高考圓錐曲線解題技巧總結(jié)

新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)分析及解題技巧匯編第五篇高考解析幾何萬能解題套路解析幾何——把代數(shù)的演繹方法引入幾何學(xué)，用代數(shù)方法來解決幾何問題。與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關(guān)的證明問題等，在圓錐曲線的綜合應(yīng)用中經(jīng)常見到。第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1.概念特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時(shí)，首先要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)F，F(xiàn)的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個(gè)參數(shù)，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時(shí)，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，最大，，在雙曲線中，最大，。2.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以（）為例）：①范圍：；②焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；③對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），四個(gè)頂點(diǎn)，其中長軸長為2，短軸長為2；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；⑤離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。（2）雙曲線（以（）為例）：①范圍：或；②焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；③對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），兩個(gè)頂點(diǎn)，其中實(shí)軸長為2，虛軸長為2，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；⑤離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；⑥兩條漸近線：。（3）拋物線（以為例）：①范圍：；②焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)，其中的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；③對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸，沒有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（0,0）；④準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線；⑤離心率：，拋物線。3．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：判斷的大小。特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交,但只有一個(gè)交點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時(shí),直線與拋物線相交,也只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）過雙曲線＝1外一點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：①P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線。4、焦半徑（圓錐曲線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離）的計(jì)算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。5、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，分別為A、B的縱坐標(biāo)，則，特別地，焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長的計(jì)算，一般不用弦長公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。例過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，旦|AB|=8，求傾斜角．特別提醒：因?yàn)槭侵本€與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、半軸上的焦點(diǎn)，過且斜率為的直線與交與兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足.(I)證明：點(diǎn)在上；(II)設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：四點(diǎn)在同一圓上.【命題意圖】本題考查直線方程、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系、曲線交點(diǎn)坐標(biāo)求法及四點(diǎn)共圓的條件?！窘馕觥?I),的方程為代入并化簡得.

…………2分設(shè),則

由題意得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

滿足方程,故點(diǎn)在橢圓上…6分(II)由和題設(shè)知，的垂直平分線的方程為.

①設(shè)的中點(diǎn)為的垂直平分線的方程為.

②由①、②得的交點(diǎn)為.

…………9分故

又

,所以

由此知四點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上.……………12分【點(diǎn)評(píng)】本題涉及到平面向量，有一定的綜合性和計(jì)算量，相對(duì)來講比較有利的方面，也就是這道題的特點(diǎn)是沒有任何的未知參數(shù)，我們看這道題橢圓完全給出，直線過了橢圓焦點(diǎn)，并且斜率也給出，平時(shí)做題斜率不給出，需要通過一定條件求出來，或者根本求不出來，這道題都給了，這個(gè)跟平時(shí)做的不太一樣，反而同學(xué)不知道怎么下手，完成有難度。這兩問出的非常巧妙，一個(gè)證明點(diǎn)在橢圓上的問題，還有一個(gè)四點(diǎn)共圓，這都是平時(shí)很少涉及到的解析幾何本質(zhì)的內(nèi)容。讓學(xué)生掌握解析幾何的本質(zhì)，其實(shí)就是用代數(shù)方法研究幾何的問題，什么是四點(diǎn)共圓？首先在同一個(gè)圓上，首先找到圓心，四個(gè)點(diǎn)找圓心不好找，最簡單的兩個(gè)點(diǎn)怎么找？這是平時(shí)的知識(shí)，怎么找距離相等的點(diǎn)，一定在中垂線，兩個(gè)中垂線交點(diǎn)必然是圓心，找到圓心再距離四個(gè)點(diǎn)距離相等，這就是簡單的計(jì)算問題，方法確定以后計(jì)算量其實(shí)比往年少。建議：多練多體會(huì)?。?009）（22）（本小題滿分12分）已知橢圓C:的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B已知橢圓C:的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由。（2010文）（20）（本小題滿分12分）設(shè),分別是橢圓E：+=1（）的左、右焦點(diǎn)，過的直線與E相交于A、B兩點(diǎn)，且，，成等差數(shù)列。（Ⅰ）求（Ⅱ）若直線的斜率為1，求b的值。（2012文）（20）（本小題滿分12分）設(shè)拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)。（I）若∠BFD=90°,△ABD的面積為4eq\r(2)，求p的值及圓F的方程；（II）若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值。21．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，文21)(本小題滿分12分)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，求|AB|.（2013課標(biāo)全國2理）（20）(本小題滿分12分)平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓右焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率為。（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）為上的兩點(diǎn)，若四邊形的對(duì)角線，求四邊形的最大值。（2014文、理）20.（本小題滿分12分）設(shè),分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一