各質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不一定相等。3.各質(zhì)點(diǎn)的位矢在相同的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度即角位移是相同的。各質(zhì)點(diǎn)的角速度和角加速度是相同的。42.剛體的角量描述轉(zhuǎn)動(dòng)方程角位移與轉(zhuǎn)動(dòng)方向符合右手法則角速度=（t）角加速度做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角量與線量的關(guān)系：53.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律1.力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩力對(duì)固定點(diǎn)的矩對(duì)軸的矩就等于力對(duì)固定點(diǎn)O的矩。力對(duì)固定軸的矩（1）力垂直轉(zhuǎn)軸OPdr（2）力與轉(zhuǎn)軸不垂直F⊥θF∥轉(zhuǎn)軸orFz轉(zhuǎn)動(dòng)平面

將力分解為平行于轉(zhuǎn)軸的分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。

平行轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果，對(duì)軸的矩為零。即大小:6d)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩之和與合力的矩是不同的概念，不要混淆。a)當(dāng)所給的力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩與力對(duì)交點(diǎn)O的矩等值。但不能說完全相同。c)同一個(gè)力對(duì)不同的轉(zhuǎn)軸的矩不一樣；b)力的作用線與轉(zhuǎn)軸相交或平行時(shí)力對(duì)該轉(zhuǎn)軸的矩為零；說明：力矩的計(jì)算

計(jì)算力對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的力矩，若力的作用點(diǎn)不是固定在同一處，則應(yīng)當(dāng)采取分小段的辦法，先計(jì)算分力產(chǎn)生的矩，再求和。7例1一勻質(zhì)細(xì)桿，長(zhǎng)為l質(zhì)量為m，在摩擦系數(shù)為的水平桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)，求摩擦力的力矩M阻。解：桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩因離軸的具體不同而不同細(xì)桿的質(zhì)量密度質(zhì)元質(zhì)量質(zhì)元受阻力矩：細(xì)桿受的阻力矩8例2質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)圓盤，在摩擦系數(shù)為的水平面上繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求摩擦力的力矩M阻。解：分割圓盤為圓環(huán)負(fù)號(hào)表示力矩的方向與圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度方向相反92.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律

剛體所受的對(duì)于某一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的合外力矩等于剛體對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。注意幾點(diǎn):1.上式是矢量式（在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中力矩只有兩個(gè)方向）；2.M、J、是對(duì)同一軸而言的；4.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度；5.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律的地位與牛頓第二定律相當(dāng)。3.具有瞬時(shí)性，是力矩的瞬時(shí)效應(yīng)；10剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律（具體解釋）

考慮剛體上某一質(zhì)元，

剛體外其他物體對(duì)它的合作用力(外力)為，剛體上其它質(zhì)元對(duì)它的作用力為對(duì)用牛頓第二定律：法向力作用線通過轉(zhuǎn)軸，力矩為零。11兩邊乘以ri對(duì)所有質(zhì)元求和外力矩之和內(nèi)力矩之和0轉(zhuǎn)動(dòng)慣量上式簡(jiǎn)寫成剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律123.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

剛體對(duì)固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)元質(zhì)量與其至轉(zhuǎn)軸的垂直距離的平方的乘積之和。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的形狀、大小、質(zhì)量的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：（面質(zhì)量分布）（線質(zhì)量分布）單位：kgm213例1.在無(wú)質(zhì)輕桿的b處和3b處各系質(zhì)量為2m和m的質(zhì)點(diǎn)，可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求：質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。解：由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義例2.半徑為R質(zhì)量為M的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。解：分割質(zhì)量元dm圓環(huán)上各質(zhì)量元到軸的距離相等繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為14oR例3.一質(zhì)量為m，半徑為R的均勻圓盤，求對(duì)通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：rdr15例4.

如圖所示，一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的均質(zhì)空心圓柱體（即圓筒圓筒）其內(nèi)、外半徑分別為R1和R2。試求對(duì)幾何軸oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。16例5.長(zhǎng)度為L(zhǎng)，質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒AB的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（1）對(duì)于通過棒的一端與棒垂直的軸。

（2）對(duì)于通過棒的中心與棒垂直的軸。解（1）細(xì)桿為線質(zhì)量分布，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為：（2）對(duì)于通過棒的中心的軸174.平行軸定理式中JC：相對(duì)通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

