（30題）（一次函數(shù)與反比例函數(shù)大題）2022中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)必殺500題（廣東專用）（解析版）

2022中考考點(diǎn)必殺500題

專練12(一次函數(shù)與反比例函數(shù)大題)(30道)

nq

1.(2022-J東茂名?一模)如圖，一次函數(shù)y=Ax+b與反比例函數(shù)>=—的圖象交于力(2,3),

x

⑴求一次函數(shù)的表達(dá)式.

⑵根據(jù)所給條件，請直接寫出不等式kx+b>”的解集.

X

⑶過點(diǎn)B作80ax軸，垂足為C,求EWBC的面積.

【答案】⑴y=x+l

(2)-3<x<0或x>2

⑶0/18C的面積為5

【解析】

【分析】

⑴由一次函數(shù)片履+方與反比例函數(shù))=竺的圖象相交于/(2,3),仇-3,〃)兩點(diǎn)，首先求得

X

反比例函數(shù)的解析式，則可求得8點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解

析式；

⑵根據(jù)圖象，觀察即可求得答案；

⑶因?yàn)橐訠C為底，則8c邊匕的高為3+2=5,所以利用三角形面積的求解方法即可求得答

案.

⑴

解：把4(2,3)代入y=—,得m=6,

x

???反比例解析式為y=-,

X

把B(-3,〃)代入y=得w=-2,即B(-3,-2),

X

J3=2k+b

把/與8代入一次函數(shù)解析式，得

[-2=-3%+〃

..?一次函數(shù)解析式為y=x+l；

⑵

解：由圖象得Ax+6>x的解集為-3<x<0或x>2；

⑶

則以8C為底，則BC邊上的高4E=3+2=5,

'''S&ARC=—x2x5=5.

【點(diǎn)睛】

此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，注意待定系數(shù)法的應(yīng)用和數(shù)形結(jié)合思想是解

題的關(guān)鍵.

2.（2022?廣東佛山?一模）如圖，一次函數(shù)、=工+力的圖象與反比例函數(shù)y=士的圖象交于4

X

8兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)力的坐標(biāo)為（2,1）.

⑴求加及％的值；

⑵連接04OB,求△AOB中48邊上的高;

⑶結(jié)合圖象直接寫出不等式X+〃侖4的解集.

X

【答案】⑴"=T,k=2

⑵。

2

(3)-1<X<0?KX>2.

【解析】

【分析】

(1)把/點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式中進(jìn)行計(jì)算求解；

(2)解出由兩函數(shù)解析式組成的方程組，得到點(diǎn)8的坐標(biāo)和點(diǎn)。的坐標(biāo)，再利用三角形面

積公式求解；

(3)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再結(jié)合圖形解答.

⑴

解：???4(2,1)在函數(shù)y=x+m圖象上,

:.2+m=],

解得m=\.

在反比例函數(shù)圖象匕

2

「.2=2；

⑵

解：???一次函數(shù)解析式為y=x-i,

令y=0得x=l,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,0),

：.oc=\,

y=x-l

解方程組2得

y=-

X

Jx=2Jx=-1

fykG=-2，

???點(diǎn)8的坐標(biāo)為(-1,-2),

113

x

S.AOB=S^AOC+Swoe=-lxl+—X1X2=—；

⑶

解：,

x

同一次函數(shù)的函數(shù)值大于或等于反比例函數(shù)的函數(shù)值，

觀察圖象可得：—lWx<0或X22.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，兩函數(shù)的交點(diǎn)問題和函數(shù)圖象

等知識(shí)，能求出兩函數(shù)的解析式是解答關(guān)鍵.用了數(shù)形結(jié)合的思想.

3.(2022?廣東廣州?一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x與雙曲線y=勺交于4B

X

兩點(diǎn)，其中/的坐標(biāo)為(La),P是以點(diǎn)C(-2,2)為圓心，半徑長為1的圓上一動(dòng)點(diǎn)，

連接/P，。為"P的中點(diǎn).

⑴求雙曲線的解析式：

(2)將直線y=x向上平移(w>0)個(gè)單位長度，若平移后的直線與回C相切，求機(jī)的值

⑶求線段。。長度的最大值.

【答案】⑴y」

X

(2)m=4一&或m=4+&

⑶『

【解析】

【分析】

(1)先求出點(diǎn)/的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)由題意得平移后的直線解析式為y=x+〃?，如圖所示，設(shè)直線y=x+%與圓c的切點(diǎn)

為D,與y軸的交點(diǎn)為〃，連接OC,過點(diǎn)C作CEHx軸于E,先證明。、C、3三點(diǎn)共線，

求出O”的長即為〃?的值，據(jù)此求解即可：

(2)如圖所示，連接P8,PC,BC,證明是陰48的中位線，把求O0的最大值轉(zhuǎn)化成

求P8的最大值，即轉(zhuǎn)化成求圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最大值，由此求解即可.

