數(shù)學(xué)史興趣閱讀之?dāng)?shù)學(xué)家的故事+

數(shù)學(xué)家的故事畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，公元前572—公元前497），古希臘哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家。他最早悟出萬事萬物背后都有數(shù)的法則在起作用，無論是解說外在物質(zhì)世界，還是描寫內(nèi)在精神世界，都不能沒有數(shù)學(xué)。畢達(dá)哥拉斯自幼聰明好學(xué)，曾在名師門下學(xué)習(xí)幾何學(xué)、自然科學(xué)和哲學(xué)。后來，因?yàn)橄蛲鶘|方的智慧，經(jīng)過萬水千山來到巴比倫、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中國文明中的豐富營養(yǎng)，大約在公元前530年又返回薩摩斯島。后來又遷居意大利南部的克羅通，創(chuàng)建了自己的學(xué)派，一邊從事教育，一邊從事數(shù)學(xué)研究。公元前572年，畢達(dá)哥拉斯出生在米里都附近的薩摩斯島（今希臘東部的小島）——愛奧尼亞群島的主要島嶼城市之一，此時(shí)的群島正處于極盛時(shí)期，在經(jīng)濟(jì)、文化等各方面都遠(yuǎn)遠(yuǎn)領(lǐng)先于希臘本土的各個(gè)城邦。畢達(dá)哥拉斯的父親是一位富商。畢達(dá)哥拉斯9歲時(shí)被父親送到提爾，在敘利亞學(xué)者那里學(xué)習(xí)，在這里他接觸了東方的宗教和文化。此后，他又多次隨父親商務(wù)旅行到小亞細(xì)亞。公元前551年，畢達(dá)哥拉斯來到米里都、得洛斯等地，拜訪了泰勒斯、阿那克西曼德和菲爾庫德斯，并成為他們的學(xué)生。在此之前，他已經(jīng)在薩摩斯的詩人克萊非洛斯那里學(xué)習(xí)了詩歌和音樂。公元前550年，年近30歲的畢達(dá)哥拉斯因宣傳理性神學(xué)，穿東方人的服裝，蓄上頭發(fā)，從而引起了當(dāng)?shù)厝说姆锤?，從此薩摩斯人一直對畢達(dá)哥拉斯有成見，認(rèn)為他鼓吹邪說。畢達(dá)哥拉斯被迫于公元前535年離家前往埃及。他于途中在腓尼基各沿海城市停留，學(xué)習(xí)當(dāng)?shù)厣裨捄妥诮?，并在提爾一座神廟中靜修。抵達(dá)埃及后，國王阿馬西斯推薦畢達(dá)哥拉斯入神廟學(xué)習(xí)。從公元前535年到公元前525年這十年中，畢達(dá)哥拉斯學(xué)習(xí)了象形文字、埃及神話歷史和宗教，并宣傳希臘哲學(xué)，受到許多希臘人的尊敬，更有不少人于他的門下求學(xué)。畢達(dá)哥拉斯在49歲時(shí)返回家鄉(xiāng)薩摩斯，開始講學(xué)并開辦學(xué)校，但是這一舉動沒有達(dá)到他預(yù)期的成效。公元前520年左右，為了擺脫當(dāng)時(shí)君主的暴政，他與母親和唯一的一個(gè)門徒離開薩摩斯，移居西西里島，后來定居在克羅托內(nèi)。在那里他廣收門徒，建立了一個(gè)宗教、政治、學(xué)術(shù)合一的團(tuán)體。他的演講吸引了社會各階層的人士，很多上層社會的人士也來參加演講會。按當(dāng)時(shí)的風(fēng)俗，婦女是被禁止出席公開的會議的，畢達(dá)哥拉斯打破了這個(gè)成規(guī)，允許她們也來聽講。熱心的聽眾中就有他后來的妻子西雅娜，她年輕漂亮，曾給他寫過傳記，可惜已經(jīng)失傳了。這個(gè)社團(tuán)里有男有女，地位一律平等，一切財(cái)產(chǎn)都?xì)w公有。社團(tuán)的組織紀(jì)律很嚴(yán)密，甚至帶有濃厚的宗教色彩。每個(gè)學(xué)員都要在學(xué)術(shù)上達(dá)到一定的水平，加入組織還要經(jīng)過一系列神秘的儀式，以求達(dá)到“心靈的凈化”。他們要接受長期的訓(xùn)練和考核，遵守很多的規(guī)范和戒律，并且宣誓永不泄露學(xué)派的秘密和學(xué)說。他們相信依靠數(shù)學(xué)可使靈魂升華，與上帝融為一體，“萬物皆數(shù)”“數(shù)是萬物的本質(zhì)”，是“存在由之構(gòu)成的原則”，而整個(gè)宇宙是數(shù)及其關(guān)系的和諧的體系。上帝通過數(shù)來統(tǒng)治宇宙。這是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派和其他教派的主要區(qū)別。學(xué)派的成員有著共同的哲學(xué)信仰和政治理想，他們吃著簡單的食物，進(jìn)行著嚴(yán)格的訓(xùn)練。學(xué)派的教義鼓勵人們自制、節(jié)欲、純潔、服從。他們開始在大希臘（今意大利南部一帶）贏得了很高的聲譽(yù)，產(chǎn)生過相當(dāng)大的影響，也因此引起了敵對派的嫉恨。后來受到民主運(yùn)動的沖擊，社團(tuán)在克羅托內(nèi)的活動場所遭到了嚴(yán)重的破壞。畢達(dá)哥拉斯被迫移居他林敦（今意大利南部塔蘭托），并于公元前497年去世。后來，許多門徒逃回希臘本土，在弗利奧斯重新建立據(jù)點(diǎn)，另一些人到了塔蘭托，繼續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)哲學(xué)研究以及政治方面的活動，直到公元前4世紀(jì)中葉。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派持續(xù)繁榮了兩個(gè)世紀(jì)之久。畢達(dá)哥拉斯本人以發(fā)現(xiàn)勾股定理（西方畢達(dá)拉斯定理）著稱于世。有一次，他應(yīng)邀參加一位富有政要舉行的餐會，這位主人豪華宮般的餐廳鋪著正方形美麗的大理石地磚。由于大餐遲遲不上桌，饑腸轆轆的貴賓頗有怨言，這位善于觀察和理解的數(shù)學(xué)家卻凝視腳下這些排列規(guī)則、美麗的方形地磚。但畢達(dá)哥拉斯不只是欣賞地磚的美麗，而是想到它們和“數(shù)”之間的關(guān)系，于是拿了畫筆并且蹲在地板上，選了一塊地磚以它的對角線長度為邊畫了一個(gè)正方形，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形的面積恰好等于兩塊地磚的面積和。他很好奇，于是再以兩塊地磚拼成的矩形的對角線畫了另一個(gè)正方形，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形的面積等于5塊地磚的面積，也就是以該矩形兩邊作正方形面積之和。至此畢達(dá)哥拉斯作了大膽的假設(shè)：任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩條邊平方之和。那一頓飯，這位古希臘數(shù)學(xué)大師的視線都一直沒有離開地面。不過，這定理早已為巴比倫人和中國人所知。大約是戰(zhàn)國時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“……故折矩，勾廣三，股修四，徑隅五?！币馑季褪钦f：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別長為3（短邊）和4（長邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡練地把這個(gè)事實(shí)說成“勾三股四弦五”。這就是中國著名的勾股定理，不過最早的論證大概可歸功于畢達(dá)哥拉斯。他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和，即“畢達(dá)哥拉斯定理”。

歐幾里得現(xiàn)在我們所能知道的關(guān)于歐幾里得（Euclid，約公元前330年—公元前275年）的生平事跡很少。歐幾里得出生于雅典，是柏拉圖的學(xué)生。他的科學(xué)活動主要是在亞歷山大進(jìn)行的，在這里，建立了以他為首的數(shù)學(xué)學(xué)派。公元前300年左右，在托勒密王（公元前364年—公元前283年）的邀請下，歐幾里得來到亞歷山大，長期在那里工作。歐幾里得以他的主要著作《幾何原本》而著稱于世，這是古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰。他把前人的數(shù)學(xué)成果加以系統(tǒng)整理和總結(jié)，以嚴(yán)密的演繹邏輯，把建立在一些公理之上的初等幾何學(xué)知識構(gòu)成一個(gè)嚴(yán)整的體系。歐幾里得建立起來的幾何學(xué)體系之嚴(yán)謹(jǐn)和完整，就連20世紀(jì)最杰出的大科學(xué)家愛因斯坦也不能不對他另眼相看。愛因斯坦說：“一個(gè)人當(dāng)他最初接觸歐幾里得幾何學(xué)時(shí)，如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動，那么他是不會成為一個(gè)科學(xué)家的?！薄稁缀卧尽分械臄?shù)學(xué)內(nèi)容也許沒有多少為他所創(chuàng)，但是關(guān)于公理的選擇、定理的排列以及一些嚴(yán)密的證明無疑是他的功勞，在這方面，他的工作出色無比。歐幾里得的《幾何原本》共有13篇，首先給出的是定義和公理。比如他首先定義了點(diǎn)、線、面的概念。他整理的5條公理包括：（1）從一點(diǎn)到另一任意點(diǎn)作直線是可能的。（2）所有的直角都相等。（3）a=b，b=c，則a＝c。（4）若a＝b，則a+c＝b+c，等等。（5）整體大于部分，這是歐幾里得自己提出的一條公理。雖然這條公理不像別的公理那么一望便知，不那么容易為人接受，但這是歐氏幾何中必不可少的。他能提出來，這恰恰顯示了他的天才。歐幾里得，這位亞歷山大大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，已經(jīng)把大地和蒼天轉(zhuǎn)化為一幅由錯綜復(fù)雜的圖形所構(gòu)成的龐大圖案。他運(yùn)用他的驚人才智及指揮靈巧的手指將這個(gè)圖案拆開，分成簡單的組成部分：點(diǎn)、線、角、平面、立體，把一幅無邊無垠的圖，譯成初等數(shù)學(xué)的有限語言。歐幾里得空間中的一個(gè)三角形α+γ+β=180°羅馬切夫斯基空間中的一個(gè)三角形180°-α-γ-β=常數(shù)×面積盡管歐幾里得簡化了他的幾何學(xué)，但他堅(jiān)持對幾何學(xué)的原則進(jìn)行透徹的研究，以便他的學(xué)生們能充分理解它。據(jù)說，亞歷山大國王多祿米曾師從歐幾里得學(xué)習(xí)幾何，有一次，他對歐幾里得一遍又一遍地解釋其原理表示出不耐煩。國王問道：“有沒有比你的方法簡捷一些的學(xué)習(xí)幾何學(xué)的途徑？”歐幾里得答道：“陛下，鄉(xiāng)下有兩條道路，一條是供老百姓走的難走的小路，另一條是供皇家走的坦途。但是在幾何學(xué)里，大家只能走同一條路。走向?qū)W問，是沒有什么皇家大道的，請陛下明白?！睔W幾里得的這番話后來被推廣為“求知無坦途”，成為傳誦千古的箴言。還有一個(gè)故事說的是歐幾里得和妻子吵架，妻子很生氣，說道：“收起你的亂七八糟的幾何圖形，它難道為你帶來了面包和牛肉？”歐幾里得天生是個(gè)憨脾氣，只是笑了笑，說道：“你知道嗎？我現(xiàn)在所寫的，到后世將價(jià)值連城！”妻子嘲笑道：“難道讓我們來世再結(jié)合在一起嗎？