正確處理數(shù)學(xué)概念解析與解題訓(xùn)練的關(guān)系

正確處理數(shù)學(xué)概念解析

與解題訓(xùn)練的關(guān)系湖南師大附中李昌平Ⅰ.從2016年全國(guó)Ⅰ卷概率統(tǒng)計(jì)題談起（2016年全國(guó)Ⅰ卷(理)第19題）某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).（I）求X的分布列；（II）若要求，確定n的最小值；（III）以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？Ⅰ.從2016年全國(guó)Ⅰ卷概率統(tǒng)計(jì)題談起近三年我省概率統(tǒng)計(jì)題得分對(duì)照表與往年相比，今年我省考生的平均分卻大幅度下降，原因何在？（1）本題突出了對(duì)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)基本概念的理解與運(yùn)用，如概率計(jì)算、隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)期望及其意義；（2）本題突出了對(duì)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的過程與方法的考查；（3）本題滲透了概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)科的基本思想，即：對(duì)在實(shí)際生活和工作中提出的這類問題，先通過抽取樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，如事件的頻率等，再利用頻率估計(jì)概率的思想，進(jìn)行有關(guān)計(jì)算（如分布列、數(shù)學(xué)期望等），并根據(jù)計(jì)算結(jié)果解釋說明實(shí)際問題的解決方法.Ⅰ.從2016年全國(guó)Ⅰ卷概率統(tǒng)計(jì)題談起Ⅰ.從2016年全國(guó)Ⅰ卷概率統(tǒng)計(jì)題談起

這是一種對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)了以能力立意的命題指導(dǎo)思想.它當(dāng)然不是用題海戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練出來的學(xué)生所能解決的，也是忽視基本概念理解、忽視基本思想和方法理解運(yùn)用帶來的必然結(jié)果，（例如，這樣訓(xùn)練出來的學(xué)生只知道套用公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望，而不知道數(shù)學(xué)期望的意義及運(yùn)用），因而今年該題的得分大幅度下滑就不奇怪了.Ⅱ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的現(xiàn)狀和問題◆

基本方式：基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)+解題訓(xùn)練◆主要問題：

●

對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)，往往只是通過列表展示或通過填空的方式將基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行記憶、背誦，間或提出幾項(xiàng)注意，而高考數(shù)學(xué)考查的著眼點(diǎn)是對(duì)概念、定理、性質(zhì)和公式的理解和掌握，不是能夠記憶和再認(rèn)；

●對(duì)于解題方法，往往只是就題論題，列舉步驟，學(xué)生只是“照葫蘆畫瓢”解題，然后進(jìn)行大題量訓(xùn)練，直至“熟練”，而高考數(shù)學(xué)考查的著眼點(diǎn)是數(shù)學(xué)思維能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的能力；

●對(duì)于基本數(shù)學(xué)思想，往往也是就題論題，不能深入解析基本數(shù)學(xué)思想解決問題的思維過程和運(yùn)用過程，不能或沒有讓學(xué)生從學(xué)科體系上去整體把握思想和方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。而高考數(shù)學(xué)考查的著眼點(diǎn)是以能力立意命題，突出數(shù)學(xué)思維能力的考查，“多考點(diǎn)想的，少考點(diǎn)算的”.◆

解題訓(xùn)練的目標(biāo)●通過解題，使學(xué)生能更深入地理解數(shù)學(xué)概念、定理、公式和性質(zhì)等的本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系，形成知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)；●通過解題，理解數(shù)學(xué)方法的原理，掌握操作過程，形成技能；●通過解題，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，并將其內(nèi)化為自己的思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).而不是通過大題量的反復(fù)訓(xùn)練而形成的機(jī)械式“熟練”.◆解題訓(xùn)練→→形成能力、提升素養(yǎng)理解概念掌握方法領(lǐng)悟思想Ⅲ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)要充分重視概念教學(xué)◆常見現(xiàn)象