⑴

解：團(tuán)點(diǎn)/(1,4)在直線JF上，

067=1,

同點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,1),

回把點(diǎn)A坐標(biāo)代入到反比例函數(shù)解析式得1=1,

回2=1,

團(tuán)反比例函數(shù)解析式為尸L

X

(2)

解：由題意得平移后的直線解析式為y=x+m,

如圖所示，設(shè)直線>=》+機(jī)與圓C的切點(diǎn)為。，與y軸的交點(diǎn)為〃，連接0C,過點(diǎn)C作

CEQx軸于E,

13點(diǎn)，的坐標(biāo)為(0,加)

13點(diǎn)C(-2,2),

團(tuán)CE=OE=2,C>C=7(-2)2+22=272

EBCO￡=45°,

E10￡)O/7=45°,

同理可證魴OE=45°,

EEL80c=90°,即OCSAB,

13直線y=工+機(jī)與直線月8平行，

回。。與直線y=x+"垂直，

又回直線卜=兀+機(jī)與圓C相切于點(diǎn)C,

138與直線y=垂直，

回C、。、。三點(diǎn)共線，

團(tuán)圓C的半徑為1，

^OD=OC-CD=2>/2-\,

03?！?gt;//=90°,0￡>0〃=45°,

02￡WO=45。，

0DW=00=25/2-1,

0OH=qDH2+OD?=4-0，

團(tuán),”=4-&

同理當(dāng)切點(diǎn)。在圓O上方時(shí)可以求得,”=4+夜，

綜上所述，若平移后的直線與回C相切，〃z=4-夜或〃?=4+垃；

解：如圖所示，連接P8,PC,BC,

由對稱性可知/、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，即。是48的中點(diǎn)，

回點(diǎn)3的坐標(biāo)為(-1,-1),

回。是ZP的中點(diǎn)，

田O0是助P8的中位線，

0OQ=gp8,

團(tuán)要想。。最大，則P2最大，

^PB<PC+BC,

回當(dāng)尸、B、C三點(diǎn)共線，且P在C點(diǎn)上方時(shí)，尸8有最大值，即尸8=PC+8C=1+8C,

團(tuán)點(diǎn)C(-2,2),點(diǎn)B(-1,-1),

?BC=^(-1+2)2+(-1-2)2=710，

回「%大=質(zhì)+1，

回OQ最大=亞里

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓與函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，三角形中位線定理,

熟知相關(guān)知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?廣東肇慶?一模）如圖，已知一次函數(shù)y（〃件0）的圖象與反比例函數(shù)

⑵求一次函數(shù)的解析式；

⑶在直線工8上確定一點(diǎn)尸，使求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】（1）2,1

（2）y=x-l

【解析】

【分析】

（1）利用待定系數(shù)法即可求得上，然后把A（2,a）代入反比例函數(shù)解析式即可求得“；

（2）利用待定系數(shù)法即可求得；

（3）設(shè)P（x,x-1）,利用勾股定理得到x2+（x-=（x-2>+（x-1-T然后解方程求出x即

可得到尸點(diǎn)坐標(biāo).

⑴

???反比例函數(shù)7=勺b0）的圖象過鞏—-2）點(diǎn).

k=-1x（-2）=2,

2

???反比例函數(shù)為y=-，

X

把A（2,o）代入y=:得，=|=

⑵

把A（2,l）,3（-1,-2）代入丁=如+〃得

2m+〃=1

-m+n=-2

，一次函數(shù)為y=x-i；

⑶

設(shè)P（x,x-1）,

,/PO=PA,

/.X~+（X-1）~=（X—2）~4-（X—1—1）~

7

解得x=5，

o

.?.P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，I）.

【點(diǎn)睛】

本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求解析式，反比例函數(shù)圖象上

點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理的應(yīng)用，熟知待定系數(shù)法是本題的關(guān)鍵.

5.（2022?廣東?模擬預(yù)測）如圖，一次函數(shù)丫=履+2的圖象與反比例函數(shù)），='的圖象交于

X

CD1

p、Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)尸作軸，一次函數(shù)圖象分別交工軸、y軸于c、。兩點(diǎn)，程嗎,

且^AADP=6.

（1）求點(diǎn)。坐標(biāo)；

⑵求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑶根據(jù)圖象直接寫出一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時(shí)，自變量工的取值范圍.

