2013年至2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題專(zhuān)題分類(lèi)匯編(專(zhuān)題12至專(zhuān)題22共22個(gè)專(zhuān)題)_第1頁(yè)
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第頁(yè)2013年至2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題專(zhuān)題分類(lèi)匯編專(zhuān)題12概率統(tǒng)計(jì)客觀題一、選擇題1.(2022年全國(guó)甲卷理科·第2題)某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類(lèi)知識(shí).為了解講座效果,隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民,讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類(lèi)知識(shí)問(wèn)卷,這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖:則()A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于B.講座后問(wèn)卷答題正確率的平均數(shù)大于C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】B解析:講座前中位數(shù)為,所以錯(cuò);講座后問(wèn)卷答題的正確率只有一個(gè)是個(gè),剩下全部大于等于,所以講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對(duì);講座前問(wèn)卷答題的正確率更加分散,所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯(cuò);講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為,講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為,所以錯(cuò).故選:B.【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\用樣本估計(jì)總體\用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【題目來(lái)源】2022年全國(guó)甲卷理科·第2題2.(2022年全國(guó)乙卷理科·第10題)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤(pán),各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為,且.記該棋手連勝兩盤(pán)的概率為p,則()A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān) B.該棋手在第二盤(pán)與甲比賽,p最大C.該棋手在第二盤(pán)與乙比賽,p最大 D.該棋手在第二盤(pán)與丙比賽,p最大【答案】D解析:該棋手連勝兩盤(pán),則第二盤(pán)為必勝盤(pán),記該棋手在第二盤(pán)與甲比賽,比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠?,則此時(shí)連勝兩盤(pán)的概率為則;記該棋手在第二盤(pán)與乙比賽,且連勝兩盤(pán)的概率為,則記該棋手在第二盤(pán)與丙比賽,且連勝兩盤(pán)的概率為則則即,,則該棋手在第二盤(pán)與丙比賽,最大.選項(xiàng)D判斷正確;選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤;與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.故選:D【題目欄目】概率\相互獨(dú)立事件\相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率【題目來(lái)源】2022年全國(guó)乙卷理科·第10題3.(2022新高考全國(guó)I卷·第5題)從2至87個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù),則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為()AB.C.D.【答案】D解析:從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù),共有種不同的取法,若兩數(shù)不互質(zhì),不同的取法有:,共7種,故所求概率.故選:D.【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\古典概型【題目來(lái)源】2022新高考全國(guó)I卷·第5題4.(2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第6題)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布,下列結(jié)論中不正確的是()A.越小,該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大B.越小,該物理量在一次測(cè)量中大于10概率為0.5C.越小,該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.越小,該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等【答案】D解析:對(duì)于A,為數(shù)據(jù)的方差,所以越小,數(shù)據(jù)在附近越集中,所以測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大,故A正確;對(duì)于B,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱(chēng)性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為0.5,故B正確;對(duì)于C,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱(chēng)性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同,所以一次測(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同,故D錯(cuò)誤,故選D.【題目欄目】概率\正態(tài)分布【題目來(lái)源】2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第6題5.(2021年新高考Ⅰ卷·第8題)有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球,甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則()A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立【答案】B解析:,故選B.【題目欄目】概率\事件與概率\事件的關(guān)系及運(yùn)算【題目來(lái)源】2021年新高考Ⅰ卷·第8題6.(2020年新高考I卷(山東卷)·第5題)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué)生喜歡足球,82%的學(xué)生喜歡游泳,則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A.62% B.56%C.46% D.42%【答案】C解析:記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件,“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件,則“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件,“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件,則,,,所以所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為.故選:C.【題目欄目】概率\事件與概率\事件的關(guān)系及運(yùn)算【題目來(lái)源】2020年新高考I卷(山東卷)·第5題7.(2020新高考II卷(海南卷)·第5題)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué)生喜歡足球,82%的學(xué)生喜歡游泳,則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A.62% B.56%C.46% D.42%【答案】C解析:記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件,“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件,則“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件,“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件,則,,,所以所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為.故選:C.【題目欄目】概率\事件與概率\事件的關(guān)系及運(yùn)算【題目來(lái)源】2020新高考II卷(海南卷)·第5題8.(2021年高考全國(guó)乙卷理科·第8題)在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù),則兩數(shù)之和大于的概率為()A. B. C. D.【答案】B解析:如圖所示:設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為,則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?,其面積為.設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于,則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?,即圖中的陰影部分,其面積為,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問(wèn)題,解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積,即可順利解出.【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\幾何概型【題目來(lái)源】2021年高考全國(guó)乙卷理科·第8題9.(2021年高考全國(guó)甲卷理科·第2題)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況,對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶(hù)家庭年收入調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖:根據(jù)此頻率分布直方圖,下面結(jié)論中不正確的是()A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù),其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間【答案】C解析:因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1,所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)的比率估計(jì)值為,故A正確;該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)值為,故B正確;該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的比例估計(jì)值為,故D正確;該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值的估計(jì)值為(萬(wàn)元),超過(guò)6.5萬(wàn)元,故C錯(cuò)誤.綜上,給出結(jié)論中不正確的是C.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計(jì)總體頻率和平均值,屬基礎(chǔ)題,樣本的頻率可作為總體的頻率的估計(jì)值,樣本的平均值的估計(jì)值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值,可以作為總體的平均值的估計(jì)值.注意各組的頻率等于.