多目標決策分析

多目標決策分析第一頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六第六章多目標決策分析在決策分析中，決策問題要達到的目的稱為決策目標，用數(shù)值表示決策方案實現(xiàn)某個目標程度的標準和法則，稱為決策準則。前面討論的問題都只有一個決策目標和一個評價準則（如收益最大、效用最大），屬單目標、單準則決策。

單目標決策的關(guān)鍵：合理選擇決策準則。實際問題常常有多個決策目標，每個目標的評價準則往往也不是只有一個，而是多個—多目標、多準則決策問題。第二頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.1多目標決策的目標準則體系多目標決策問題的目標往往相互聯(lián)系、相互制約，有的甚至相互矛盾。在多目標決策問題中，有的目標可以用一個或幾個決策準則直接進行評價和比較，有的目標則難以進行直接評價和比較。

如何解決這一問題？通常將難以進行直接評價和比較的目標分解為若干子目標，直至這些子目標能用一個或幾個決策準則進行評價和比較。第三頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例：某經(jīng)濟特區(qū)計劃興建一個大型海港 港址的選擇需要綜合考慮經(jīng)濟、技術(shù)、環(huán)境以及社會四個方面。決策目標有四個：經(jīng)濟、技術(shù)、環(huán)境、社會 這四個目標均不能直接用一個或幾個準則進行評價，要根據(jù)決策主體和實際情況的要求，逐級分解為若干子目標。如：經(jīng)濟目標可以分解成直接經(jīng)濟效益和間接經(jīng)濟效益兩個一級子目標。直接經(jīng)濟效益又可以繼續(xù)分解為投資額、投資回收期和利稅總額等三個二級子目標…第四頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六海港港址經(jīng)濟技術(shù)環(huán)境社會直接效益間接效益投資額投資回收期利稅總額海運收益國際貿(mào)易收益國內(nèi)貿(mào)易收益航道海灘建筑運行城市關(guān)系交通關(guān)系資源環(huán)保政策軍事……

……

……

第五頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.1多目標決策的目標準則體系6.1.1目標準則體系的意義目標準則體系 指依據(jù)決策主體要求和實際情況需要，對目標經(jīng)過逐層分解形成的多層次結(jié)構(gòu)的子目標系統(tǒng)。目標準則體系的最低一層子目標可以用單一準則進行評價。多目標決策問題的關(guān)鍵就是合理地選擇和構(gòu)造目標準則體系。第六頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.1.1目標準則體系的意義構(gòu)造目標準則體系應注意的原則系統(tǒng)性原則 各子目標要反映所有因素的整體影響，具有層次性和相關(guān)性?？杀刃栽瓌t 不同系統(tǒng)的橫向比較；同一系統(tǒng)的縱向動態(tài)比較。可操作性原則

各子目標含義明確，便于數(shù)據(jù)采集和計算。第七頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.1.2目標準則體系的結(jié)構(gòu)1、單層次目標準則體系 各個目標都屬于同一層次，每個目標無須分解就可以用單準則給出定量評價。圖6-2單層次目標準則體系總目標目標m目標m-1目標2目標1……第八頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.1.2

目標準則體系的結(jié)構(gòu)2、序列型多層次目標準則體系目標準則體系的各個目標，均可以按序列分解為若干個低一層次的子目標；各子目標又可以繼續(xù)分解；這樣一層層按類別有序地進行分解，直到最低一層子目標可以按某個準則給出數(shù)量評價為止。特點：各子目標可按序列關(guān)系分屬各類目標，不同類別的目標準則之間不發(fā)生直接聯(lián)系；每個子目標均由相鄰上一層的某個目標分解而成。第九頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.1.2

目標準則體系的結(jié)構(gòu)3、非序列型多層次目標準則體系某一層次的各子目標，一般不單是由相鄰上一層次某子目標分解而成，各子目標也不能按序列關(guān)系分屬各類；相鄰兩層次子目標之間，僅按自身的屬性建立聯(lián)系，存在聯(lián)系的子目標之間用實線連結(jié)，無實線連結(jié)的子目標之間，不存在直接聯(lián)系。第十頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3、非序列型多層次目標準則體系G............c1c2cn-1cn…g11g12g1n-1g1n…最高層中間層準則層…g21g22g1k-1g1k第十一頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.1.3評價準則和效用函數(shù)在多目標決策中，制定了目標準則體系后，不同的目標通常用不同的評價準則衡量。問題：如何從總體上給出方案對于目標準則體系中的全部目標的滿意度？必須將不同度量單位的準則，化為無量綱統(tǒng)一的數(shù)量標度，并按特定的法則和邏輯過程進行歸納與綜合，才能建立各可行方案之間具有可比性的數(shù)量關(guān)系。效用函數(shù)正是一種統(tǒng)一的數(shù)量標度。第十二頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.1.3評價準則和效用函數(shù)多目標決策中，任何一個方案的效果均可以由目標準則體系的全部結(jié)果值所確定?？尚蟹桨冈诿恳粋€目標準則下，確定—個結(jié)果值，對目標準則體系，就得到一組結(jié)果值，并經(jīng)過各目標準則的效用函數(shù)，得出一組效用值。這樣，任何一個可行方案在總體上對決策主體的滿意度，可以通過這些效用值按照某種法則并合而得，滿意度是綜合評價可行方案的依據(jù)。第十三頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.1.4目標準則體系風險因素的處理單目標風險型決策中，各備選方案看成是在整體上處于同一類狀態(tài)空間的。多目標決策中，風險因素可能只涉及某些目標準則，備選方案不宜在整體上視為處于同一類狀態(tài)空間。多目標決策的風險因素，應該在目標準則體系中對涉及風險因素的各子目標分別加以處理。將風險型多目標問題轉(zhuǎn)化為確定型多目標問題。第十四頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.2

目標規(guī)劃方法6.2.1目標規(guī)劃模型多目標線性規(guī)劃問題問題：能否化為單目標線性規(guī)劃問題求解？ 如何處理各目標的主次、輕重？第十五頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.2

目標規(guī)劃方法例6.1

某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的單位利潤、所消耗的原材料及設(shè)備工時、材料和設(shè)備工時的限額如下表所示。甲乙限額原材料（公斤）設(shè)備（工時）2

33

22426利潤（元/件）4

2產(chǎn)品消耗原料第十六頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.1 決策者根據(jù)市場需求等一系列因素，提出下列目標（依重要程度排列）：首要目標是保證乙產(chǎn)品的產(chǎn)量大于甲產(chǎn)品產(chǎn)量；盡可能充分利用工時，但又不希望加班；確保達到計劃利潤30元。 試對廠家生產(chǎn)作出決策分析。設(shè)甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1、x2件。第十七頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.2