學(xué)生可以說出某個(gè)概念，但卻不能運(yùn)用概念解決與其相關(guān)的一些問題，特別是稍微有些深度的問題.◆主要原因

重解題訓(xùn)練、輕概念解析，造成概念與解題、理論與應(yīng)用脫節(jié).●有些教師認(rèn)為概念在高一、高二已學(xué)過，沒有必要花太多時(shí)間；甚至只僅僅要求學(xué)生記憶數(shù)學(xué)概念，而對(duì)于概念的內(nèi)涵與外延沒有進(jìn)行充分的挖掘;●有些教師認(rèn)為高考不會(huì)考概念，復(fù)習(xí)課能多講題就多講題，認(rèn)為“考好數(shù)學(xué)的唯一訣竅就是做題”，所以不必再花時(shí)間在概念復(fù)習(xí)上.★學(xué)生在沒有理解掌握數(shù)學(xué)概念和思想方法的情況下，就盲目進(jìn)行大運(yùn)動(dòng)量解題訓(xùn)練，往往導(dǎo)致學(xué)生雖然花費(fèi)大量時(shí)間學(xué)數(shù)學(xué)，完成了無數(shù)次解題訓(xùn)練，卻仍不得要領(lǐng)，達(dá)不到能力的提高.Ⅲ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)要充分重視概念教學(xué)Ⅲ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)要充分重視概念教學(xué)本題只不過將函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系換了種說法，做了一定的限定，可絕大部分考生未能做出，可見即使像函數(shù)這樣的核心概念也沒有很好地被理解.而高考是非常注重對(duì)這些數(shù)學(xué)核心概念的考查的，因?yàn)楹诵母拍钍亲钅艽碓搶W(xué)科核心基礎(chǔ)的內(nèi)容，包括了重要概念、原理、理論等的基本理解和解釋，是學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)的主干部分.高考考查核心概念，不是考查學(xué)生單純憑借記憶正確回答問題的能力，而是考查學(xué)生較高層次的認(rèn)知過程.事實(shí)上，教師數(shù)學(xué)概念教學(xué)的質(zhì)量，直接影響著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的質(zhì)量。學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、直觀想象能力、數(shù)據(jù)分析能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，無一不是以清晰、準(zhǔn)確的概念為基礎(chǔ)的.這些能力的高低與相應(yīng)概念明確、理解的深度、廣度有著密切的聯(lián)系.如上述概率統(tǒng)計(jì)題，只有充分理解了隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)期望的概念及其意義，才能順利地解決問題.Ⅲ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)要充分重視概念教學(xué)數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！——中國(guó)科學(xué)院院士李邦河Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)◆“串珠成線”，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生從學(xué)科基本思想及體

系上理解把握概念復(fù)習(xí)課中的概念教學(xué)，不僅是對(duì)概念的回顧和記憶，而是對(duì)已學(xué)過的概念進(jìn)行再次學(xué)習(xí)和梳理，特別要注意從學(xué)科基本思想及體系上揭示概念的形成、發(fā)展、概念間的聯(lián)系和應(yīng)用的過程，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并充分挖掘數(shù)學(xué)概念中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，以使學(xué)生能從學(xué)科基本思想及體系上理解把握它們，養(yǎng)成“回到概念中去思考、解決問題”的習(xí)慣，形成運(yùn)用這些知識(shí)的意識(shí)和能力.Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)案例1：在復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第一節(jié)隨機(jī)抽樣時(shí)，為使學(xué)生能從學(xué)科基本思想及體系上理解把握它們，教師可作如下的解說和概括：今天，我們開始復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例.我們知道，統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科，它可以為人們制定決策提供依據(jù).而現(xiàn)代社會(huì)是信息化社會(huì)，人們常常需要收集數(shù)據(jù)，根據(jù)所獲得的數(shù)據(jù)提取有價(jià)值的信息，作出合理的決策.因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)成為現(xiàn)代社會(huì)公民的必備素養(yǎng).當(dāng)然也是高考中的重要考查內(nèi)容.明確學(xué)科的意義和作用Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)統(tǒng)計(jì)的基本數(shù)學(xué)思想是用樣本估計(jì)總體，即通常不是直接去研究總體，而是通過從總體中抽取一個(gè)樣本，根據(jù)樣本的情況去估計(jì)總體的相應(yīng)情況.為了使樣本具有代表性、具有較高的可信度，必須研究如何抽樣，設(shè)計(jì)抽樣方法時(shí)必須使總體中的每個(gè)個(gè)體被抽取的概率都相等.我們學(xué)過的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都滿足這一要求.在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理選擇抽樣方法.（再解析簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣這三種抽樣方法的操作步驟、使用時(shí)機(jī)、要注意的問題以及它們的聯(lián)系與區(qū)別等，精選例題和習(xí)題，在解題訓(xùn)練中進(jìn)一步深化理解和運(yùn)用.）明確學(xué)科基本思想抽樣方法設(shè)計(jì)的基本原則Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)◆

