對圖形與幾何的理解及教學策略思考

對圖形與幾何的理解及教學策略思考第一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六數與代數(50％)空間與圖形(35％)統(tǒng)計與概率(15％)實踐與綜合應用數與式函數方程與不等式認識關系變換概率統(tǒng)計初中數學知識樹第二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六一、對圖形與幾何的理解1.圖形與幾何的核心內容圖形與幾何認識(一個圖形)關系(兩個圖形)變換數學是研究空間形式與數量關系的一門學科，圖形與幾何是中小學數學教學中較為重要的內容。第三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六重慶市近幾年中考考點09年10年11年

12年認識圓中的角圓中的角圓中的角圓中的角三視圖三視圖弧長扇形面積尺規(guī)作圖(三角形)尺規(guī)作圖(角的組合)尺規(guī)作圖(應用)簡單全等證明解直角三角形簡單全等證明解直角三角形關系相似比(面積)相似比(中線周長)相似比(圖形面積)相似比(高)平行線相交線平行線相交線平行線相交線平行線相交線圓與圓位置直線與圓位置中心對稱軸對稱第四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六變換幾何綜合幾何綜合幾何綜合幾何概率直角梯形(證線段等求線段長)直角梯形(證線段2倍證角和差)一般梯形(求線段長證線段和差)菱形(求線段長證線段和差)拋物線,旋轉,證線段2倍,等腰分類動點,分段函數旋轉,證周長不變,等腰分類動點,分段函數平移,等腰分類動點,分段函數平移,直角分類合計第五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六2.圖形與幾何的課標要求①平行線等分線段②梯形和等腰梯形③梯形的中位線定理④相似三角形的證明⑤與圓有關的證明⑥圓和圓的位置關系⑦圓錐的側面積和全面積⑧弦切角、相交弦、切割線定理第六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六3.圖形與幾何的知識結構點:線:角：三角形:四邊形:圓:①認識從一般到特殊:角特殊,邊特殊…直角三角形,等腰三角形平行四邊形→矩形,菱形,正方形

梯形→直角梯形,等腰梯形從簡單到復雜邊,角,特殊線段概念,性質(判定),運用第七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六點與點：點與線：點與多邊形(角):點與圓：線與線：線與多邊形(角):線與圓：角與角:多邊形與多邊形:多邊形與圓：圓與圓：②關系從簡單到復雜/點在線外,點在線上點在形外,點在形上,點在形內點在圓外,點在圓上,點在圓內比較(相等:和差倍分,不等),平行,相交/直線與圓相離,直線與圓相交比較(相等:和差倍分,不等)全等,相似//數量關系,位置關系第八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六③變換點:線:角:三角形:四邊形:圓:運動變換平移旋轉對稱從簡單到復雜第九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六二、圖形與幾何教學策略1.整體結構要讓學生掌握學習的主動權，最有效率的是掌握和運用結構。結構具有較知識點更強的遷移力。（1）框架性結構——體現知識整體（3）過程性結構——體現知識形成（2）方法性結構——體現學生學習第十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六案例1：菱形的性質菱形的性質可以從哪些角度入手?學習菱形以什么方法來學(過程性結構)?教結構，用結構為什么學習矩形之后是菱形(框架性結構)?邊,角,特殊線段(對稱性)觀察—猜想—驗證四邊形轉化為三角形,平行線等□→角特殊→邊特殊菱形要學習哪些內容(方法性結構)？概念→性質判定→運用第十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六案例2：兩條直線的位置關系相交線(鄰補角,對頂角)→垂線→三線八角→平行線邊,角,特殊線段概念,性質(判定),運用每節(jié)課局限在這些知識點的結論記憶和運用請畫兩條直線,你能畫出幾種不同的位置?(框架性結構)兩條直線相交要學習哪些內容？(方法性結構)用結構：平行兩條直線位置關系：相交，平行觀察→猜想→驗證兩條直線相交以什么方法來學？(過程性結構)教結構：相交第十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六案例：等腰三角形例題：∠ABC=∠ACB,BO.CO分別平分∠ABC,∠ACB.①圖中有幾個等腰三角形?變式1：…

過O作EF∥BC.①圖中有幾個等腰三角形?②線段EF與BE、FC之間有何關系?變式2：…

若∠B≠∠C.①圖中有沒有等腰三角形?②線段EF與BE、FC之間還有無關系?2.變式訓練第十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六【例題】如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、AC邊上的點,DE∥BC.求證：△ADE是等邊三角形.ABCDE案例：等邊三角形（1）條件結論變式常見方法：第十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六【例題】如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、AC邊上的點,DE∥BC.求證：△ADE是等邊三角形.ABCDE【變式】當點D、E滿足什么條件時,△ADE是等邊三角形？（2）封閉開放第十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六【變式】將△AED繞點A旋轉任意角度,上述結論是否都成立？【例題】如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、AC邊上的點,DE∥BC.求證：△ADE是等邊三角形.ABCDEABCED【變式】將△ADE繞著點A旋轉，使C、A、D三點在一條直線上.求證：CE=BD.你還能得出哪些結論？(邊.角.三角形…位置關系.數量關系.形狀)（3）圖形變換第十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六【變式】將正方形CGEF繞點C旋轉任意角度,上述結論還成立嗎？如圖，正方形CGEF的邊CG在正方形ABCD的邊BC的延長線上，連接AE，取線段AE的中點M，連接MD、MF.