目標規(guī)劃方法目標規(guī)劃是求解多目標線性規(guī)劃的方法之一。目標規(guī)劃的基本方法對每一個目標函數(shù)引進一個期望值；引入正、負偏差變量，表示實際值與期望值的偏差，并將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為約束條件，與原有約束條件構(gòu)成新的約束條件組；引入目標的優(yōu)先等級和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造新的單一的目標函數(shù)，將多目標問題轉(zhuǎn)化為單目標問題求解。第十八頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.2

目標規(guī)劃方法1、目標函數(shù)的期望值ek對于多目標線性規(guī)劃的每一個目標函數(shù)值Zk(k=1,2,…,K)，根據(jù)實際情況和決策者的希望，確定一個期望值ek。在例6.1中乙產(chǎn)品與甲產(chǎn)品產(chǎn)量之差的目標值可定為0；生產(chǎn)工時的目標值為26（工時）；利潤的目標值為30（元）。第十九頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.2

目標規(guī)劃方法2、正負偏差變量 對每一個目標函數(shù)值，分別引入正、負偏差變量

正負偏差變量分別表示實際目標值超過和低于期望值的數(shù)值。引入偏差變量之后，目標就變成了約束條件，成為約束條件組的一部分。第二十頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.2

目標規(guī)劃方法在例6.1中，令：

d1+,d1-分別表示乙產(chǎn)品與甲產(chǎn)品產(chǎn)量之差超過和達不到目標值的偏差變量；

d2+,d2-分別表示生產(chǎn)工時超過和達不到目標值的偏差變量；

d3+,d3-分別利潤超過和達不到目標值的偏差變量；則三個目標可化為含有偏差變量的約束條件第二十一頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.2

目標規(guī)劃方法3、優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）和權(quán)系數(shù) 如何區(qū)別不同目標的主次輕重？凡要求第一位達到的目標賦于優(yōu)先因子P1，次位的目標賦于優(yōu)先因子P2，…，并規(guī)定Pk＞＞Pk+1（表示Pk比Pk+1有更大的優(yōu)先權(quán)，Pk+1級目標是在保證Pk級目標實現(xiàn)的基礎(chǔ)上才能考慮的）（k＝1,2，…，K）為區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的兩個目標的差別，可分別賦于它們不同的權(quán)系數(shù)ωj

優(yōu)先等級及權(quán)數(shù)的賦值由決策者確定。第二十二頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.2

目標規(guī)劃方法4、達成函數(shù)(準則函數(shù))—目標規(guī)劃模型的目標函數(shù)準則函數(shù)由各目標約束的正、負偏差變量及相應的優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)構(gòu)造而成。注：目標規(guī)劃模型的目標函數(shù)是對各目標的偏差的綜合（將多目標化為單目標），在目標函數(shù)中不包含原決策變量，且一定是極小型的（偏差最?。?。第二十三頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六4、達成函數(shù)(準則函數(shù))當每一目標值確定后，決策者的要求是偏差變量盡可能小，因此其目標函數(shù)只能是極小形式，具體有以下三種基本形式：要求恰好達到目標值(正、負偏差都要盡可能小)要求不超過目標值(正偏差應盡可能小)要求不低于目標值(負偏差應盡可能小)第二十四頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.2

目標規(guī)劃方法在例6.1中， 首要目標是保證乙產(chǎn)品的產(chǎn)量大于甲產(chǎn)品產(chǎn)量，賦于優(yōu)先因子P1，目標為d1-盡可能??； 次級目標是生產(chǎn)工時恰好達到目標值，賦于優(yōu)先因子P2，目標為d2-和d2＋都要??； 最后的目標是利潤不低于30元，賦于優(yōu)先因子P3，目標為d3-盡可能??；因此，可構(gòu)造準則函數(shù)如下：第二十五頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.2

目標規(guī)劃方法例6.1的目標規(guī)劃模型為：第二十六頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.2

目標規(guī)劃方法目標規(guī)劃的一般模型第二十七頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.2

目標規(guī)劃方法目標規(guī)劃的建模步驟（1）假設(shè)決策變量；（2）建立約束條件；（3）建立各個目標函數(shù)；（4）確定各目標期望值，引入偏差變量，將目標函數(shù)化為約束方程；（5）確定各目標優(yōu)先級別和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造準則函數(shù)。第二十八頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.3

化多為少方法對單層次多目標決策模型其中f1(x),f2(x),…,fm(x)表示m個目標函數(shù)，X表示滿足某些約束條件的n維點集。處理方法：（1）化為一個單目標問題 （2）化為多個單目標問題。第二十九頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.5某廠在計劃期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。產(chǎn)品資源甲乙資源限額原材料A（公斤）原材料B（公斤）設(shè)備C（工時）4

59

43

10200240300價格（元/件）400

600利潤（元/件）70

120污染3

2第三十頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.5

設(shè)產(chǎn)品能全部銷售出去問：計劃期應如何安排生產(chǎn)，才能使利潤和產(chǎn)值都達到最大，而造成的污染最??？解：設(shè)計劃期分別生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品x1、x2件，則問題的數(shù)學模型為：第三十一頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.3

化多為少方法6.3.1主要目標法主要目標—所有決策目標中，重要程度最高和最為關(guān)鍵的目標。主要目標要求達到最優(yōu)。其余目標作為非主要目標，滿足一定條件即可（滿意）。設(shè)f1(x)為主要目標，則由：可以得到（6.3）的一個有效解。第三十二頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.5

決策者確定以利潤最大為主要目標并要求：總產(chǎn)值至少應達到20000元，污染量則應控制在90個單位以下。由主要目標法可得到單目標規(guī)劃問題：第三十三頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.3

化多為少方法6.3.2線性加權(quán)和法給目標fi(x)賦以權(quán)系數(shù)λi（i=1,2,…,m）然后作新的目標函數(shù)構(gòu)成單目標決策問題：難點：如何使多個目標用同一尺度統(tǒng)一起來（多種方法在下一章中介紹，可以將各目標統(tǒng)一作效用值度量）；如何選擇合理的權(quán)系數(shù)。第三十四頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.3.2線性加權(quán)和法1.α—法 以兩個目標的多目標決策問題為例記：（即x(1)、x(2)分別為以f1(x)和f2(x)目標的單目標問題的最優(yōu)解）第三十五頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.3.2線性加權(quán)和法1.α—法 化作單目標決策問題要求：c1是任意的非零常數(shù)。即可確定權(quán)系數(shù)。若進一步要求α1+α2=1，可得：第三十六頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.7

設(shè)有多目標決策問題其中：試用α—法化為單目標決策問題。解：先分別求解得：x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T第三十七頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.7

x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T則：對目標進行線性加權(quán)：化為單目標問題：第三十八頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.3.2線性加權(quán)和法2.λ—法對多目標決策問題取：化為單目標決策問題：適用條件：

fi*≠0第三十九頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.3

化多為少方法6.3.3平方和加權(quán)法要求目標fi(x)與規(guī)定值fi*相差盡量?。╥=1,2,…,m），可構(gòu)造目標函數(shù)：構(gòu)成單目標決策問題：λi—權(quán)系數(shù)，可按要求的相差程度分別給出。第四十頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.3