你這書呆子?！睔W幾里得剛要爭論，只見妻子拿起他寫的《幾何原本》的一部分投入火爐中，他連忙來搶，可是已經(jīng)來不及了。據(jù)說妻子燒掉的是《幾何原本》中最精彩的一章。這個(gè)遺憾是無法彌補(bǔ)的，她燒的不僅僅是一些有用的書，還是歐幾里得血汗和智慧的結(jié)晶。由于歐幾里得知識淵博，他的學(xué)生們簡直把他當(dāng)作偶像來崇拜。歐幾里得在教授學(xué)生時(shí)，像一個(gè)真正的父親那樣引導(dǎo)他們、關(guān)心他們。然而，他有時(shí)也批評比較傲慢的學(xué)生，使他們謙遜。有一個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)了第一定理之后，便問道：“學(xué)習(xí)幾何，究竟會有什么好處？”于是，歐幾里得轉(zhuǎn)身吩咐傭人說：“格魯米阿，拿三個(gè)錢幣給這位先生，因?yàn)樗朐趯W(xué)習(xí)中獲得實(shí)利?！睔W幾里得主張學(xué)習(xí)必須循序漸進(jìn)、刻苦鉆研，不贊成投機(jī)取巧的作風(fēng)，更反對狹隘的實(shí)用觀念。后來者帕波斯（Pappus）就特別贊賞他這謙遜的品德。像古希臘的大多數(shù)學(xué)者一樣，歐幾里得對于他的科學(xué)研究的“實(shí)際”價(jià)值是不大在乎的。他喜愛為研究而研究。他羞怯謙恭，與世無爭，平靜地生活在自己的家里。在那個(gè)充滿勾心斗角的世界里，對于人們吵吵鬧鬧、俗不可耐的表演，則聽之任之。他說：“這些浮光掠影的東西終究會過去，但是，星羅棋布的天體圖案，卻是永恒地巋然不動?！睔W幾里得除了寫作重要幾何學(xué)巨著《幾何原本》外，還著有《數(shù)據(jù)》《圖形分割》《論數(shù)學(xué)的偽結(jié)論》《光學(xué)》《反射光學(xué)之書》等著作。多少個(gè)世紀(jì)以來，中國在技術(shù)方面一直領(lǐng)先于歐洲，但是從來沒有出現(xiàn)一個(gè)可以同歐幾里得媲美的數(shù)學(xué)家，因?yàn)橹袊鴱奈磽碛羞^歐洲人那樣的數(shù)學(xué)理論體系（中國人對實(shí)際的幾何知識理解得不錯，但他們的幾何知識從未被提高到演繹體系的高度）。直到1600年，歐幾里得的學(xué)說才被傳入中國，此后，又用了幾個(gè)世紀(jì)的時(shí)間，他的演繹幾何體系才被受過教育的中國人普遍知曉。在這之前，中國人并沒有從事實(shí)質(zhì)性的科學(xué)工作。在日本，情況也是如此。直到18世紀(jì)，日本人才知道歐幾里得的著作，并且用了很多年才理解了該書的主要思想。人們不禁會問，如果沒有歐幾里得的奠基性工作，科學(xué)會在歐洲產(chǎn)生嗎？如今，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)認(rèn)識到，歐幾里得的幾何學(xué)并不是能夠設(shè)計(jì)出來的唯一的一種內(nèi)在統(tǒng)一的幾何體系。在過去的150年間，人們已經(jīng)創(chuàng)立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛因斯坦的廣義相對論被接受以來，人們的確已經(jīng)認(rèn)識到在實(shí)際的宇宙之中，歐幾里得的幾何學(xué)并非正確的。例如，在黑洞和中子星的周圍，引力場極為強(qiáng)烈，在這種情況下，歐幾里得的幾何學(xué)無法準(zhǔn)確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當(dāng)特殊的。在大多數(shù)情況下，歐幾里得的幾何學(xué)是可以給出十分近似于現(xiàn)實(shí)世界的結(jié)論的。不管怎樣，人類知識的最新進(jìn)展都不會削弱歐幾里得學(xué)術(shù)成就的光芒，也不會因此貶低他在數(shù)學(xué)發(fā)展和建立現(xiàn)代科學(xué)成長必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。

阿基米德阿基米德（Archimede，公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、天文學(xué)家，生于西西里島（Sicilia，今屬意大利）的敘拉古（Sracusa，又譯錫拉庫薩），卒于敘拉古。和其他的古希臘數(shù)學(xué)家相比，阿基米德的生卒年是比較確定的。J.策策斯（Tzetazes，約1110年—1180年）在《史書》（BookofHistories）中記載：“智者阿基米德是敘拉古人，著名的機(jī)械制造師，終生研究幾何，活到75歲?！睂τ诎⒒椎轮?，Ｔ.李維（Livius，公元前59年—公元前17年）、策策斯等歷史學(xué)家作了不同的描述，但一致同意他是在敘拉古陷落（公元前212年）時(shí)被羅馬士兵所殺的。以此倒推回去，他應(yīng)出生于公元前287年。阿基米德是敘拉古統(tǒng)治者海厄羅王（HieroⅡ，約公元前308年—公元前216年，約公元前270年—公元前216年在位）的親戚，和王子吉倫（Gelon，后繼承王位）是朋友。父親菲迪亞斯（Phidias）是天文學(xué)家。阿基米德早年曾在當(dāng)時(shí)希臘的學(xué)術(shù)中心亞歷山大跟隨歐幾里得的門徒學(xué)習(xí)，對歐幾里得數(shù)學(xué)進(jìn)一步的發(fā)展作出了一定的貢獻(xiàn)。在那里他結(jié)識了許多同行好友，如科農(nóng)（CononofSamos），多西修斯（Dositheus）以及埃拉托塞尼（Eratosthenes）等?；氐綌⒗乓院笏匀缓退麄儽３置芮械穆?lián)系，因此阿基米德也算是亞歷山大學(xué)派的成員，他的許多學(xué)術(shù)成果就是通過和亞歷山大的學(xué)者通信往來保存下來的。后人對阿基米德給予極高的評價(jià)。數(shù)學(xué)史家E.T.貝爾（Bell，1883年—1960年）說：“任何一張列出有史以來三個(gè)最偉大的數(shù)學(xué)家的名單中，必定會包括阿基米德，另外兩個(gè)通常是牛頓和高斯。不過以他們的豐功偉績和所處的時(shí)代背景來對比，拿他們影響當(dāng)代和后世的深邃久遠(yuǎn)來比較，還應(yīng)首推阿基米德。”普林尼（Pliny，23年—79年）甚至稱阿基米德為“數(shù)學(xué)之神”。這些過分的贊揚(yáng)，反映了后世對阿基米德的崇敬。赫拉克利德（Heraclides）曾寫過阿基米德的傳記，歐托基奧斯（EutociusofAscalon）不止一次提到這件事，可惜傳記已失傳，阿基米德的生平事跡，散見于各種文獻(xiàn)中。在阿基米德的一生中，最悲壯、最驚心動魄的一幕是他以古稀之齡，投身于反侵略戰(zhàn)爭，最后為國捐軀。迦太基（Carthage）是古代腓尼基（Phoenicia）人建立的國家，以現(xiàn)今非洲北部的突尼斯為中心，領(lǐng)土東到西西里島，西達(dá)西班牙和摩洛哥。由于商業(yè)和殖民利害的沖突，從公元前264年起到公元前146年為止，前后三次和羅馬人進(jìn)行了猛烈的戰(zhàn)斗，延續(xù)120年之久。羅馬人稱迦太基人為腓尼（Poeni），轉(zhuǎn)稱布匿人（Punic），故史稱“布匿戰(zhàn)爭”。第二次布匿戰(zhàn)爭發(fā)生于公元前218年至公元前201年，敘拉古和迦太基締結(jié)同盟，因此成為羅馬的仇敵。公元前214年，羅馬名將馬塞勒斯（MarcusClaudiusMarcellus，約公元前268年—公元前208年）率領(lǐng)大軍圍攻敘拉古。在這危急存亡之際，阿基米德便獻(xiàn)出自己一切杰出的科學(xué)技術(shù)為祖國效勞。詳細(xì)記述這次保衛(wèi)戰(zhàn)的主要有三本書：波利比奧斯（Polybius，約公元前200年—公元前118年）的《通史》（共40卷），李維的《羅馬史》及普盧塔克的《馬塞勒斯傳》（Vitamarcelli）。此外，策策斯、盧西恩（Lucian，約120年—180年以后）等對此也有所論述。馬塞勒斯從陸上及海上襲擊敘拉古。阿基米德用他發(fā)明的起重機(jī)之類的器械將靠近墻根的船只抓起來，再狠狠地摔下去，有的被撞得粉碎，有的沉入海底。馬塞勒斯也不甘示弱，他用8艘5層櫓船，每兩艘連鎖在一起，架起一種叫“薩姆布卡”的武器，準(zhǔn)備攻城?？墒菙⒗湃宋吹葦炒拷?，就用強(qiáng)大的機(jī)械將巨大的石塊拋出，打得“薩姆布卡”七零八落；同時(shí)萬弩齊發(fā)，羅馬士兵死傷無數(shù)，嚇得目瞪口呆的馬塞勒斯下令退兵。在陸上，羅馬士兵也沒有占到便宜。多次進(jìn)攻，均未得逞。有一種傳說是阿基米德用巨大的火鏡（Burning-mirror）反射陽光來焚燒敵船，這大概是夸張的說法，最早見于盧西恩的記載。不過當(dāng)時(shí)阿基米德已經(jīng)發(fā)現(xiàn)拋物面反射鏡能夠聚焦的性質(zhì)。有的書說是將燃燒的火球彈射出去使敵船著火，這種說法比較可信。無論如何，羅馬士兵已成驚弓之鳥，簡直是“風(fēng)聲鶴唳，草木皆兵”，只要看到一根繩子或一塊木頭從城里扔出來，立刻抱頭鼠竄，大呼：“阿基米德的機(jī)器又瞄準(zhǔn)我們了。”羅馬人在一次軍事會議上決定夜間偷襲，他們以為飛彈只能在遠(yuǎn)距離起作用，黑夜可以避開城上的視線，一旦接近城墻，飛彈就無能為力了。誰知阿基米德早有防備，制造了一種叫“蝎子”的弩炮，專門對付近處的敵人。羅馬士兵又一次吃了大虧。馬塞勒斯嘲笑他自己的工程師和工兵說：“我們還能同這個(gè)懂幾何的‘百手巨人’（Briareus）戰(zhàn)斗下去嗎？他輕松地穩(wěn)坐在海邊，把我們的船只像擲錢游戲（Pitchandtoss）似的拋來拋去，船隊(duì)被搞得一塌糊涂，還射出那么多的飛彈，比神話里的百手妖怪還厲害?！保ㄗ⑨專簛碓雌毡R塔克作《馬塞勒斯傳》）后來羅馬士軍放棄正面進(jìn)攻，改用長期圍困的策略。敘拉古終于因糧食耗盡和叛徒的出賣而淪陷。公元前212年，75歲的阿基米德也光榮犧牲了。阿基米德留下的數(shù)學(xué)著作不下10種，多數(shù)為希臘文手稿，也有的是13世紀(jì)以后從希臘文譯成拉丁文的手稿。由J.L.海伯格（Heiberg）校訂的《阿基米德全集，包括歐托基奧斯的注釋》（ArchimedisOperaOmniaCumCommentrariisEutocii），這是標(biāo)準(zhǔn)的本子。譯成現(xiàn)代語的常見的有三種：T.L.希思（Heath）英譯注釋本：《阿基米德全集，包括阿基米德方法》（TheWorksofArchimedeswiththeMethodofArchimedes）；P.V.?？耍‥ecke）法譯本：《阿基米德全集》（Lesoeuvrescompletesd'Archimede）；迪克斯特惠斯（Dijksterhuis）：《阿基米德全集》（Archimedes），原文為荷蘭語，作者為C.迪克舒恩（Dikshoorn）。歷史上有的數(shù)學(xué)家勇于開辟新的園地，但缺乏縝密的推理；有的數(shù)學(xué)家偏重于邏輯證明，但對新領(lǐng)域的開拓卻徘徊不公元前。阿基米德則兼有二者之長，他將驚人的獨(dú)創(chuàng)與嚴(yán)格的論證融為一體，更善于將計(jì)算技巧與邏輯分析結(jié)合起來。正確地注意理論與實(shí)際的聯(lián)系，常常通過實(shí)踐直觀地洞察到事物的本質(zhì)，然后運(yùn)用邏輯方法使經(jīng)驗(yàn)上升為理論（如浮力問題），再用理論去指導(dǎo)實(shí)際工作（如發(fā)明抗敵器械）。在嚴(yán)格性和嚴(yán)密性方面，實(shí)際超過了15世紀(jì)至17世紀(jì)的分析學(xué)家，他的理論比牛頓、萊布尼茨更加接近柯西、魏爾斯特拉斯的“ε—δ”方法（如阿基米德公理及窮竭法的使用）。只是沒有強(qiáng)大的生產(chǎn)需求和適宜的社會環(huán)境，未能進(jìn)一步發(fā)展起來。這位獨(dú)步千古的科學(xué)家，還具有崇高的愛國熱忱，在祖國危亡的緊急關(guān)頭，獻(xiàn)出了自己的一切。他的愛國精神和愛科學(xué)的精神同樣為萬世所景仰。