求證：MD=MF.【變式】

將正方形CGEF繞點C旋轉，使對角線CE在正方形ABCD的邊BC的延長線上，其他條件不變，上述結論還成立嗎？（4）改變載體第十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六【原型】如圖,△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、AC邊上的點,DE∥BC.求證：△ADE是等邊三角形.ABCDE【改編】若點D是直線AB上的動點，點P是DE的中點，AB=2，是否存在這樣的點D，使△ABP是等腰三角形，若存在，求出此時AD的長，若不存在，說明理由.（5）化靜為動P第十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六【原型】如圖，菱形ABCD中,E、F分別是AB、AD邊的中點,H為CD邊上一點,且滿足∠BHC=2∠BCE．（1）求證：CE=CF；（2）求證：CH=AB+AH．【改編】（6）特殊一般第十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六【原型】如圖，∠C=90°DE⊥AC，若AE=1，AC=3，BC=2，求△ADE的面積.【改編】

（7）轉換題型第二十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六3.語言轉化(1)文字語言(2)圖形語言(3)符號語言①幾何符號:∵,∴,⊥,∥,△,□②關系符號:≌,∽,＝,≠,≈,＞,≥,＜,≤③英文字母A,B,C,D等,希臘字母π,α,β,γ等條件上圖,輔助線寫法第二十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六4.推理論證由數式的計算轉到對幾何圖形的推理論證。知道結論可以證明出來，但不知道怎么用符號語言把論證的過程完整準確的表達出來，或論證過程拖泥帶水，語言表達無法準確簡明.

第二十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六5.問題引導好“問”五度（1）準確度——對準教學目標（2）趣味度——激發(fā)力強（3）深刻度——有效攻克重難點（4）開放度——充分暴露相異構想（5）集中度——主問突出，線索清晰答疑—質疑暴露問題—提出問題第二十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六案例：軸對稱問題1．閱讀教材58—59頁，找出其中的重要概念,勾出概念中的關鍵詞,思考：如何判斷一個圖形是否是軸對稱圖形？如何判斷兩個圖形是否成軸對稱？問題2．成軸對稱的兩個圖形全等嗎？如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形全等嗎？這兩個圖形成軸對稱嗎?第二十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六問題3．軸對稱圖形和(成)軸對稱有什么區(qū)別和聯系?問題4．圖中的兩個三角形關于直線MN對稱，請你標出點A、B、C的對稱點A′、B′、C′,思考直線MN與線段AA′有什么關系？PNMCBA第二十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六案例1：正比例函數的性質問題1．在同一坐標系內畫出y=x,y=2x,y=3x的圖象,觀察它們有什么共性？(形)問題2．你能說明它們?yōu)槭裁从羞@樣的共性？(數)問題3．上述結論能推廣到一般情形嗎？問題4．你能類比上述研究過程,得出k＜0的情形嗎？第二十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六案例2：一元二次方程的解法——公式法問題1．你能用配方法求出二次項系數為1的一元二次方程的解嗎？問題2．你能用配方法求出二次項系數不為1的一元二次方程的解嗎？問題3．你能用配方法求出二次項系數為字母的一元二次方程的解嗎？第二十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六案例3：有理數的加法問題1．小明在一條東西向的跑道上，先向東走了20米，又向東走了30米，能否確定他現在位于原來位置的哪個方向，與原來位置相距多少米?你能用一個算式簡潔的表示這兩次運動及結果嗎？（必須表明運動的方向和距離）問題2．如果刪去問題1中的兩個“向東”，你還能確定小明的位置嗎？一共有幾種情形？請直接用算式寫出所有情形．第二十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六問題3．觀察得到的幾個算式，你能發(fā)現和的符號與兩個加數的符號有什么關系嗎？和的絕對值與兩個加數的絕對值又有什么關系？問題4．兩種特殊情形：（1）第一次向西走了30米，第二次向東走了30米；（2）第一次向西走了30米，第二次沒走．請分別寫出算式，你能從中得出什么結論？第二十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六案例4：拋物線的增減性變式1:拋物線y=3x2上有兩點(x1,y1)、(x2,y2)

當x1＞x2＞0時,問y1和y2的大小關系問題.拋物線y=3x2上有兩點(4,y1)、(1,y2)

問y1和y2的大小關系.變式2:拋物線y=ax2(a＜0)上有兩點(x1,y1)、(x2,y2)

當x1＜x2＜0時,問y1和y2的大小關系第三十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六案例5：已知一元二次方程有一個根為1,那么這個方程可以是

.(只需寫出一個方程)(上海2005)學生嘗試，教師追