【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\用樣本估計(jì)總體\頻率分布直方圖【題目來(lái)源】2021年高考全國(guó)甲卷理科·第2題10.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第3題)在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為,且,則下面四種情形中,對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()A. B.C. D.【答案】B解析:對(duì)于A選項(xiàng),該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差為;對(duì)于B選項(xiàng),該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差為;對(duì)于C選項(xiàng),該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差為;對(duì)于D選項(xiàng),該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差為.因此,B選項(xiàng)這一組標(biāo)準(zhǔn)差最大.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較,考查方差公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.【題目欄目】概率\離散型隨機(jī)變量的均值、方差【題目來(lái)源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第3題11.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第3題)《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶,并稱(chēng)為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況,隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生,其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位,閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位,閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位,則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得,閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為,則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為.故選C.另解:記看過(guò)《西游記》的學(xué)生為集合A,看過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生為集合B.則由題意可得韋恩圖:則看過(guò)《西游記》的人數(shù)為70人,則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì),滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).根據(jù)容斥原理或韋恩圖,利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.但平時(shí)對(duì)于這類(lèi)題目接觸少,學(xué)生初讀題目時(shí)可能感到無(wú)從下手?!绢}目欄目】統(tǒng)計(jì)\隨機(jī)抽樣\簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣【題目來(lái)源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第3題12.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科·第6題)若,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】取,滿(mǎn)足,,知A錯(cuò),排除A;因?yàn)椋狟錯(cuò),排除B;取,,滿(mǎn)足,,知D錯(cuò),排除D,因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù),,所以,故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、冪函數(shù)性質(zhì)及絕對(duì)值意義,滲透了邏輯推理和運(yùn)算能力素養(yǎng),利用特殊值排除即可判斷.【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\用樣本估計(jì)總體\用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【題目來(lái)源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科·第6題13.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科·第5題)演講比賽共有位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分,評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí),從個(gè)原始評(píng)分中去掉個(gè)最高分、個(gè)最低分,得到個(gè)有效評(píng)分.個(gè)有效評(píng)分與個(gè)原始評(píng)分相比,不變的數(shù)字特征是()A.中位數(shù) B.平均數(shù) C.方差 D.極差【答案】A【解析】設(shè)位評(píng)委評(píng)分按從小到大排列為.則①原始中位數(shù)為,去掉最低分,最高分,后剩余,中位數(shù)仍為,∴A正確.②原始平均數(shù),后來(lái)平均數(shù)平均數(shù)受極端值影響較大,∴與不一定相同,B不正確;③,,由②易知,C不正確;④原極差,后來(lái)極差顯然極差變小,D不正確.【點(diǎn)評(píng)】本題旨在考查學(xué)生對(duì)中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質(zhì)的理解.可不用動(dòng)筆,直接得到答案,亦可采用特殊數(shù)據(jù),特值法篩選答案.【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\用樣本估計(jì)總體\用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【題目來(lái)源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科·第5題14.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科·第6題)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成,爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“——”,右圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦,則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是()A.B.C.D.【答案】答案:A解析:所有的重卦共有個(gè),而恰有3個(gè)陽(yáng)爻的重卦有個(gè),所以所求概率為.【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\古典概型【題目來(lái)源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科·第6題15.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第8題)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為,各成員的支付方式相互獨(dú)立,設(shè)為該群體的位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù),,,則()A. B. C. D.【答案】B解析:依題意可知,則,解得或又,所以即,即所以,故選B.【題目欄目】概率\離散型隨機(jī)變量及其概率分布\二項(xiàng)分布【題目來(lái)源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第8題16.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理)·第8題)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”,如.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的概率是()A. B. C. D.【答案】C解析:不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個(gè),隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),共有種方法,因?yàn)椋噪S機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的有3種選法,故概率,故選C.【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\古典概型【題目來(lái)源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理)·第8題17.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第10題)下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊,.的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II.其余部分記為III.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自1,II,III的概率分別記為則()A. B. C. D.【答案】A解析:如圖:設(shè),∴,∴,∴,∴,故選A.【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\幾何概型【題目來(lái)源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第10題18.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第3題)某地區(qū)經(jīng)過(guò)一一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍,實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況,統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例,得到如下餅圖:則下面結(jié)論中不正確的是()A.新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入減少 B.新農(nóng)村建設(shè)后,其他收入增加了一倍以C.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半【答案】A解析:設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為,建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為.A項(xiàng),種植收入37×﹣60%=14%>0,故建設(shè)后,種植收入增加,故A項(xiàng)錯(cuò)誤.B項(xiàng),建設(shè)后,其他收入為5%×2=10%,建設(shè)前,其他收入為4%,故10%÷4%=2.5>2,故B項(xiàng)正確.C項(xiàng),建設(shè)后,養(yǎng)殖收入為30%×2=60%,建設(shè)前,養(yǎng)殖收入為30%,故60%÷30%=2,故C項(xiàng)正確.D項(xiàng),建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入總和為(30%+28%)×2=58%×2a,經(jīng)濟(jì)收入為2,故(58%×2a)÷2a=58%>50%,故D項(xiàng)正確,因?yàn)槭沁x擇不正確的一項(xiàng).故選:A.