牛頓牛頓在頗有名氣后說過一段經(jīng)典的話：“我不知道在別人看來，我是什么樣的人；但在我自己看來，我不過就像是一個(gè)在海濱玩耍的小孩，為不時(shí)發(fā)現(xiàn)比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜，而對于展現(xiàn)在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒有發(fā)現(xiàn)。”一談到近代科學(xué)開創(chuàng)者牛頓，人們可能認(rèn)為他小時(shí)候一定是個(gè)“神童”或“天才”，有著非凡的智力。其實(shí)不然，牛頓童年時(shí)身體瘦弱，頭腦也并不聰明。在家鄉(xiāng)讀書的時(shí)候，很不用功，在班里的學(xué)習(xí)成績屬于次等。但他的興趣卻是廣泛的，游戲的本領(lǐng)也比一般兒童高。在牛頓的全部科學(xué)貢獻(xiàn)中，數(shù)學(xué)成就占有突出的地位。他數(shù)學(xué)生涯中的第一項(xiàng)創(chuàng)造性成果就是發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理。據(jù)牛頓本人回憶，他是在1664年和1665年間的冬天，在研讀沃利斯博士的《無窮算術(shù)》后，試圖修改求圓面積的級數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)這一定理的。二項(xiàng)式定理又稱牛頓二項(xiàng)式定理，是指（a+b）n在n為正整數(shù)時(shí)的展開式。二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪，即廣義二項(xiàng)式定理。笛卡爾的解析幾何把描述運(yùn)動的函數(shù)關(guān)系和幾何曲線相對應(yīng)。牛頓在老師巴羅的指導(dǎo)下，在鉆研笛卡爾的解析幾何的基礎(chǔ)上，找到了新的出路：可以把任意時(shí)刻的速度看作是在微小的時(shí)間范圍里的速度的平均值，這就是一個(gè)微小的路程和時(shí)間間隔的比值；當(dāng)這個(gè)微小的時(shí)間間隔縮小到無窮小的時(shí)候，就是這一點(diǎn)的準(zhǔn)確值，這就是微分的概念。求微分相當(dāng)于求時(shí)間和路程關(guān)系在某點(diǎn)的切線斜率。一個(gè)變速的運(yùn)動物體在一定時(shí)間范圍里走過的路程，可以看作是在微小時(shí)間間隔里所走路程的和，這就是積分的概念。求積分相當(dāng)于求時(shí)間和速度關(guān)系的曲線下面的面積，牛頓從這些基本概念出發(fā)，建立了微積分。微積分的創(chuàng)立是牛頓最卓越的數(shù)學(xué)成就。牛頓為解決運(yùn)動問題，才創(chuàng)立了這種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論，牛頓稱之為“流數(shù)術(shù)”。它所處理的一些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時(shí)速度問題以及函數(shù)的極大和極小值問題等，在牛頓之前已經(jīng)有人研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普通的算法——微分和積分，并確立了這兩類運(yùn)算的互逆關(guān)系，從而完成了微積分發(fā)明中最關(guān)鍵的一步，為近代科學(xué)發(fā)展提供了最有效的工具，開辟了數(shù)學(xué)上的一個(gè)新紀(jì)元。牛頓沒有及時(shí)發(fā)表微積分的研究成果，他研究微積分可能比萊布尼茨（Leibniz，1646—1716）早一些，但是萊布尼茨所采取的表達(dá)形式更加合理，而且關(guān)于微積分的著作出版時(shí)間也比牛頓早。在爭論牛頓和萊布尼茨誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候，竟然引起了一場軒然大波。這種爭吵在各自的學(xué)生、支持者和數(shù)學(xué)家中持續(xù)了相當(dāng)長的一段時(shí)間，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對立。英國數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。應(yīng)該說，一門科學(xué)的創(chuàng)立絕不是某一個(gè)人的成就，它必定是經(jīng)過許多人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣，是牛頓和萊布尼茨在前人的基礎(chǔ)上各自獨(dú)立地建立起來的。1707年，牛頓的代數(shù)講義經(jīng)整理后出版，定名為《普遍算術(shù)》。它主要討論了代數(shù)基礎(chǔ)及其在解決各類問題中的應(yīng)用（通過解方程）。書中陳述了代數(shù)基本概念與基本運(yùn)算，用大量實(shí)例說明了如何將各類問題化為代數(shù)方程，同時(shí)對方程的根及其性質(zhì)進(jìn)行了深入探討，引出并得到了方程論方面的豐碩成果。例如，他得出了方程的根與其判別式之間的關(guān)系，指出可以利用方程系數(shù)確定方程根之冪的和數(shù)，即“牛頓冪和公式”。牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻(xiàn)。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線圓（或稱曲線圓）概念，提出曲率公式及計(jì)算曲線的曲率方法。他將自己的許多研究成果總結(jié)成專論《三次曲線枚舉》，并于1740年發(fā)表。此外，他的數(shù)學(xué)工作還涉及數(shù)值分析、概率論和初等數(shù)論等眾多領(lǐng)域。在牛頓之前，墨子、培根、達(dá)·芬奇等人都研究過光學(xué)現(xiàn)象。反射定律是人們很早就認(rèn)識的光學(xué)定律之一。近代科學(xué)興起的時(shí)候，伽利略靠望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)了“新宇宙”，震驚了世界；荷蘭數(shù)學(xué)家斯涅爾首先發(fā)現(xiàn)了光的折射定律；笛卡爾提出了光的微粒說……反射定律指光射到一個(gè)接口時(shí)，其入射光線與反射光線成相同角度。牛頓以及跟他差不多同時(shí)代的胡克、惠更斯等人，也像伽利略、笛卡爾等前輩一樣，用極大的興趣和熱情對光學(xué)進(jìn)行了研究。1666年，牛頓在家休假期間，偶然機(jī)會得到了三棱鏡，他用來進(jìn)行了著名的色散試驗(yàn)。一束太陽光通過三棱鏡后，分解成幾種顏色的光譜帶，牛頓再用一塊帶狹縫的擋板把其他顏色的光擋住，只讓一種顏色的光再通過第二個(gè)三棱鏡，結(jié)果出來的只是同樣顏色的光。這樣，他就發(fā)現(xiàn)了白光是由各種不同顏色的光組成的，這是第一大貢獻(xiàn)。牛頓為了驗(yàn)證這個(gè)發(fā)現(xiàn)，設(shè)法把幾種不同的單色光合成白光，并且計(jì)算出不同顏色光的折射率，精確地說明了色散現(xiàn)象，揭開了物質(zhì)的顏色之謎，原來物質(zhì)的色彩是不同顏色的光在物體上有不同的反射率和折射率造成的。1672年，牛頓把自己的研究成果發(fā)表在《皇家學(xué)會哲學(xué)雜志》上，這也是他第一次公開發(fā)表的論文。許多人研究光學(xué)是為了改進(jìn)折射望遠(yuǎn)鏡。牛頓由于發(fā)現(xiàn)了白光的組成，認(rèn)為折射望遠(yuǎn)鏡透鏡的色散現(xiàn)象是無法消除的（后來有人用具有不同折射率的玻璃組成的透鏡消除了色散現(xiàn)象），就設(shè)計(jì)和制造了反射望遠(yuǎn)鏡。牛頓不但擅長數(shù)學(xué)計(jì)算，還能夠自己動手制造各種試驗(yàn)設(shè)備并且進(jìn)行精細(xì)試驗(yàn)。為了制造望遠(yuǎn)鏡，他自己設(shè)計(jì)了研磨拋光機(jī)，試驗(yàn)各種研磨材料。1668年，他制成了第一架反射望遠(yuǎn)鏡樣機(jī)，這是第二大貢獻(xiàn)。1671年，牛頓把經(jīng)過改進(jìn)的反射望遠(yuǎn)鏡獻(xiàn)給了皇家學(xué)會，頓時(shí)聲名大振，并被選為皇家學(xué)會會員。反道運(yùn)動。牛頓沒有回答這個(gè)問題。1685年，哈雷登門拜訪牛頓時(shí)，牛頓已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，即兩個(gè)物體之間有引力，引力和距離的平方成反比，和兩個(gè)物體質(zhì)量的乘積成正比。當(dāng)時(shí)已經(jīng)有了地球半徑、日地距離等精確的數(shù)據(jù)可供計(jì)算使用。牛頓向哈雷證明地球的引力是使月亮圍繞地球運(yùn)動的向心力，也證明了在太陽引力作用下，行星運(yùn)動符合開普勒運(yùn)動三定律。在哈雷的敦促下，于1686年底，牛頓寫成了劃時(shí)代的偉大著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。一開始由于皇家學(xué)會經(jīng)費(fèi)不足，出不了這本書，后來靠了哈雷的資助，這部科學(xué)史上最偉大的著作之一才能夠在1687年出版。牛頓在這部書中，從力學(xué)的基本概念（質(zhì)量、動量、慣性、力）和基本定律（運(yùn)動三定律）出發(fā)，運(yùn)用他所發(fā)明的微積分這一數(shù)學(xué)工具，不但從數(shù)學(xué)上論證了萬有引力定律，且把經(jīng)典力學(xué)確立為完整而嚴(yán)密的體系，把天體力學(xué)和地面上的物體力學(xué)統(tǒng)一起來，實(shí)現(xiàn)了物理學(xué)史上第一次大的綜合。