【答案】⑴。（0,2）；

12

⑵反比例函數(shù)y=---，一次函數(shù)）=-21+2；

x

⑶當(dāng)x>3或?2VxV0時(shí)、一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值.

【解析】

【分析】

(1)對于一次函數(shù)令x=0,求出y的值，即可確定出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2根據(jù)Z/WO,得出黑=柒=:，可求/P=2O0=4,然后SMOP=<APOA=〈X4OA=6,

求出點(diǎn)尸(3,-4)即可；

y=-2x+2

(3)先聯(lián)立12，求出交點(diǎn)。與尸的坐標(biāo)，利用函數(shù)圖像的交點(diǎn)求不等式的解集

y=—

X

即可.

⑴

解：臥次函數(shù)丫=依+2的圖象與y軸的交點(diǎn)為。，

回當(dāng)x=0時(shí)，y=2,

0D(0,2)；

⑵

解：EL4/WO,

ODCD1

0-----==一，

APCP2

團(tuán)8=2,

!?MP=2OD=4,

054AM.=g4P,OA=3x4OA=6,

回。4=3,

Q點(diǎn)P(3,-4),

團(tuán)點(diǎn)尸在反比例函數(shù)y='的圖象上,

X

=3x(-4)=-12,

12

團(tuán)反比例函數(shù)解析式為：)，=—-,

x

團(tuán)。在一次函數(shù)y=丘+2上，

團(tuán)-4=3左+2,

瞅=-2,

團(tuán)一次函數(shù)丁=-2犬+2；

(3)

y=-2x+2

解：聯(lián)立得：12，

y=—

X

x=3x=-2

解得y=~4或

y=6

團(tuán)。（-2,6）,P（3,-4）,

cc—12

團(tuán)—2x+2V---,

x

根據(jù)函數(shù)圖像一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像下方，即在交點(diǎn)。與y軸之間，及交點(diǎn)P的

右側(cè)，

回當(dāng)x>3或-2<x<0時(shí)，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值.

【點(diǎn)睛】

本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)，聯(lián)立方程組求交點(diǎn)，利用圖像交點(diǎn)求不等式

解集，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)，聯(lián)立方程組求交點(diǎn)，利用圖像交點(diǎn)求不等

式解集是解題關(guān)鍵.

6.（2022?廣東?模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，△48。的邊48垂直

于x軸，垂足為點(diǎn)8,反比例函數(shù)（x>0）的圖象經(jīng)過NO的中點(diǎn)C,交月8于點(diǎn)。，

x

且AD—3.

⑴若點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,?）.

①求反比例函數(shù)夕=月的表達(dá)式；

X

②求經(jīng)過C,。兩點(diǎn)的直線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；

⑵在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)E是x軸上的點(diǎn)，使△CDE為以8為直角邊的直角三角形，求

E點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】⑴①反比例函數(shù)的解析式為y=±；②經(jīng)過C,。兩點(diǎn)的直線所對應(yīng)的函數(shù)解析

X

式為y=-；x+3

7

⑵￡點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0）或（5，0）

【解析】

【分析】

（1）①根據(jù)線段中點(diǎn)的概念求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，解方程組求出k,得出反比例函數(shù)的解析式;

②利用待定系數(shù)法求出經(jīng)過C,。兩點(diǎn)的直線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)勾股定理表示出8、CE、DE,分團(tuán)CED=90。、團(tuán)8￡=90。兩種情況，根據(jù)勾股定

理解答即可.

⑴

解：①團(tuán)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,〃），49=3,

回點(diǎn)力的坐標(biāo)為（4,〃+3）,

團(tuán)點(diǎn)C是ZO的中點(diǎn)，

〃+3

回點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,答）,

把點(diǎn)。的坐標(biāo)代入W，

=k

得八〃+3,

2x-^-=k

77=1

解得:

k=4

4

則反比例函數(shù)的解析式為：y=土;

X

②設(shè)經(jīng)過C,。兩點(diǎn)的直線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為：y^ax+b,

由①可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,2）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,1）,

2a+b=2

則

4a+h=\

解得：\~2,

b=3

回經(jīng)過C,。兩點(diǎn)的直線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=-；x+3；

(2)

解：設(shè)點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(x,0),

由勾股定理得：CD?=(4-2)2+(1-2)』5,CE2=(x-2)2+(0-2)2=jr-4x+8,

DE2=(x-4)2+(0-1)2=JT-8A+17,

當(dāng)laCEOngO。時(shí)，Ciy+CE2=DE2,

Hr2-4.r+8+5—x2-8.r+17,

解得：x=l,

此時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,0)；

當(dāng)13a>E=90°時(shí)，CD2+DE2=CE2,

0x2-Sx+17+5=%2-4x+8,

解得：x=：7,

7

此時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（彳，0）,

2

7

綜上所述：團(tuán)C75E為以。為直角邊的直角三角形時(shí)，E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0）或（不，0）.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查的是反比例函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用、勾股定理，掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式