倡導(dǎo)“問題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)法，促進(jìn)對(duì)概念的深入理解●

所謂“問題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)，是指教師在課堂教學(xué)中以一系列問題為載體，通過學(xué)生的獨(dú)立思考、自主探究、合作討論等方式來解決問題，從而達(dá)到學(xué)習(xí)學(xué)科知識(shí)、掌握相關(guān)方法、提高思維能力等的一種教學(xué)方法和策略.●將“問題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)法，運(yùn)用于高三基本概念的復(fù)習(xí)教學(xué)，就是圍繞基本概念，按照一定邏輯結(jié)構(gòu)，精心設(shè)計(jì)“問題串”，引發(fā)學(xué)生積極思考，在問題驅(qū)動(dòng)下完成概念復(fù)習(xí)，促進(jìn)對(duì)概念的深入理解，掌握知識(shí)本質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)將學(xué)生的思維從識(shí)記、模仿等低層次活動(dòng)向分析、綜合等高層次活動(dòng)的飛躍.Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)◆

倡導(dǎo)“問題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)法，促進(jìn)對(duì)概念的深入理解案例2關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性復(fù)習(xí)問題1從以下角度看，你是如何理解“增函數(shù)”這個(gè)概念的?(1)從圖象變化的趨勢(shì)看；

(2)從代數(shù)刻畫的角度看；

(3)從導(dǎo)數(shù)的角度看；

(4)從增量的角度看.意圖：回顧增函數(shù)的直觀描述、嚴(yán)格定義、與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，并給出“當(dāng)x1、x2∈A且x1≠x2時(shí)，都有（或）”這一等價(jià)定義.追問：減函數(shù)呢?Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)◆

倡導(dǎo)“問題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)法，促進(jìn)對(duì)概念的深入理解案例2關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性復(fù)習(xí)問題2如何理解函數(shù)f（x）的增區(qū)間與減區(qū)間?意圖：點(diǎn)明以下幾點(diǎn)：函數(shù)的增區(qū)間與減區(qū)間都應(yīng)是其定義域的子集；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間描述的是函數(shù)圖象在局部的變化趨勢(shì)；在某個(gè)增區(qū)間內(nèi)，當(dāng)x1<x2時(shí)，不等式f（x1）<f（x2）應(yīng)是恒成立的；一個(gè)函數(shù)可有多個(gè)增區(qū)間或減區(qū)間，中間不可隨便用“∪”號(hào)聯(lián)接.Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)◆

倡導(dǎo)“問題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)法，促進(jìn)對(duì)概念的深入理解案例2關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性復(fù)習(xí)問題3如何理解函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)?意圖：點(diǎn)明以下幾點(diǎn)：說明函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)要么是增函數(shù)，要么是減函數(shù)；對(duì)函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意的x1<x2，恒有f（x1）<f（x2）(或f（x1）>f（x2）)；若存在，則