【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\用樣本估計(jì)總體\用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【題目來(lái)源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第3題19.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科·第2題)如圖,正方形內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng).在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()()A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為,則圓的半徑為,則正方形的面積為,圓的面積為.由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知,太極圖中黑白部分面積相等,即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計(jì)算公式得,此點(diǎn)取自黑色部分的概率是,選B.秒殺解析:由題意可知,此點(diǎn)取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個(gè)面積的比例,由圖可知其概率,故選B.【考點(diǎn)】幾何概型【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于幾何概型的計(jì)算,首先確定事件類(lèi)型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域(長(zhǎng)度、面積、體積或時(shí)間),其次計(jì)算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量,最后計(jì)算.【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\幾何概型【題目來(lái)源】2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科·第2題20.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第10題)從區(qū)間隨機(jī)抽取個(gè)數(shù),,…,,,,…,,構(gòu)成個(gè)數(shù)對(duì),,…,,其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有個(gè),則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】幾何概型問(wèn)題:樣本空間其面積為:事件“兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)”對(duì)應(yīng)的集合為:其對(duì)應(yīng)區(qū)域面積為:,所以所以,故選C.【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\幾何概型【題目來(lái)源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第10題21.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第4題)某公司的班車(chē)在,,發(fā)車(chē),小明在至之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē),且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是()(A)EQ\F(1,3)(B)EQ\F(1,2)(C)EQ\F(2,3)(D)EQ\F(3,4)【答案】B【解析】如圖所示,畫(huà)出時(shí)間軸:小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段中,而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段或時(shí),才能保證他等車(chē)的時(shí)間不超過(guò)10分鐘根據(jù)幾何概型,所求概率.故選B.【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\幾何概型【題目來(lái)源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第4題22.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第3題)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫排放量(單位:萬(wàn)噸)柱形圖。以下結(jié)論不正確的是()2004年2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年190020002100220023002400250026002700A.逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B(niǎo).2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)D.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)【答案】D解析:由柱形圖得,從2006年以來(lái),我國(guó)二氧化硫排放量呈下降趨勢(shì),故年排放量與年份負(fù)相關(guān),故選D.考點(diǎn):正、負(fù)相關(guān).【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)\兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系【題目來(lái)源】2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第3題23.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第4題)投籃測(cè)試中,每人投3次,至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為()A.0.648 B.432 C.0.36 D.0.312【答案】A解析:根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得,該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為=0.648,故選A.考點(diǎn):本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式與互斥事件和概率公式【題目欄目】概率\相互獨(dú)立事件\n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)【題目來(lái)源】2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第4題24.(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科·第5題)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45【答案】A解析:設(shè)A=“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”,B=“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”,則,故選A.考點(diǎn):(1)條件概率的求法;。難度:B備注:易錯(cuò)題【題目欄目】概率\條件概率【題目來(lái)源】2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科·第5題25.(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科·第5題)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率()A. B. C. D.【答案】D解析:4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)共有種,周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)有兩種情況:①一天一人一天三人有種;②每天2人有種,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為;或間接解法:4位同學(xué)都在周六或周日參加公益活動(dòng)有2種,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為;選D.考點(diǎn):(1)古典概型的概率(2)分類(lèi)討論思想難度:B備注:高頻考點(diǎn)【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\古典概型【題目來(lái)源】2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科·第5題26.(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第3題)為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況,擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異,而男女生視力情況差異不大,在下面的抽樣方法中,最合理的抽樣方法是()A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B.按性別分層抽樣QUOTE C.按學(xué)段分層抽樣 D.系統(tǒng)抽樣【答案】C解析:因該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異,故最合理的抽樣方法是按學(xué)段分層抽樣,故選C.考點(diǎn):(1)10.1.3分層抽樣.難度:A備注:高頻考點(diǎn)【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\隨機(jī)抽樣\分層抽樣【題目來(lái)源】2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第3題二、多選題27.(2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第9題)下列統(tǒng)計(jì)量中,能度量樣本的離散程度的是()A.樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 B.樣本的中位數(shù)C.樣本的極差 D.樣本的平均數(shù)【答案】AC解析:由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知,標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度;由中位數(shù)的定義可知,中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì);由極差的定義可知,極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度;由平均數(shù)的定義可知,平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),故選AC.【題目欄目】概率\離散型隨機(jī)變量的均值、方差【題目來(lái)源】2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第9題28.(2021年新高考Ⅰ卷·第9題)有一組樣本數(shù)據(jù),,…,,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù),,…,,其中(為非零常數(shù),則()A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】CD解析:A:且,故平均數(shù)不相同,錯(cuò)誤;B:若第一組中位數(shù)為,則第二組的中位數(shù)為,顯然不相同,錯(cuò)誤;C:,故方差相同,正確;D:由極差的定義知:若第一組的極差為,則第二組的極差為,故極差相同,正確;故選CD.【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\用樣本估計(jì)總體\用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【題目來(lái)源】2021年新高考Ⅰ卷·第9題29.(2020年新高考I卷(山東卷)·第12題)信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為,且,定義X的信息熵.()A.若n=1,則H(X)=0B.若n=2,則H(X)隨著的增大而增大C.若,則H(X)隨著n的增大而增大D.