的一般步驟、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?廣東江門?一模）反比例函數(shù)〃=2（幻＞0）和以=與化＞。）在第一象限的圖象

xx

如圖所示，過原點(diǎn)的兩條射線分別交兩個(gè)反比例圖象于4。和8,C

⑴求證：AB^CD-,

（2）若玄=2,SAOAB—2,S的？ABCD=3,求反比例函數(shù)歹2=勺（fe＞0）的解析式.

x

【答案】（1）見解析

⑵%=三

JX

【解析】

【分析】

（1）過力、B分別作y軸、X軸的平行線，兩線相交于點(diǎn)用，過。、c分別作y軸、X軸的

平行線，兩線相交于點(diǎn)N,設(shè)直線OD、OC的解析式,求得交點(diǎn)坐標(biāo)，推出tana48M=tan（3OCM

從而可得即有｛碓CD：

（2）轉(zhuǎn)化&408、13co。的面積為梯形的面積，且可得它們兩個(gè)的面積，利用（1）求得的

四點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)詼108、回CO。面積的比得出關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式即可求得函數(shù)解析式.

（1）

如圖1所示，過/、B分別作y軸、x軸的平行線，兩線相交于點(diǎn)過。、C分別作y軸、

X軸的平行線，兩線相交于點(diǎn)M則DN1CN,

設(shè)直線OD的解析式為直線OB的解析式為y=Mx,

則點(diǎn)。(信’麻)、C

(卷,A/MT>[k2k4)、/(A，),

b『華產(chǎn)’DNW-E

AM=yjk、k\—yfkjc^fBM=

「N=區(qū)_R=小明-

Y丁亞一阿9

m^nZABM=—=JkTftanNDCN=—=JIT,

BM"4CNv34

^ABM=^\DCN,

；.A褪CD.

(2)

如圖，過點(diǎn)4、8分別作x軸的垂線,垂足分別為以F

優(yōu)

啰

。EFX

則由反比例函數(shù)A的兒何意義知，S.AOE=S^BOF=/"2，

0S^AQS=SJOE+S四邊形八日站一S&BOF=S四邊形「,AE=yA,RF=yB,EF=OF-OE=xB-xA,

團(tuán)；(

S“=BF+AE)EF=a(yB+yA)?(xB-xA)=2,

ZN

同理：SACOD=I(yD+yC)?(xC-xD),

,?*S四邊形ABCD=3,

回SaCOD=SJOB+S四邊形ASCC=2+3=5,

回.%+弘==西x,x.

>'/,+Ncy/^+7^7丙，XD-xc

..S,aoB_(1%+3)(/-4)_&_2=

's,co?(yD+yc)(xD-xc)&5''l'

4

解得后=］，

4

故所求的解析式為：y=-.

25x

【點(diǎn)睛】

本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，考查了反比例函數(shù)上的幾何意義，轉(zhuǎn)化三角形的面積

并列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

8.（2022?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，直線以=公+6與雙曲線”=七交于48兩點(diǎn)，與x

X

軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為6,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（-3,-2）.

（1）求直線和雙曲線的解析式；

（2）根據(jù)圖象直接寫出"+6-&>0中x的取值范圍.

6

【答案】（1）?=2x+4；”=一.（2）-3<x<0或x>l.

X

【解析】

【分析】

（1）由點(diǎn)3的坐標(biāo)求出仁6,得出雙曲線的解析式為也蕓.求鵬的坐標(biāo)為（L6）,

由點(diǎn)力和8的坐標(biāo)以及待定系數(shù)法即可求出直線的解析式為直線V/=2A+4；

（2）根據(jù)圖象即可求得.

【詳解】

解：（1）田點(diǎn)8（-3,-2）在雙曲線二=±上，

X

k

回-2=行，

覦=6,

回雙曲線的解析式為”=9.