(或)，其中=0只能有有限個(gè)根（或其根不能構(gòu)成區(qū)間）；從圖象上看，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=a(a∈R)至多有一個(gè)交點(diǎn).這里的每個(gè)問題都對(duì)應(yīng)著一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，這些問題的解決能起到“強(qiáng)化概念的多元表征，加深學(xué)生對(duì)有關(guān)概念的理解，警示一些注意點(diǎn)，等等”的作用.通過師生互動(dòng)的方式更有助于學(xué)生理解與以后的應(yīng)用.Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)◆

正確處理數(shù)學(xué)概念解析與解題訓(xùn)練的關(guān)系●全面深刻地理解把握概念能更好的分析問題和解決問題，而分析、解決問題的過程又能促進(jìn)更好地理解掌握概念.●進(jìn)行解題訓(xùn)練時(shí)，不能只盯住或總結(jié)解題步驟，要注意解析包含在問題中的所有概念，通過精心設(shè)計(jì)編排的例題和習(xí)題，挖掘概念的深層次內(nèi)涵，深化對(duì)概念的理解，把握本質(zhì)，建立相關(guān)概念的有機(jī)聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生形成更加全面、完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)它們的靈活運(yùn)用.Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)●

解題訓(xùn)練中，不能忽視任何概念【點(diǎn)評(píng)】這是2014年湖南卷理科第2題，屬容易題、送分題，但結(jié)果難度卻為0.682.表明近三分之一的考生沒有理解隨機(jī)抽樣必須滿足每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等的設(shè)計(jì)思想和原理，忽視了（或沒有）對(duì)這些基本概念進(jìn)行理解學(xué)習(xí)，或只是記憶背誦了這些抽樣方法的操作步驟.因此在解題訓(xùn)練中，這樣的基本題也不要一帶而過，而是要以試題為背景進(jìn)行闡釋，以使學(xué)生清晰、準(zhǔn)確地理解掌握相關(guān)概念，不忽視任何知識(shí)點(diǎn).Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)●解題訓(xùn)練中，要注意“回到定義”Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)這里，利用拋物線的定義，我們方便地找到了與|AF|、|BF|聯(lián)系，從而解決問題.因此在解題訓(xùn)練中，重視運(yùn)用定義解題，善于從定義角度分析和思考應(yīng)成為一種重要的策略意識(shí).●解題訓(xùn)練中，要注意“回到定義”Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)●解題訓(xùn)練中，要注意“回到定義”Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)●解題訓(xùn)練中，要注意“回到定義”近年來，在高考解析幾何題中，通過幾何條件與關(guān)系判斷并寫出圓錐曲線方程以考查圓錐曲線的概念也是?？嫉氖址ㄖ?因此在解題訓(xùn)練中，要注意強(qiáng)化定義在解題中的運(yùn)用，實(shí)際上，在求解任何問題的時(shí)候，都要考慮包含在問題中的所有概念.Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)●通過解題訓(xùn)練，深化概念理解通過本題的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生深刻地理解向量投影的概念及運(yùn)用.因此在解題訓(xùn)練中，要注意通過解題過程的分析處理，指導(dǎo)學(xué)生深化對(duì)概念的理解和把握.Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)●通過解題訓(xùn)練，深化概念理解Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)●通過解題訓(xùn)練，深化概念理解在解題訓(xùn)練中，要注意選編有關(guān)此類核心概念、重要定義的試題進(jìn)行解析，高考對(duì)高中數(shù)學(xué)主體內(nèi)容中的核心概念、重要定義的考查是從不吝嗇的.Ⅳ.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中如何加強(qiáng)概念教學(xué)●通過解題訓(xùn)練，把握相關(guān)概念的有機(jī)聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)靈活轉(zhuǎn)化求解【點(diǎn)評(píng)】

這是一道涉及函數(shù)零點(diǎn)的較難問題，怎么辦？回到定義去！由定義可知：函數(shù)f(x)有零點(diǎn)函數(shù)f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)

方程f(x