JA：相對(duì)通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

兩軸平行，兩軸間的距離為L(zhǎng)/2。剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JC加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積。剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。18例6.計(jì)算鐘擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（已知：擺錘質(zhì)量為m，半徑為r，擺桿質(zhì)量也為m，長(zhǎng)度為2r。）rO解：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：擺錘轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（平行軸定理）：19例1.一個(gè)質(zhì)量為Ｍ、半徑為Ｒ的定滑輪（可當(dāng)作均質(zhì)圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為ｍ的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體ｍ由靜止下落高度ｈ時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。Mg解：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用舉例也可用機(jī)械能守恒定律20例2.如圖所示，一均勻細(xì)棒，可繞通過其端點(diǎn)并與棒垂直的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知棒長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，開始時(shí)棒處于水平位置，令棒由靜止下擺，求：（1）棒在任意位置時(shí)的角加速度；（2）角為300，900時(shí)的角速度。(2)也可用機(jī)械能守恒定律21例3.兩個(gè)勻質(zhì)圓盤同軸地粘結(jié)在一起，構(gòu)成一個(gè)組合輪。小圓盤的半徑為r，質(zhì)量為m；大圓盤的半徑r’=2r，質(zhì)量m’=2m。組合輪可繞通過其中心且垂直于盤面的光滑水平固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=9mr2/2。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質(zhì)細(xì)繩，細(xì)繩下端各懸掛質(zhì)量為m的物體A和B，系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，繩與盤無(wú)相對(duì)滑動(dòng)且長(zhǎng)度不變。求（1）組合輪的角加速度；（2）當(dāng)物體上升高度h時(shí)，組合輪的角速度。解:（1）(2)也可用機(jī)械能守恒定律22力矩功不是新概念，只是力做功的另一種表達(dá)方式。剛體在力作用繞軸轉(zhuǎn)過一微小角位移d力作功為強(qiáng)調(diào)：內(nèi)力矩對(duì)做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功為零。1.力矩的功3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功與能232.剛體的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能:剛體上所有質(zhì)元的動(dòng)能之和為：——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能24設(shè)在外力矩M的作用下，剛體繞定軸發(fā)生角位移d

元功：3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體在某一狀態(tài)的動(dòng)能剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：合外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。

這一定理也可以通過剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定理推導(dǎo)得到。

254.剛體的重力勢(shì)能

剛體的重力勢(shì)能可按質(zhì)心攜帶總質(zhì)量在重力場(chǎng)中的勢(shì)能來計(jì)算。5.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理質(zhì)點(diǎn)系的功能定理：剛體中，若則合外力矩作功之和，等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量——功能原理即若，6.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械能守恒合外力矩作功等于0，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。26例1.質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)圓盤，以初角速度0在摩擦系數(shù)為的水平面上繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，問：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)幾圈后靜止？解：ppt8已經(jīng)計(jì)算出摩擦阻力矩動(dòng)能定理：轉(zhuǎn)過的圈數(shù)：27例2.一長(zhǎng)為l

，質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿OA，可繞通過其一端點(diǎn)O的水平軸在鉛垂面內(nèi)自由擺動(dòng)。已知另一端點(diǎn)A過最低點(diǎn)時(shí)的速率為v0，桿對(duì)通過端點(diǎn)O而垂直于桿長(zhǎng)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=ml2/3

，若空氣阻力及軸上的摩擦力均忽略不計(jì)，求桿擺動(dòng)時(shí)A點(diǎn)能夠升高的最大高度。也可用機(jī)械能守恒定律28例2.如圖所示，將單擺和一等長(zhǎng)的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點(diǎn)，桿的質(zhì)量與單擺的擺錘相等，均為m

。開始時(shí)直桿自然下垂，將單擺的擺錘拉到高度h0，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下垂,于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達(dá)到的高度h。chch’h=3h0/2bamlhol解：碰撞前單擺擺錘在最低位置的速度大小為鉛直位置彈性碰撞：角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒。29設(shè)碰撞后直桿的角速度為，擺錘的速度為v’。由機(jī)械能守恒，有:聯(lián)解得：①②碰撞后，擺錘的運(yùn)動(dòng)仍滿足機(jī)械能守恒，擺錘可達(dá)到的高度為:直桿的運(yùn)動(dòng)也滿足機(jī)械能守恒，質(zhì)心達(dá)到的高度為：直桿下端達(dá)到的高度為：由角動(dòng)量守恒，有：例4.如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.01kgm2，半徑為7cm，物體質(zhì)量為5kg，由一繩與倔強(qiáng)系數(shù)k=200N/m的彈簧相連，若繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)，求:(1)當(dāng)繩拉直，彈簧無(wú)伸長(zhǎng)時(shí)，使物體由靜止而下落的最大距離；(2)物體速度達(dá)到最大值對(duì)應(yīng)的位置及最大速率。313.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量及守恒定律一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量質(zhì)元對(duì)Oz軸的角動(dòng)量為剛體對(duì)OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JZ定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量可簡(jiǎn)寫為322、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受的合外力矩等于剛體的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。作用在剛體上的沖量矩等于在作用時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角動(dòng)量定理微分形式33二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理守恒定律剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量定理當(dāng)時(shí)，則剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒定律：當(dāng)剛體所受的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩之和為零時(shí)，剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持不變。注意：該定律不但適用于剛體，同樣也適用于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的任意物體系統(tǒng)。