化多為少方法6.3.4理想點法記：稱為理想點。若所有x(i)都相同，記為x(0)，則x(0)就是所求的多目標決策問題的最優(yōu)解；若不然，則考慮求解下面的單目標決策問題：第四十一頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.7

x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T用理想點法化為單目標決策問題構(gòu)造目標函數(shù)第四十二頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.3

化多為少方法6.3.5步驟法（STEM法）是逐步迭代的方法，也稱逐步進行法、對話式方法。在求解過程中，每進行一步，分析者就把計算結(jié)果告訴決策者，決策者對計算結(jié)果作出評價。若認為已滿意了，則迭代停止；否則分析者再根據(jù)決策者的意見進行修改和再計算，如此直到求得決策者認為滿意的解為止。第四十三頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.3.5步驟法（STEM法）設(shè)有多目標線性規(guī)劃問題：其中第四十四頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.3.5步驟法（STEM法）STEM法的求解步驟：分別求解k個單目 標線性規(guī)劃問題 得到的最優(yōu)解記為x(i)，其相應的目標函數(shù)值記為fi*（i=1,2,…,k），并x(i)代入其它目標函數(shù)：結(jié)果可列表給出（稱為支付表）。第四十五頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六STEM法支付表x(i)f1f2…fj…fkx(1)z11z21…zj1…zk1…………………x(i)z1iz2i…zji…zki…………………x(k)z1kz2k…zjk…zkk第四十六頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.3.5步驟法（STEM法）STEM法的求解步驟：求權(quán)系數(shù)：從支 付表中得到 為找出目標值的偏差以及消除不同目標值的量綱不同的問題，進行如下處理：歸一化后得權(quán)系數(shù)：第四十七頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.3.5步驟法（STEM法）STEM法的求解步驟：求解（使目標與理想值的最大加權(quán)偏差λ最?。┰摼€性規(guī)劃問題的最優(yōu)解記為x0

。第四十八頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.3.5步驟法（STEM法）STEM法的求解步驟：將x0

和相應的目標值交給決策者判斷。 決策者把這些目標值與理想值進行比較后，若認為滿意了，則可停止計算；若認為相差太遠，則考慮適當修正。 如：考慮對第r個目標讓一點步，降低一點目標值△fr

。第四十九頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.3.5步驟法（STEM法）STEM法的求解步驟：求解 求得解后，再與決策者對話，如此重復，直至決策者認為滿意了為止。第五十頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.9

某公司考慮生產(chǎn)甲、乙兩種太陽能電池，生產(chǎn)過程會在空氣中引起放射性污染，因此決策者有兩個目標：極大化利潤與極小化總的放射性污染。已知在一個生產(chǎn)周期內(nèi)，每單位甲產(chǎn)品的收益是1元，每單位乙產(chǎn)品的收益是3元；每單位甲產(chǎn)品的放射性污染是1.5單位，每單位乙產(chǎn)品的放射性污染是1單位，由于機器能力（小時）、裝配能力（人時）和可用的原材料（單位）的限制，約束條件是（x1、x2分別為甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量）：第五十一頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.9

該問題的目標函數(shù)為：第五十二頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.9

STEM法求解先分別求解得：x(1)=(7.25,12.75)T， x(2)=(0,0)T

f1*=45.5， f2*=0第五十三頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.9

STEM法支付表f1f2x(1)=(7.25,12.75)T45.5－23.625x(2)=(0,0)T00第五十四頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.9

STEM法求解求權(quán)系數(shù)：從 支付表中得到歸一化后得權(quán)系數(shù)：第五十五頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.9

STEM法求解求解最優(yōu)解為x0=(0,9.57)T,f1(x0)=28.71,f2(x0)=-9.57第五十六頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.9

STEM法求解將x0=(0,9.57)T,f1(x0)=28.71,f2(x0)=-9.57

交給決策者判斷。 決策者將其與理想值（45.5,0）進行比較后，認為f2

是滿意的， 但利潤太低。且認為 可以接受污染值為10

個單位。修改約束集求解得x1=(0,10)T,f1(x1)=30,f2(x0)=-10決策者認為滿意，停止迭代。

第五十七頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.4多維效用并合方法6.4.1多維效用并合模型多目標決策問題其目標屬性的特點：目標間的不可公度性 即：對各目標的評價沒有統(tǒng)一的量綱，不能用同一標準評價。目標間的矛盾性 提高某一目標值，可能會損害另一目標值。多維效用并合方法是解決目標間的不可公度性和矛盾性的一種有效途徑。第五十八頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.4.1多維效用并合模型 設(shè)多目標決策方案有m個可行方案：

a1，a2，...，am

有s個評價準則，測定和計算s個評價準則的效用函數(shù)為：

u1，

u2，...，us

得到這m個可行方案在s個評價準則下的效用值分別是：

u1(ai)，u2(ai)

，...，us(ai)

(i=1，2，...，m)第五十九頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.4.1多維效用并合模型多維效用并合方法為了從總體上表示可行方案ai的總效用，需要通過某種特定的方法和邏輯程序，將s個分效用合并為總效用，并依據(jù)各可行方案的總效用對其進行排序。這一多目標決策方法稱為多維效用并合方法。主要用于序列型多層次目標準則體系第六十頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六Hv1w2w1v2w4w3vlwkwk-1u2u1ulul-1..............................usus-1...圖6.6

序列型多層次目標準則體系第六十一頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.4.1多維效用并合模型圖6.6中：H表示可行方案的總效用值，即滿意度；v1，v2，...，vl

表示第二層子目標的效用值；如此類推，w1，w2，...，wk

表示倒數(shù)第二層各子目標的效用值；u1，u2，...，us表示最低一層各準則的效用值。第六十二頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.4.1多維效用并合模型效用并合過程從下到上，逐層進行。最低一層各準則的效用，經(jīng)過并合得到：符號“●”表示按某種規(guī)則和邏輯程序進行的效用并合運算。第六十三頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.4.1多維效用并合模型 多維效用并合的最滿意方案為a*

