如何用梅遜公式求傳遞函數(shù)

如何用梅遜公式求傳遞函數(shù)5/27/20231第一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五信號(hào)流圖可以表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和變量傳送過(guò)程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。它也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。在求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)較為方便。一、信號(hào)流圖及其等效變換組成：信號(hào)流圖由節(jié)點(diǎn)和支路組成。見(jiàn)下圖：信號(hào)流圖的概念-+5/27/20232第二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五上圖中，兩者都具有關(guān)系:。支路對(duì)節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō)是輸出支路，對(duì)節(jié)點(diǎn)y來(lái)說(shuō)是輸入支路。節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)表示信號(hào)，輸入節(jié)點(diǎn)表示輸入信號(hào)，輸出節(jié)點(diǎn)表示輸出信號(hào)。支路：連接節(jié)點(diǎn)之間的線段為支路。支路上箭頭方向表示信號(hào)傳送方向，傳遞函數(shù)標(biāo)在支路上箭頭的旁邊，稱支路傳輸。信號(hào)流圖的概念5/27/20233第三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五信號(hào)流圖的術(shù)語(yǔ)[幾個(gè)術(shù)語(yǔ)]：輸出節(jié)點(diǎn)(阱點(diǎn))：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)。如：X8?；旌瞎?jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。如：X2,X3,X4,X5,X6,X7?；旌瞎?jié)點(diǎn)相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的信號(hào)相加點(diǎn)和分支點(diǎn)。它上面的信號(hào)是所有輸入支路引進(jìn)信號(hào)的疊加。通路：沿支路箭頭方向穿過(guò)各個(gè)相連支路的路線，起始點(diǎn)和終點(diǎn)都在節(jié)點(diǎn)上。若通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，且起點(diǎn)和終點(diǎn)不是同一節(jié)點(diǎn)稱為開(kāi)通路。起點(diǎn)在源點(diǎn)，終點(diǎn)在阱點(diǎn)的開(kāi)通路叫前向通路。輸入節(jié)點(diǎn)(源點(diǎn))：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。如：X1，X9。5/27/20234第四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五回路(閉通路)：通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，但起點(diǎn)和終點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)的通路稱為回路?；ゲ唤佑|回路：回路之間沒(méi)有公共節(jié)點(diǎn)時(shí)，這種回路稱為互不接觸回路。信號(hào)流圖的術(shù)語(yǔ)通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益?；芈穫鬏?增益)：回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益。5/27/20235第五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五信號(hào)流圖的等效變換串聯(lián)支路合并：并聯(lián)支路的合并：回路的消除：5/27/20236第六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五混合支路的清除：自回路的消除：信號(hào)流圖的等效變換5/27/20237第七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五信號(hào)流圖的性質(zhì)節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點(diǎn)自左向右順序設(shè)置，每個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之代數(shù)和，而從同一節(jié)點(diǎn)流向各支路的信號(hào)均用該節(jié)點(diǎn)的變量表示。支路相當(dāng)于乘法器，信號(hào)流經(jīng)支路時(shí)，被乘以支路增益而變換為另一信號(hào)。信號(hào)在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關(guān)系。對(duì)于給定的系統(tǒng),節(jié)點(diǎn)變量的設(shè)置是任意的，因此信號(hào)流圖不是唯一的。信號(hào)流圖的性質(zhì)5/27/20238第八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五信號(hào)流圖的繪制[信號(hào)流圖的繪制]：根據(jù)結(jié)構(gòu)圖列出系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的拉氏方程，按變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系繪制先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，如上圖所示。然后畫(huà)出信號(hào)流圖如下圖所示。例1：速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為：5/27/20239第九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2:已知結(jié)構(gòu)圖如下，可在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，如上圖所示。然后畫(huà)出信號(hào)流圖如下圖所示。5/27/202310第十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五信號(hào)流圖的繪制例2:按微分方程拉氏變換后的代數(shù)方程所表示的變量間數(shù)學(xué)關(guān)系繪制。如前例所對(duì)應(yīng)的代數(shù)方程為:按方程可繪制信號(hào)流圖。5/27/202311第十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五梅遜公式用梅遜公式可不必簡(jiǎn)化信號(hào)流圖而直接求得從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)之間的總傳輸。（即總傳遞函數(shù)）其表達(dá)式為：式中：總傳輸（即總傳遞函數(shù)）；從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道總數(shù)；第k個(gè)前向通道的總傳輸；流圖特征式；其計(jì)算公式為：二、梅遜增益公式5/27/202312第十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五（正負(fù)號(hào)間隔）式中：流圖中所有不同回路的回路傳輸之和；所有互不接觸回路中，每次取其中兩個(gè)回路傳輸乘積之和；所有互不接觸回路中，每次取其中三個(gè)回路傳輸乘積之和；