伯努利家族在科學(xué)史上，父子科學(xué)家、兄弟科學(xué)家并不鮮見。然而，在一個(gè)家族跨世紀(jì)的幾代人中，眾多父子兄弟都是科學(xué)家的較為罕見。其中，瑞士的伯努利家族非常著名。伯努利家族3代人中產(chǎn)生了8位科學(xué)家，出類拔萃的至少有3位；而在他們一代又一代的眾多子孫中，至少有一半相繼成為杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人們系統(tǒng)地追溯過，他們在數(shù)學(xué)、科學(xué)、技術(shù)、工程乃至法律、管理、文學(xué)、藝術(shù)等方面享有名望，有的甚至聲名顯赫。最不可思議的是這個(gè)家族中有兩代人，他們中大多數(shù)的數(shù)學(xué)家，并非有意選擇數(shù)學(xué)為職業(yè)，卻忘情地沉溺于數(shù)學(xué)之中。老尼古拉·伯努利老尼古拉·伯努利（NicolausBernoulli，1623—1708）生于巴塞爾，受過良好教育，曾在當(dāng)?shù)卣退痉ú块T任高級職務(wù)。他有3個(gè)有成就的兒子——其中長子雅各布（Jocob，1654—1705）和第三個(gè)兒子約翰（Johann，1667—1748）成為著名的數(shù)學(xué)家，第二個(gè)兒子小尼古拉（NicolausI，1662—1716）在成為彼得堡科學(xué)院數(shù)學(xué)界的一員之前，是伯爾尼的第一個(gè)法律學(xué)教授。雅各布·伯努利1654年12月27日，雅各布·伯努利生于巴塞爾，畢業(yè)于巴塞爾大學(xué)，17歲時(shí)獲藝術(shù)碩士學(xué)位。這里的藝術(shù)旨在“自由藝術(shù)”，包括算術(shù)、幾何學(xué)、天文學(xué)、數(shù)理音樂和文法、修辭、雄辯術(shù)共7大門類。遵照父親的愿望，他于22歲時(shí)取得了神學(xué)碩士學(xué)位。然而，他也違背父親的意愿，自學(xué)了數(shù)學(xué)和天文學(xué)。1676年，他到日內(nèi)瓦當(dāng)家庭教師。從1677年起，他開始在那里寫內(nèi)容豐富的《沉思錄》。1678年和1681年，雅各布·伯努利兩次外出旅行學(xué)習(xí)，到過法國、荷蘭、英國和德國，他接觸和交往了許德、玻意耳、胡克、惠更斯等科學(xué)家，寫了關(guān)于彗星理論（1682）、重力理論（1683）方面的科技文章。1687年，雅各布在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表數(shù)學(xué)論文《用兩相互垂直的直線將三角形的面積四等分的方法》，同年，成為巴塞爾大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，直至1705年8月16日逝世。1699年，雅各布當(dāng)選為巴黎科學(xué)院外籍院士；1701年被柏林科學(xué)協(xié)會（后為柏林科學(xué)院）接納為會員。許多數(shù)學(xué)成果與雅各布的名字相聯(lián)系，例如懸鏈線問題（1690），曲率半徑公式（1694），伯努利雙紐線（1694），伯努利微分方程（1695），等周問題（1700）等。雅各布對數(shù)學(xué)最重大的貢獻(xiàn)是在概率論研究方面。他從1685年起發(fā)表關(guān)于賭博游戲中輸贏次數(shù)問題的論文，后來寫成巨著《猜度術(shù)》，這本書在他死后8年，即1713年才得以出版。雅各布最為人們津津樂道的逸事之一，是他醉心于研究對數(shù)螺線，這項(xiàng)研究從1691年就開始了。他發(fā)現(xiàn)，對數(shù)螺線經(jīng)過各種變換后仍然是對數(shù)螺線，如它的漸屈線和漸伸線是對數(shù)螺線，自極點(diǎn)至切線的垂足的軌跡，以極點(diǎn)為發(fā)光點(diǎn)經(jīng)對數(shù)螺線反射后得到的反射線，以及與所有這些反射線相切的曲線（回光線）都是對數(shù)螺線。他驚嘆這種曲線的神奇，并在遺囑里要求后人將對數(shù)螺線刻在自己的墓碑上，并附以頌詞“縱然變化，依然故我”，用以表達(dá)對對數(shù)螺線的熱愛。約翰·伯努利雅各布·伯努利的弟弟約翰·伯努利比他小13歲，1667年8月6日生于巴塞爾，1748年1月1日卒于巴塞爾，享年81歲。約翰于18歲時(shí)就獲得了巴塞爾大學(xué)藝術(shù)碩士學(xué)位，這點(diǎn)同他的哥哥雅各布一樣。他們的父親老尼古拉要大兒子雅各布學(xué)法律，要小兒子約翰從事家庭管理事務(wù)。但約翰在雅各布的帶領(lǐng)下進(jìn)行反抗，去學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)和古典文學(xué)。約翰于1690年獲醫(yī)學(xué)碩士學(xué)位，1694年又獲得博士學(xué)位。但他發(fā)現(xiàn)他骨子里的興趣是數(shù)學(xué)。他一直向雅各布學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并頗有造詣。1695年，28歲的約翰取得了他的第一個(gè)學(xué)術(shù)職位——荷蘭格羅寧根大學(xué)數(shù)學(xué)教授。10年后的1705年，約翰接替去世的雅各布任巴塞爾大學(xué)數(shù)學(xué)教授。同他的哥哥一樣，他也當(dāng)選為巴黎科學(xué)院外籍院士和柏林科學(xué)協(xié)會會員。1712年、1724年和1725年，他還分別當(dāng)選為英國皇家學(xué)會、意大利波倫亞科學(xué)院和彼得堡科學(xué)院的外籍院士。約翰的數(shù)學(xué)成果比雅各布還要多，例如解決懸鏈線問題（1691），提出洛必達(dá)法則（1694），最速降線（1696）和測地線問題（1697），給出求積分的變量替換法（1699），研究弦振動問題（1727），出版《積分學(xué)教程》（1742）等。約翰與他同時(shí)代的110位學(xué)者有通信聯(lián)系，進(jìn)行學(xué)術(shù)討論的信件約有2500封，其中許多已成為珍貴的科學(xué)史文獻(xiàn)，例如同他的哥哥雅各布以及萊布尼茨、惠更斯等人關(guān)于懸鏈線、最速降線（即旋輪線）和等周問題的通信討論，雖然相互爭論不斷，特別是約翰和雅各布互相指責(zé)過于尖刻，這導(dǎo)致兄弟之間時(shí)常造成不快，但爭論無疑會促進(jìn)科學(xué)的發(fā)展，如最速降線問題就導(dǎo)致了變分法的誕生。約翰的另一大功績是培養(yǎng)了一大批出色的數(shù)學(xué)家，其中包括18世紀(jì)最著名的數(shù)學(xué)家歐拉、瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆、法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)，以及他自己的兒子丹尼爾和侄子尼古拉二世等。約翰·伯努利想迫使他的第二個(gè)兒子丹尼爾去經(jīng)商，但丹尼爾在不由自主地陷進(jìn)數(shù)學(xué)之前，曾寧可選擇醫(yī)學(xué)并成為醫(yī)生。

丹尼爾·伯努利丹尼爾·伯努利（DanielBernoulli，1700—1782），于1700年2月8日生于荷蘭格羅寧根，1782年3月17日卒于瑞士巴塞爾。他1716年16歲時(shí)獲藝術(shù)碩士學(xué)位，1721年又獲醫(yī)學(xué)博士學(xué)位。丹尼爾受父兄影響，一直很喜歡數(shù)學(xué)。1724年，他在威尼斯旅途中發(fā)表《數(shù)學(xué)練習(xí)》，引起學(xué)術(shù)界關(guān)注，并被邀請到圣彼得堡科學(xué)院工作。同年，他還用變量分離法解決了微分方程中的里卡提方程。1725年，25歲的丹尼爾受聘為圣彼得堡的數(shù)學(xué)教授。1727年，20歲的歐拉（后來人們將歐拉同阿基米德、牛頓、高斯并列為數(shù)學(xué)史上的“四杰”）來到圣彼得堡成為丹尼爾的助手。然而，丹尼爾不習(xí)慣在圣彼得堡生活，所以8年以后的1733年，他找到機(jī)會返回巴塞爾，終于在那兒成為解剖學(xué)和植物學(xué)教授，最后又成為物理學(xué)教授。1734年，丹尼爾榮獲巴黎科學(xué)院獎金，后來又10次獲得該獎金，能與丹尼爾媲美的只有大數(shù)學(xué)家歐拉。丹尼爾和歐拉保持了近40年的學(xué)術(shù)通信，在科學(xué)史上留下一段佳話。在伯努利家族中，丹尼爾是涉及科學(xué)領(lǐng)域較多的人。他出版了經(jīng)典著作《流體動力學(xué)》，研究彈性弦的橫向振動問題（1741—1743），提出聲音在空氣中的傳播規(guī)律（1762）。他的論著還涉及天文學(xué)（1734）、地球引力（1728）、湖汐（1740）、磁學(xué)（1743、1746）、振動理論（1747）和船體航行的穩(wěn)定（1753、1757）等。丹尼爾的博學(xué)使他成為伯努利家族的代表。丹尼爾于1747年當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士，1748年當(dāng)選巴黎科學(xué)院院士，1750年當(dāng)選英國皇家學(xué)會會員。他一生獲得過多項(xiàng)榮譽(yù)稱號。著名的伯努利家族曾有許多傳奇和軼事，對于這樣一個(gè)既有科學(xué)天賦然而性格又比較獨(dú)立的家族來說，這似乎是很自然的事情。一個(gè)關(guān)于丹尼爾的故事是這樣的：有一次在旅途中，年輕的丹尼爾同一個(gè)風(fēng)趣的陌生人閑談，他謙虛地自我介紹道：“我是丹尼爾·伯努利?！蹦吧肆⒓磶еI諷的神情回答道：“那我就是伊薩克·牛頓?！?/p>

拉格朗日拉格朗日（Lagrange，1736—1813），1736年1月25日生于意大利都靈，1813年4月10日卒于巴黎。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。拉格朗日的父親是法國陸軍騎兵里的一名軍官，后由于經(jīng)商破產(chǎn)，家道中落。據(jù)拉格朗日本人回憶，如果幼年時(shí)家境富裕，他也就不會做數(shù)學(xué)研究了，因?yàn)楦赣H一心想把他培養(yǎng)成為一名律師，但拉格朗日個(gè)人卻對法律毫無興趣。到了青年時(shí)代，在數(shù)學(xué)家雷維里的教導(dǎo)下，拉格朗日喜愛上了幾何學(xué)。17歲時(shí)，他讀了英國天文學(xué)家哈雷的一篇介紹牛頓微積分成就的短文《論分析方法的優(yōu)點(diǎn)》后，感覺到“分析才是自己最熱愛的學(xué)科”，從此他迷上了數(shù)學(xué)分析，開始專攻當(dāng)時(shí)迅速發(fā)展的數(shù)學(xué)分析。18歲時(shí)，拉格朗日用意大利語寫了第一篇論文，是用牛頓二項(xiàng)式定理處理兩函數(shù)乘積的高階微商。接著，他又將論文用拉丁語寫成寄給了當(dāng)時(shí)在柏林科學(xué)院任職的數(shù)學(xué)家歐拉。不久后，他獲知這一成果早在半個(gè)世紀(jì)前就被萊布尼茨取得了。不過，這個(gè)并不幸運(yùn)的開端并未使拉格朗日灰心，相反，更堅(jiān)定了他投身數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域的信心。1755年拉格朗日19歲時(shí)，在探討數(shù)學(xué)難題“等周問題”的過程中，他以歐拉的思路和結(jié)果為依據(jù)，用純分析的方法求變分極值。第一篇論文《極大和極小的方法研究》，發(fā)展了歐拉所開創(chuàng)的變分法，為變分法奠定了理論基礎(chǔ)。變分法的創(chuàng)立，使拉格朗日在都靈聲名大振，并使他在19歲時(shí)就當(dāng)上了都靈皇家炮兵學(xué)校的教授，成為當(dāng)時(shí)歐洲公認(rèn)的第一流數(shù)學(xué)家。