新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第5章函數(shù)概念與性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)歸納總結(jié)

第五章函數(shù)概念與性質(zhì)

5.1函數(shù)的概念和圖象...................................................1

第1課時(shí)函數(shù)的概念................................................1

第2課時(shí)函數(shù)的圖象................................................5

5.2函數(shù)的表示方法.....................................................9

5.3函數(shù)的單調(diào)性.......................................................16

第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性.............................................16

第2課時(shí)函數(shù)的最大值、最小值....................................19

5.4函數(shù)的奇偶性.......................................................23

5.1函數(shù)的概念和圖象

第1課時(shí)函數(shù)的概念

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的概念

一般地，給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合A和集如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系了,

函數(shù)

對(duì)于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x,在集合B中都有唯一的實(shí)數(shù)y和它

的定義

對(duì)應(yīng)，那么就稱A-8為從集合A到集合8的一個(gè)函數(shù)

函數(shù)的

從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)通常記為尸Ax),

記法

函數(shù)的在函數(shù)y=/U)，xeA中，所有的*輸入值)組成的集合A叫做函數(shù)

定義域y=/(x)的定義域.

若A是函數(shù)y=?r)的定義域，則對(duì)于A中的每一個(gè)M輸入值),都

函數(shù)的

有一個(gè)y(輸出值)與之對(duì)應(yīng),則將所有輸出值y組成的集合

值域

/U),稱為函數(shù)的值域

思考kJ.有人認(rèn)為‘'y=/(x)”表示的是“y等于/與x的乘積”.這種看法對(duì)

嗎？

［提示］不對(duì).符號(hào)y=/(x)是是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為x是

自變量，它是關(guān)系所施加的對(duì)象，/是對(duì)應(yīng)關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)2同一函數(shù)

(1)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同的兩個(gè)函數(shù).

(2)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域都確定后，函數(shù)才能夠確定.

(3)給定函數(shù)時(shí)要指明函數(shù)的定義域，對(duì)于用表達(dá)式表示的函數(shù)，如果沒有

指明定義域，那么，就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指使得函數(shù)表達(dá)式有意義的輸入值的

集合.

思考2.定義域和值域都相同的函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)嗎？

［提示］不一定是，如函數(shù))，=%,［0,1］,和［0,1］.定義域和值

域都相同，但不是同一■個(gè)函數(shù).

考點(diǎn)

□類型1函數(shù)的概念

【例1】判斷下列對(duì)應(yīng)/是否為從集合A到集合8的函數(shù).

(1)A=N,B=R,對(duì)于任意的xCA,x-^±\［x；

(2)A=R,B=N,對(duì)于任意的xCA,xf|x-2|；

(3)A=R,8={正實(shí)數(shù)},對(duì)任意xGA,x—2；

(4)A={1,2,3},B=R,貝1)=式2)=3,-3)=4；

(5)A=［-1,1］,B={0},對(duì)于任意的xfO.

［思路點(diǎn)撥］求解本題的關(guān)鍵是判斷在對(duì)應(yīng)關(guān)系/的作用下，集合A中的任

意一個(gè)元素在集合B中是否都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng).

［解］(1)對(duì)于A中的元素，如x=9,y的值為y=±V^=±3,即在對(duì)應(yīng)關(guān)系/

之下，B中有兩個(gè)元素±3與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的定義，故不能構(gòu)成函數(shù).

(2)對(duì)于A中的元素》=26，在/作用下，|26一2|建8,故不能構(gòu)成函數(shù).

(3)A中元素x=0在8中沒有對(duì)應(yīng)元素，故不能構(gòu)成函數(shù).

(4)依題意，-1)=貝2)=3,犬3)=4,即A中的每一個(gè)元素在對(duì)應(yīng)關(guān)系/之下,

在B中都有唯一元素與之對(duì)應(yīng)，依函數(shù)的定義，能構(gòu)成函數(shù).

(5)對(duì)于集合A中任意一個(gè)實(shí)數(shù)x,按照對(duì)應(yīng)關(guān)系在集合B中都有唯---個(gè)確

定的數(shù)0與它對(duì)應(yīng)，故是集合A到集合B的函數(shù).