，其滿意度滿足：第三層子目標的效用并合得到第二層各目標的并合效用值：最后，可得可行方案ai

的滿意度為：第六十四頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.4.2多維效用并合規(guī)則在多目標決策中，根據(jù)決策目標的不同屬性，效用并合采取不同方式進行。多維效用合并規(guī)則可由二維效用合并規(guī)則導出，故先討論二維效用合并規(guī)則。二維效用函數(shù)與二維效用曲面 設(shè)效用u1，u2分別在區(qū)間［0，1］上取值，二元連續(xù)函數(shù)W=W(u1，u2)稱為二維效用函數(shù)，其定義域是坐標平面u1，u2上的一個正方形，稱為二維效用平面，其值域是W軸上的區(qū)間［0，1］，曲面W=W(u1，u2)稱為二維效用曲面。第六十五頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.4.2多維效用并合規(guī)則多維效用函數(shù)與多維效用曲面設(shè)效用u1，u2，...，un分別在區(qū)間［0，1］上取值，n元連續(xù)函數(shù)W=W(u1，u2，...，un)稱為n維效用函數(shù)。其定義域是n維效用空間u1，u2，...，un上有2n個頂點的凸多面體。其值域是［0，1］。曲面W=W(u1，u2，...，un)稱為n維效用曲面。第六十六頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.4.2多維效用并合規(guī)則1.距離規(guī)則 稱滿足以下條件的并合規(guī)則為距離規(guī)則：當二效用同時達到最大值時，并合效用達到最大值1，即：W(1，1)=1；當二效用同時取最小值時，并合效用取零效用值(最小值)，即：W(0，0)=0；二效用之一達到最大值，均不能使并合效用達到最大值，即：

0<W(u1，1)<1，0≤u1<1 0<W(1，u2)<1，0≤u2<1第六十七頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六1.距離規(guī)則二維效用平面上其余各點效用值，與該點與并合效用最大值點的距離d成正比例。即：

W=W(u1，u2)的取值與d成正比。有：第六十八頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六1.距離規(guī)則距離規(guī)則下的二維效用函數(shù)為：公式(6.9)可以推廣到多維情形：如：成本和效益的效用并合可以按距離規(guī)則進行，并合效用函數(shù)第六十九頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六2.代換規(guī)則 二維效用并合的代換規(guī)則適合如下情況：二效用對決策主體具有同等重要性，只要其中一個目標的效用取得最大值，無論其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也達到最高水平，與二效用均達到最高水平一樣。即：

W(1，1)=1，W(0，0)=0

W(u1，1)=1，0≤u1≤1

W(1，u2)=1，0≤u2≤1第七十頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六2.代換規(guī)則代換規(guī)則下的二維效用函數(shù)為：

推廣到多維情形，n維效用并合的代換規(guī)則公式為：第七十一頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.加法規(guī)則 二維效用并合的加法規(guī)則適用于如下情況：二效用的變化具有相關(guān)性，對并合效用的貢獻沒有本質(zhì)差異，并且可以互相線性地補償，即一目標效用的減少可以由另一目標效用值的增加得到補償。即：

W(1，1)=1，W(0，0)=0若： W(1，0)=ρ1

，

W(0，1)=ρ2則有：

ρ1+ρ2=1第七十二頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.加法規(guī)則推廣到多維情形，n維效用并合的加法規(guī)則公式為：加法規(guī)則下的二維效用函數(shù)為：第七十三頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六4.乘法規(guī)則 乘法規(guī)則適用于如下情況：二目標效用對于并合效用具有同等重要性，相互之間完全不能替代，只要其中任意一個目標效用值為0，無論另一個目標效用取值多大，并合效用值均為0。即：

W(1，1)=1，W(0，0)=0

W(1，0)=

W(0，1)=0第七十四頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六4.乘法規(guī)則推廣到多維情形，n維效用并合的乘法規(guī)則公式為：乘法規(guī)則下的二維效用函數(shù)為：更一般地：第七十五頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六4.乘法規(guī)則更一般地，乘法規(guī)則下的n維效用函數(shù)為：或表示成對數(shù)形式：第七十六頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六5.混合規(guī)則混合規(guī)則適用于各目標效用之間較為復雜的關(guān)系，是比代換、加法和乘法三規(guī)則更為一般的情況。混合規(guī)則的二維效用并合公式：其中，γ≥－1稱為形式因子。γ的不同取值分別表示代換、加法和乘法三規(guī)則之一。推廣到多維情形，n維效用并合的混合規(guī)則公式為：第七十七頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六5.混合規(guī)則當γ≠0時，(6.20)可以化為較為規(guī)范的形式：當γ=-1時，化為代換規(guī)則形式；當γ=0，且c1+c2=1時，化為加法規(guī)則形式；當γ>>0時，近似于乘法規(guī)則形式：第七十八頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.4.3多維效用并合方法應用實例 多維效用并合方法是多目標決策的一種實用方法，在經(jīng)濟管理、項目評價、能源規(guī)劃、人口控制等方面有著廣泛的應用。例：“我國總?cè)丝谀繕恕睂嵗?經(jīng)過統(tǒng)計分析測算，我國人口發(fā)展周期應是人均壽命70年，制定控制人口目標，宜以100年為時間范圍。需要確定100年內(nèi)，我國人口控制最合理的總目標是多少。第七十九頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例：“我國總?cè)丝谀繕恕狈桨福?對我國總?cè)丝谀繕说?4個方案進行決策分析，即我國總?cè)丝诜謩e控制為2億、3億、4億、5億、6億、7億、8億、9億、10億、11億、12億、13億、14億、15億14個人口方案，分別記為ai(i=1,2,…,14),其滿意度分別為Hi(i=1,2,…,14)。第八十頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例：“我國總?cè)丝谀繕恕备鲊鴮Ρ萿9我國人口總目標HV1V2吃用v1實力v2用w2吃w1糧食u1魚肉u2空氣u4水u5能源u6土地u3最低總和生育率u8GNPu7目標準則體系第八十一頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例：“我國總?cè)丝谀繕恕毙в貌⒑?、u1（糧食）、u2（魚肉）并合為w1宜用乘法規(guī)則：w1＝u1·u22、u3（土地）、u4（空氣）、u5（水）并合為w2宜用乘法規(guī)則w2＝u3·u4·u53、u6（能源）、u7（GNP）并合為v2宜用乘法規(guī)則v2＝u7·u84、u8（βmin）、u9（各國對比）并合為V2宜用乘法規(guī)則V2＝u8·u9

第八十二頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例：“我國總?cè)丝谀繕恕毙в貌⒑?、w1（吃）、w2（用）并合為v1宜用加法規(guī)則：v1＝ρ·w1+(1-ρ)·w26、v1（吃用）、v2（實力）并合為V1宜用加法規(guī)則：V1＝α·v1+(1-α)·v27、V1、V2并合為H宜用乘法規(guī)則：

H＝V1·V2得：第八十三頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.5層次分析方法AHP方法是美國運籌學家T.L.Saaty于20世紀70年代提出的，AHP決策分析法是AnalyticHierarchyProcess的簡稱。是一種定性與定量相結(jié)合的多目標決策分析方法。AHP決策分析法，能有效地分析非序列型多層次目標準則體系，是解決復雜的非結(jié)構(gòu)化的經(jīng)濟決策問題的重要方法，是計量經(jīng)濟學的主要方法之一。第八十四頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.10科研課題的綜合評價綜合評價科研課題成果貢獻人才培養(yǎng)可行性發(fā)展前景實用價值科技水平優(yōu)勢發(fā)揮難易程度研究周期財政支持經(jīng)濟效益社會效益第八十五頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.5.1

