2021年高考數(shù)學專題13-概率(原卷版)-

專題13概率易錯點1忽略概率加法公式的應用前提致錯某商店日收入(單位：元)在下列范圍內(nèi)的概率如下表所示：日收入[1000,1500)[1500,2000)[2000,2500)[2500,3000)概率0.12ab0.14已知日收入在[1000,3000)(元)范圍內(nèi)的概率為0.67,求月收入在[1500,3000)(元)范圍內(nèi)的概率.【錯解】記這個商店日收入在[1000,1500),[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000)(元)范圍內(nèi)的事件分別為A,B,C,D,則日收入在[1500,3000)(元)范圍內(nèi)的事件為B+C+D,所以P(B+C+D)=1-P(A)=0.88.【錯因分析】誤用P(B+C+D)=1-P(A).事實上,本題中P(A)+P（B）+P（C）+P（D）≠1,故事件A與事件B+C+D并不是對立事件.【試題解析】因為事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P（B）+P（C）+P（D）=0.67,所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.在應用概率加法公式時，一定要注意其應用的前提是涉及的事件是互斥事件.對于事件A，B，有，只有當事件A，B互斥時，等號才成立.1．已知射手甲射擊一次，命中9環(huán)（含9環(huán)）以上的概率為0.56，命中8環(huán)的概率為0.22，命中7環(huán)的概率為0.12．（1）求甲射擊一次，命中不足8環(huán)的概率；（2）求甲射擊一次，至少命中7環(huán)的概率.【答案】（1）甲射擊一次，命中不足8環(huán)的概率是0.22．（2）甲射擊一次，至少命中7環(huán)的概率為0.9【解析】記“甲射擊一次，命中7環(huán)以下”為事件A，則P（A）＝1﹣0.56﹣0.22﹣0.12＝0.1，“甲射擊一次，命中7環(huán)”為事件B，則P（B）＝0.12，由于在一次射擊中，A與B不可能同時發(fā)生，故A與B是互斥事件，（1）“甲射擊一次，命中不足8環(huán)”的事件為A+B，由互斥事件的概率加法公式，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.1+0.12＝0.22．答：甲射擊一次，命中不足8環(huán)的概率是0.22．（2）方法1：記“甲射擊一次，命中8環(huán)”為事件C，“甲射擊一次，命中9環(huán)（含9環(huán)）以上”為事件D，則“甲射擊一次，至少命中7環(huán)”的事件為B+C+D，∴P（B+C+D）＝P（B）+P（C）+P（D）＝0.12+0.22+0.56＝0.9．答：甲射擊一次，至少命中7環(huán)的概率為0.9．方法2：∵“甲射擊一次，至少命中7環(huán)”為事件，∴1﹣0.1＝0.9．答：甲射擊一次，至少命中7環(huán)的概率為0.9．【名師點睛】本題考查概率的求法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地運用對立事件的概率的求法．易錯點2混淆“等可能”與“非等可能”從5名男生和3名女生中任選1人去參加演講比賽,求選中女生的概率.【錯解】從8人中選出1人的結果有“男生”“女生”兩種,則選中女生的概率為12【錯因分析】因為男生人數(shù)多于女生人數(shù),所以選中男生的機會大于選中女生的機會,它們不是等可能的.【試題解析】選出1人的所有可能的結果有8種,即共有8個基本事件,其中選中女生的基本事件有3個,故選中女生的概率為38利用古典概型的概率公式求解時，注意需滿足兩個條件：（1）所有的基本事件只有有限個；（2）試驗的每個基本事件是等可能發(fā)生的.2．2019年中國北京世界園藝博覽會于4月29日至10月7日在北京市延慶區(qū)舉辦．如果小明從中國館、國際館、植物館、生活體驗館四個展館中隨機選擇一個進行參觀，那么他選擇的展館恰為中國館的概率為A． B． C． D．【答案】B【解析】可能出現(xiàn)的選擇有種，滿足條件要求的種數(shù)為種，則，故選B.【名師點睛】本題考查利用古典概型完成隨機事件的概率的求解，難度較易.古典概型的概率計算公式：（目標事件的數(shù)量）（基本事件的總數(shù)）.錯點3幾何概型中測度的選取不正確在等腰直角三角形ABC中,直角頂點為C．（1）在斜邊AB上任取一點M,求AM<AC的概率;（2）在∠ACB的內(nèi)部,以C為端點任作一條射線CM,與線段AB交于點M,求AM<AC的概率.【錯解】（1）如圖所示,在AB上取一點C',使AC'=AC,連接CC'.由題意,知AB=2AC．由于點M是在斜邊AB上任取的,所以點M等可能分布在線段AB上,因此基本事件的區(qū)域應是線段AB．所以.（2）在∠ACB的內(nèi)部作射線，則所求概率為.【錯因分析】第（2）問的解析中錯誤的原因在于選擇的觀察角度不正確，因為在∠ACB的內(nèi)部作射線是均勻分布的，所以射線作在任何位置都是等可能的，則涉及的測度應該是角度而不是長度.【試題解析】（1）如圖所示,在AB上取一點C',使AC'=AC,連接CC'.由題意,知AB=2AC．由于點M是在斜邊AB上任取的,所以點M等可能分布在線段AB上,因此基本事件的區(qū)域應是線段AB．所以.（2）由于在∠ACB內(nèi)作射線CM,等可能分布的是CM在∠ACB內(nèi)的任一位置(如圖所示),因此基本事件的區(qū)域應是∠ACB,又，，所以.對一個具體問題，可以將其幾何化，如建立坐標系將試驗結果和點對應，然后利用幾何概型概率公式．(1)一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關的幾何概型，只需把這個變量放在坐標軸上即可；(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關的幾何概型；(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標系建立與體積有關的幾何概型．3．