X

把y=6代入竺=9得：x=l,

x

而1的坐標(biāo)為（1,6）,

團(tuán)直線y/=or+b經(jīng)過力、8兩點(diǎn)，

fo+b=6心,[a=2

叫z/寸解得：L/

回直線的解析式為直線為二女+4；

（2）由圖象可知，"+b-勺>0中x的取值范圍是-3<x<0或x>L

x

【點(diǎn)睛】

本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

9.（2022?廣東韶關(guān)?模擬預(yù)測）小林在學(xué)習(xí)完一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，對函

數(shù)圖象與性質(zhì)研究饒有興趣，便想著將一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式進(jìn)行組合研究.他選

取特殊的一次函數(shù)），=5小尸0）與反比例函數(shù)y=§（&W0）,相加后，得到一個(gè)新的函數(shù)

>=價(jià)+,（匕,�）.已知，這個(gè)新函數(shù)滿足：當(dāng)x=-五時(shí)，y=-42；當(dāng)x="時(shí)，'=

（1）求出小林研究的這個(gè)組合函數(shù)的解析式；

（2）小林依照列表、描點(diǎn)、連線的方法在給定的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出了該函數(shù)圖象的一

部分，請你在圖中補(bǔ)全小林未畫完的部分，并根據(jù)圖象，寫出該函數(shù)圖象的一條性質(zhì)；

（3）請根據(jù)你所畫的函數(shù)圖象，利用所學(xué)函數(shù)知識(shí)，直接寫出不等式用x+的解集.

【答案】（1））'=；x+g；（2）見解析，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)（0,0）成中心對稱；（3）尤W-2或

0<x<2

【解析】

【分析】

11O

（1）將已知數(shù)據(jù)x=-近時(shí)，y=-應(yīng)；X=：時(shí)，>==代入新函數(shù)關(guān)系式，求解即可；

36

⑵通過已知函數(shù)圖象補(bǔ)全圖象，觀察圖象可得到圖象性質(zhì)；

3113

（3）畫出函數(shù)y=9的圖象，找到函數(shù)尸彳x+一的圖象不低于函數(shù)y=Jx圖象時(shí)對應(yīng)的x

42x4

范圍即可.

【詳解】

解：（1）將（-0,—四），代入y=%1X+—

<36Jx

一丘——忘人+—

-V2

網(wǎng)

-

1

3-

.k、=一

解得z：'2

%2=1

11

[3y=—x+—

?2x

（2）所畫圖象如圖所示

函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)（0,0）成中心對稱

由圖象可知，當(dāng)％--￡—XIl'f,xW—2或0<x42

x4

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)圖象的畫法以及函數(shù)與不等式，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?廣東中山?一模）在如圖平面直角坐標(biāo)系中，矩形O/8C的頂點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,

2）,OA.OC分別落在x軸和y軸上，是矩形的對角線.將回。/8繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

使點(diǎn)8落在y軸上，得到I3ODE,。。與C8相交于點(diǎn)E反比例函數(shù)（x>0）的圖象

x

經(jīng)過點(diǎn)尸，交彳8于點(diǎn)G.

（1）求發(fā)的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（2）連接廠G,則圖中是否存在與1389G相似的三角形？若存在，請把它們一一找出來，并

選其中一種進(jìn)行證明；若不存在，請說明理由；

（3）在線段上存在這樣的點(diǎn)P,使得那尸G是等腰三角形.請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】（1）%=2,點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4,1）：（2）回CO/^BFG；^AOBWBFG；0O￡>￡005FG：

SCBOWBFG,證明詳見解析；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4-而，0）或（或，0）或+曬,

82

0）.

【解析】

【分析】

（1）證明回CO麗108,則工=要，求得：點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,2）,即可求解；

ABOA

A04

（2）^COF^iBFG；^AOBmBFG^aODEWBFG；國CBO函BFG.證團(tuán)048團(tuán)團(tuán)HPG：—=-,

BF3

AB_24

BG=T=3,即可求解.

2

（3）分GF=PF、PF=PG、GF=PG三種情況，分別求解即可.

【詳解】

解：（1）團(tuán)四邊形O48C為矩形，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,2）,

^\OCB=^OAB=^ABC=90°,OC=AB=2fOA=BC=4,

豳OOE是回旋轉(zhuǎn)得到的，即：WDE^OAB,

WCOF=^AOBf^\COF^AOB,

CFOCCF2

團(tuán)---=----,0-----=—,0C/7—1,

ABOA24

團(tuán)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,2）,

0y=—（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)R

'x

團(tuán)2=中，得==2,

團(tuán)點(diǎn)G在48上，

團(tuán)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為4,

對于歹=2，當(dāng)x=4,得y=[,

X2

團(tuán)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4,y）;

（2）^COF^BFG；^AOB^\BFG；WDE^BFG-y^CBO^BFG.

下面對團(tuán)0480魴尸G進(jìn)行證明：

團(tuán)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4,y）,^L4G=y,

團(tuán)8c=04=4,CF=1,力8=2,

田BF=BC?CF=3,

3

BG=AB-AG=—.

