【第一方案一輪復(fù)習(xí)】函數(shù)的奇偶性與周期性

第四節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性點(diǎn)擊考綱1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性.關(guān)注熱點(diǎn)1.函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，為高考中的必考知識(shí)點(diǎn)．2.常與函數(shù)的概念、圖象、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等綜合考查.1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有

，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于

對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有

，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于

對(duì)稱f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y軸原點(diǎn)2.周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝

，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中

的正數(shù)，那么這個(gè)

正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．f(x)存在一個(gè)最小最小1．奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域具有什么特點(diǎn)？它是函數(shù)具有奇偶性的什么條件？提示：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，必要不充分條件．2．如果T是函數(shù)y＝f(x)的周期，那么kT(k∈Z)是否一定也是該函數(shù)的周期？提示：當(dāng)k＝0時(shí)，不是；k≠0時(shí)，是．1．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(

)A．y＝2x－3

B．y＝－3x2C．y＝ln5x D．y＝－|x|cosx解析：A為非奇非偶函數(shù)，B、D為偶函數(shù)，C為奇函數(shù)．設(shè)y＝f(x)＝ln5x＝xln5，∴f(－x)＝－xln5＝－f(x)．答案：C

答案：C答案：D4．已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)＝2x2，則f(7)＝(

)A．－2 B．2C．－98 D．98解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2.答案：A【思路導(dǎo)引】

(4)函數(shù)定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)．當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．∴對(duì)任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．故f(x)為奇函數(shù)．【方法探究】

判斷函數(shù)奇偶性的一般方法：(1)首先確定函數(shù)的定義域，看其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若是，再根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷，否則，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(2)若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則可用下述方法進(jìn)行判斷：①定義判斷：f(－x)＝f(x)?f(x)為偶函數(shù)，f(－x)＝－f(x)?f(x)為奇函數(shù)．②等價(jià)形式判斷：f(－x)－f(x)＝0?f(x)為偶函數(shù)，f(－x)＋f(x)＝0?f(x)為奇函數(shù)．(2009·江西高考)已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，若對(duì)于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2008)＋f(2009)的值為(

)A．－2

B．－1C．1 D．2【思路導(dǎo)引】

當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)已知，欲求f(－2008)＋f(2009)的值，只需轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間[0,2)上，利用函數(shù)的周期性和奇偶性，問(wèn)題可解．【解析】

∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－2008)＝f(2008)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期為2，則f(2009)＝f(1)．又x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)因此f(－2008)＋f(2009)＝f(2008)＋f(1)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1.【答案】

C【方法探究】

緊緊抓住題目的條件關(guān)系——奇偶性與周期性，這是解題的關(guān)鍵，并注意體會(huì)本題中轉(zhuǎn)化化歸思想的運(yùn)用．關(guān)于函數(shù)周期性常用的結(jié)論：(1)定義在R上的函數(shù)f(x)，①若有兩條對(duì)稱軸x＝a，x＝b，則f(x)是周期函數(shù)且2|a－b|是它的一個(gè)周期．②若有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,0)，(b,0)，則f(x)是周期函數(shù)且2|a－b|是它的一個(gè)周期．③若有一個(gè)對(duì)稱中心(a,0)和一條對(duì)稱軸x＝b，則f(x)是周期函數(shù)且4|a－b|是它的一個(gè)周期．

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈＝{x|x≠0}，且滿足對(duì)于任意x1∈D，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍．【思路導(dǎo)引】

(1)依題設(shè)可令x1＝x2＝1，則可求f(1)的值；(2)令x1＝－1，x2＝x，即可找到f(－x)與f(x)間的關(guān)系，但需求f(－1)的值；(3)充分利用奇、偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性求解．【解析】

對(duì)x取特殊值可求出f(1)的值，同樣利用特殊值構(gòu)造出f(－x)與f(x)即可解題(2)，對(duì)于(3)將抽象不等式轉(zhuǎn)化成具體的不等式是關(guān)鍵，這就要充分利用單調(diào)性的定義．(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝0，令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.【方法探究】

(1)本題易出現(xiàn)不知如何脫掉“f”，原因是不理解“f”為對(duì)應(yīng)法則或沒(méi)注意到函數(shù)單調(diào)性．(2)本題利用偶函數(shù)性質(zhì)f(|x|)＝f(x)．避免了不必要的討論．3．將本例中的條件f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)改為f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，定義域D＝{x|x≠0}改為D＝R，求解第(2)，(3)問(wèn)．解析：(2)令x1＝x2＝0，得f(0)＝0；令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．(3)∵f(4)＝1，∴f(8)＝f(4)＋f(4)＝2，f(12)＝f(4＋8)＝f(4)＋f(8)＝3.又∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，∴f(3x＋1＋2x－6)≤f(12)，即f(5x－5)≤f(12)．又∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，f(0)＝0，且f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)在R上是增函數(shù)，1．(2009·陜西高考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0.則當(dāng)n∈N*時(shí)，有(

)A．f(－n)<f(n－1)<f(n＋1)B．f(n－1)<f(－n)<f(n＋1)C．f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)D．f(n＋1)<f(n－1)<f(－n)【解析】

由(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0得f(x)在x∈(－∞，0]為增函數(shù)．又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在x∈(0，＋∞

)為減函數(shù)．又f(－n)＝f(n)且0≤n－1<n<n＋1，∴f(n＋1)<f(n)<f(n－1)，即f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)．【答案】

C

2．(2009·山東高考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)．若方程f(x)＝m(m>0)，在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________.【解析】

因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)，因此，函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)．又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,0]上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1<x2<x3<x4.由對(duì)稱性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.【答案】

－8【考向分析】從近兩年的高考試題看，函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，與函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)綜合在一起考查，難度一般不大．預(yù)測(cè)2012年將以三角函數(shù)的周期性和抽象函數(shù)的奇偶性與周期性為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查邏輯推理與理解能力．答案：A2．(2011·泉州模擬)若x∈R、n∈N*，定義：Mxn＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，例如M－55＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，則函數(shù)f(x)＝xMx－919的奇偶性為