1756年，受歐拉的舉薦，拉格朗日被任命為普魯士科學(xué)院通訊院士。1764年，法國科學(xué)院懸賞征文，要求用萬有引力解釋月球天平動問題，拉格朗日對此進(jìn)行的研究獲獎。接著又成功地運(yùn)用微分方程理論和近似解法研究了科學(xué)院提出的一個(gè)復(fù)雜的六體問題（木星的四個(gè)衛(wèi)星的運(yùn)動問題），為此又一次于1766年獲獎。天平動又稱天秤動，是指天文學(xué)中，從衛(wèi)星環(huán)繞的天體上觀察所見到的，真實(shí)或視覺上非常緩慢的周期性振蕩。1766年，德國的腓特烈大帝向拉格朗日發(fā)出邀請時(shí)說，在“歐洲最大的主”的宮廷中應(yīng)有“歐洲最大的數(shù)學(xué)家”。于是他應(yīng)邀前往柏林，任普魯士科學(xué)院數(shù)學(xué)部主任，居住達(dá)20年之久，開始了他一生科學(xué)研究的鼎盛時(shí)期。在此期間，他完成了《分析力學(xué)》一書，這是牛頓之后的一部重要的經(jīng)典力學(xué)著作。書中運(yùn)用變分原理和分析的方法，建立起完整和諧的力學(xué)體系，使力學(xué)分析化。他在序言中宣稱：力學(xué)已經(jīng)成為分析的一個(gè)分支。1783年，拉格朗日的故鄉(xiāng)建立了“都靈科學(xué)院”，他被任命為名譽(yù)院長。1786年腓特烈大帝去世以后，他接受了當(dāng)時(shí)的法國國王路易十六的邀請，離開柏林，定居巴黎，直至去世。這期間他參加了巴黎科學(xué)院成立的研究法國度量衡統(tǒng)一問題的委員會，并出任法國米制委員會主任。1799年，法國完成統(tǒng)一度量衡工作，制定了被世界公認(rèn)的長度、面積、體積、質(zhì)量的單位，拉格朗日為此付出了巨大的努力。1791年，拉格朗日被選為英國皇家學(xué)會會員，又先后在巴黎高等師范學(xué)院和巴黎綜合工科學(xué)校任數(shù)學(xué)教授。1795年法國最高學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)——法蘭西研究院建立后，拉格朗日被選為科學(xué)院數(shù)理委員會主席。此后，他才重新進(jìn)行研究工作，編寫了一批重要著作：《論任意階數(shù)值方程的解法》《解析函數(shù)論》和《函數(shù)計(jì)算講義》，總結(jié)了那一時(shí)期的特別是他自己的一系列研究工作。1813年4月3日，拿破侖授予拉格朗日帝國大十字勛章，但此時(shí)的拉格朗日已臥床不起。4月10日早晨，拉格朗日逝世。

歐拉歐拉（L.Euler，1707—1783），瑞士數(shù)學(xué)家，生于瑞士的巴塞爾，卒于彼得堡。父親保羅·歐拉是位牧師，喜歡數(shù)學(xué)，所以歐拉從小就受到這方面的熏陶。但父親卻執(zhí)意讓他攻讀神學(xué)，以便將來接他的班。幸運(yùn)的是，歐拉并沒有走父親為他安排的路。父親曾在巴塞爾大學(xué)上過學(xué)，與當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家約翰·伯努利及雅各布·伯努利有幾分情誼。由于這種關(guān)系，歐拉結(jié)識了約翰的兩個(gè)兒子：擅長數(shù)學(xué)的小尼古拉及丹尼爾（這二人后來都成為數(shù)學(xué)家），他倆經(jīng)常給小歐拉講生動的數(shù)學(xué)故事和有趣的數(shù)學(xué)知識，這些都使歐拉受益匪淺。12歲的歐拉回家后無事，他就幫助爸爸放羊，成了一個(gè)牧童。他一邊放羊，一邊讀書。他讀的書中，有不少是數(shù)學(xué)書。歐拉爸爸養(yǎng)的羊漸漸增多了，達(dá)到了100只。原來的羊圈小了，于是爸爸決定建造一個(gè)新的羊圈。歐拉用尺量出了一塊長方形的土地，長40米，寬15米，他一算，面積正好是600平方米，平均每一頭羊占地6平方米。正打算動工的時(shí)候，他發(fā)現(xiàn)他的材料只夠圍100米的籬笆，不夠用。若要圍成長40米，寬15米的羊圈，其周長將是110米（15+15+40+40=110）。父親感到很為難，若要按原計(jì)劃建造，就要再添10米長的材料；要是縮小面積，每頭羊的面積就會小于6平方米。小歐拉卻對父親說，不用縮小羊圈，也不用擔(dān)心每頭羊的領(lǐng)地會小于原來的計(jì)劃，他有辦法。父親不相信小歐拉會有辦法，聽了沒有理他。小歐拉急了，大聲說：“只要稍稍移動一下羊圈的樁子就行了?！备赣H聽了直搖頭，心想：“世界上哪有這樣便宜的事情？”但是，小歐拉卻堅(jiān)持說，他一定能兩全其美。終于，父親同意讓兒子試試看。小歐拉見父親同意了，站起身來，跑到準(zhǔn)備動工的羊圈旁。他以一個(gè)木樁為中心，將原來的40米邊長截短，縮短到25米。父親著急了，說：“那怎么成呢？那怎么成呢？這個(gè)羊圈太小了，太小了?！毙W拉也不回答，跑到另一條邊上，將原來15米的邊長延長，又增加了10米，變成了25米。經(jīng)這樣一改，原來計(jì)劃中的羊圈變成了一個(gè)25米邊長的正方形。然后，小歐拉很自信地對爸爸說：“現(xiàn)在，籬笆也夠了，面積也夠了?！备赣H照著小歐拉設(shè)計(jì)的羊圈扎上了籬笆，100米長的籬笆真的夠了，不多不少，全部用光。面積也足夠了，而且還稍稍大了一些。父親心里非常高興，孩子這么會動腦筋，將來一定大有出息。父親感到，讓這么聰明的孩子放羊?qū)嵲谑翘上Я恕Ｓ谑?，他想辦法讓小歐拉認(rèn)識了大數(shù)學(xué)家約翰·伯努利。通過這位數(shù)學(xué)家的推薦，1720年，小歐拉成了巴塞爾大學(xué)的大學(xué)生。這一年，小歐拉13歲，是這所大學(xué)最年輕的大學(xué)生。約翰精心培育著聰明伶俐的歐拉，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)課堂上的知識已滿足不了歐拉的求知欲時(shí)，就決定每周六下午單獨(dú)給他輔導(dǎo)、答疑和授課。約翰的心血沒有白費(fèi)，在他的嚴(yán)格訓(xùn)練下，歐拉終于成長起來——他17歲的時(shí)候，成為巴塞爾有史以來的第一個(gè)年輕的碩士，并成為約翰的助手。在約翰的指導(dǎo)下，歐拉從一開始就選擇通過解決實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的道路。1726年，19歲的歐拉由于撰寫了《論桅桿配置的船舶問題》獲得巴黎科學(xué)院的資金。這標(biāo)志著歐拉的羽毛已豐滿，從此可以展翅飛翔。歐拉的成長與他這段經(jīng)歷是分不開的。當(dāng)然，歐拉的成才還有另一個(gè)重要的因素，那就是他驚人的記憶力。他能背誦前一百個(gè)質(zhì)數(shù)的前十次冪，能背誦羅馬詩人維吉爾（Virgil）的史詩Aeneil，能背誦全部的數(shù)學(xué)公式；直至晚年，他還能復(fù)述年輕時(shí)所寫下的筆記的全部內(nèi)容；甚至高等數(shù)學(xué)的計(jì)算他可以用心算來完成。盡管歐拉的天賦很高，但如果沒有約翰的教育，他也很可能不會成為今天的歐拉。因?yàn)榧s翰·伯努利有非常豐富的閱歷和對數(shù)學(xué)發(fā)展?fàn)顩r的深刻了解，所以能給歐拉以重要的指點(diǎn)，使歐拉一開始就學(xué)習(xí)那些雖然難學(xué)卻十分必要的書，少走了不少彎路。這段歷史對歐拉的影響極大，所以歐拉成為大科學(xué)家之后仍不忘記培育新人，這主要體現(xiàn)在編寫教科書和直接培養(yǎng)有才華的數(shù)學(xué)工作者，其中包括后來成為大數(shù)學(xué)家的拉格朗日（J.L.Lagrange，1736—1813）。歐拉本人雖不是教師，但他對教學(xué)的影響超過任何人。身為世界上第一流的學(xué)者、教授，肩負(fù)著解決高深課題的重?fù)?dān)，卻能無視“名流”的非議，熱心于數(shù)學(xué)的普及工作。他編寫的《無窮小分析引論》《微分法》和《積分法》產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。有的學(xué)者認(rèn)為，自從1784年以后，初等微積分和高等微積分教科書基本上都抄襲歐拉的書，或者抄襲那些抄襲歐拉的書。歐拉在這方面與其他數(shù)學(xué)家如高斯、牛頓等都不同，他們所寫的書一是數(shù)量少，二是艱澀難明，別人很難讀懂，而歐拉的文字輕松易懂，堪稱這方面的典范。他從來不壓縮字句，總是津津有味地把他那豐富的思想和廣泛的興趣寫得非常有趣。他用德文、俄文、英文發(fā)表過大量的通俗文章，還編寫過大量中小學(xué)教科書。他編寫的初等代數(shù)和算術(shù)的教科書考慮細(xì)致，敘述有條有理。他用許多新思想的敘述方法，使得這些書既嚴(yán)密又易于理解。歐拉最先把對數(shù)定義為乘方的逆運(yùn)算，并且最先發(fā)現(xiàn)了對數(shù)是無窮多值的。他證明了任一非零實(shí)數(shù)R有無窮多個(gè)對數(shù)。歐拉使三角學(xué)成為一門系統(tǒng)的科學(xué)，他首先用比值來給出三角函數(shù)的定義，而在他以前是一直以線段的長作為定義的。歐拉的定義使三角學(xué)跳出只研究三角學(xué)這個(gè)圈子，他對整個(gè)三角學(xué)做了分析性的研究。在這以前，每個(gè)公式僅從圖中推出，大部分以敘述表達(dá)。這時(shí)歐拉的科學(xué)研究工作已經(jīng)是碩果累累，思想也已經(jīng)成熟。除了一些還需繼續(xù)研究的專題外，他希望能在晚年對過去的成就做系統(tǒng)的總結(jié)，出版幾部高質(zhì)量的著作。然而，厄運(yùn)已悄悄向他襲來。由于俄羅斯氣候嚴(yán)寒以及工作的勞累，歐拉的左眼又失明了（在此之前他的右眼已近乎失明），使他從此陷入伸手不見五指的黑暗之中。但歐拉是堅(jiān)強(qiáng)的，他用口授、別人記錄的方法堅(jiān)持寫作。他先集中精力撰寫了《微積分原理》一書。在這部三卷本巨著中，歐拉系統(tǒng)地闡述了微積分發(fā)明以來的所有積分學(xué)的成就，其中充滿了精辟的見解。1768年，《積分學(xué)原理》第一卷在圣彼得堡出版，直到1770年，第三卷出版。同年，他又口述寫成《代數(shù)學(xué)完整引論》，有俄文、德文、法文版，成為歐洲幾代人的教科書。正當(dāng)歐拉在與黑暗搏斗時(shí)，厄運(yùn)又一次向他襲來。1771年，圣彼得堡發(fā)生了一場大火，殃及歐拉的住宅，把歐拉包圍在大火中。在這危急的時(shí)刻，是一位仆人冒著生命危險(xiǎn)把歐拉從大火中背出來。歐拉雖然幸免于難，可他的藏書及大量的研究成果都化為灰燼。但是種種磨難，并沒有把歐拉搞垮。大火以后他立即投入到新的創(chuàng)作之中。在資料被焚又雙目失明的情況下，他完全憑著堅(jiān)強(qiáng)的意志和驚人的毅力，回憶所做過的研究。歐拉的記憶力實(shí)屬罕見，他能夠完整地背誦出幾十年前的筆記內(nèi)容，數(shù)學(xué)公式當(dāng)然更背誦如流。歐拉總是把推理過程想得很細(xì)，然后口授，由他的長子記錄。他用這種方法發(fā)表了論文400多篇以及多部專著，這幾乎占他全部著作的半數(shù)以上。1774年，他把自己多年來研究變分問題所取得的成果集中發(fā)表在《尋求具有某種極大或極小性質(zhì)的曲線的技巧》中，從而創(chuàng)立了一個(gè)新的分支變分法。