如圖，在直角梯形中，，是的中點，若在直角梯形中投擲一點，則以，，2為三邊構成的三角形為鈍角三角形的概率為A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，得，，故為三角形的最長邊長，以，，2為三邊構成的三角形為鈍角三角形，，即以原點為圓心，半徑為的圓，，故選C.(1)與長度有關的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關；(2)與面積有關的幾何概型，其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題；(3)與體積有關的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題．易錯點4錯解隨機變量的取值概率而致錯從4名男生和2名女生中任意選擇3人參加比賽，設被選中的女生的人數(shù)為．（1）求的分布列；（2）求所選女生的人數(shù)至多為1的概率．【錯解】（1）由題設可得的可能取值為0，1，2，且，，，所以的分布列為012（2）所選女生的人數(shù)至多為1即隨機變量的取值為，其概率為．【錯因分析】產(chǎn)生錯解的原因是對隨機變量的取值概率求解錯誤，事實上隨機變量服從參數(shù)為，，的超幾何分布．【試題解析】（1）由題設可得的可能取值為0，1，2，且，，，所以的分布列為012（2）所選女生的人數(shù)至多為1即隨機變量的取值為，其概率為．4．某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測，每件一等品都能通過檢測，每件二等品通過檢測的概率為．現(xiàn)有件產(chǎn)品，其中件是一等品，件是二等品．（1）隨機選取件產(chǎn)品，設至少有一件通過檢測為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）隨機選取件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為，求的分布列．【答案】（1）；（2）分布列見解析．【解析】（1）由題可得，所以隨機選取3件產(chǎn)品，至少有一件通過檢測的概率為．（2）由題可知的所有可能取值為．，，，．則隨機變量的分布列為0123易錯點5對超幾何分布的概念理解不透徹而致錯盒中裝有12個零件，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，若取出的是次品不再放回，再取一個零件，直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數(shù)的分布列．【錯解】由題意可知，服從超幾何分布，其中，，，所以在取得正品之前已取出次品數(shù)的分布列為，所以已取出次品數(shù)的分布列為0123【錯因分析】錯解中未理解超幾何分布的概念．本題是不放回抽樣，“”表示“第一次取到次品，第二次取到正品”，“”表示“前兩次都取到次品，第三次取到正品”，屬于排列問題．而超幾何分布是一次性抽取若干件產(chǎn)品，屬于組合問題．【試題解析】由題易得的可能取值為0，1，2，3．，，，，所以已取出次品數(shù)的分布列為0123求隨機變量的分布列的關鍵是熟練掌握排列、組合知識，求出隨機變量每個取值的概率，注意概率的取值范圍（非負），在由概率之和為1求參數(shù)問題中要把求出的參數(shù)代回分布列進行檢驗．5．某校舉辦校園科技文化藝術節(jié)，在同一時間安排《生活趣味數(shù)學》和《校園舞蹈賞析》兩場講座.已知A、B兩學習小組各有5位同學，每位同學在兩場講座任意選聽一場.若A組1人選聽《生活趣味數(shù)學》，其余4人選聽《校園舞蹈賞析》；B組2人選聽《生活趣味數(shù)學》，其余3人選聽《校園舞蹈賞析》.（1）若從此10人中任意選出3人，求選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率；（2）若從A、B兩組中各任選2人，設為選出的4人中選聽《生活趣味數(shù)學》的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】（1）設“選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》”為事件，則，答：選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率為.（2）可能的取值為，，，，故.所以的分布列為：X0123所以的數(shù)學期望為：.【名師點睛】本題主要考查了相互獨立事件、互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列與數(shù)學期望，屬于中檔題.（1）利用相互獨立事件與古典概率計算公式即可得出；（2）X可能的取值為，利用相互獨立事件、互斥事件的概率計算公式即可得出概率、分布列與數(shù)學期望.掌握離散型隨機變量的分布列，須注意：（1）分布列的結構為兩行，第一行為隨機變量X所有可能取得的值；第二行是對應于隨機變量X的值的事件發(fā)生的概率．看每一列，實際上是上為“事件”，下為“事件發(fā)生的概率”，只不過“事件”是用一個反映其結果的實數(shù)表示的．每完成一列，就相當于求一個隨機事件發(fā)生的概率．（2）要會根據(jù)分布列的兩個性質(zhì)來檢驗求得的分布列的正誤．易錯點6混淆互斥事件與相互獨立事件而致錯甲投籃命中率為，乙投籃命中率為，每人投3次，兩人都恰好投中2次的概率是多少？【錯解】設“甲恰好投中2次”為事件，“乙恰好投中2次”為事件，則“兩人都恰好投中2次”為事件，所以．【錯因分析】產(chǎn)生錯解的原因是把相互獨立事件同時發(fā)生當成互斥事件來考慮，將“兩人都恰好投中2次”理解為“甲恰好投中2次”與“乙恰好投中2次”的和．【試題解析】設“甲恰好投中2次”為事件，“乙恰好投中2次”為事件，且，相互獨立，則“兩人都恰好投中2次”為事件，所以．1．運用公式P(AB)＝P(A)P(B)時一定要注意公式成立的條件，只有當事件A、B相互獨立時，公式才成立．2．獨立重復試驗中，每一次試驗只有兩種結果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中某事件發(fā)生的概率相等．注意恰好與至多(少)的關系，靈活運用對立事件．6．甲射擊時命中目標的概率為，乙射擊時命中目標的概率為，則甲乙兩人各自射擊同一目標一次，則該目標被擊中的概率為A． B． C． D．