【人教數(shù)學(xué)A版選修】《曲線與方程》“十市聯(lián)賽”一等獎

2.1.1曲線與方程主要內(nèi)容：曲線和方程的概念、意義及曲線和方程的兩個基本問題重點和難點：曲線和方程的概念曲線和方程之間有什么對應(yīng)關(guān)系呢？

？（1）、求第一、三象限里兩軸間夾角平分線的坐標(biāo)滿足的關(guān)系點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等x=y（或x-y=0）第一、三象限角平分線得出關(guān)系：x-y=0xy0（1）上點的坐標(biāo)都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解為坐標(biāo)的點都在上曲線條件方程分析特例歸納定義（2）、方程是關(guān)于y軸對稱的拋物線如圖·0xyM滿足關(guān)系：（1）、如果是拋物線上的點，那么一定是這個方程的解（2）、如果是方程的解，那么以它為坐標(biāo)的點一定在拋物線上分析特例歸納定義圖像上的點M與此方程y=ax2有什么關(guān)系？（3）、說明過A（2，0）平行于y軸的直線與方程︱x︱=2的關(guān)系①、直線上的點的坐標(biāo)都滿足方程︱x︱=2②、滿足方程︱x︱=2的點不一定在直線上結(jié)論：過A（2，0）平行于y軸的直線的方程不是︱x︱=20xy2A分析特例歸納定義給定曲線C與二元方程f（x，y）=0，若滿足（1）曲線上的點坐標(biāo)都是這個方程的解（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點那么這個方程f（x，y）=0叫做這條曲線C的方程這條曲線C叫做這個方程的曲線定義f(x,y)=00xy分析特例歸納定義C曲線的方程，方程的曲線2、兩者間的關(guān)系：點在曲線上點的坐標(biāo)適合于此曲線的方程即：曲線上所有點的集合與此曲線的方程的解集能夠一一對應(yīng)3、如果曲線C的方程是f(x，y）=0，那么點在曲線C上的充要條件是例1.判斷下列結(jié)論的正誤并說明理由（1）過點A（3，0）且垂直于x軸的直線為x=3

（2）到x軸距離為2的點的軌跡方程為y=2

（3）到兩坐標(biāo)軸距離乘積等于1的點的軌跡方程為xy=1對錯錯例2證明：圓心為坐標(biāo)原點，半徑為5的圓的方程是并判斷是否在圓上變式訓(xùn)練：寫出下列半圓的方程0xy55··學(xué)習(xí)例題鞏固定義yyy-5y5555555-5-5-5-500xxxx(1)舉出一個方程與曲線，使它們之間的關(guān)系符合①而不符合②.(2)舉出一個方程與曲線，使它們之間的關(guān)系符合②而不符合①.(3)舉出一個方程與曲線，使它們之間的關(guān)系既符合①又符合②。變式思維訓(xùn)練，深化理解下列各題中，圖3表示的曲線方程是所列出的方程嗎？如果不是，不符合定義中的關(guān)系①還是關(guān)系②？

(1)曲線C為過點A(1，1)，B(-1，1)的折線，方程為(x-y)(x+y)=0;

(2)曲線C是頂點在原點的拋物線，方程為x+=0;

(3)曲線C是Ⅰ,Ⅱ象限內(nèi)到X軸，Y軸的距離乘積為1的點集，方程為y=。10xy-110xy-11-2210xy-11-221圖3例2

證明以坐標(biāo)原點為圓心，半徑等于5的圓的方程是x2+y2=25,并判斷點M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在這個圓上.證明：(1)設(shè)M(x0,y0)是圓上任意一點.因為點M到坐標(biāo)原點的距離等于5，所以也就是xo2+yo2=25.

即(x0,y0)是方程x2+y2=25的解.(2)設(shè)(x0,y0)是方程x2+y2=25的解，那么

x02+y02=25兩邊開方取算術(shù)根，得即點M(x0,y0)到坐標(biāo)原點的距離等于5，點M(x0,y0)是這個圓上的一點.

由1、2可知，x2+y2=25,是以坐標(biāo)原點為圓心，半徑等于5的圓的方程.M1在圓上，M2不在圓上

第一步，設(shè)M(x0,y0)是曲線C上任一點，證明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；歸納:

證明已知曲線的方程的方法和步驟

第二步，設(shè)(x0,y0)是f(x,y)=0的解，證明點M(x0,y0)在曲線C上.在軌跡的基礎(chǔ)上將軌跡和條件化為曲線和方程，當(dāng)說某方程是曲線的方程或某曲線是方程的曲線時就意味著具備上述兩個條件，只有具備上述兩個方面的要求，才能將曲線的研究化為方程的研究,幾何問題化為代數(shù)問題，以數(shù)助形正是解析幾何的思想，本節(jié)課正是這一思想的基礎(chǔ)。小結(jié)：-1-曲線與方程——2.1.2求曲線的方程例3、設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別是（-1，-1），（3，7），求線段AB的垂直平分線的方程。求曲線方程的步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對（x,y）表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)；（2）寫出滿足條件p的點M的集合P={M|p(M)};（3）用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x,y)=0；（4）化簡方程f(x,y)=0；（5）說明化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上。-1-例４、已知一條直線l和它上方的一個點Ｆ，點Ｆ到l的距離是２。一條曲線也在l的上方，它上面的每一點到F的