另外，歐拉對天文學(xué)中的“三體問題”的月球運(yùn)動及攝運(yùn)問題進(jìn)行了研究。后來，他解決了牛頓沒有解決的月球運(yùn)動問題，首創(chuàng)了月球繞地球運(yùn)動的精確理論。為了更好地進(jìn)行天文觀測，他研究了光通過各種介質(zhì)的現(xiàn)象和有關(guān)的分色效應(yīng)，提出了復(fù)雜的物鏡原理，發(fā)表過有關(guān)光學(xué)儀器的專著，對望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡的設(shè)計(jì)計(jì)算理論作出過開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，并于1771年發(fā)表了總結(jié)性著作《屈光學(xué)》。歐拉從19歲開始寫作，直到逝世，留下了浩如煙海的論文、著作，甚至在他死后，他留下的許多手稿還豐富了此后47年的圣彼得堡科學(xué)院學(xué)報(bào)的內(nèi)容。就科研成果方面來說，歐拉是數(shù)學(xué)史上或者說是自然科學(xué)史上首屈一指的。作為這樣一位科學(xué)巨人，在生活中他并不是一個(gè)呆板的人。他性情溫和，性格開朗，也喜歡交際。歐拉結(jié)過兩次婚，有13個(gè)孩子。他熱愛家庭生活，常常和孩子們一起做科學(xué)游戲，給他們講故事。歐拉旺盛的精力和鉆研精神一直持續(xù)到生命的最后一刻。1783年9月18日下午，歐拉一邊和小孫女逗著玩，一邊思考著計(jì)算天王星的軌跡。突然，他從椅子上滑下來，嘴里輕聲說：“我死了。”一位科學(xué)巨匠就這樣停止了生命。歷史上，能跟歐拉相比的人的確不多，有的歷史學(xué)家把歐拉和阿基米德、牛頓、高斯列為有史以來貢獻(xiàn)最大的四位數(shù)學(xué)家。依據(jù)是他們都有一個(gè)共同點(diǎn)——在創(chuàng)建純粹理論的同時(shí)，還應(yīng)用這些數(shù)學(xué)工具去解決天文、物理和力學(xué)等方面的大量的實(shí)際問題。他們的工作是跨學(xué)科的，他們不斷地從實(shí)踐中汲取豐富的營養(yǎng)，但又不滿足于具體問題的解決，而是把宇宙看作是一個(gè)有機(jī)的整體，力圖揭示它的奧秘和內(nèi)在規(guī)律。由于歐拉出色的工作，后世的著名數(shù)學(xué)家都極度推崇歐拉。大數(shù)學(xué)家拉普拉斯（P.S.M.deLaplace，1749—1827）曾說過：“讀讀歐拉，這是我們所有人的老師?！?/p>

拉普拉斯拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749—1827），法國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，法國科學(xué)院院士。1749年，3月23日拉普拉斯生于法國西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日，1827年3月5日卒于巴黎，曾任巴黎軍事學(xué)院數(shù)學(xué)教授。他于1795年任巴黎綜合工科學(xué)校教授，后又在高等師范學(xué)校任教授；1816年被選為法蘭西學(xué)院院士；1817年任該院院長。拉普拉斯是天體力學(xué)的主要奠基人，是天體演化學(xué)的創(chuàng)立者之一，是分析概率論的創(chuàng)始人，是應(yīng)用數(shù)學(xué)的先驅(qū)。拉普拉斯用數(shù)學(xué)方法證明了行星的軌道大小只有周期性變化，這就是著名的拉普拉斯定理。他發(fā)表的天文學(xué)、數(shù)學(xué)和物理學(xué)論文有270多篇，專著合計(jì)有4000多頁。其中最有代表性的專著有《天體力學(xué)》《宇宙體系論》和《概率分析理論》。1796年，他發(fā)表的《宇宙體系論》，因研究太陽系穩(wěn)定性的動力學(xué)問題被譽(yù)為法國的牛頓和天體力學(xué)之父。拉普拉斯從青年時(shí)期就顯示出卓越的數(shù)學(xué)才能，18歲時(shí)離家前往巴黎，決定從事數(shù)學(xué)工作。于是他帶著一封推薦信去找當(dāng)時(shí)法國的著名學(xué)者達(dá)朗貝爾，但被拒絕接見。拉普拉斯就給達(dá)朗貝爾寄去一篇力學(xué)方面的論文。這篇論文出色至極，所以達(dá)朗貝爾忽然非常高興地要當(dāng)他的教父，并將拉普拉斯推薦到軍事學(xué)校教書。此后，他同拉瓦錫在一起工作了一個(gè)時(shí)期，他們測定了許多物質(zhì)的比熱。1780年，他們兩人證明了將一種化合物分解為其組成元素所需的熱量就等于這些元素形成該化合物時(shí)所放出的熱量，這可以看作是熱化學(xué)的開端。而且，它也是繼布拉克關(guān)于潛熱的研究工作之后向能量守恒定律邁進(jìn)的又一個(gè)里程碑，60年后，這個(gè)定律終于誕生了。拉普拉斯的注意力主要集中在天體力學(xué)的研究上面，尤其是太陽系天體攝動，以及太陽系的普遍穩(wěn)定性問題。他把牛頓的萬有引力定律應(yīng)用到整個(gè)太陽系，在1773年解決了一個(gè)當(dāng)時(shí)著名的難題：解釋木星軌道為什么在不斷地收縮，而同時(shí)土星的軌道又在不斷地膨脹。拉普拉斯用數(shù)學(xué)方法證明行星平均運(yùn)動的不變性，即行星的軌道大小只有周期性變化，并證明為偏心率和傾角的3次冪，這就是著名的拉普拉斯定理。從此以后，他開始了太陽系穩(wěn)定性問題的研究。同年，他成為法國科學(xué)院副院士。1784年到1785年，他求得天體對其外任一質(zhì)點(diǎn)的引力分量可以用一個(gè)勢函數(shù)來表示，這個(gè)勢函數(shù)滿足一個(gè)偏微分方程，即著名的拉普拉斯方程。1785年，他被選為科學(xué)院院士。1786年，他證明行星軌道的偏心率和傾角總保持很小和恒定，能自動調(diào)整，即攝動效應(yīng)是守恒和周期性的，既不會積累也不會消解。1787年，他發(fā)現(xiàn)月球的加速度同地球軌道的偏心率有關(guān)，從理論上解決了太陽系動態(tài)中觀測到的最后一個(gè)反常問題。1796年，他的著作《宇宙體系論》問世，書中提出了對后來有重大影響的關(guān)于行星起源的星云假說。拉普拉斯長期從事大行星運(yùn)動理論和月球運(yùn)動理論方面的研究，在總結(jié)前人研究的基礎(chǔ)上取得了大量重要成果。他的這些成果被集中在1799年到1825年出版的5卷16冊巨著《天體力學(xué)》之中，這部著作第一次提出“天體力學(xué)”這一名詞，是經(jīng)典天體力學(xué)的代表作。這一時(shí)期席卷法國的政治變動，包括拿破侖的興起和衰落，都沒有打斷他的工作，盡管他是個(gè)曾參與過政治的人，是他的威望以及他將數(shù)學(xué)應(yīng)用于軍事問題的才能保護(hù)了他。拉普拉斯于1812年發(fā)表了重要的《概率分析理論》一書。1799年，他還擔(dān)任過法國經(jīng)度局局長，并在拿破侖政府中擔(dān)任過6個(gè)星期的內(nèi)政部長?！队钪嫦到y(tǒng)論》是拉普拉斯另一部名垂千古的杰作。在這部書中，他獨(dú)立于康德，提出了第一個(gè)科學(xué)的太陽系起源理論——星云說?？档碌男窃普f是從哲學(xué)角度提出的，而拉普拉斯則從數(shù)學(xué)、力學(xué)角度充實(shí)了星云說。因此，人們常常把他們兩人的星云說稱為“康德—拉普拉斯星云說”。拉普拉斯在物理學(xué)方面也有重要貢獻(xiàn)，以他的名字命名的拉普拉斯變換和拉普拉斯方程，在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

高斯高斯（C.F.Gauss，1777—1855），是德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家，出生于德國布倫茲維克的一個(gè)貧苦家庭。父親格爾恰爾德·迪德里赫先后當(dāng)過護(hù)堤工、泥瓦匠和園丁，第一個(gè)妻子和他生活了10多年后因病去世，沒有為他留下孩子。迪德里赫后來娶了羅捷雅，第二年他們的孩子高斯出生了，這是他們唯一的孩子。父親對高斯要求極為嚴(yán)厲，甚至有些過分，常常喜歡憑自己的經(jīng)驗(yàn)為年幼的高斯規(guī)劃人生。高斯尊重他的父親，并且秉承了其父誠實(shí)、謹(jǐn)慎的性格。1806年，迪德里赫逝世，此時(shí)高斯已經(jīng)有了許多劃時(shí)代的成就。高斯的成長主要是得益于母親和舅舅。高斯的外祖父是一位石匠，30歲那年死于肺結(jié)核，留下了兩個(gè)孩子：高斯的母親羅捷雅，舅舅弗利德里希。弗利德里希富有智慧，為人熱情而又聰明能干，投身于紡織貿(mào)易頗有成就。他發(fā)現(xiàn)姐姐的兒子聰明伶俐，因此就把一部分精力花在這位小天才身上，用生動活潑的方式開發(fā)高斯的智力。若干年后，已成年并成就顯赫的高斯回想起舅舅為他所做的一切，非常感嘆。他想到舅舅對數(shù)學(xué)作出的貢獻(xiàn)，無不傷感地說，舅舅的去世使“我們失去了一位天才”。正是由于弗利德里?；垩圩R英才，經(jīng)常勸導(dǎo)姐夫讓孩子向?qū)W者方面發(fā)展，才使得高斯沒有成為園丁或者泥瓦匠。在數(shù)學(xué)史上，很少有人像高斯一樣很幸運(yùn)地有一位鼎力支持他成才的母親。羅捷雅直到34歲才出嫁，生下高斯時(shí)已有35歲了。她性格堅(jiān)強(qiáng)、聰明賢惠、富有幽默感。高斯一生下來，就對一切現(xiàn)象和事物十分好奇，而且決心弄個(gè)水落石出，這已經(jīng)超出了一個(gè)孩子能被許可的范圍。當(dāng)丈夫?yàn)榇擞?xùn)斥孩子時(shí)，她總是支持高斯，堅(jiān)決反對頑固的丈夫想把兒子變得跟他一樣無知。羅捷雅真誠地希望兒子能干出一番偉大的事業(yè)，因此對高斯的才華極為珍視。然而，她也不敢輕易地讓兒子投入當(dāng)時(shí)尚不能養(yǎng)家糊口的數(shù)學(xué)研究中。在高斯19歲那年，盡管他已有了許多偉大的數(shù)學(xué)成就，但他的母親仍向數(shù)學(xué)界的朋友W.波爾約（W.Bolyai，非歐幾何創(chuàng)立者之一，J.波爾約之父）問道：“高斯將來會有出息嗎？”W.波爾約說她的兒子將是“歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家”，為此她激動得熱淚盈眶。7歲那年，高斯入學(xué)了，頭兩年表現(xiàn)平常。1787年高斯10歲，他進(jìn)入了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的班級，這是一個(gè)首次創(chuàng)辦的班，孩子們在這之前都沒有聽說過算術(shù)這樣一門課程。數(shù)學(xué)教師是布特納（Buttner），他對高斯的成長也起了一定作用。全世界廣為流傳的一則故事說，高斯10歲時(shí)算出布特納給學(xué)生們出的將1到100的所有整數(shù)加起來的算術(shù)題，布特納剛敘述完題目，高斯就算出了正確答案。不過，這很可能是一個(gè)不真實(shí)的傳說。據(jù)對高斯素有研究的著名數(shù)學(xué)史家貝爾（E.T.Bell）考證，布特納當(dāng)時(shí)給孩子們出的是一道更難的加法題：81297＋81495＋81693＋…＋100899。