廠.......展現(xiàn)規(guī)律.......................

判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

［提示］(1M、3必須是非空數(shù)集.

(2)A中任何一個(gè)一元素在B中必須有元素與其對(duì)應(yīng).

(3)A中任一元素在B中必有唯一元素與其對(duì)應(yīng).

總結(jié)：函數(shù)中兩變量無，y的對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”或者是“多對(duì)一”而不

能是“一對(duì)多”.

G類型2求函數(shù)的定義域

【例2】求下列函數(shù)的定義域.

0求》尸點(diǎn)學(xué)

(2求*)=寸*+1+已下

［解］(1)要使yu)有意義，則有版一2>0,

???尤，3,

即加)的定義域?yàn)?|,+8).

x+120,

(2)要使/U)有意義，則J—1且尤W2,

.2—xWO

即於)的定義域?yàn)椋?1,2)U(2,+8).

廠.......應(yīng)思領(lǐng)悟............................

求函數(shù)定義域的常用方法

(1)若是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零.

(2)若於)是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零.

(3)若外)是指數(shù)第，則函數(shù)的定義域是使嘉運(yùn)算有意義的實(shí)數(shù)集合.

(4)若大x)是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分定義域的交集.

(5)若外)是實(shí)際問題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問題，使實(shí)際問題有意義.

門類型3求函數(shù)的值域或函數(shù)值

【例3】已知.*x)=/—4x+2.

⑴求心),火a),/a+1)的值;

(2)求火x)的值域；

(3)若g(x)=x+l,求_/(g(3))的值.

［思路點(diǎn)撥］(1)將x=2,a,a+1代入危)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)

再算/g(3)).

［解］(1加2)=22—4X2+2=—2,

.*a)=/—4a+2,

；(a+l)=(a+l)2—4(a+l)+2=a2—2a—l.

(2)**)=/一以+2=(%—2)2—22—2,

?.../(x)的值域?yàn)椋?2,+8).

(3)g(3)=3+l=4,

-W3))=/4)=42-4X4+2=2.

［母題探究］

在例3中，g(x)=x+l,求-g(x)),g(/W).

I解17(g(x))=g(x)2—4g(x)+2=(x+1)2—4(x+1)+2=/—2%—1,

g(*x))=y(x)+1=/—4x+2+1=JT—4A-+3.

「......”成思領(lǐng)悟........................

1.函數(shù)值式a)就是a在對(duì)應(yīng)關(guān)系/下的對(duì)應(yīng)值，因此由函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，

只需將/U)中的x用對(duì)應(yīng)的值(包括值在定義域內(nèi)的代數(shù)式)代入即得.

2.求_Xg3))時(shí)，一般要遵循由里到外逐層計(jì)算的原則.

3.配方法是一種常用的求值域的方法，主要解決“二次函數(shù)型”的函數(shù)求

值域.

II類型4抽象函數(shù)求定義域

【例4】(1)已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椋?,4］,則/U+2)的定義域?yàn)?/p>

(2)已知函數(shù)y=^x+2)的定義域?yàn)榭?4］,則./U)的定義域?yàn)?

(3)已知函數(shù)y=fix+3)的定義域?yàn)椋?,4］,則/(2x)的定義域?yàn)?/p>

嘗試與發(fā)現(xiàn)

1.在y=/U)中，兒r)的定義域指的是什么？x是什么？

［提示］/U)的定義域指的是x的范圍，其中x是函數(shù)的自變量.

2.在函數(shù)y=/U+l)中，自變量是誰？而它的定義域指的是什么？

［提示］y=*x+l)中自變量為x,其定義域指的是x的范圍.

T

(l)f-l,2]⑵[3,6]⑶[2,[(1)由題知對(duì)于人犬+2)有x+2d[l,4],

故?r+2)的定義域?yàn)?/p>

(2)由題知xG[1,4],，x+2G[3,6],.?.九0的定義域是[3,6].

(3)由題知xW[l,4],..“+3￡[4,7],對(duì)于/(2x)有2xW[4,7],2,1,

即式2x)的定義域?yàn)?,1.]

廠......成思領(lǐng)悟.............................