【答案】D【解析】記事件甲乙兩人各自射擊同一目標一次，該目標被擊中，則事件甲乙兩人各自射擊同一目標一次，兩人都未擊中目標，由獨立事件的概率乘法公式得，，故選D．【名師點睛】本題考查獨立事件的概率乘法公式，解題時要弄清楚各事件之間的關系，可以采用分類討論，本題采用對立事件求解，可簡化分類討論，屬于中等題.一、隨機事件與概率1.事件關系的判斷方法對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應為必然事件，這些也可類比集合進行理解，具體應用時，可把所有試驗結果寫出來，看所求事件包含哪些試驗結果，從而斷定所給事件的關系．2．基本事件個數(shù)的計算方法(1)列舉法；(2)列表法；(3)利用樹狀圖列舉.3.求互斥事件概率的兩種方法(1)直接求法：將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和，運用互斥事件概率的加法公式計算．(2)間接求法：先求此事件的對立事件，再用公式P(A)＝1－求得，即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法往往會較簡便.二、古典概型1.求古典概型的基本步驟(1)算出所有基本事件的個數(shù)n.(2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m.(3)代入公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出P(A)．2．基本事件個數(shù)的確定方法(1)列舉法：此法適用于基本事件較少的古典概型．(2)列表法：此法適用于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成是坐標法．3．求與古典概型有關的交匯問題的方法解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關的知識轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機事件的個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式進行計算.三、幾何概型1.求解與長度(角度)有關的幾何概型的方法求與長度(角度)有關的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度(角度)．然后求解，要特別注意“長度型”與“角度型”的不同．解題的關鍵是構建事件的區(qū)域(長度、角度)．2．求解與體積有關的幾何概型的方法對于與體積有關的幾何概型問題，關鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復雜的也可利用其對立事件去求．3．求解與面積有關的幾何概型的方法求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據(jù)題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結果構成的平面圖形，以便求解．四、離散型隨機變量分布列的常見類型及解題策略(1)與排列組合有關分布列的求法．可由排列組合、概率知識求出概率，再求出分布列．(2)與頻率分布直方圖有關分布列的求法．可由頻率估計概率，再求出分布列．(3)與互斥事件有關分布列的求法．弄清互斥事件的關系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．(4)與獨立事件(或獨立重復試驗)有關分布列的求法．先弄清獨立事件的關系，求出各個概率，再列出分布列．(5)超幾何分布的特點超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布．超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型．五、n次獨立重復試驗與二項分布1.條件概率的兩種解法(1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A).，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A).2．求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面計算較繁瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算．3．古典概型中，A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)，其中，在實際應用中P(B|A)＝是一種重要的求條件概率的方法．4．相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，計算式為P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．5．n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次可看作是個互斥事件的和，其中每一個事件都可看作是k個A事件與n－k個事件同時發(fā)生，只是發(fā)生的次序不同，其發(fā)生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率為Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k.1．（2019年高考浙江卷）設0＜a＜1，則隨機變量X的分布列是則當a在（0，1）內(nèi)增大時，A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大2．（2018年全國卷II理）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B．C． D．3．一個盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個，從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.754．