AHP方法的基本原理首先要將問題條理化、層次化，構(gòu)造出能夠反映系統(tǒng)本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系的遞階層次模型。1.遞階層次模型根據(jù)系統(tǒng)分析的結(jié)果，弄清系統(tǒng)與環(huán)境的關(guān)系，系統(tǒng)所包含的因素，因素之間的相互聯(lián)系和隸屬關(guān)系等。將具有共同屬性的元素歸并為一組，作為結(jié)構(gòu)模型的一個層次，同一層次的元素既對下一層次元素起著制約作用，同時又受到上一層次元素的制約。第八十六頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六1.遞階層次模型

AHP的層次結(jié)構(gòu)既可以是序列型的，也可以是非序列型的。一般將層次分為三種類型：最高層：只包含一個元素，表示決策分析的總目標，也稱為總目標層。中間層：包含若干層元素，表示實現(xiàn)總目標所涉及到的各子目標，也稱為目標層。最低層：表示實現(xiàn)各決策目標的可行方案、措施等，也稱為方案層。第八十七頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六1.遞階層次模型H............A1A2An-1An…G11G12G1n-1G1n…最高層中間層最低層…G21G22G1k-1G1k層次結(jié)構(gòu)圖第八十八頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六1.遞階層次模型相鄰兩層元素之間的關(guān)系用直線標明，稱之為作用線，元素之間不存在關(guān)系就沒有作用線。若某元素與相鄰下一層次的所有元素均有關(guān)系，則稱此元素與下一層次存在完全層次關(guān)系；如果某元素僅與相鄰下一層次的部分元素有關(guān)系，則稱為不完全層次關(guān)系。實際中，模型的層次不宜過多，每層元素一般不宜超過9個。目的：避免模型中存在過多元素而使主觀判斷比較有困難。第八十九頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六2.層次元素排序的特征向量法構(gòu)建了層次結(jié)構(gòu)模型，決策就轉(zhuǎn)化為待評方案（最低層）關(guān)于具有層次結(jié)構(gòu)的目標準則體系的排序問題。AHP方法采用優(yōu)先權(quán)重作為區(qū)分方案的優(yōu)劣程度的指標，優(yōu)先權(quán)重是一種相對度量數(shù)，表示方案相對優(yōu)劣程度，數(shù)值介于0－1之間，數(shù)值越大，方案越優(yōu)，反之越劣。方案層各方案關(guān)于目標準則體系整體的優(yōu)先權(quán)重，是通過遞階層次從下到上逐層計算的。這一過程稱為遞階層次權(quán)重解析過程。第九十頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六遞階層次權(quán)重解析過程(1)測算每一層次關(guān)于上一層次某元素的優(yōu)先權(quán)重（相鄰兩層次間的權(quán)重解析）方法： 構(gòu)造判斷矩陣； 計算判斷矩陣的最大特征值和特征向量； 以特征向量各分量表示該層次元素的優(yōu)先權(quán)重（？），得到層次單排序。(2)進行組合加權(quán)，得到該層次元素對于相鄰上一層次整體的組合優(yōu)先權(quán)重—層次總排序(3)最后計算得到方案層各方案關(guān)于目標準則體系整體的優(yōu)先權(quán)重。第九十一頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六物體測重問題 設(shè)有m個物體，其重量分別為W1,W2,…,Wm（未知），為測出各物體的重量，現(xiàn)將每一物體的重量與其它物體的重量作兩兩比較，其重量比值構(gòu)成了一個m階方陣A第九十二頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六物體測重問題 記各物體重量組成的向量（未知）為

W＝(W1,W2,…,Wm)T有：由線性代數(shù)知：m是A的最大特征值，W是矩陣A屬于特征值m的特征向量。第九十三頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六物體測重問題的啟示若一組物體無法直接測出其重量，但可以通過兩兩比較判斷，得到每對物體相對重量的判斷值，則可構(gòu)造判斷矩陣(A),求解判斷矩陣的最大特征值和向量對應的特征向量，就可以得到這組物體的相對重量。類似地，對于社會、經(jīng)濟和管理領(lǐng)域的決策問題，可以通過建立層次結(jié)構(gòu)模型，在相鄰兩層次之間構(gòu)造兩兩元素比較的判斷矩陣，用特征向量法求出層次單排序，最終完成遞階層次解析過程。第九十四頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六物體測重問題的啟示從對物體測重問題的分析中可以看出，判斷矩陣A的元素aij＞0

(i,j=1,2,…,m)，且滿足以下條件：

aii=1,i=1,2,…,m

aij=1/aji,i,j=1,2,…,m

aij=aik/ajk

,

i,j,k=1,2,…,m

滿足條件①~③的矩陣A稱為互反的一致性正矩陣。第九十五頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.互反正矩陣與一致性矩陣定義1：設(shè)有矩陣A＝(aij)m×m（1）若aij≥0

(i,j=1,2,…,m)，則稱A為非負矩陣，記作A≥0；（2）若aij＞0

(i,j=1,2,…,m)，則稱A為正矩陣，記作A＞0。定義2：設(shè)有m維列向量X＝(x1,x2,…,xm)T（1）若xj≥0

(j=1,2,…,m)，則稱X為非負向量，記作X≥0；（2）若xj＞0

(j=1,2,…,m)，則稱X為正向量，記作X＞0。第九十六頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.互反正矩陣與一致性矩陣定理1：設(shè)有矩陣A＝(aij)m×m＞0，則：（1）A有最大特征值λmax，且λmax是單根，其余特征值的模均小于λmax；（2）A的屬于λmax的特征向量X＞0；（3）λmax由下面的等式給出：其中：第九十七頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.互反正矩陣與一致性矩陣定義3：設(shè)有矩陣A＝(aij)m×m＞0，若A滿足：（1）aii=1,i=1,2,…,m（2）aij=1/aji,i,j=1,2,…,m

則稱A為互反正矩陣。定義4：設(shè)有矩陣A＝(aij)m×m

＞0，若A滿足：

aij=aik/ajk,i,j,k=1,2,…,m

則稱A為一致性矩陣。第九十八頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六一致性矩陣的性質(zhì)一致性正矩陣是互反正矩陣；若A是一致性矩陣，則A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致性矩陣；

A的每一行均為任意指定一行的正整數(shù)倍；

A的最大特征值λmax＝m，其余特征值為0；若A的屬于特征值λmax的特征向量為： X＝(x1,x2,…,xm)T 則：aij=xi/xj,i,j=1,2,…,m