若n=2m,隨機(jī)變量Y所有可能的取值為,且,則H(X)≤H(Y)【答案】AC解析:對(duì)于A選項(xiàng),若,則,所以,所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng),若,則,,所以,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,兩者相等,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng),若,則,則隨著增大而增大,所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng),若,隨機(jī)變量的所有可能的取值為,且()..由于,所以,所以,所以,所以,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:AC【題目欄目】概率\離散型隨機(jī)變量及其概率分布\離散型隨機(jī)變量的分布列【題目來(lái)源】2020年新高考I卷(山東卷)·第12題三、填空題30.(2022年全國(guó)甲卷理科·第15題)從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè),則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為_(kāi)_______.【答案】.解析:從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè),有個(gè)結(jié)果,這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有個(gè),故所求概率.故答案為:.【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\古典概型【題目來(lái)源】2022年全國(guó)甲卷理科·第15題31.(2022年全國(guó)乙卷理科·第13題)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作,則甲、乙都入選的概率為_(kāi)___________.【答案】解析:從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為,所以甲、乙都入選的概率故答案為:【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\古典概型【題目來(lái)源】2022年全國(guó)乙卷理科·第13題32.(2022新高考全國(guó)II卷·第13題)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,且,則____________.【答案】解析:因?yàn)?,所以,因此.故答案為:.【題目欄目】概率\正態(tài)分布【題目來(lái)源】2022新高考全國(guó)II卷·第13題33.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科·第13題)我國(guó)高鐵發(fā)展迅速,技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì),在經(jīng)停某站的高鐵列車(chē)中,有個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為,有個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為,有個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為,則經(jīng)停該站高鐵列車(chē)所有車(chē)次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為.【答案】.【解析】由題意得,經(jīng)停該高鐵站的列車(chē)正點(diǎn)數(shù)約為,其中高鐵個(gè)數(shù)為,所以該站所有高鐵平均正點(diǎn)率約為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查通過(guò)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計(jì),采取估算法,利用概率思想解題.本題考點(diǎn)為概率統(tǒng)計(jì),滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).側(cè)重統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的概率估算,難度不大.易忽視概率的估算值不是精確值而失誤,根據(jù)分類(lèi)抽樣的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),估算出正點(diǎn)列車(chē)數(shù)量與列車(chē)總數(shù)的比值.【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\用樣本估計(jì)總體\用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【題目來(lái)源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科·第13題34.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科·第15題)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽,采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí),該隊(duì)獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績(jī),甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲隊(duì)以4:1獲勝的概率是.【答案】答案:解析:因?yàn)榧钻?duì)以4:1獲勝,故一共進(jìn)行5場(chǎng)比賽,且第5場(chǎng)為甲勝,前面4場(chǎng)比賽甲輸一場(chǎng),若第1場(chǎng)或第2場(chǎng)輸1場(chǎng),則,若第3場(chǎng)或第4場(chǎng)輸1場(chǎng),則,所以甲以4:1獲勝的概率是.【題目欄目】概率\條件概率【題目來(lái)源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科·第15題35.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第13題)一批產(chǎn)品的二等品率為,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件數(shù),則.【答案】【命題意圖】本題考查二項(xiàng)分布概念及其數(shù)字特征,意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.【解析】隨機(jī)變量,【知識(shí)拓展】離散型隨機(jī)變量是高考考點(diǎn)之一,隨機(jī)變量分布是熱點(diǎn)話題,正態(tài)分布和二項(xiàng)分布都以小題出現(xiàn),且在基礎(chǔ)題位置,難度較低,在平時(shí)復(fù)習(xí)時(shí)不宜研究難題.【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布的期望與方差【點(diǎn)評(píng)】判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布,要看兩點(diǎn):(1)一是是否為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).在每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率是否均為P.二是隨機(jī)變量是否為在這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù),且表示在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件恰好發(fā)生次的概率.【題目欄目】概率\離散型隨機(jī)變量的均值、方差【題目來(lái)源】2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第13題36.(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第14題)從個(gè)正整數(shù)中任意取出兩個(gè)不同的數(shù),若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為,則=________.【答案】8解析:由題意,取出的兩個(gè)數(shù)只可能是1與4,2與3這兩種情況,∴在n個(gè)數(shù)中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)的總情況應(yīng)該是,.考點(diǎn):(1)10.5.2古典概型的概率問(wèn)題;難度:B備注:高頻考點(diǎn)【題目欄目】概率\古典概型與幾何概型\古典概型【題目來(lái)源】2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第14題

2013年至2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題專(zhuān)題分類(lèi)匯編專(zhuān)題13概率統(tǒng)計(jì)解答題一、解答題1.(2022年全國(guó)甲卷理科·第19題)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望.【答案】(1);(2)分布列見(jiàn)解析:,.解析:(1)設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為.(2)依題可知,的可能取值為,所以,,,,.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.【題目欄目】概率\相互獨(dú)立事件\相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率【題目來(lái)源】2022年全國(guó)甲卷理科·第19題2.(2022年全國(guó)乙卷理科·第19題)某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理,已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量,隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木,測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積(單位:)和材積量(單位:),得到如下數(shù)據(jù):樣本號(hào)i12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得.(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量;(2)求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積,并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為.已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值.附:相關(guān)系數(shù).【答案】(1);(2)(3)解析:【小問(wèn)1詳解】樣本中10棵這種樹(shù)木的根部橫截面積的平均值樣本中10棵這種樹(shù)木的材積量的平均值據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積為,平均一棵的材積量為【小問(wèn)2詳解】則小問(wèn)3詳解】設(shè)該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值為,又已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比,可得,解之得.則該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量估計(jì)為【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)\線性回歸方程【題目來(lái)源】2022年全國(guó)乙卷理科·第19題3.(2022新高考全國(guó)II卷·第19題)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡,得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率;(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為,該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘模畯脑摰貐^(qū)中任選一人,若此人的年齡位于區(qū)間,求此人患這種疾病的概率.