抽象函數(shù)的定義域

(1)已知?x)的定義域，求/(g(x))的定義域：若兀燈的定義域?yàn)槌觯?，則/(g(x))

中a&g(x)Wb,從中解得光的取值范圍即為_Ag(x))的定義域.

(2)已知y(g(x))的定義域，求人》)的定義域：若_/(g(x))的定義域?yàn)閇a,b],即

aWxWb,求得g(x)的取值范圍，g(x)的取值范圍即為危)的定義域.

用較為口語化的語言可以將上述兩類題型的解法合并成兩句話：

①定義域指自變量的取值范圍.(告訴我們已知什么，求什么)

②括號(hào)內(nèi)范圍相同.(告訴我們?nèi)绾螌l件與結(jié)論聯(lián)系起來)

第2課時(shí)函數(shù)的圖象

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的圖象

將自變量的一個(gè)值r作為橫坐標(biāo),相應(yīng)的函數(shù)值/Uo)作為縱坐標(biāo),就得到

坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)(xo,Xxo)).當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域A中的每一個(gè)值時(shí)，

就得到一系列這樣的點(diǎn).所有這些點(diǎn)組成的集合(點(diǎn)集)為{(x,/U))|x￡A),即Mx,

y)H=A>),xGA},所有這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)y=/(x)的圖象.

思考1.函數(shù)的圖象是否可以關(guān)于x軸對(duì)稱？

[提示]不可以，如果關(guān)于X軸對(duì)稱，則在定義域內(nèi)一定存在一個(gè)自變量X0,

有兩個(gè)值和X()相對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的定義.

思考2.函數(shù)y=/(x),x&A的圖象與直線x=/n(垂直于x軸的直線)的交點(diǎn)有

幾個(gè)？

［提示］0或1個(gè)，具體來說，當(dāng)加WA,由函數(shù)的定義，它們有唯一交點(diǎn)，

當(dāng)miA,它們無交點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)2作圖'識(shí)圖與用圖

(1)畫函數(shù)圖象常用的方法是描點(diǎn)作圖，其步驟是列表、描點(diǎn)、連線.

(2)正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象是一條直線，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線,

二次函數(shù)vn/+foc+cmWO)的圖象是拋物線,開口方向由a值符號(hào)決定，a＞0,

圖象開口囪上，。＜0時(shí)，圖象開口應(yīng)￡,對(duì)稱軸為》=二/

考點(diǎn)

□類型1作函數(shù)的圖象

【例1】作出下列函數(shù)的圖象，并求函數(shù)的值域.

(l)y=3—x(園dN*且兇＜3)；

(2)y=f—2x+2(-1Wx＜2).

［解］(l)：|x|WN*且忖＜3,...定義域?yàn)閧-2,-1,1,2},

二圖象為直線y=3—x上的4個(gè)孤立點(diǎn)，如圖.

r

丁---5

.—4

：?-3

!：2

t，：I\，T*-I-.I.

-2-1012?

由圖象可知，值域?yàn)閧5,4,2/}?

(2)y=f-2x+2=(L1)2+l(xG［-1,2)),

故函數(shù)圖象為二次函數(shù)y=(x-1/+1圖象上在區(qū)間［-1,2)上的部分，如圖，

x=1時(shí)，y=l;x=—1時(shí)，y=5,函數(shù)的值域?yàn)椋?,5］.

［母題探究］

(變條件)將例1(2)中的定義域改為［0,3),函數(shù)的圖象與值域變成怎樣了？

［解］圖象變成函數(shù)y=(x—1)2+1在［0,3)上的部分圖象，如圖.

Vx=1時(shí)，y=l;x=3時(shí)，)=5..?.值域變?yōu)椋?,5).

廠...?????現(xiàn)規(guī)律?.......................

怎樣畫函數(shù)的圖象？

［提示］

1.畫函數(shù)的圖象，需首先關(guān)注函數(shù)的定義域.定義域決定了函數(shù)的圖象是

一系列點(diǎn)、連續(xù)的線或是其中的部分.

2.描點(diǎn)作圖，要找出關(guān)鍵“點(diǎn)”，再連線.如一次函數(shù)的圖象描出端點(diǎn)或

與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，兩點(diǎn)連線即得；二次函數(shù)的圖象描出端點(diǎn)或與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、

頂點(diǎn)，連線即得.連線時(shí)還需標(biāo)注端點(diǎn)的虛實(shí).