第九十九頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六互反正矩陣的性質(zhì) 一致性正矩陣是互反正矩陣，反之，互反正正矩陣不一定是一致性矩陣。定理2：設(shè)A＝(aij)m×m是互反正矩陣，λmax是A的最大特征值，則λmax≥m。定理3：設(shè)A＝(aij)m×m是互反正矩陣，λ1，λ2，…，λm是A的特征值，則：定理4：互反正矩陣A是一致性矩陣的充要條件是：

λmax＝m第一百頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.5.2判斷矩陣1.判斷矩陣的構(gòu)造設(shè)m個元素(方案或目標)對某一準則存在相對重要性，根據(jù)特定的標度法則，第i個元素(i＝1，2，…，n)

與其它元素兩兩比較判斷，其相對重要程度為aij

(i,j＝1,2,…,n),這樣構(gòu)造的m階矩陣用以求解各元素關(guān)于某準則的優(yōu)先權(quán)重，稱為權(quán)重解析判斷矩陣，簡稱判斷矩陣，記作A=(aij)m×m

構(gòu)造判斷矩陣的關(guān)鍵，在于設(shè)計一種特定的比較判斷兩元素相對重要程度的標度法則，使得任意兩元素相對重要程度有一定的數(shù)量標準。第一百零一頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六1—9標度方法標度定義含義1同樣重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素同樣重要3稍微重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素稍微重要5明顯重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素明顯重要7強烈重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素強烈重要9極端重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素極端重要2、4、6、8相鄰標度中值表示相鄰兩標度之間折中時的標度上列標度倒數(shù)反比較元素i對元素j的標度為aij，元素j對元素

i的標度為1/aij第一百零二頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六2.判斷矩陣的一致性檢驗1—9標度方法構(gòu)造的判斷矩陣A一定是互反正矩陣；但A不一定是一致性矩陣，實際中，很難構(gòu)造出具有完全一致性的矩陣；只有判斷矩陣A具有完全的一致性時，才有唯一非零的最大特征值，其余特征值為0，層次單排序才能歸結(jié)為判斷矩陣A的最大特征值及其特征向量，才能用特征向量的各分量表示優(yōu)先權(quán)重。實際中，我們希望判斷矩陣具有滿意的一致性，這樣計算出的層次單排序結(jié)果才合理。第一百零三頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六2.判斷矩陣的一致性檢驗判斷矩陣A是互反正矩陣，故λmax≥m；當A是一致性矩陣時：λmax＝m，且其余的特征值為0；A具有滿意的一致性：λmax略大于m，其余的特征值接近于0；設(shè)λ1，λ2，…，λm是A的全部特征值，則：

λ1＋λ2＋…＋λm＝tr(A)=m設(shè)λ1=λmax，則：第一百零四頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六2.判斷矩陣的一致性檢驗一般來說，C.I

越大，偏離一致性越大，反之，偏離一致性越小。此外，判斷矩陣的階數(shù)m越大，判斷的主觀因素造成的偏差越大，偏離一致性也就越大。反之，偏離一致性越小。當階數(shù)m≤2時，C.I=0，判斷矩陣具有完全的一致性。（1）判斷矩陣的一致性指標第一百零五頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六2.判斷矩陣的一致性檢驗（2）平均隨機一致性指標R.I：是足夠多個根據(jù)隨機發(fā)生的判斷矩陣計算的一致性指標的平均值（表6.15）。（3）一致性比率C.R=C.I/R.I用一致性比率C.R檢驗判斷矩陣的一致性，當C.R越小時，判斷矩陣的一致性越好。一般認為，當C.R≤0.1時，判斷矩陣符合滿意的一致性標準，層次單排序的結(jié)果是可以接受的，否則，需要修正判斷矩陣，直到檢驗通過。第一百零六頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六判斷矩陣一致性檢驗的步驟（2）查表6.15得到平均隨機一致性指標R.I（3）計算一致性比率C.R=C.I/R.I

若C.R≤0.1，接受判斷矩陣； 否則，修改判斷矩陣。（1）求出判斷矩陣的一致性指標C.I第一百零七頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.判斷矩陣的求解構(gòu)造了判斷矩陣，就要求解出判斷矩陣的最大特征值及其對應的特征向量，才能進行一致性檢驗。由于判斷矩陣是決策者主觀判斷的定量描述（不精確），因此在求解時可采用簡化計算的方法，求出近似解即可。簡化計算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應近似特征向量，可取其某種意義下的平均。第一百零八頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.判斷矩陣的求解1、和法——取列向量的算術(shù)平均將判斷矩陣A的元素按列作歸一化處理，得矩陣Q=(qij)m×m將Q的元素按行相加，得到向量α＝(α1,α2,…,αm)T

第一百零九頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六（三）判斷矩陣的求解1、和法——取列向量的算術(shù)平均對向量α作歸一化處理得特征向量W＝(w1,w2,…,wm)T

求最大特征值

②③即對矩陣Q各行求算術(shù)平均得特征向量W。第一百一十頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六列向量歸一化行算術(shù)平均精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010一致性檢驗：C.I＝0.005，R.I＝0.52，C.R＝0.01＜0.1第一百一十一頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.判斷矩陣的求解2、根法——取列向量的幾何平均計算判斷矩陣A的每一行元素之積計算Mi的m次方根得到向量α＝(α1,α2,…,αm)T

第一百一十二頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六（三）判斷矩陣的求解2、根法——取列向量的幾何平均對向量α作歸一化處理得特征向量W＝(w1,w2,…,wm)T

求最大特征值

第一百一十三頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六每行元素之積歸一化一致性檢驗：C.I＝0.0055，R.I＝0.52，C.R＝0.011＜0.1三次方根第一百一十四頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.判斷矩陣的求解3、冪法——逐步迭代的方法 經(jīng)過若干次迭代計算，按照規(guī)定的精度，求出判斷矩陣A的最大特征值及其對應的特征向量。冪法是依據(jù)下面的定理提出的。定理：設(shè)矩陣A＝(aij)m×m>0，則：其中：W是A的最大特征值對應的特征向量，C為常數(shù)，向量e＝(1,1,…,1)T第一百一十五頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3、冪法——步驟1）任取初始正向量W(0),k=0，設(shè)置精度2）計算3）歸一化5）計算4）若3.判斷矩陣的求解停止；否則，k=k+1,轉(zhuǎn)2）第一百一十六頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.判斷矩陣的求解 為了克服隨著判斷矩陣階數(shù)的增加而產(chǎn)生精確求解最大特征值的困難，還可其他近似方法確定方案的權(quán)重。問題：對一致陣A＝(aij)m×m>0,其權(quán)向量為W=(w1,…,wm)T，則應有：aij=wi/wj 實際中A不一定是一致陣,對于正互反矩陣，在求解權(quán)向量時，應選權(quán)向量W使wi/wj與aij相差盡量?。▽λ衖，j）。第一百一十七頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.判斷矩陣的求解最小二乘法（LSM）：對正互反矩陣，通過下列最優(yōu)化問題導出排序向量的方法稱為最小二乘法。這是一個非線性規(guī)劃問題。第一百一十八頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.判斷矩陣的求解對數(shù)最小二乘法（LLSM）：對正互反矩陣，通過下列最優(yōu)化問題導出的排序向量的方法稱為對數(shù)最小二乘法。目標函數(shù)關(guān)于lnwi是線性的，該方法結(jié)果與根法相同。第一百一十九頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.判斷矩陣的求解梯度特征向量法（GEM）：設(shè)正互反判斷矩陣為A，其偽（擬）互反矩陣為由下面的遞推公式導出排序向量的方法稱為梯度特征向量法。其中：第一百二十頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.判斷矩陣的求解最小偏差法（LDM）：對正互反矩陣，由下列最優(yōu)化問題導出的排序向量的方法稱為最小偏差法。F(w)有唯一的極小點w*，且w*是下列方程組的唯一解：第一百二十一頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.判斷矩陣的求解目標規(guī)劃法(LGP)：目標規(guī)劃法是由Brynon