(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率,精確到0.0001).【答案】(1)歲;(2);(3).解析:(1)平均年齡(歲).(2)設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間},所以.(3)設(shè)任選一人年齡位于區(qū)間,任選一人患這種疾病,則由條件概率公式可得.【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\用樣本估計(jì)總體\頻率分布直方圖【題目來(lái)源】2022新高考全國(guó)II卷·第19題4.(2022新高考全國(guó)I卷·第20題)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類(lèi))的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱(chēng)為病例組),同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱(chēng)為對(duì)照組),得到如下數(shù)據(jù):不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?(2)從該地的人群中任選一人,A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”,B表示事件“選到的人患有該疾病”.與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo),記該指標(biāo)為R.(ⅰ)證明:;(ⅱ)利用該調(diào)查數(shù)據(jù),給出的估計(jì)值,并利用(ⅰ)的結(jié)果給出R的估計(jì)值.附,0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)(i)證明見(jiàn)解析;(ii);解析:(1)由已知,又,,所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.(2)(i)因?yàn)?,所以所以?ii)由已知,,又,,所以【題目欄目】概率\條件概率【題目來(lái)源】2022新高考全國(guó)I卷·第20題5.(2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第21題)一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái),設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代,經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代,再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……,該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列,設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù),.(1)已知,求;(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕概率,p是關(guān)于x的方程:的一個(gè)最小正實(shí)根,求證:當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),;(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.【答案】解析:(1).(2)設(shè),因?yàn)?,故,若,則,故.,因?yàn)?,,故有兩個(gè)不同零點(diǎn),且,且時(shí),;時(shí),;故在,上為增函數(shù),在上為減函數(shù),若,因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且,而當(dāng)時(shí),因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù),故,故為的一個(gè)最小正實(shí)根,若,因?yàn)榍以谏蠟闇p函數(shù),故1為的一個(gè)最小正實(shí)根,綜上,若,則.若,則,故.此時(shí),,故有兩個(gè)不同零點(diǎn),且,且時(shí),;時(shí),;故在,上為增函數(shù),在上為減函數(shù),而,故,又,故在存在一個(gè)零點(diǎn),且.所以為的一個(gè)最小正實(shí)根,此時(shí),故當(dāng)時(shí),.(3)意義:每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)1,則若干代必然滅絕,若繁殖后代的平均數(shù)超過(guò)1,則若干代后被滅絕的概率小于1.【題目欄目】概率\離散型隨機(jī)變量的均值、方差【題目來(lái)源】2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第21題6.(2021年新高考Ⅰ卷·第18題)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽,有A,B兩類(lèi)問(wèn)題,每位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答,若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束:若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答,無(wú)論回答正確與否,該同學(xué)比賽結(jié)束.A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分,否則得0分:B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分,否則得0分,己知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6,且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).(1)若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題,記為小明的累計(jì)得分,求的分布列;(2)為使累計(jì)得分期望最大,小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題?并說(shuō)明理由.【答案】解析:(1)由題可知,的所有可能取值為,,.;;.所以的分布列為(2)由(1)知,.若小明先回答問(wèn)題,記為小明的累計(jì)得分,則的所有可能取值為,,.;;.所以.因?yàn)?,所以小明?yīng)選擇先回答類(lèi)問(wèn)題.【題目欄目】概率\離散型隨機(jī)變量的均值、方差【題目來(lái)源】2021年新高考Ⅰ卷·第18題7.(2020年新高考I卷(山東卷)·第19題)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù),治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,隨機(jī)抽查了天空氣中的和濃度(單位:),得下表:3218468123710(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中濃度不超過(guò),且濃度不超過(guò)”的概率;(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表:(3)根據(jù)(2)中列聯(lián)表,判斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)?附:,0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1);(2)答案見(jiàn)解析;(3)有.解析:(1)由表格可知,該市100天中,空氣中的濃度不超過(guò)75,且濃度不超過(guò)150的天數(shù)有天,所以該市一天中,空氣中的濃度不超過(guò)75,且濃度不超過(guò)150的概率為;(2)由所給數(shù)據(jù),可得列聯(lián)表為:合計(jì)641680101020合計(jì)7426100(3)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得,因?yàn)楦鶕?jù)臨界值表可知,有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān).【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)\獨(dú)立性檢驗(yàn)【題目來(lái)源】2020年新高考I卷(山東卷)·第19題8.(2020新高考II卷(海南卷)·第19題)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù),治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,隨機(jī)抽查了天空氣中的和濃度(單位:),得下表:(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中濃度不超過(guò),且濃度不超過(guò)”的概率;(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表:(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,判斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)?附:,【答案】(1);(2)答案見(jiàn)解析;(3)有.解析:(1)由表格可知,該市100天中,空氣中的濃度不超過(guò)75,且濃度不超過(guò)150的天數(shù)有天,所以該市一天中,空氣中的濃度不超過(guò)75,且濃度不超過(guò)150的概率為;(2)由所給數(shù)據(jù),可得列聯(lián)表為:合計(jì)641680101020合計(jì)7426100(3)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得,因?yàn)楦鶕?jù)臨界值表可知,有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān).【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)\獨(dú)立性檢驗(yàn)【題目來(lái)源】2020新高考II卷(海南卷)·第19題9.(2021年高考全國(guó)乙卷理科·第17題)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高,用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:舊設(shè)備9.810.31001029.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和,樣本方差分別記為和.(1)求,,,;(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果,則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高,否則不認(rèn)為有顯著提高).【答案】(1);(2)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.解析:(1),,,.(2)依題意,,,,所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\用樣本估計(jì)總體\用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【題目來(lái)源】2021年高考全國(guó)乙卷理科·第17題10.(2021年高考全國(guó)甲卷理科·第17題)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品,為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量,分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品,產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表:一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附:0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)75%;60%;(2)能.解析:(1)甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為,乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為.