34角動(dòng)量守恒，由于，所以有以下兩種結(jié)果：即剛體在受合外力矩為0時(shí)，原來靜止則永遠(yuǎn)保持靜止，原來轉(zhuǎn)動(dòng)的將永遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)下去。證明了牛頓第一定律。a)對(duì)于定軸的剛體，因?yàn)镴為常數(shù)，所以其角速度也為常數(shù)。b)對(duì)于定軸的非剛體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是變化的，若角動(dòng)量守恒，即J=C，則有：35經(jīng)典運(yùn)動(dòng)學(xué)解決問題方法總結(jié)：1、由質(zhì)點(diǎn)和剛體組成的系統(tǒng)，既有質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，又有剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)，一般按轉(zhuǎn)動(dòng)來處理更方便。如研究質(zhì)點(diǎn)與剛體的碰撞問題，可以把質(zhì)點(diǎn)和剛體看成一個(gè)系統(tǒng)，碰撞期間，系統(tǒng)所受的合外力矩為零，對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律。2、求加速度/角加速度：用牛頓第二定律/轉(zhuǎn)動(dòng)定律3、求速度/角速度與時(shí)間的關(guān)系：用動(dòng)量定理/角動(dòng)量定理4、求速度/角速度與路程的關(guān)系：動(dòng)能定理、功能原理或機(jī)械能守恒定律36mll擺球在最低位置與杠碰撞：若為彈性碰撞：則碰撞過程能量守恒，角動(dòng)量守恒，但動(dòng)量不守恒若為非彈性碰撞：則碰撞過程能量不守恒守恒，動(dòng)量不守恒，但角動(dòng)量守恒m1llm2擺球m1在最低位置與m2碰撞：若為彈性碰撞：則碰撞過程能量守恒，角動(dòng)量守恒，動(dòng)量也守恒若為非彈性碰撞：則碰撞過程能量不守恒守恒，但角動(dòng)量守恒，動(dòng)量也守恒m2m1v兩球在光滑的水平面上碰撞：若為彈性碰撞：則碰撞過程能量守恒，動(dòng)量也守恒若為非彈性碰撞：則碰撞過程能量不守恒守恒，但動(dòng)量守恒碰撞問題37例1.在摩擦系數(shù)為桌面上有細(xì)桿，質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l，以初始角速度0繞垂直于桿的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，問細(xì)桿經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間停止轉(zhuǎn)動(dòng)。解：以細(xì)桿為研究對(duì)象，受力分析，重力及桌面的支持力不產(chǎn)生力矩，只有摩擦力產(chǎn)生力矩。分割質(zhì)量元dm桿的質(zhì)量密度質(zhì)元受的摩擦力矩細(xì)桿受的摩擦力矩角動(dòng)量定理：也可用運(yùn)動(dòng)學(xué)法3812例2.人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0=60kg·m2,伸臂時(shí)臂長(zhǎng)為1m，收臂時(shí)臂長(zhǎng)為0.2m。人站在摩擦可不計(jì)的自由轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤中心上，每只手抓有質(zhì)量m=5kg的啞鈴。伸臂時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度1

=3s-1,求收臂時(shí)的角速度2

。解：整個(gè)過程合外力矩為0，角動(dòng)量守恒由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的減小，角速度增加。39解：兩飛輪通過摩擦達(dá)到共同速度,合外力矩為0，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。共同角速度嚙合過程機(jī)械能損失：例3.兩個(gè)共軸飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，角速度分別為1

、2，求兩飛輪嚙合后共同的角速度。嚙合過程機(jī)械能損失。40例4.有一長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m1的均勻細(xì)棒，靜止平放在光滑水平桌面上，它可繞通過其端點(diǎn)O，且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一質(zhì)量為m2

、水平運(yùn)動(dòng)的小滑塊，從棒的側(cè)面沿垂直于棒的方向與棒的另一端A相碰撞，并被棒反向彈回，