2023年高等數學考研大總結之四導數與微分

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦高等數學考研大總結之四導數與微分第四章導數與微分第一講導數一，導數的定義：

1函數在某一點0x處的導數：設()xfy=在某個()δ,0xU有定義,假如極限

()()0

lim

00→??-?+xx

xfxxf(其中()()

x

xfxxf?-?+00稱為函數()xf在(0x,0x+x?)上的平均變化率(或差商)稱此極限值為函數()xf在0x處的變化率)存在則稱函數()xf在0x點可導.并稱該極限值為()xf在0x點的導數記為()0/

xf

,若記()()

00,xfxfyxxx-=?-=?則()0/

xf=()()0

00lim

xxxxxfxf→--=0lim→???xxy

解析：⑴導數的實質是兩個無窮小的比。即：函數相對于自變量變化快慢的程度,其肯定值

越大,則函數在該點附近變化的速度越快。

⑵導數就是平均變化率(或差商)的極限,常用記法:()0/

xf

,0/xxy=,0xxdx

dy

=。

⑶函數()xf在某一點0x處的導數是討論函數()xf在點0x處函數的性質。⑷導數定義給出了求函數()xf在點0x處的導數的詳細辦法,即：①對于點0x處的自變量增量x?,求出函數的增量（差分）y?=()()00xfxxf-?+②求函數增量y?與自變量

增量x?之比x

y??③求極限0

lim

→???xxy

若存在,則極限值就是函數()xf在點0x處的導數,若極

限不存在,則稱函數()xf在0x處不行導。

⑸在求極限的過程中,0x是常數,x?是變量,求出的極限值普通依靠于0x⑹導數是由極限定義的但兩者仍有不同，我們稱當極限值為∞時通常叫做極限不存在，而導數則不同，因其具有實在的幾何意義，故當在某點處左，右導數存在且為同一個廣義實數值時我們稱函數在某點可導。實質是給導數的定義做了一個推廣。

⑺注重:若函數()xf在點0x處無定義,則函數在0x點處必無導數,但若函數在點0

x處有定義,則函數在點0x處未必可導。

2單側導數：設函數()xf在某個(]00,xxδ-（或[)δ+00,xx）有定義，并且極限

()()-→??-?+0lim

00xxxfxxf（或()()

+

→??-?+0lim0xx

xfxxf）存在，則稱其極限值為()xf在0x點的左（右）導數，記為：()00/

-xf或()0/xf-（或()()0/0/,0xfxf++）。左導數和右導數

統(tǒng)稱為單側導數。

函數在某一點處有導數的充要條件：左導數和右導數存在且相等。

3函數在某一區(qū)間上的導數：⑴在()ba,可導：假如函數()xf在開區(qū)間()ba,每一點都可導，則說()xf在()ba,可導（描述性）。⑵在[]ba,可導：假如函數()xf在()ba,可導且

()()bfaf//,-+存在則說函數()xf在[]ba,上可導。

4導函數：假如函數()xf在區(qū)間I上可導，則對于隨意一個Ix∈都對應著唯一一個（極

限的唯一性）確定的導數值()xf

/

，這樣就構成了一個新的函數，稱為函數()xfy=的導

函數。記為：()xf/或dxdy或()dx

xdf或/

y，由此可知函數()xf某一點0

x處的導數實質是在

點0x處的導函數值。解析：（1）區(qū)分()0/

xf

與()[]/0xf：()0/xf表示函數()xf在點0x處的導函數值，而()[]

/

0xf表示對函數值()0xf這個常數求導，其結果為零。

（2）與在某一區(qū)間可導的關系：在某一區(qū)間可導就是在該區(qū)間上存在導函數。

5可導與延續(xù)的關系：可導必延續(xù)，但延續(xù)不一定可導。二，導數的幾何意義：當y=()xf表示一條曲線時,則()xf

/

表示曲線在()yx,點的切線的斜率，()xf/的正和負分

別表示曲線在該點是升高還是下降.()xf

/

的大小則表示曲線在該點的鄰域起伏的程度,

()xf/越小說明曲線在該點的鄰域近似水平,反之()xf/越大說明曲線在該點的鄰域越陡,

起伏顯然。

解析：⑴用曲線上某點和增量點連線的割線的斜率的極限來表達曲線在某點的斜率。

⑵過曲線y=()xf上的點(0x,0y)的方程:①切線方程y-0y=()0/

xf(x-0x).