2

AB24

AO4

0=—~BGJ3.

BF3

AOAB

團(tuán)---=---

BFBG

配)。18=回廣8G=90°,

西04施MSG.

(3)設(shè)點(diǎn)P("?,0),而點(diǎn)尸(L2)、點(diǎn)G(4,1),

9451

則/G[=9+—=—,PF2=(/n-1)?+4,PG2=(/n-4)2+—,

444

當(dāng)GF=PF時(shí),即孚=(m-1)2+4,解得：m=4叵(舍去負(fù)值)；

42

當(dāng)p/?=PG時(shí)，同理可得:m-^-；

8

當(dāng)GF=PG時(shí)，同理可得：/n=4-y/Ti:

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4-而，0)或(粵，0)或(2土5.0).

82

【點(diǎn)睛】

本題考查的是反比例函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形相似、等腰三角形的性質(zhì)等,

其中(3),要注意分類求解，避免遺漏.

11.(2022?廣東?模擬預(yù)測)如圖,已知A(-4,2)、B(n,-4)是一次函數(shù)丫=履+&的圖象與反

比例函數(shù)了='的圖象的兩個(gè)交點(diǎn).

X

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

(2)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.

y=-x-2-(2)YvxvO或x>2

X

【解析】

【分析】

(1)先把A(-4,2)代入y求出m=-8,從而確定反比例函數(shù)的解析式為y=--；再

XX

Q

把B(n,-4)代入)，=-2求出n=2,確定B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-4),然后利用待定系數(shù)法確定

x

一次函數(shù)的解析式；

(2)觀察圖象得到當(dāng)-4<x<0或x>2時(shí)，一次函數(shù)的圖象都在反比例函數(shù)圖象的下方，即

一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值.

【詳解】

(1)把A(-4,2)代入)=一得m=-4x2=-8,

x

Q

回反比例函數(shù)的解析式為y=

x

o

把B(n,-4)代入yy=——得-4n=-8,解得n=2,

x

明點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-4),

把A(-4,2)、B(2,-4)分別代入丫=1?+13得

J-4Z+Q2

［2k+b=-4"

解方程組得［］一:

—2

回一次函數(shù)的解析式為y=*2；

(2)觀察圖象得到當(dāng)-4<x<0或x>2時(shí)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)

同時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式;求反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)就是把兩個(gè)圖象

的解析式組成方程組，方程組的解就是交點(diǎn)的坐標(biāo).也考查了待定系數(shù)法以及觀察函數(shù)圖象

的能力.

12.(2022?廣東?模擬預(yù)測)如凰矩形OABC的頂點(diǎn)A.C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)D為

BC邊上的點(diǎn)，反比例函數(shù)y=2(H0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(m,2)和AB邊上的點(diǎn)E(3,

X3

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式和m的值;

(2)將矩形OABC的進(jìn)行折疊，使點(diǎn)。于點(diǎn)D重合，折痕分別與x軸、y軸正半軸交于點(diǎn)F,

G,求折痕FG所在直線的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】(1)y=—,m=i(2)y=-；x+—

x24

【解析】

【分析】

(1)由點(diǎn)E的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出k值，再由點(diǎn)B在反比例

函數(shù)圖象上，代入即可求出m值：

(2)設(shè)OG=x,利用勾股定理即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，從而

得出點(diǎn)G的坐標(biāo).再過點(diǎn)F作FH0CB于點(diǎn)H,由此可得出△GCD00DHF,根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)即可求出線段DF的長度，從而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)G、F的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法

即可求出結(jié)論.

【詳解】

⑴團(tuán)反比例函數(shù)y=kx(kxO)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E(3,1),

2

0k=3x-=2,

3

2

團(tuán)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y二一.

x

2

又回點(diǎn)D(m,2)在反比例函數(shù)y二一的圖象上，

x

[?12m=2,解得：m=l.

⑵設(shè)OG=x,則CG=OC-OG=2-x,

團(tuán)點(diǎn)

D(lz2),

0CD=1.

在RSCDG中MDCG=90°,CG=2-x,CD=1,DG=OG=x,

0CD2+CG2=DG2JPl+(2-x)2=x2,

解得：X="

4

回點(diǎn)G(0,1).

過點(diǎn)F作FHSCB于點(diǎn)H,如圖所示.

由折疊的特性可知：團(tuán)GDF二團(tuán)GOF二90。，OG=DG,OF=DF.

o

00CGD+0CDG=9O/aCDG+0HDF=9O°,

麗CGD二團(tuán)HDF,

MDCG=0FHD=9O°,

00GCD00DHF,

DFHF「

團(tuán)----=----=2

GDCD

5

@DF=2GD=-,

2

回點(diǎn)F的坐標(biāo)為(g,0).

