彈性力學 第五章_第1頁
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彈性力學第五章第一頁，共十一頁，編輯于2023年，星期六彈性力學變分法，又稱為能量法。因其中的泛函就是彈性體的功和能量。泛函─是以函數(shù)為自變量的一種函數(shù)。變分法，是研究泛函及其極值的求解方法。例如：彈性力學問題中，一般函數(shù)以坐標作為自變量，而彈性體的應變能是以應力應變?yōu)樽宰兞康暮瘮?shù)，屬于泛函?！?－4彈性體的形變勢能和外力勢能一.變分法的概念第二頁，共十一頁，編輯于2023年，星期六外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當取時的外力勢能為零，則：1.彈性體上的外力功和外力勢能（平面問題）外力為恒力時所做的功：二.常用泛函的計算第三頁，共十一頁，編輯于2023年，星期六2.應力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）單位體積上，應力所做的功單元體注意系數(shù)不同第四頁，共十一頁，編輯于2023年，星期六對于平面應力問題或平面應變問題，單位體積上應力所做的功都是假設沒有轉(zhuǎn)化為非機械能和動能，則應力所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的內(nèi)力勢能，又稱為形變勢能，或應變能，存貯于物體內(nèi)部。單位體積的形變勢能稱形變勢能密度。注：有勢力（外力）做功后，勢能減小，內(nèi)力做功后，形變勢能（內(nèi)力勢能）增加。第五頁，共十一頁，編輯于2023年，星期六整個彈性體的形變勢能是將物理方程代入，平面應力問題的形變勢能密度可用形變表示為再將幾何方程代入可用位移表示為第六頁，共十一頁，編輯于2023年，星期六（1）U是應變或位移的二次泛函，故不能應用疊加原理。（2）應變或位移發(fā)生時，U

總是正的，即（3）U的大小與受力次序無關。（4）U1對應變的導數(shù)，等于對應的應力：形變勢能U的性質(zhì)第七頁，共十一頁，編輯于2023年，星期六3.彈性體的總勢能外力勢能和內(nèi)力（形變）勢能之和例題試證明，在同樣的應變分量的情況下，平面應變情況下單位厚度的形變勢能大于平面應力情況下的形變勢能。證：平面應力情況下，第八頁，共十一頁，編輯于2023年，星期六單位厚度的形變勢能是：對于平面應變情況，只需第九頁，共十一頁，編輯于2023年，星期六因此，平面應變的形變勢能U’

大于平面應力的形變勢能U

。第十頁，共十

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