3.函數(shù)的圖象能體現(xiàn)函數(shù)的定義域、值域.這就是數(shù)形結(jié)合思想.

口類型2函數(shù)圖象的應(yīng)用

【例2】已知函數(shù)?r)=—f+2x+3的圖象如圖所示，據(jù)圖回答以下問題:

(1)比較八-2),。0),。3)的大小;

⑵求;U)在［-1,2］上的值域；

(3)求“x)與y=x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(4)若關(guān)于x的方程_/^)=攵在［-1,2］內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根，求上的取值范圍.

［解］(1)由題圖可得八-2)=-5,次0)=3,13)=0,

.?猶一2)￡穴3)50).

(2)在xC［—l,2］時(shí)，QT)=0,川)=4,犬2)=3,

????@[0,4].

(3)在圖象上作出直線y=x的圖象，如圖所示，觀察可得，/(》)與y=x有兩

個(gè)交點(diǎn).

(4)原方程可變形為：-f+2x+3=&,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=~x1+2x+3,x

G[一1,2]和函數(shù)丁=女圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，移動(dòng)y=k易知0Wk<3或々=4時(shí)，

只有一個(gè)交點(diǎn).

.?.04<3或k=4.

廠.......?成思領(lǐng)悟?..........................

1.函數(shù)圖象較形象直觀的反映了函數(shù)的對(duì)稱性，函數(shù)的值域及函數(shù)值隨自

變量變化而變化的趨勢.

2.常借助函數(shù)圖象求解以下幾類問題

(1)比較函數(shù)值的大??；

(2)求函數(shù)的值域；

(3)分析兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(4)求解不等式或參數(shù)范圍.

II類型3利用圖象的平移變換作函數(shù)圖象

【例31用平移圖象的方式作出y=2+圈的圖象，并說明函數(shù)y=2+

的值域.

一1

嘗試與發(fā)現(xiàn)

〉=2+—三的圖象與的圖象有怎樣的關(guān)系？

X1X

［提示］兩者圖象完全一樣，位置不同.y=2+士可以看作先向右移

X1X

動(dòng)1個(gè)單位，又向上移動(dòng)2個(gè)單位得到.

［解］

反思領(lǐng)悟

函數(shù)圖象的平移變換

(1)左右平移：。>0時(shí)，y=y(x)的圖象向左平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=y(x+a)的圖

象；a>0時(shí)，y=/(x)的圖象向右平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=/(x-a)的圖象.

(2)上下平移：/?>0時(shí)，y=/a)的圖象向上平移Zj個(gè)單位得到y(tǒng)=*x)+Z?的圖

象；人>0時(shí)，y=/(x)的圖象向下平移。個(gè)單位得到y(tǒng)=/(x)—/?的圖象.

5.2函數(shù)的表示方法

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的表示方法

函列表法用列表來表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法

數(shù)

的

表

解析法用笠式來表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法

示

方

法

圖象法|一用圉塞來表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法

g￡l.函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？

［提示］

知識(shí)點(diǎn)2分段函數(shù)

⑴在定義域內(nèi)不同部分上,有不同的解析表達(dá)式.像這樣的函數(shù)，通常叫

做分段函數(shù).

(2)分段函數(shù)定義域是各段定義域的在集，其值域是各段值域的注集.

(3)分段函數(shù)圖象：畫分段函數(shù)的圖象，應(yīng)在各自定義域之下畫出定義域所

對(duì)應(yīng)的解析式的圖象.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),因此應(yīng)在回二坐標(biāo)系中畫出各段函

數(shù)圖象.

思專k2.分段函數(shù)是幾個(gè)函數(shù)構(gòu)成的嗎？

［提示］分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù).

考點(diǎn)

□類型1求函數(shù)解析式

【例1】求下列函數(shù)的解析式.

(1)已知於)為一次函數(shù)，filx+l)+/(2x-1)=-4x+6,求於)；

(2)已知犬也+l)=x+2而，求.*x)；

(3)已知加:)為一次函數(shù)，且用㈤)=4工一1,求./U)；

(4)若/(x)+?—x)=:，求|x).