在一項自“一帶一路”沿線20國青年參與的評選中“高鐵”、“支付寶”、“共享單車”和“網(wǎng)購”被稱作中國“新四大發(fā)明”，曾以古代“四大發(fā)明”推動世界進步的中國，正再次以科技創(chuàng)新向世界展示自己的發(fā)展理念．某班假期分為四個社會實踐活動小組，分別對“新四大發(fā)明”對人們生活的影響進行調(diào)查．于開學進行交流報告,四個小組隨機排序，則“支付寶”小組和“網(wǎng)購”小組不相鄰的概率為A． B． C． D．5．袋中有形狀、大小都相同且編號分別為1，2，3，4，5的5個球，其中1個白球，2個紅球，2個黃球．從中一次隨機取出2個球，則這2個球顏色不同的概率為A． B． C． D．6．在某項測試中，測量結果服從正態(tài)分布，若，則A． B．C． D．7．已知小張每次射擊命中十環(huán)的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率，先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定2，4，6，8表示命中十環(huán)，0，1，3，5，7，9表示未命中十環(huán)，再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次射擊的結果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：321421292925274632800478598663531297396021506318230113507965據(jù)此估計，小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率為A．0.25 B．0.30 C．0.35 D．0.408．傳說戰(zhàn)國時期,齊王與田忌各有上等,中等,下等三匹馬,且同等級的馬中,齊王的馬比田忌的馬強,但田忌的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬強.有一天,齊王要與田忌賽馬,雙方約定:比賽三局,每局各出一匹馬,每匹馬賽一次,贏得兩局者為勝.如果齊王將馬按上,中,下等馬的順序出陣,而田忌的馬隨機出陣比賽,則田忌獲勝的概率是A．12 B．1C．16 D．9．有一底面半徑為1，高為2的圓柱，點O為圓柱下底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于l的概率為A． B．C． D．10．某學生用隨機模擬的方法推算圓周率的近似值，在邊長為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，向正方形內(nèi)隨機投入粒芝麻，（假定這些芝麻全部落入該正方形中）發(fā)現(xiàn)有粒芝麻落入圓內(nèi)，則該學生得到圓周率的近似值為A． B． C． D．11．運行如圖所示的程序框圖,設輸出數(shù)據(jù)構成的集合為A,從集合A中任取一個元素a,則函數(shù)y=A．37 B．4C．35 D．12．設函數(shù)f(x)=在區(qū)間[0，e]上隨機取一個實數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是A． B．1﹣ C． D．13．（2018新課標I卷理）下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個圖形中隨機取一點，此點取自I，II，III的概率分別記為p1，p2，p3，則A．p1=p2 B．p1=p3C．p2=p3 D．p1=p2+p314．（2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是______________．15．（2018上海卷）有編號互不相同的五個砝碼，其中克、克、克砝碼各一個，克砝碼兩個，從中隨機選取三個，則這三個砝碼的總質(zhì)量為克的概率是_____．16．已知向量若，則向量的概率為_______.17．（1）一個盒子中有6個白球、4個黑球，每次從中不放回地任取1個，連取兩次，求在第一次取到白球的條件下，第二次取到黑球的概率為____________；（2）有一批種子的發(fā)芽率為，出芽后的幼苗成活率為，在這批種子中，隨機抽取一粒，這粒種子能成長為幼苗的概率為____________．18．設集合,,從集合中任取一個元素,則這個元素也是集合中元素的概率是__________．19．設隨機變量X的分布列為X123P11a則a=

；E(X)=

．20．（2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束．甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立．在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束．（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率．21．（2019年高考天津卷理數(shù)）設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立．（1）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（2）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率．22．（2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．23．據(jù)統(tǒng)計，僅在北京地區(qū)每天就有500萬單快遞等待派送，近5萬多名快遞員奔跑在一線，快遞網(wǎng)點人員流動性也較強，各快遞公司需要經(jīng)常招聘快遞員，保證業(yè)務的正常開展．下面是50天內(nèi)甲、乙兩家快遞公司的“快遞員”的每天送貨單數(shù)統(tǒng)計表：送貨單數(shù)30405060天數(shù)甲10102010乙515255已知這兩家快遞公司的“快遞員”的日工資方案分別為：甲公司規(guī)定底薪元，每單抽成元；乙公司規(guī)定底薪元，每日前單無抽成，超過單的部分每單抽成元．（1）分別求甲、乙快遞公司的“快遞員”的日工資（單位：元）與送貨單數(shù)的函數(shù)關系式；（2）若將頻率視為概率，回答下列