(2),故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)\獨(dú)立性檢驗(yàn)【題目來(lái)源】2021年高考全國(guó)甲卷理科·第17題11.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第19題)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽,負(fù)者下一場(chǎng)輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為,(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率;(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.【答案】(1);(2);(3).【解析】(1)記事件甲連勝四場(chǎng),則;(2)記事件為甲輸,事件為乙輸,事件為丙輸,則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為,所以,需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為;(3)記事件為甲輸,事件為乙輸,事件為丙輸,記事件甲贏,記事件丙贏,則甲贏的基本事件包括:、、、、、、、,所以,甲贏概率為.由對(duì)稱(chēng)性可知,乙贏的概率和甲贏的概率相等,所以丙贏的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率的計(jì)算,解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件,考查計(jì)算能力,屬于中等題.【題目欄目】概率\相互獨(dú)立事件\相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率【題目來(lái)源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第19題12.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第18題)某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理,生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善,野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物數(shù)量,將其分成面積相近的200個(gè)地塊,從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū),調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位:公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量,并計(jì)算得,,,,.(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù));(2)求樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料,各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì),請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法,并說(shuō)明理由.附:相關(guān)系數(shù)r=,≈1.414.【答案】(1);(2);(3)詳見(jiàn)解析解析:(1)樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為,地塊數(shù)為200,該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為(2)樣本(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)為(3)由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性,由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大,從俄各地塊間這種野生動(dòng)物的數(shù)量差異很大,采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行,提高了樣本的代表性,從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).【點(diǎn)晴】本題主要考查平均數(shù)的估計(jì)值、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算以及抽樣方法的選取,考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,是一道容易題.【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)\兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系【題目來(lái)源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第18題13.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第18題)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表(單位:天):鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0,200](200,400](400,600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率;(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附:,P(K2≥k)0.0500.0100.001k38416.63510.828【答案】(1)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別為、、、的概率分別為、、、;(2);(3)有,理由見(jiàn)解析.解析:(1)由頻數(shù)分布表可知,該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為的概率為,等級(jí)為的概率為,等級(jí)為的概率為,等級(jí)為的概率為;(2)由頻數(shù)分布表可知,一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為(3)列聯(lián)表如下:人次人次空氣質(zhì)量不好空氣質(zhì)量好,因此,有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻率和平均數(shù),同時(shí)也考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)\獨(dú)立性檢驗(yàn)【題目來(lái)源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第18題14.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第17題)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進(jìn)行如下試驗(yàn):將200只小鼠隨機(jī)分成兩組,每組100只,其中組小鼠給服甲離子溶液,組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:記為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”,根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中的值;(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).【答案】(1),;(2),.00.【官方解析】(1)由已知得,故,.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)概念和頻率分布直方圖中平均數(shù)法人計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\用樣本估計(jì)總體\用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【題目來(lái)源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第17題15.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科·第18題)分制乒乓球比賽,每贏一球得分,當(dāng)某局打成平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方平后,甲先發(fā)球,兩人又打了個(gè)球該局比賽結(jié)束.求;求事件“且甲獲勝”的概率.【答案】;.【官方解析】就是平后,兩人又打了個(gè)球該局比賽結(jié)束,則這個(gè)球均由甲得分,或者均由乙得分.因此.且甲獲勝,就是平后,兩人又打了個(gè)球該局比賽結(jié)束,且這個(gè)球的得分情況為:前兩球是甲、乙各得分,后兩球均為甲得分.因此所求概率為.【分析】本題首先可以通過(guò)題意推導(dǎo)出所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”,然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果;本題首先可以通過(guò)題意推導(dǎo)出所包含的事件為“前兩球甲乙各得分,后兩球均為甲得分”,然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果.【解析】由題意可知,所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”,所以.由題意可知,包含的事件為“前兩球甲乙各得分,后兩球均為甲得分”所以.【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的相關(guān)性質(zhì),能否通過(guò)題意得出以及所包含的事件是解決本題的關(guān)鍵,考查推理能力,考查學(xué)生從題目中獲取所需信息的能力,是中檔題.【題目欄目】概率\相互獨(dú)立事件\相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率【題目來(lái)源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科·第18題16.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科·第21題)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問(wèn)題,約定,對(duì)于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列;(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分,表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則(),其中,,.假設(shè),.(i)證明:為等比數(shù)列;(ii)求,并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.【答案】(1)解:X的所有可能取值為,.所以的分布列為X01P(2)(i)由(1)得.因此,故,即.又因?yàn)?,所以為公比?,首項(xiàng)為的等比數(shù)列.(ii)由(i)可得.由于,故,所以.表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率,由計(jì)算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時(shí),認(rèn)為甲藥更有效的概率為,此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小,說(shuō)明這種試驗(yàn)方案合理.【題目欄目】概率\離散型隨機(jī)變量的均值、方差【題目來(lái)源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科·第21題17.