［解］(1)設(shè)?x)=ox+"(aWO),

火2x+l)=a(2x+l)+"

)="(2光-1)+6,

.*2x+1)+式2x—l)=4ox+2/?=—4x+6,

4a=—4,ci=-1,

所以“解得

2b=6,b=3,

即函數(shù)/U)的解析式為於)=-x+3.

(2)令5+1=*1)，

則也=L1,X=(f—1)2,

,?./z)=(r-l)2+2(r-l)=/2-l,

1(x21).

(3)設(shè)所求函數(shù)/(x)=Air+Z?伏#0),

F=4,

所以用(>))=/(日+與=奴履+?+b=Sx+妨+人=4無一i,則V,

kb+b=—l,

k=2,[k=~2,

解得i或L1

b=_qS=l,

所以/(x)=2x—g或?x)=—2x+1.

(4)V/(x)+2/(-x)=p①

用一x替換x得人一幻+"?=一：，②

2I31

②X2一①得37U)=_最一最==一7

廠......(JS思領(lǐng)悟......................

求函數(shù)解析式的常用方法

(1)待定系數(shù)法：已知函數(shù)4犬)的函數(shù)類型，求;(無)的解析式時(shí)，可根據(jù)類型

設(shè)出其解析式，將已知條件代入解析式，得到含待定系數(shù)的方程(組)，確定其系

數(shù)即可.

(2)換元法：令1=8(%)，注明/的范圍，再求出7(，)的解析式，然后用x代替

所有的，即可求出於)，一定要注意t的范圍即為人力中x的范圍.

(3)配湊法：已知/(g(X))的解析式，要求兀。時(shí)，可從<g(x))的解析式中拼湊

出“g(x)”，即用g(x)來表示，再將解析式兩邊的g(x)用x代替即可.

(4)代入法：已知y=*x)的解析式求y=/(g(x))的解析式時(shí)，可直接用新自變

量g(?替換y=f(x)中的x.

(5)方程組法(消去法)，適用于自變量具有對(duì)稱規(guī)律的函數(shù)表達(dá)式，如：互為

倒數(shù)卜》)，./(3)，互為相反數(shù)(A—X)，式X))的函數(shù)方程，通過對(duì)稱構(gòu)造一個(gè)對(duì)稱

方程組，解方程組即可.在構(gòu)造對(duì)稱方程時(shí)，一般用土或一X替換原式中的X即

可.

II類型2分段函數(shù)的求值問題

pc+1,xW—2,

【例2】已知函數(shù)/+2*，—2<x<2,

121—1,xN2.

試求人-5),X—小)，/4一I))的值.

［解］由一56（—8,-2］,-V3G（-2,2）,一|G（—8,-2］,知五一5）

=—5+1=—4,

y（一?。?（一小產(chǎn)+2x（-4）

=3-273.

因?yàn)?（_1）=_|+1=4

3-

—2<一1<2,

9c3

4'4"

［母題探究］

1.(變結(jié)論)本例條件不變，若犬。)=3,求實(shí)數(shù)a的值.

［解］①當(dāng)。〈一2時(shí)，式。)=。+1,所以a+l=3,所以a=2>-2不合題意,

舍去.

②當(dāng)一2<a<2時(shí)，a2+2a=3,

即/+2”-3=0.

所以(a—l)(a+3)=0,

所以a=1或a=~3.

因?yàn)?￡(一2,2),-3^(-2,2),

所以a=\符合題意.

③當(dāng)a22時(shí)，2。-1=3,所以a=2符合題意.

綜合①②③，當(dāng)仙)=3時(shí)，。=1或a=2.

2.本例條件不變，若於)>3,求x的取值范圍.

［解］①當(dāng)xW—2時(shí)，％+1>3得犬>2,

又xW—2,所以x￡0.

②當(dāng)一2<x<2時(shí)，f+Zt*得x>l或x<—3,

又一2<x<2,所以l<r<2.

③當(dāng)x22時(shí)，2x-l>3,得x>2,

又x22,所以x>2,

綜上有x的取值范圍是l<x<2或x>2.