②法線方程:y-0y=()

()00/

1

xxxf--

(()0/

xf≠0)

⑶假如點P(A,B)在曲線y=()xf外,那么過P點與曲線相切的切線有兩條。

⑷若()0/

xf

=∞說明函數()xf的曲線在點0x處的切線與

x軸垂直。若

()0/

xf

=0則說明()xf的曲線在點0x處的切線與x軸平行。

三，導數的四則運算

假如函數()xuu=及()xvv=都在點x具有導數,那么其和差積商(除分母為零的點外)都在點x具有導數。

⑴()()[]()()xvxuxvxu/

//

±=±

⑵()()[]()()()()xvxuxvxuxvxu///

+=()[]()xkuxku/

/

=

⑶()()()()()()()()()02

/

/

/

≠-=??

????xvxvxvxuxvxuxvxu()()()()()02//

≠-=??????xvxvxkvxvk解析：和差積可推廣為有限項即：⑴

()()()[]()()()xuxuxuxuxuxunn//2/1/21±±±=±±±

⑵()()()[]

()()()[]()()xuxuxuxuxuxuxuxuk

k

n

knn/

121/

21∑≡=四，幾類函數的求導法則

1反函數的求導法則：假如函數()yfx=在區(qū)間yI單調且()0/

≠yf則它的反函數

y=()xf

1

-在區(qū)間(){}yxIyyfxxI∈==,也可導，且()[

]()

yf

xf

/

/

1

1=

-或

dy

dx

dxdy1

=即：ｙ是ｘ的函數反函數的導數等于直接函數導數的倒數。

解析：⑴()0/

≠yf

且()yfx=在點y處延續(xù)。

⑵反函數求導法則的幾何意義：因為()xf

/

是函數()xf的曲線上點x處的切線

與x軸正向夾角α的正切。而反函數()yfx=與y=()xf在同一坐標系中有相同的曲線，只不過反函數()yfx=的自變量是y所以導數()yf/

就是y=()xf曲線上x的對應點y處的

同一條切線與y軸正向夾角β的正切，因此：()()

xf

yf

/

/

1=

即：α

βtan1

tan=

（α，β之和為

2

π）2復合函數的求導法則（鏈式求導）：假如()xgu=在點x可導，而y=()uf在點()

xgu=

可導，則復合函數()[]xgfy=在點x可導，且其導數為：

()()xgufdx

dy

//=或

dxdududydxdy=。解析：⑴復合函數整體在某點是否可導與()xgu=和()xg在某點是否可導無關。⑵逐層分解為容易函數在求導，不重，不漏。

3隱函數求導法則：對方程()0,=yxF所確定的隱函數求導，要把方程()0,=yxF的兩邊分離對x求導即可。在求導過程中應注重y是x的函數，所以在對y或y的函數求導時應理解為復合函數的求導。

4參數方程求導法則：由參數方程()()

()βαψ?≤≤??

?==ttytx所確定的ｙ與ｘ的函數的導數為：

()()()

ttxf///

?ψ=。解析：注重理解()()()()()()[]

3//////////

/

2tttttdt

dxdtxdfydtdxdtdyyx??ψ?ψ-==?=。5對數求導法則：是求冪指數()

()xf

yx?=型導數的有效辦法即：對函數()()xfyx?=的兩

邊同時取對數，然后按照對數的性質將作為指數的函數()x?化為與()xfln相乘的一個因子，再利用上述辦法求導。

6兩個結論：⑴可微分的周期函數其導數仍為具有相同周期的周期函數。

⑵可微分的偶函數的導函數為奇函數，而可微分的奇函數的導函數為偶函數。這個事實說明：凡對稱于y軸的圖形其對稱點的切線也關于y軸對稱。凡關于原點對稱的圖形，其對稱點的切線相互平行。五，常見函數的一階導數⑴0/