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第18題)(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率,開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng),提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種生產(chǎn)方式,為比較兩咱生產(chǎn)方式的效率,選取名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位:)繪制了如下莖葉圖:第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式86556899762701223456689877654332814452110090(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說(shuō)明理由;(2)求名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù),并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)和不超過(guò)的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:超過(guò)不超過(guò)第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)的列聯(lián)表,能否有的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?附:【答案】【官方解析】(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下:(i)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高..(ii)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(iii)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(iv)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱(chēng)分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱(chēng)分布,又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同,故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.以上給出了4種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.(2)由莖葉圖知.列聯(lián)表如下:超過(guò)不超過(guò)第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)由于所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.【民間解析】(1)法一:第二種生產(chǎn)方式效率更高,因?yàn)榈诙N多數(shù)數(shù)據(jù)集中在之間,第一種多數(shù)數(shù)據(jù)集中在之間,易知第一種完成任務(wù)的平均時(shí)間大于第二種,故第二種生產(chǎn)方式的效率更高。法二:第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時(shí)間為第二種生產(chǎn)完成任務(wù)的平均時(shí)間為第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時(shí)間第二種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時(shí)間所以第二種生產(chǎn)方式效率更高(2)中位數(shù)為超過(guò)不超過(guò)第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)由(2)可計(jì)算得所以有的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.點(diǎn)評(píng):本題主要考查了莖葉圖和獨(dú)立性檢驗(yàn),考察學(xué)生的計(jì)算能力和分析問(wèn)題的能力,貼近生活.【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)\獨(dú)立性檢驗(yàn)【題目來(lái)源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第18題18.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理)·第18題)(12分)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位:億元)的折線圖.為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量的值依次為)建立模型①:;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量的值依次為)建立模型②:.(1)分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值;(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠?并說(shuō)明理由.【答案】解析:(1)利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為(億元).利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為(億元).(2)利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.理由如下:(i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線上下,這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,的變化趨勢(shì).2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近,這說(shuō)明從2010年開(kāi)始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì),,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì),因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.(ii)從計(jì)算結(jié)果看,相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理,說(shuō)明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.以上給出了2種理由,考生答出其中一種或其他合理理由均可得分.【題目欄目】概率\決策建議【題目來(lái)源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理)·第18題19.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第20題)(12分)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶(hù)之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn),設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為,且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn).(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的作為的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶(hù)手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為,求;(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)?【答案】解析:(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為.因此.令,得.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以的最大值點(diǎn)為.(2)由(1)知,.(i)令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知,,即.所以.(ii)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).【題目欄目】概率\決策建議【題目來(lái)源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第20題20.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科·第19題)(12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù),求及的數(shù)學(xué)期望;(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.(ⅰ)試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性;(ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得,,其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸,.用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查?剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到0.01).附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,.【答案】(1),;(2)詳見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)題設(shè)條件知一個(gè)零件尺寸在之內(nèi)的概率為,則零件的尺寸在之外的概率為,而,進(jìn)而可以求出的數(shù)學(xué)期望.(2)(i)判斷監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法的合理性,重點(diǎn)是考慮一天內(nèi)抽取的個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率大還是小,若小即合理;(ii)根據(jù)題設(shè)條件題出的估計(jì)值和的估計(jì)值,剔除之外的數(shù)據(jù),算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù),即為的估計(jì)值,剔除之外的數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方法,即為的估計(jì)值.【解析】(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026故.因此.的數(shù)學(xué)期望為.(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查,可見(jiàn)上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的.(ii)由,得的估計(jì)值為,的估計(jì)值為,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外,因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.剔除之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為因此的估計(jì)值為剔除之外的數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為,因此的估計(jì)值為.【考點(diǎn)】正態(tài)分布,隨機(jī)變量的期望和方差.【點(diǎn)評(píng)】數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量中重要的數(shù)學(xué)概念,反應(yīng)隨機(jī)變量取值的平均水平,求解離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望時(shí),首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì),確定離散型隨機(jī)變量的所有取值,然后根據(jù)概率類(lèi)型選擇公式,計(jì)算每個(gè)變量取每個(gè)值的概率,列出對(duì)應(yīng)的分布列,最后求出數(shù)學(xué)期望.正態(tài)分布是一種重要的分布,之前考過(guò)一次,尤其是正態(tài)分布的原則.【題目欄目】概率\離散型隨機(jī)變量的均值、方差【題目來(lái)源】2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科·第19題21.