當(dāng)然，這也是一個(gè)等差數(shù)列的求和問題（公差為198，項(xiàng)數(shù)為100）。當(dāng)布特納剛一寫完時(shí)，高斯也算完并把寫有答案的小石板交了上去。E.T.貝爾寫道，高斯晚年經(jīng)常喜歡向人們談?wù)撨@件事，說當(dāng)時(shí)只有他寫的答案是正確的，而其他的孩子們都錯了。不過，高斯沒有明確地講過他是用什么方法那么快就解決了這個(gè)問題。數(shù)學(xué)史家們傾向于認(rèn)為，高斯當(dāng)時(shí)已掌握了等差數(shù)列求和的方法。一位年僅10歲的孩子，能獨(dú)立發(fā)現(xiàn)這一解決數(shù)學(xué)問題的方法是很不平凡的事。貝爾根據(jù)高斯本人晚年的說法敘述的史實(shí)，應(yīng)該是比較可信的。而且，這更能反映高斯從小就注意掌握更本質(zhì)的數(shù)學(xué)方法這一特點(diǎn)。高斯的計(jì)算能力——更主要的是他獨(dú)到的數(shù)學(xué)方法和非同一般的創(chuàng)造力，這些都使布特納對他刮目相看。他特意從漢堡買了最好的算術(shù)書送給高斯，說：“你已經(jīng)超過了我，我沒有什么東西可以教你了?！苯又咚古c布特納的助手巴特爾斯（J.M.Bartels）建立了真誠的友誼，直到巴特爾斯逝世。他們一起學(xué)習(xí)，互相幫助，高斯便由此開始了真正的數(shù)學(xué)研究。1788年，11歲的高斯進(jìn)入了文科學(xué)校。他在新的學(xué)校里，所有的功課都極好，特別是古典文學(xué)、數(shù)學(xué)尤為突出。經(jīng)過巴特爾斯等人的引薦，布倫茲維克公爵召見了14歲的高斯。這位樸實(shí)、聰明但家境貧寒的孩子贏得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意做高斯的資助人，讓他繼續(xù)學(xué)習(xí)。布倫茲維克公爵在高斯的成才過程中起了舉足輕重的作用。不僅如此，這種作用實(shí)際上反映了歐洲近代科學(xué)發(fā)展的一種模式，表明在科學(xué)研究社會化以前，私人的資助是科學(xué)發(fā)展的重要推動因素之一。高斯正處于私人資助科學(xué)研究與科學(xué)研究社會化的轉(zhuǎn)變時(shí)期。1792年，高斯進(jìn)入布倫茲維克的卡羅琳學(xué)院繼續(xù)學(xué)習(xí)。1795年，公爵又為他支付各種費(fèi)用，送他進(jìn)入德國著名的格丁根大學(xué)，這樣就使得高斯得以按照自己的理想，勤奮地學(xué)習(xí)和開始進(jìn)行創(chuàng)造性的研究。1799年，高斯完成了博士論文，回到家鄉(xiāng)布倫茲維克。雖然他的博士論文順利通過了，已被授予博士學(xué)位，同時(shí)獲得了講師職位，但他沒能成功地吸引學(xué)生，因此只能回老家。正當(dāng)他為自己的前途、生計(jì)擔(dān)憂而病倒時(shí)，又是公爵伸手救援他。公爵為高斯支付了長篇博士論文的印刷費(fèi)用，還送給他一套公寓，又為他印刷了《算術(shù)研究》，使該書得以在1801年問世，同時(shí)還負(fù)擔(dān)了高斯的所有生活費(fèi)用。所有這一切，令高斯十分感動。他在博士論文和《算術(shù)研究》中，寫下了情真意切的獻(xiàn)詞：“獻(xiàn)給大公，您的仁慈，將我從所有煩惱中解放出來，使我能從事這種獨(dú)特的研究。”1806年，公爵在抵抗拿破侖統(tǒng)帥的法軍時(shí)不幸陣亡，這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕，長時(shí)間對法國人有一種深深的敵意。公爵的去世帶來經(jīng)濟(jì)上的拮據(jù)，自己的國家處于法軍奴役下的不幸以及第一個(gè)妻子的逝世，這一切使得高斯有些心灰意冷。但他是位剛強(qiáng)的男子漢，從不向他人透露自己的窘?jīng)r，也不讓朋友安慰自己的不幸，人們只有在19世紀(jì)整理他的未公布于眾的數(shù)學(xué)手稿時(shí)才得知他那時(shí)的心態(tài)。在一篇討論橢圓函數(shù)的手稿中，突然插入了一段細(xì)微的鉛筆字：“對我來說，死去也比這樣的生活更好受些?！笨犊⑷蚀鹊馁Y助人去世了，因此高斯必須找一份合適的工作，以維持一家人的生計(jì)。由于高斯在天文學(xué)、數(shù)學(xué)方面的工作杰出，高斯的名聲從1802年起就已開始傳遍歐洲。彼得堡科學(xué)院不斷暗示他，自從1783年歐拉去世后，歐拉在彼得堡科學(xué)院的位置一直在等待著像高斯這樣的天才。公爵在世時(shí)堅(jiān)決勸阻高斯去俄國，他甚至愿意給高斯增加薪金，為他建立天文臺?，F(xiàn)在，高斯又在他的生活中面臨著新的選擇。為了不使德國失去最偉大的天才，德國著名學(xué)者洪堡（B.A.VONHumboldt）聯(lián)合其他學(xué)者和政界人物，為高斯?fàn)幦〉搅讼碛刑貦?quán)的格丁根大學(xué)數(shù)學(xué)和天文學(xué)教授，以及格丁根天文臺臺長的職位。1807年，高斯赴格丁根就職，全家遷居于此。從這時(shí)起，除了一次到柏林去參加科學(xué)會議以外，他一直住在格丁根。洪堡等人的努力，不僅使得高斯一家人有了舒適的生活環(huán)境，高斯本人也可以充分發(fā)揮其天才能力，這為格丁根數(shù)學(xué)學(xué)派的創(chuàng)立、德國成為世界科學(xué)中心和數(shù)學(xué)中心創(chuàng)造了條件。同時(shí)，這也標(biāo)志著科學(xué)研究社會化的一個(gè)良好開端。1877年，丹麥政府任命他為科學(xué)顧問，這一年，德國漢諾威政府也聘請他擔(dān)任政府科學(xué)顧問。高斯的學(xué)術(shù)地位，歷來為人們推崇得很高。他有“數(shù)學(xué)王子”“數(shù)學(xué)家之王”的美稱，被認(rèn)為是人類有史以來“最偉大的三位（或四位，即阿基米德、牛頓、高斯或加上歐拉）數(shù)學(xué)家之一”，人們還稱贊高斯是“人類的驕傲”。天才、高產(chǎn)、創(chuàng)造力不衰……人類智力領(lǐng)域的幾乎所有褒獎之詞，對于高斯都不過分。高斯的研究遍及純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，并且開辟了許多新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，從最抽象的代數(shù)數(shù)論到內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)，都留下了他的足跡。從研究風(fēng)格、方法乃至所取得的具體成就方面，他都是18至19世紀(jì)之交的中堅(jiān)人物。如果我們把18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家想象為高山峻嶺，那么最后一座令人肅然起敬的巔峰就是高斯；如果把19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家想象為一條條江河，那么其源頭就是高斯。雖然數(shù)學(xué)研究、科學(xué)工作在18世紀(jì)末仍然沒有成為令人羨慕的職業(yè)，但高斯依然生逢其時(shí)，因?yàn)樵谒觳饺攵⒅曛H，歐洲資本主義的發(fā)展，使各國政府都開始重視科學(xué)研究。隨著拿破侖對法國科學(xué)家、科學(xué)研究的重視，俄國的沙皇以及歐洲的許多君主也開始對科學(xué)家、科學(xué)研究刮目相看，科學(xué)研究的社會化進(jìn)程不斷加快，科學(xué)的地位不斷提高。作為當(dāng)時(shí)最偉大的科學(xué)家，高斯獲得了不少榮譽(yù)，許多世界著名的科學(xué)泰斗都把高斯當(dāng)成自己的老師。高斯的一生，是典型的學(xué)者的一生。他始終保持著農(nóng)家的儉樸，使人難以想象他是一位大教授，世界上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他先后結(jié)過兩次婚，幾個(gè)孩子曾使他頗為惱火。不過，這些對他的科學(xué)創(chuàng)造影響不太大，而就在他獲得崇高聲譽(yù)之時(shí)，一代天驕走完了他的生命旅程。

柯西柯西（AugusinLouisCauchy，1789—1857），1789年8月21日出生于巴黎。他的父親路易柯·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治旋渦中一直擔(dān)任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護(hù)波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠的天主教徒。他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)上的功力是相當(dāng)深厚的，很多數(shù)學(xué)的定理和公式也都以他的名字來命名，如“柯西不等式”“柯西積分公式”等。在數(shù)學(xué)寫作上，他是被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人。他一生一共著作了789篇論文和幾本書籍，其中有些還是經(jīng)典之作。不過，并不是他所有的創(chuàng)作質(zhì)量都很高，因此他還曾被人批評高產(chǎn)而輕率，這點(diǎn)倒是與“數(shù)學(xué)王子”相反。據(jù)說，法國科學(xué)院會刊創(chuàng)刊的時(shí)候，由于柯西的作品實(shí)在太多，以至于科學(xué)院要負(fù)擔(dān)很大的印刷費(fèi)用，超出了科學(xué)院的預(yù)算。因此，科學(xué)院后來規(guī)定最長的論文也不能超過四頁，所以，柯西較長的論文只能投稿到其他地方?？挛髟谟啄陼r(shí)，他的父親常帶領(lǐng)他到法國參議院內(nèi)的辦公室，在那里指導(dǎo)他學(xué)習(xí)，因此他有機(jī)會遇到參議員拉普拉斯和拉格朗日兩位大數(shù)學(xué)家。他們對他的才能十分賞識。拉格朗日認(rèn)為他將來必定會成為大數(shù)學(xué)家，但拉格朗日建議柯西的父親在柯西學(xué)好文科前不要讓他學(xué)數(shù)學(xué)?？挛饔?802年升入中學(xué)。在中學(xué)時(shí)，他的拉丁文和希臘文取得了優(yōu)異成績，多次參加競賽獲獎；數(shù)學(xué)成績也深受老師贊揚(yáng)。他于1805年考入綜合工科學(xué)校，在那里主要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和力學(xué)；1807年考入橋梁公路學(xué)校；1810年以優(yōu)異成績畢業(yè)，前往瑟堡參加海港建設(shè)工程?？挛魅ドr(shí)攜帶了拉格朗日的《解析函數(shù)論》和拉普拉斯的《天體力學(xué)》，后來還陸續(xù)收到從巴黎寄出或從當(dāng)?shù)亟璧玫囊恍?shù)學(xué)書。他在業(yè)余時(shí)間悉心攻讀有關(guān)數(shù)學(xué)各分支的書籍，包括數(shù)論到天文學(xué)方面。