設(shè)折痕FG所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax+b,

團(tuán)有，；，解得：，

0=-a+Z?b=-

24

回折痕FG所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=-；x+1.

24

【點(diǎn)睛】

此題考查矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象與幾何變換，解題關(guān)

鍵在于作輔助線

13.(2022?廣東?模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，一次函數(shù)夕=丘+6(七0)的

n

圖象與反比例函數(shù)y=-(〃30)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的4、8兩點(diǎn)與x軸交于點(diǎn)C,

x

3

點(diǎn)8坐標(biāo)為(m,-1),軸，且40=3,tanEL4OZ>=—

(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)連接08,求SMOC-SA8OC的值；

(3)點(diǎn)E是x軸上一點(diǎn)，且A/OE是等腰三角形請直接寫出滿足條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)(寫出

個(gè)數(shù)即可，不必求出E點(diǎn)坐標(biāo)).

【答案】⑴尸-g，尸-；x+2；⑵&ZOC-S在0c=4；(3)滿足條件的點(diǎn)尸有四個(gè).

X2

【解析】

【分析】

(1)先根據(jù)銳角三角函數(shù)求出求出點(diǎn)/坐標(biāo)，進(jìn)而求出反比例函數(shù)解析式，再求出

點(diǎn)8坐標(biāo)，最后將點(diǎn)48坐標(biāo)代入直線解析式中，即可得出結(jié)論；

(2)先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)而用三角形的面積公式求解即可得出結(jié)論；

(3)分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)，建立方程求解即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)EL4￡0x軸，

0EW￡>O=9O°,

3AD

在Rt/vl。。中，AD=3,tan^AOD=-=---,

20D

回。。=2,

酎（-2,3）,

回點(diǎn)/在反比例函數(shù)y=巴的圖象上，

X

回〃=-2x3=-6,

團(tuán)及比例函數(shù)的解析式為y=---

X

倒點(diǎn)8(加，-1)在反比例函數(shù)y=-9的圖象上，

X

團(tuán)-m=-6,

團(tuán)〃7=6,

魴(6,-1),

「一2%+8=3

將點(diǎn)4(-2,3),8(6,-1)代入直線y=fcc+b中，得仁心1

[6k+b=-l

k=--

回〈2,

b=2

團(tuán)一次函數(shù)的解析式為》=-gx+2；

(2)由(1)知，4(-2,3),直線4S的解析式為歹=-gx+2,

令歹二0,

0-x+2=0,

以=4,

0C(4,0),

^S/^AOC-SLBOC=yOC^\yA\-\yB\=yx4(3-1)=4；

(3)設(shè)E(加，0),由(1)知，4(-2,3),

22222

^OA=139OE=mtAE=(m+2)+9,

隨JOE是等腰三角形，

團(tuán)①當(dāng)04=0七時(shí)，

團(tuán)13=/，

0/??=±>/13，

0^(-V13,0)或(加，0),

②當(dāng)時(shí)，13=(m+2)2+9,

=0(舍)或m=4,

(4,0),

③當(dāng)時(shí)，陽2=(〃什2)2+9,

13

回〃?=---,

4

13

(——，0),

4

即：滿足條件的點(diǎn)尸有四個(gè).

【點(diǎn)睛】

反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)，三角形面積的求法，等腰三角

形的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

14.(2022?廣東?一模)如圖，過原點(diǎn)。的直線與雙曲線y=9交于上A(m,n)、B,過點(diǎn)A

X

的直線交X軸正半軸于點(diǎn)D,交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)E,交雙曲線y=9于點(diǎn)P.

X

(1)當(dāng)m=2時(shí)，求n的值；

(2)當(dāng)OD：OE=1：2,且m=3時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若AD=DE,連接BE,BP,求回PBE的面積.

【答案】(1)3；(2)P(-2,-3)；(3)3.

【解析】

【分析】

(1)把A(2,n)代入解析式即可求出n：(2)先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)。￡>=小則0E=2a,

得D(a,0),E(0,-2a),直線DE的解析式為y=2x-2a,把點(diǎn)A(3,2)代入求出a,

再聯(lián)立兩函數(shù)即可求出交點(diǎn)P；(3)由力點(diǎn)。在x軸坐標(biāo)軸上，點(diǎn)E在y軸負(fù)半軸

10?7

上，故4(加，〃)，E(0,-/?),D(—m,0),求得直線QE的解析式為歹=—x-n,又

2m

m幾=6,得歹=一工-〃，與y=一聯(lián)立得《n,即為P點(diǎn)坐標(biāo)，由直線48的解析

3x今

y=-2〃

n11

式為P=-x與雙曲線聯(lián)立解得5(-加，-〃)，再根據(jù)54尸"=不8a|比-yP|=jxmx|

m22

-〃-(-2〃)|求出等于3.