「......??延思領(lǐng)悟............................

1.分段函數(shù)求函數(shù)值的方法

(1)確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.

(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)歡如))的形式時(shí)，應(yīng)從

內(nèi)到外依次求值.

2.已知函數(shù)值求字母取值的步驟

(1)先對(duì)字母的取值范圍分類討論.

(2)然后代入不同的解析式中.

(3)通過解方程求出字母的值.

(4)檢驗(yàn)所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi).

提醒：求某條件下自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各

段上，然后相應(yīng)求出自變量的值，切記代入檢驗(yàn).

，類型3分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用

【例3】已知函數(shù)?x)=-f+2,g(x)=尤，令夕(x)=min伏x),g(x)}(即人尤)

和g(x)中的較小者).

(1)分別用圖象法和解析式表示如)；

(2)求函數(shù)磯x)的定義域，值域.

［解］(1)在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù).*x),g(x)的圖象如圖①.

由圖①中函數(shù)取值的情況，結(jié)合函數(shù)9。)的定義，可得函數(shù)9。)的圖象如圖

②.

令一f+2=x得x=—2或x=1.

結(jié)合圖②，得出s(x)的解析式為

1―f+2,xW-2,

8（x）=，x,—2<x<\,

I—f+2,

(2)由圖②知,s(x)的定義域?yàn)镽,-1)=1,

.,.8㈤的值域?yàn)?-8,1］,

廠.....?“反思領(lǐng)悟”......

分段函數(shù)圖象的畫法

(1)作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不

管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別

注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏.

(2)對(duì)含有絕對(duì)值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕

對(duì)值符號(hào)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象.

類型4分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【例4】如圖所示，已知底角為45。的等腰梯形ABC。，底邊長為7cm,

腰長為2/cm,當(dāng)垂直于底邊3C(垂足為F)的直線/從左至右移動(dòng)(與梯形A8C。

有公共點(diǎn))時(shí)，直線/把梯形分成兩部分，令BF=x,試寫出左邊部分的面積y

關(guān)于x的函數(shù)解析式，并畫出大致圖象.

［解］過點(diǎn)A,O分別作AGLBC,DH±BC,垂足分別是G,H.

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是等腰梯形，底角為45。，AB=2jcm,

所以BG=AG=DH=HC=2cm,

又BC=7cm,所以AO=G”=3cm.

(1)當(dāng)點(diǎn)尸在BG上,即xW[0,2]時(shí)，)=%；

1-x-2

(2)當(dāng)點(diǎn)/在G”上，即xC(2,5]時(shí)，y=:~：—X2=2x-2;

(3)當(dāng)點(diǎn)F在HC上，即xG(5,7]時(shí)，y=S&迎杉ABFED=S樣方ABC?！猄RSCEF=；(7

+3)X2-g(7-x)2

=—2(X-7)2+10.

綜合(1)(2)(3),得函數(shù)的解析式為

%,x￡[0,2],

y=<2x~2,xG(2,5],

-1(X-7)2+10,XW(5,7].

圖象如圖所示.

廠.......版思領(lǐng)悟.............................

分段函數(shù)圖象的畫法

(1)當(dāng)目標(biāo)在不同區(qū)間有不同的計(jì)算表達(dá)方式時(shí)，往往需要用分段函數(shù)模型

來表示兩變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而分段函數(shù)圖象也需要分段畫.

(2)用分段函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)要注意兩點(diǎn)

①確定好分段的標(biāo)準(zhǔn)，正確的寫出分段函數(shù)的表達(dá)式;

②考慮自變量的實(shí)際意義，注意自變量的取值范圍.

5.3函數(shù)的單調(diào)性

第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性

知識(shí)點(diǎn)1單調(diào)增（減）函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=/U）的定義域?yàn)锳,區(qū)間

如果對(duì)于區(qū)間/內(nèi)的任意兩個(gè)值汨，X2.當(dāng)汨42時(shí)，都有

⑴面）＜晶）

①稱y=/（x）在區(qū)間/上是增函數(shù).

②/稱為y=/W的增區(qū)間.

（2如1）＞依2）

①稱y=/U）在區(qū)間/上為減函數(shù).