提出的，Brynon考慮了人們認識的差異性，通過引進正、負偏差變量，建立判斷矩陣的元素與權(quán)重的關(guān)系：第一百二十二頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.判斷矩陣的求解目標規(guī)劃法(LGP)

通過求解下面優(yōu)化模型，確定方案的權(quán)重。第一百二十三頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.5.3遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程 討論用AHP方法對一般非序列型目標準則體系問題進行決策。G總目標n層子目標準則層方案層第一百二十四頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.5.3遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程遞階權(quán)重解析：AHP方法的目的，在于求出各方案對總目標G的優(yōu)先權(quán)重，求解過程從上到下，在相鄰層次之間逐層進行，故稱為遞階權(quán)重解析。注意：不完全層次關(guān)系 如：方案ai與準則cj不存在關(guān)系，構(gòu)造方案層對準則cj的判斷矩陣時，應將方案ai除外，得到m－1階矩陣，解得m－1維特征向量，再將方案ai關(guān)于準則cj的權(quán)重0補進去，得到m維特征向量。第一百二十五頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)第3層對第2層權(quán)向量：w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T貢獻O教學C1科研C2P2

P1P3P4例:評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu)P1,P2只作教學,P4只作科研,P3兼作教學、科研。C1,C2支配元素的數(shù)目不等第一百二十六頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.5.3遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程1.遞階權(quán)重解析公式首先，討論相鄰兩層次間的權(quán)重解析。 設(shè)已計算第k-1層子目標關(guān)于總目標G的組合優(yōu)先權(quán)重向量為：

W

(k-1)=(w1(k-1)

,w2(k-1)

,

…,wnk-1(k-1))T 第k層子目標的個元素對以第k-1層的第j個元素為準則的優(yōu)先權(quán)重向量為：

Pj

(k)=(p1j(k)

,p2j(k)

,

…,pnkj(k))T令： P(k)=(p1(k)

,p2(k)

,

…,pnk-1(k))T

P(k)是第k層子目標nk個元素關(guān)于第k-1層nk-1個元素的優(yōu)先權(quán)重向量構(gòu)成的nk×nk-1矩陣。第一百二十七頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.5.3遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程1.遞階權(quán)重解析公式首先，討論相鄰兩層次間的權(quán)重解析。 則第k層子目標關(guān)于總目標G的組合優(yōu)先權(quán)重向量為：

W

(k)=(w1(k)

,w2(k)

,

…,wnk(k))T 其中：第一百二十八頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.5.3遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程1.遞階權(quán)重解析公式其次，用公式將遞階權(quán)重解析過程表示出來，給出方案層關(guān)于總目標G的優(yōu)先權(quán)重向量。W

(1)：表示第一層子目標關(guān)于總目標G的優(yōu)先權(quán)重向量；P(k)=(p1(k)

,p2(k)

,

…,pnk-1(k))T

：表示第k層子目標 關(guān)于第k-1層各元素的優(yōu)先權(quán)重向量，k=2,…,n；第一百二十九頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.5.3遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程P(c)=(p1(c),p2(c),

…,ps(c))T

：表示準則層s個準則 關(guān)于第n層nn個子目標的優(yōu)先權(quán)重向量；P(a)=(p1(a),p2(a),

…,ps(a))T

：表示方案層m個方 案關(guān)于準則層s個準則的優(yōu)先權(quán)重向量；最后，計算方案層各方案關(guān)于總目標G的優(yōu)

先權(quán)重

。這個優(yōu)先權(quán)重記為： W

(a)=(w1(a)

,w2(a)

,

…,wm(a))T計算公式為：第一百三十頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六6.5.3遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程2.

AHP方法的基本步驟（總結(jié)）建立層次結(jié)構(gòu)模型 將目標準則體系所包含的因素劃分為不同層次，如目標層、準則層、方案層等，構(gòu)建遞階層次結(jié)構(gòu)模型。構(gòu)造判斷矩陣

按照層次結(jié)構(gòu)模型，從上到下逐層構(gòu)造判斷矩陣。層次單排序及其一致性檢驗 根據(jù)實際情況，用不同方法求解判斷矩陣最大特征值相對應的特征向量，經(jīng)過歸一化處理，即得層次單排序權(quán)重向量。第一百三十一頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六2.

AHP方法的基本步驟（總結(jié)）層次總排序及其一致性檢驗

層次總排序是從上到下逐層進行的。在實際計算中，一般按表格形式計算較為簡便。

層次A層次BA1

A2

…

Am層次B總排序權(quán)值w1

w2

…

wmB1b11

b12

…

b1mB2b21

b22

…

b2m┇┇

┇

┇

┇┇Bnbn1

bn2

…

bnm權(quán)重第一百三十二頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六2.

AHP方法的基本步驟（總結(jié)）4.層次總排序及其一致性檢驗

層次總排序檢驗的一致性指標，平均隨機一致性指標和一致性比率指標分別是：第一百三十三頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.