第k個(gè)前向通道的特征余子式；其值為中除去與第k個(gè)前向通道接觸的回路后的剩余部分。梅遜公式5/27/202313第十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五梅遜公式||例2-13a[解]：前向通道有一條；有一個(gè)回路；例2-13a：求速度控制系統(tǒng)的總傳輸。（不計(jì)擾動(dòng)）5/27/202314第十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五梅遜公式||例2-13[解]：先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，再根據(jù)邏輯關(guān)系畫(huà)出信號(hào)流圖如下：[例2-13]：繪出兩級(jí)串聯(lián)RC電路的信號(hào)流圖并用Mason公式計(jì)算總傳遞函數(shù)。---5/27/202315第十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五圖中，有一個(gè)前向通道；有三個(gè)回路；有兩個(gè)互不接觸回路；（因?yàn)槿齻€(gè)回路都與前向通道接觸。）總傳輸為：梅遜公式||例2-13（正負(fù)號(hào)間隔）式中：流圖中所有不同回路的回路傳輸之和；所有互不接觸回路中，每次取其中兩個(gè)回路傳輸乘積之和；所有互不接觸回路中，每次取其中三個(gè)回路傳輸乘積之和；5/27/202316第十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五梅遜公式||例2-13討論：信號(hào)流圖中，a點(diǎn)和b點(diǎn)之間的傳輸為1，是否可以將該兩點(diǎn)合并。使得將兩個(gè)不接觸回路變?yōu)榻佑|回路？如果可以的話，總傳輸將不一樣。不能合并。因?yàn)閍、b兩點(diǎn)的信號(hào)值不一樣。上圖中，ui和ue，I1和I，a和b可以合并。5/27/202317第十七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五梅遜公式||例2-14例2-14：使用Mason公式計(jì)算下述結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)解：在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，如上圖。然后畫(huà)出信號(hào)流圖，如下：++--5/27/202318第十八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五回路有三，分別為：有兩個(gè)不接觸回路，所以：梅遜公式||例2-14求：前向通道有二，分別為:5/27/202319第十九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五梅遜公式||例2-14求：（蘭線表示）不變。（紅線表示）注意：上面講不變，為什么？是流圖特征式，也就是傳遞函數(shù)的特征表達(dá)式。對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，特征表達(dá)式總是不變的，可以試著求一下。5/27/202320第二十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五梅遜公式注意事項(xiàng)注意：梅森公式只能求系統(tǒng)的總增益，即輸出對(duì)輸入的增益。而輸出對(duì)混合節(jié)點(diǎn)（中間變量）的增益不能直接應(yīng)用梅森公式。也就是說(shuō)對(duì)混合節(jié)點(diǎn)，不能簡(jiǎn)單地通過(guò)引出一條增益為一的支路，而把非輸入節(jié)點(diǎn)變成輸入節(jié)點(diǎn)。對(duì)此問(wèn)題有兩種方法求其傳遞函數(shù)：一、把該混合節(jié)點(diǎn)的所有輸入支路去掉，然后再用梅森公式。二、分別用梅森公式求取輸出節(jié)點(diǎn)及該節(jié)點(diǎn)對(duì)輸入節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)，然后把它們的結(jié)果相比，即可得到輸出對(duì)該混合節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)。5/27/202321第二十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五梅遜公式||例2-15例2-15：數(shù)數(shù)有幾個(gè)回路和前向通道。有四個(gè)回路，分別是：它們都是互相接觸的。有九條前向通道，分別是：5/27/202322第二十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五梅遜公式||例2-15對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖為：--+++++為節(jié)點(diǎn)注意：①信號(hào)流圖與結(jié)構(gòu)圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②仔細(xì)確定前向通道和回路的個(gè)數(shù)。作業(yè)：2-12，2-135/27/202323第二十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五小結(jié)信號(hào)流圖的組成；術(shù)語(yǔ)；信號(hào)流圖的繪制和等效變換；梅遜公式極其應(yīng)用；信號(hào)流圖和結(jié)構(gòu)圖之間的關(guān)系。小結(jié)5/27/202324第二十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五梅遜公式的推導(dǎo)附錄：梅遜公式的推導(dǎo)如前例已知信號(hào)流圖如圖所示，所對(duì)應(yīng)的代數(shù)方程為以R為輸入，V2為輸出則可整理成下列方程5/27/202325第二十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五于是可求得該方程組的系數(shù)行列式和

梅遜公式的推導(dǎo)5/27/202326第二十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五根據(jù)克萊姆法則得

于是傳遞函數(shù)為分析上式可以看到，傳遞函數(shù)的分子和分母取決于方程組的系數(shù)行列式，而系數(shù)行列式又和信號(hào)流圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有著密切的關(guān)系。從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)，信號(hào)流圖的主要特點(diǎn)取決于回路的類型和數(shù)量。而信號(hào)流圖所含回路的主要類型有兩種：?jiǎn)为?dú)的回路和互不接觸回路。梅遜公式的推導(dǎo)5/27/202327第二十七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五圖中所示信號(hào)流圖共含有五個(gè)單獨(dú)回路和三對(duì)互不接觸回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ）

所有單獨(dú)回路增益之和為兩兩互不接觸回路增益乘積之和為

而△值恰好為

可見(jiàn)，傳遞函數(shù)的分母△取決于信號(hào)流圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征。

梅遜公式的推導(dǎo)5/27/202328第二十八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果把△中與第k條前向通道有關(guān)的回路去掉后，剩下的部分叫做第k條前向通道的余子式，并記為△k。由圖可得，從輸入到輸出的前向通道和其增益以及響應(yīng)的余子式如下表所示前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=1梅遜公式的推導(dǎo)5/27/202329第二十九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期五故用信號(hào)流圖