【詳解】

解：(1)回點(diǎn)/(加，?)在雙曲線y=9上，

X

團(tuán)"=6,

回〃?=2,

回〃=3；

(2)由(1)知，777/7=6,

麗=3

0/7=2,

0J(3,2),

0OZ)：OE=1：2,

設(shè)OD=a,貝lj0E=2a,

團(tuán)點(diǎn)。在x軸坐標(biāo)軸匕點(diǎn)E在y軸負(fù)半軸上,

國。(a,0),E(0,-2a),

團(tuán)直線DE的解析式為y=2x-2a,

團(tuán)點(diǎn)4(3,2)在直線y=2x-2a上，

06-2a=2,

回4=2,

回直線DE的解析式為y=2x-4①，

回雙曲線的解析式為y=9②，

X

展=3{x=—

聯(lián)立①②解得，];(點(diǎn)4的橫縱坐標(biāo)，所以舍去)或二

附(-2,-3)；

(3)SAD=DE,點(diǎn)。在x軸坐標(biāo)軸上，點(diǎn)￡在y軸負(fù)半軸上，Am,zz),

0￡1(0,-〃)，D(y/H,0),

團(tuán)直線DE的解析式為y=—x-〃，

*m

勖〃〃=6,

6

回優(yōu)=—,

n

2

即-〃③，

團(tuán)雙曲線的解析式為p=g④，

X

聯(lián)立③④解得，

[6[3.

x——=mx=—=—2m

0Sn(點(diǎn)/的橫縱坐標(biāo)，所以舍去)或-n,

[y=ny=-2n

0P(-2TM,-2n),

0JGn,〃)，

回直線的解析式為y=Ux⑤.

m

LXLX\x=m

聯(lián)立④⑤解得，\y=n(點(diǎn)z的橫縱坐標(biāo)，所以舍去)或

回8（-加，-〃）,

0E（0,-〃），

回5￡1私軸，

?SAPBE=；BEx\yE-yP\=yx/%x|-〃-（-2〃）|=tnn=3.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知反比例函數(shù)的性質(zhì).

15.（2022?廣東清遠(yuǎn)?模擬預(yù)測）如圖，一次函數(shù)刈=自尤+6的圖象與反比例函數(shù)的圖象

x

相交于4B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（機(jī)，-4）,連接ZO,

（3）請直接寫出當(dāng)x<，〃時(shí)，”的取值范圍.

127

【答案】（1）"=—:（2）S^AOB=~；（3）當(dāng)x<3時(shí)，">0或”<-4.

x2

【解析】

【分析】

（1）過點(diǎn)A作AE回x軸于點(diǎn)E,在RtAAEO中，通過解直角三角形可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由反

比例函數(shù)圖象匕電的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)的解析式；

（2）由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待

定系數(shù)法可求出直線AB的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo),

利用三角形的面積公式即可求出4AOB的面積；

（3）觀察函數(shù)圖象可得出：x<o以及o<x<3時(shí)，為的取值范圍，合在一起即可得出結(jié)

論.

【詳解】

解：（1）過點(diǎn)/作軸于點(diǎn)￡,如圖所示.

3

^AE^AO^\v^AOC^^3,

SOE=ylAO2-AE2=4,

回點(diǎn)4的坐標(biāo)為(W,3).

團(tuán)點(diǎn)/在反比例函數(shù)m=殳的圖象上，

X

0A：2=-4X3=-12,

12

倒反比例函數(shù)的解析式為》2=——?

X

12

(2)G3點(diǎn)8(m,-4)反比例函數(shù)/二--的圖象上,

x

12

0-4=--,解得：w=3,

m

團(tuán)點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,-4).

將/(-4,3)、B(3,-4)代入y/4/x+b中,

-4勺+%3(A[=-1

3kh=-4,解得：竹=-1,

{i+

回直線力8的解析式為y=-x-l.

當(dāng)產(chǎn)-x-l=O時(shí)，x=-l,

回點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,0),

I17

SiS^AOB=—OC*(yA-yB)=yxlx[3-(-4)]=—.

(3)觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)*<0時(shí)?，”>0；當(dāng)0<x<3時(shí)，”<-4.

回當(dāng)xV3時(shí)，y2>0或y2V-4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、反