AHP方法應用實例例6.14

某市中心有一座商場，由于街道狹窄，人員車輛流量過大，經(jīng)常造成交通堵塞。市政府決定解決這個問題．經(jīng)過有關(guān)專家會商研究，制定出三個可行方案：

a1：在商場附近修建一座環(huán)形天橋；

a2：在商場附近修建地下人行通道；

a3：搬遷商場。決策的總目標是改善市中心交通環(huán)境。第一百三十四頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六（三）AHP方法應用實例 專家組擬定5個子目標作為對可行方案的評價準則：

C1：通車能力；

C2：方便群眾；

C3：基建費用不宜過高；

C4：交通安全；

C5：市容美觀。 試對該市改善市中心交通環(huán)境問題作出決策分析。第一百三十五頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.14改善交通環(huán)境天橋a1地道a2搬遷a3通車能力C1方便群眾C2基建費用C3交通安全C4市容美觀C5圖6.16

層次結(jié)構(gòu)模型解：(1)建立層次結(jié)構(gòu)模型；第一百三十六頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.14(2)以總目標為準則，構(gòu)造判斷矩陣計算判斷矩陣的最大特征值λmax=5.206及對應的特征向量w=(0.461,0.195,0.091,0.195,0.059)T,計算C.R＝0.046<0.1,第一百三十七頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例6.14同理以C1，C2，C3，C4，C5為準則構(gòu)造判斷矩陣，并計算其最大特征值及對應的特征向量。第一百三十八頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六例5-2（3）層次總排序及一致性檢驗第一百三十九頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六注意:如果去掉C5與a3的連線，在準則C5下的判斷矩陣是2×2階，計算最大特征值對應的特征向量是二維的，此時應在對應的位置添加零，使得其變?yōu)槿S向量。改善交通環(huán)境天橋a1地道a2搬遷a3通車能力C1方便群眾C2基建費用C3交通安全C4市容美觀C5第一百四十頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.6

DEA方法 在社會、經(jīng)濟和管理領(lǐng)域中，常常需要對具有相同類型的部門、企業(yè)或者同一企業(yè)不同時期的相對效率進行評價。

決策單元—待評價的部門、企業(yè)或時期。評價的依據(jù)—是決策單元的一組投入指標數(shù)據(jù)和一組產(chǎn)出指標數(shù)據(jù)。投入指標—是指決策單元在社會、經(jīng)濟和管理活動中需要耗費的經(jīng)濟量。產(chǎn)出指標—是指決策單元在某種投入要素組合下，表明經(jīng)濟活動產(chǎn)生成效的經(jīng)濟量。第一百四十一頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.6

DEA方法常見的投入指標：固定資產(chǎn)原值、流動資金平均余額、自籌技術(shù)開發(fā)資金、職工人數(shù)、占用土地等。 常見的產(chǎn)出指標：總產(chǎn)值、銷售收人、利稅總額、產(chǎn)品數(shù)量、勞動生產(chǎn)率、產(chǎn)值利潤率等。問題：如何根據(jù)投入指標數(shù)據(jù)和產(chǎn)出指標數(shù)據(jù)評價決策單元的相對效率，即評價部門、企業(yè)或時期之間的相對有效性？第一百四十二頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.6

DEA方法常見的投入指標：固定資產(chǎn)原值、流動資金平均余額、自籌技術(shù)開發(fā)資金、職工人數(shù)、占用土地等。DEA（DataEnvelopmentAnalysis）方法又稱為數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法，是對多指標投入和多指標產(chǎn)出的相同類型部門，進行相對有效性綜合評價的一種新方法，也是研究多投入多產(chǎn)出生產(chǎn)函數(shù)的有力工具。DEA方法就是根據(jù)輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)來評價決策單元的優(yōu)劣，即所謂評價部門（或單位）間的相對有效性的方法。第一百四十三頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.6

DEA方法6.6.1

DEA模型1.

DEA模型概述DEA方法是美國著名運籌學家查思斯和庫伯教授于1978年首先提出的，適用于多指標投入和多指標產(chǎn)出決策單元的相對有效性評價，以相對效率概念為基礎(chǔ)。在國外，該方法已經(jīng)成功地應用于銀行、城市、醫(yī)院、學校及軍事項目等方面效率評價，在對相互之間存在激烈競爭的私營企業(yè)和公司的效率評價中，也有巨大的優(yōu)越性。第一百四十四頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六§6.6

DEA方法6.6.1

DEA模型1.

DEA模型概述DEA模型特點：以最優(yōu)化為工具，以多指標投入和多指標產(chǎn)出的權(quán)系數(shù)為決策變量，在最優(yōu)化的意義上進行評價，避免了在統(tǒng)計平均意義上確定指標權(quán)系數(shù)，具有內(nèi)在的客觀性。不需要確定投入和產(chǎn)出之間關(guān)系的具體形式，具有黑箱類型研究方法的特色。第一百四十五頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六2.

C2R

模型及其基本性質(zhì) 設(shè)有n個部門或企業(yè)（決策單元），每個決策單元都有m種投入和p種產(chǎn)出。xij：第j個決策單元第i種投入指標的投入量，xij>0，是已知數(shù)據(jù)；yrj：第j個決策單元第r種產(chǎn)出指標的產(chǎn)出量，yrj

>0，是已知數(shù)據(jù)；vi：第i種投入指標的權(quán)系數(shù)(待定)，vi≥0；ur：第r種產(chǎn)出指標的權(quán)系數(shù)(待定)，ur≥0； i=1，2，…，m；j=1，2，…，n r=1，2，…，p第一百四十六頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六2.

C2R

模型及其基本性質(zhì)投入產(chǎn)出決策單元第一百四十七頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六2.

C2R

模型及其基本性質(zhì)對每個決策單元，都定義一個效率評價指標hj表示第j個決策單元所取得的經(jīng)濟效率，可以適當選擇權(quán)系數(shù)，使得hj≤1。其中：u=(u1,u2,…,up)T,v=(v1,v2,…,vm)T,

xj=(x1j,x2j,…,xmj)T,yj=(y1j,y2j,…,yrj)T第一百四十八頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六2.

C2R

模型及其基本性質(zhì)設(shè)第j0個決策單元的投入和產(chǎn)出向量分別為：

xj0=(x1j0,x2j0,…,xmj0)T,yj0=(y1j0,y2j0,…,yrj0)T效率指標h0=hj0評價第j0個決策單元有效性（相對于其它決策單元而言）的模型為：稱為CCR模型（C2R）第一百四十九頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六2.

C2R

模型及其基本性質(zhì)是一個分式規(guī)劃，令t=1/vTx0，ω=tv,μ=tu，則可化為一個等價的線性規(guī)劃問題：第一百五十頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六2.

C2R

模型及其基本性質(zhì)

線性規(guī)劃(P)的對偶問題為：其中：s-

=(s1-,s2-,…,sm-)T,s+=(s1+,s2+,…,sm+)T,

為松馳變量向量。第一百五十一頁，共一百八十三頁，編輯于2023年，星期六3.

決策單元的DEA有效性定義6.6：若線性規(guī)劃(P)的最優(yōu)解ω0,μ0滿足：

VP＝(μ0)Ty0＝1則稱決策單元j0為弱DEA有效。定義6.7：若線性規(guī)劃(P)的最優(yōu)解ω0,μ0滿足：

VP＝(μ0)Ty0＝1，且ω0＞0，μ0＞0則稱決策單元j0為DEA有效。決策單元j0