根據(jù)拉格朗日的建議，他進(jìn)行了多面體的研究，并于1811年及1812年向科學(xué)院提交了兩篇論文，其中的主要成果是：1.證明了凸正多面體只有五種（面數(shù)分別是4，6，8，12，20），星形正多面體只有四種（面數(shù)是12的三種，面數(shù)是20的一種）。2.得到了歐拉關(guān)于多面體的頂點(diǎn)、面和棱的個(gè)數(shù)關(guān)系式的另一證明并加以推廣。3.證明了各面固定的多面體必然是固定的，從此可導(dǎo)出從未證明過的歐幾里得的一個(gè)定理。柯西的論文在數(shù)學(xué)界造成了極大的影響。柯西在瑟堡由于工作勞累生病，于1812年回到巴黎他的父母家中休養(yǎng)?？挛饔?813年在巴黎被任命為運(yùn)河工程的工程師，他在巴黎休養(yǎng)和擔(dān)任工程師期間，繼續(xù)潛心研究數(shù)學(xué)并且參加學(xué)術(shù)活動。這一時(shí)期他的主要貢獻(xiàn)是：1.研究代換理論，發(fā)表了代換理論和群論論文。2.證明了費(fèi)馬關(guān)于多角形數(shù)的猜測，即任何正整數(shù)是多角形數(shù)的和。這一猜測當(dāng)時(shí)已提出了一百多年，經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家研究，都沒有能夠解決。以上兩項(xiàng)研究是柯西在瑟堡時(shí)開始進(jìn)行的。3.用復(fù)變函數(shù)的積分計(jì)算積分，這是復(fù)變函數(shù)論中柯西積分定理的出發(fā)點(diǎn)。4.研究液體表面波的傳播問題，得到流體力學(xué)中的一些經(jīng)典結(jié)果，于1815年獲得法國科學(xué)院數(shù)學(xué)大獎。以上突出成果的發(fā)表給柯西帶來了很高的聲譽(yù)，他成為當(dāng)時(shí)國際上著名的青年數(shù)學(xué)家。1815年，拿破侖政府被推翻，波旁王朝復(fù)辟，路易十八當(dāng)上了法國國王?？挛饔?816年先后被任命為法國科學(xué)院院士和綜合工科學(xué)校教授；1821年被任命為巴黎大學(xué)力學(xué)教授，還曾在法蘭西學(xué)院授課。這一時(shí)期他的主要貢獻(xiàn)是：1.在綜合工科學(xué)校講授分析課程，建立了微積分的基礎(chǔ)極限理論，還闡明了極限理論。在此以前，微積分和級數(shù)的概念是模糊不清的。由于柯西的講法與傳統(tǒng)方式不同，當(dāng)時(shí)學(xué)校師生對他提出了許多非議?？挛髟谶@一時(shí)期出版的著作有《代數(shù)分析教程》《無窮小分析教程概要》和《微積分在幾何中應(yīng)用教程》。這些工作為微積分奠定了基礎(chǔ)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，成為數(shù)學(xué)教程的典范。2.柯西在擔(dān)任巴黎大學(xué)力學(xué)教授后，重新研究連續(xù)介質(zhì)力學(xué)。在1822年的一篇論文中，他建立了彈性理論的基礎(chǔ)。3.繼續(xù)研究復(fù)平面上的積分及留數(shù)計(jì)算，并應(yīng)用有關(guān)結(jié)果研究數(shù)學(xué)物理中的偏微分方程等。他的大量論文分別在法國科學(xué)院論文集和他自己編寫的期刊《數(shù)學(xué)習(xí)題》上發(fā)表。1830年，法國爆發(fā)了推翻波旁王朝的革命，法國國王查理第十世倉皇逃走，奧爾良公爵路易·菲利浦繼任法國國王。當(dāng)時(shí)規(guī)定在法國擔(dān)任公職必須宣誓對新法國國王效忠，由于柯西屬于擁護(hù)波旁王朝的正統(tǒng)派，他拒絕宣誓效忠，并自行離開法國。他先到了瑞士，后于1832年到1833年任意大利都靈大學(xué)數(shù)學(xué)物理教授，并參加當(dāng)?shù)乜茖W(xué)院的學(xué)術(shù)活動。那時(shí)他研究了復(fù)變函數(shù)的級數(shù)展開和微分方程（強(qiáng)級數(shù)法），并為此作出重要貢獻(xiàn)。1833年到1838年，柯西先在布拉格，后在戈?duì)柶潛?dān)任波旁王朝“王儲”波爾多公爵的教師，最后被授予“男爵”封號。在此期間，他的研究工作進(jìn)行得比較少。1838年，柯西回到巴黎。由于他沒有宣誓對法國國王效忠，則只能參加科學(xué)院的學(xué)術(shù)活動，不能擔(dān)任教學(xué)工作。他在創(chuàng)辦不久的法國科學(xué)院報(bào)刊和他自己編寫的期刊———《分析及數(shù)學(xué)物理習(xí)題》上發(fā)表了關(guān)于復(fù)變函數(shù)、天體力學(xué)、彈性力學(xué)等方面的大批重要論文。1848年，法國又爆發(fā)了革命，路易·菲利浦倒臺，重新建立了共和國，廢除了公職人員對國王效忠的宣誓?？挛饔?848年擔(dān)任了巴黎大學(xué)數(shù)理天文學(xué)教授，由此重新進(jìn)行他在法國高等學(xué)校中斷了18年的教學(xué)工作。1852年，拿破侖第三世發(fā)動政變，法國從共和國變成了帝國，恢復(fù)了公職人員對新政權(quán)的效忠宣誓，柯西立即向巴黎大學(xué)辭職。后來拿破侖第三世特準(zhǔn)免除他和物理學(xué)家阿拉果（Arago，1786—1853）的忠誠宣誓。于是柯西得以繼續(xù)進(jìn)行教學(xué)工作，直到1857年他在巴黎近郊逝世前仍不斷參加學(xué)術(shù)活動，不斷發(fā)表科學(xué)論文。1857年5月23日，他突然去世，享年68歲。他因?yàn)闊岵∪ナ溃R終前，他還與巴黎大主教在說話，他說的最后一句話是：“人總是要死的，但是，他們的功績永存?！笨挛魇且晃欢喈a(chǎn)的數(shù)學(xué)家，他的全集從1882年開始出版，到1974年才出齊最后一卷，總計(jì)28卷。

伽羅瓦1811年1月25日，伽羅瓦（EvaristeGalois，1811—1832）出生于巴黎附近的一座小市鎮(zhèn)，父親是本市市長，母親是當(dāng)?shù)胤ü俚呐畠?，她聰明而有教養(yǎng)，是伽羅瓦的啟蒙老師。除教授伽羅瓦各種基本知識以外，作為古代文化的熱烈愛好者，她還把古希臘的英雄主義、浪漫主義灌輸?shù)絻鹤拥挠仔⌒撵`中，使得伽羅瓦從小就有強(qiáng)烈的好奇心和求知欲。12歲那年，他考入當(dāng)?shù)刂幕始抑袑W(xué)。在老師的眼里，盡管伽羅瓦有“杰出的才能”，但這位體格柔弱的少年卻被認(rèn)為“為人乖僻、古怪，過分多嘴”。他不滿意內(nèi)容貧乏、編排瑣碎的教科書，對老師只注重形式和技巧的講課形式也深感失望。他在后來的一封信中曾大為感嘆地寫道：“不幸的年輕人要到什么時(shí)候才能不整天聽講或死記聽到的東西呢？”15歲的伽羅瓦毅然拋開教科書，直接向數(shù)學(xué)大師的專著求教。著名數(shù)學(xué)家勒讓德爾（Legendre）的經(jīng)典著作《幾何原理》，使他領(lǐng)悟到清晰有力的數(shù)學(xué)思維的內(nèi)在美；拉格朗日的《論數(shù)值方程解法》和《解析函數(shù)論》，使他的思維日趨嚴(yán)謹(jǐn)。接著，他又一口氣讀完了歐拉與高斯的著作，這些數(shù)學(xué)大師的著作使他感到充實(shí)、自信。1828年，伽羅瓦17歲，這是他關(guān)鍵的一年，他遇到了數(shù)學(xué)教師里沙（1795—1849）。里沙不是一個(gè)普通的教師，他利用業(yè)余時(shí)間到巴黎大學(xué)聽課，使自己的水平跟上時(shí)代的步伐，并把新的知識傳授給學(xué)生們。里沙有很高的才能，好心的朋友們勸他從事著作，他卻把全部精力傾注在學(xué)生身上。19世紀(jì)法國有好幾個(gè)杰出的數(shù)學(xué)家，均出自他的門下，這就是對他的最高獎賞。伽羅瓦在里沙的幫助和鼓勵下，在繼承前人科學(xué)研究成果的基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了“群”的思想。他寫出了第一篇數(shù)學(xué)論文，寄到法蘭西科學(xué)院，負(fù)責(zé)審查這篇論文的是當(dāng)時(shí)法國數(shù)學(xué)界泰斗——柯西和泊松?？挛魇钱?dāng)時(shí)法國首屈一指的數(shù)學(xué)家，他一向是很果斷和公正的，但偶然的疏忽卻帶來了損失：一是對伽羅瓦沒有給予足夠的重視；二是對伽羅瓦向科學(xué)院送交的論文未及時(shí)給出評價(jià)，以致連手稿也給遺失了。第二年，18歲的伽羅瓦又取得了一些重要成果，再次寫成論文寄交科學(xué)院。主持審查論文的是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界權(quán)威人士、科學(xué)院院士——傅里葉（也譯作傅立葉）。然而很不湊巧，傅里葉在舉行例會的前幾天病逝了。人們在傅里葉的遺物中找不到伽羅瓦的數(shù)學(xué)論文。就這樣，伽羅瓦的論文第二次被丟失了。但他并不灰心，又繼續(xù)研究自己所得的新成果，第三次寫成論文，即《關(guān)于用根式解方程的可解性條件》。1831年，法蘭西科學(xué)院第三次審查伽羅瓦的論文，主持這次審查的是科學(xué)院院士泊松?？偹阈疫\(yùn)，這一次論文沒有丟失。但論文中用了“置換群”這個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)概念和方法，以致像泊松那樣赫赫有名的數(shù)學(xué)家一下子也未能領(lǐng)會，伽羅瓦的成果以“不可理解”被草率地否定了。那時(shí)科學(xué)界對形式和技巧的崇拜遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過對創(chuàng)造和開拓的追求，當(dāng)然也就不會承認(rèn)伽羅瓦工作的價(jià)值。當(dāng)時(shí)，數(shù)學(xué)新時(shí)代的曙光已出現(xiàn)在地平線上，像非歐幾何、集合論、群論等科學(xué)思想新體系，都是在這個(gè)時(shí)代孕育的。只有勇敢地面向未來、堅(jiān)定地追求未來的科學(xué)家，才能看到新時(shí)代的曙光。無怪乎伽羅瓦在談到與他同時(shí)代的數(shù)學(xué)家時(shí)曾痛切地說：“他們落后了一百年！”直到伽羅瓦死后14年，人們研究了保存在他弟弟那里的數(shù)學(xué)論文，才認(rèn)識到這些論文是當(dāng)代重要的數(shù)學(xué)著作。伽羅瓦所引入的“群”的概念，已發(fā)展成為近代代數(shù)的一個(gè)新的分支——“群論”，而且在其他數(shù)學(xué)分支和近代物理、理論化學(xué)等學(xué)科上都是廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具。這種理論，甚至對于20世紀(jì)結(jié)構(gòu)主義哲學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展，都發(fā)生了巨大影響。因此，伽羅瓦的工作的確是19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域最突出的成就之一。伽羅瓦不僅是一個(gè)天才的青年數(shù)學(xué)家，而且也是一位堅(jiān)定的革命者。