=c（ｃ為常數）⑵()

1/

-=aaaxx⑶()

xx

aaa?=ln/

⑷()

xx

ee=/

⑸()a

xx

a

ln1

log/

=⑹()xx1ln/=

⑺()xxcossin/=⑻()xxsincos/-=⑼()x

xx22

/cos1sectan==⑽()x

xx2

2

/sin1csccot-=-=⑾()xxxtansecsec/=⑿()xxxcotcsccsc/-=⒀()2

/

11arcsinxx-=

⒁()2

/

11arccosxx--

=⒂()2

/

11

arctanx

x+=

⒃()2/11cotxxarc+-

=⒄()chxshx=/⒅()shxchx=/⒆()x

chxhthx22

/1sec==

⒇()x

shxhcthx22

/

1csc==（21）

()1

12

/

+=xarcshx（22）()1

12

/

-=

xarchx

（23）()2

/

11

xarcthx-=

六，高階導數設()xf

/

是函數()xf在I上的導數，并且()xf/

也在I上可導，則稱()xf在I上二階可導，

并稱()xf

//

的導函數是()xf在

I上二階導數，記為：()xf

//

或

()

()xf

2，普通地，設

()

()()21≥-nxf

n是()xf在區(qū)間I上的()1-n階導函數并且()

()xf

n1-也在

I上可導則稱

()xf在I上ｎ階可導，并稱()

()xfn1-的導函數是()xf在區(qū)間

I上的ｎ階導函數記為：

()

()xf

n當函數由()xfy=給出時()xf的ｎ階導數也可表示為：()

,,nnndx

ydy()

()xf

n。若在

0x點的ｎ階導數常記為：()

()()0000,,,xxdxxfdxxdxydxxyxf

x

nnnn

n===。解析：⑴規(guī)定函數()xf的零階導數為函數()xf的本身。

⑵該定義的給出具有數學歸納法的性質，因此在求某一函數的高階導數時常用數學歸

納法。

⑶()xf的ｎ階導數是由()xf的()1-n階再一階導而求得，所以其具有逐階刻畫的性質。

⑷高階導數的常用求法：萊布尼茨(Leibniz)公式：

()

()

()()

kknn

kknnvuCuv-≡∑=0

[]bavu,,(∈上的ｎ階延續(xù)函數）其綻開式為：()()()()nnnnnnuvvuCvuCvu++++--//

22/11。

七，常見函數的高階導數⑴()()

0=nC（Ｃ為常數）⑵()()()()()n

an

a

x

naaaax-+=121

⑶()()()x

n

n

x

aaaln=⑷()()()kx

n

n

kx

a

akaln=⑸()()kx

nn

kx

ek

e=⑹()()x

n

x

e

e=

⑺(

)()()(

)

()n

nn

x

a

x

an?--=-ln!

11log1⑻()

()

()

()

()n

nnx

nx!11ln1--=-⑼()()??

?

??+=2sinsinπnxxn

⑽

()()?

?

?

?

?+=2sinsinπnkxkkxnn⑾

()()?

?

?

?

?+=2coscosπnxxn⑿

()()?

?

?

?

?+=2coscosπnkxkkxnn⒀

設

()

xgeykx=且

()

bxgaeykx+=/則有

()()

nbxgeaykxnn+=⒁設

()

xgeykx=且

()[]

cbxgkeykx++=/則有

()()[]ncnbxgekykxnn++=（⒀，⒁用同一函數的思想求ｂ，ｃ）⒂

()

[]

()(

)

()?ncbxeb

acbxeaxnnax

+++=+sinsin2

22

()

[]

()

(

)

()?ncbxebacbxe

axnnax

+++=+coscos2

22

（

其

中

2

22

2cos,sinb

aa

b

ab

+=

+=

??）

其次講微分一，微分的定義

設()xf在點0x的某個鄰域()δ,0xU