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第18題)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(Ⅰ)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(Ⅱ)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?【答案】(Ⅰ)分布列略;(Ⅱ)n=300時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,最大值為520元.【解析】(1)依題意可知的所有可能取值為其中,,所以的分布列為(2)①當(dāng)時(shí):,此時(shí),當(dāng)時(shí)取到.②當(dāng)時(shí):若,則,若時(shí),則若時(shí),則的分布列為∴此時(shí),當(dāng)時(shí)取到.③當(dāng)時(shí),若,則若時(shí),則若時(shí),則的分布列為∴(元)④當(dāng)時(shí),易知一定小于③的情況.綜上,當(dāng)為瓶時(shí),的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值.【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的分布列;數(shù)學(xué)期望;【點(diǎn)評(píng)】離散型隨機(jī)變量的分布列指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取各值的概率;要理解兩種特殊的概率分布——兩點(diǎn)分布與超幾何分布;并善于靈活運(yùn)用兩性質(zhì):一是(i=1,2,);二是檢驗(yàn)分布列的正誤.【題目欄目】概率\離散型隨機(jī)變量的均值、方差【題目來(lái)源】2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第18題22.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第18題)(12分)淡水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg)某頻率直方圖如下:(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,記A表示事件:舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg,估計(jì)A的概率;(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01)【答案】(1);(2)有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);(3)?!久}意圖】概率統(tǒng)計(jì),獨(dú)立檢驗(yàn)等知識(shí)的綜合運(yùn)用【基本解法】(Ⅰ)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為0.012×5+0.014×5+0.024×5+0.034×5+0.040×5=0.62,由于兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,于是P(A)=0.62×0.66=0.4092(Ⅱ)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的有100×0.62=62箱,不低于50kg的有38箱,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的有100×0.66=66箱,低于50kg的有34箱,得到2×2列聯(lián)表如下:箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg合計(jì)舊養(yǎng)殖法6238100新養(yǎng)殖法3466100合計(jì)96104200所以,所以有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。(III)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為0.038×5+0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.66>0.50,不低于55kg的頻率為0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.32<0.50,于是新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)介于50kg到55kg之間,設(shè)新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)為x,則有(55-x)×0.068+0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.50解得x=52.3529因此,新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值52.35?!军c(diǎn)評(píng)】利用獨(dú)立性檢驗(yàn),能夠幫助我們對(duì)日常生活中的實(shí)際問(wèn)題作出合理的推斷和預(yù)測(cè).獨(dú)立性檢驗(yàn)考察兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系,并能較為準(zhǔn)確地給出這種判斷的可信度,隨機(jī)變量的觀測(cè)值越大,說(shuō)明兩個(gè)變量有關(guān)系的可能性越大.利用頻率直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí),應(yīng)注意三點(diǎn):(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)即是眾數(shù);(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的;(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.【知識(shí)拓展】首先,先表示事件,再寫(xiě)出其發(fā)生的概率,將未知事件用已知事件表示,依據(jù)事件間的關(guān)系,求出未知事件的概率.統(tǒng)計(jì)的基本原理是用樣本估計(jì)總體.獨(dú)立性檢驗(yàn),先填2*2列聯(lián)表,再計(jì)算,與參考值比較,作出結(jié)論;中位數(shù)的計(jì)算要根據(jù)中位數(shù)以左其頻率和為50%.求面積和計(jì)算頻率.【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)\獨(dú)立性檢驗(yàn)【題目來(lái)源】2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第18題23.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第18題)下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位:億噸)的折線圖.(Ⅰ)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;(Ⅱ)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量.參考數(shù)據(jù):,,,.參考公式:相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為:,.【答案】(Ⅰ)理由見(jiàn)解析;(Ⅱ)1.82億噸.【解析】(Ⅰ)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得,,,,.因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說(shuō)明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.(Ⅱ)由及(Ⅰ)得,.所以,關(guān)于的回歸方程為:.將2016年對(duì)應(yīng)的代入回歸方程得:.所以預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約1.82億噸.【題目欄目】統(tǒng)計(jì)\相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)\線性回歸方程【題目來(lái)源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第18題24.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第18題)(本題滿(mǎn)分12分)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱(chēng)為續(xù)保人,續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234保費(fèi)設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下:一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)01234概率0.300.150.200.200.100.05(=1\*ROMANI)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;(=2\*ROMANII)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出的概率;(=3\*ROMANIII)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.【答案】(1);(2);(3)【解析】(=1\*ROMANI)設(shè)表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于,故.(=2\*ROMANII)設(shè)表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出”,則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于,故,又因此所求概率為.(=3\*ROMANIII)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為,則的分布列為因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為:.【題目欄目】概率\離散型隨機(jī)變量的均值、方差【題目來(lái)源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第18題25.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第19題)(本小題滿(mǎn)分12分)某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買(mǎi),則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).(I)求的分布列;(=2\*ROMANII)若要求,確定的最小值;(=3\*ROMANIII)以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?【答案】(I)16171819202122(=2\*ROMANII)19(=3\*ROMANIII)【官方解答】(I)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而,,,,所以的分布列為16171819202122(=2\*ROMANII) 由(I)得,,故的最小值為19(=3\*ROMANIII)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.要令,,則的最小值為19可知當(dāng)時(shí)所需要的費(fèi)用的期望小于當(dāng)時(shí)所需要的費(fèi)用的期望∴故應(yīng)選.【民間解答】=1\*GB2⑴ 每臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11記事件為第一臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉個(gè)零件記事件為第二臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉個(gè)零件由題知,設(shè)2臺(tái)機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為則的可能的取值為16,17,18,19,20,21,2216171819202122=2\*GB2⑵要令,,則的最小值為19.=3\*GB2⑶購(gòu)買(mǎi)零件所需費(fèi)用含兩部分

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