②/稱為y=Ax）的減區(qū)間.

思考1.增（減）函數(shù)定義中的XI、X2有什么特征？

［提示］定義中的XI、X2有以下3個(gè)特征.

（1）任意性，即“任意取XI、尤2”中“任意”二字絕不能去掉.證明時(shí)不能以

特殊代替一般.

（2）有大小，通常規(guī)定X］＜X2.

（3）屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間.

知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=/U）在區(qū)間/上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么稱函數(shù)y="r）在區(qū)間/

上具有單調(diào)性,增區(qū)間和減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.

思考2.函數(shù)），=（在定義域上是減函數(shù)嗎？

［提示］不是，)，=:在(一8,0)上遞減，在(0,+8)上也遞減.但不能說y

=’在(-8,0)U(0,+8)上遞減.

X

考點(diǎn)

類型1利用函數(shù)圖象求單調(diào)區(qū)間

【例1】作出下列函數(shù)的圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間.

2((X—2產(chǎn)，x20,

(l)y=f-4；(2)y=一;；(3)/U)=J

I4,x<0.

［解］三個(gè)函數(shù)圖象如圖⑴(2)(3).

(l)y=f—4的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0］,遞增區(qū)間為［0,+°°).

2

(2)y=一二的單調(diào)增區(qū)間為(-8,0),(0,+°°),無遞減區(qū)間.

(3次x)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,0］,［2,+8),遞減區(qū)間為［0,2］.

廠...?????現(xiàn)規(guī)律?.......................

應(yīng)用圖象確定單調(diào)性的關(guān)鍵是什么？

［提示］應(yīng)掌握各種基本函數(shù)的圖象的形狀，并能通過圖象的“上升”或

“下降”趨勢來找到函數(shù)的遞增或遞減區(qū)間.但應(yīng)注意端點(diǎn)是否在定義域內(nèi).當(dāng)

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不唯一時(shí)，中間用“，”隔開或用“和”連接.但不能用“或”

和“U”連接.

類型2函數(shù)單調(diào)性的判定與證明

【例2】證明函數(shù)_/O)=x+(在(01)上是減函數(shù).

［證明］設(shè)X|,X2是區(qū)間(0,1)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且X1VC2,則於1)一/2)=

=3-X2）（l-￡

（汨+￡|一（尤2+￡|=（即-%2）+=（X|—X2）+且二3

、X1xzX\X2

（XI—X2）（—1+九1X2）

X]X2

0<X\<X2<l,

.*.X1—X2<O,O<T1X2<1,貝“-1+xi%2<0,

（X1—X2）（—1+/1X2）

>0,即於1)次X2),

X\X2

???於)=犬+(在(01)上是減函數(shù)?

廠..??????思領(lǐng)悟........X

利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

(1)取值：設(shè)Xl,X2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且無1〃2.

(2)作差變形：作差A(yù)ri)—凡心)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手

段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子.

(3)定號(hào)：確定/Ui)—7(X2)的符號(hào).

(4)結(jié)論：根據(jù)兀q)-/U2)的符號(hào)及定義判斷單調(diào)性.

提醒：作差變形是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，且變形的結(jié)果是幾個(gè)因式乘積的形式.

口類型3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

【例3】已知函數(shù)次X)是定義在［-2,2］上的增函數(shù)，且/(X—2)勺U—X),則

x的取值范圍為.

0,1j「.?於)是定義在［-2,2］上的增函數(shù)，且加一2)勺(1—x),

.".%—2<1—x,

.3

又於)的定義域?yàn)?/p>

—2Wx—2W2,

,V

、-2W1—xW2,

0WxW4,

,V

、一1WxW3,

3

???0Wx<3,綜上，

「........成思領(lǐng)悟?...........................

1.利用函數(shù)單調(diào)性的定義比較大小，一方面是正向應(yīng)用，即若y=?r）在給

定區(qū)間上是增函數(shù)，則當(dāng)幻<%2時(shí)，y（Xl）勺（X2）,當(dāng)X1>X2時(shí)，/（尤1）4%2）；另一方面

是逆向應(yīng)用，即若y=*X）在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則當(dāng)八X1）勺（X2）時(shí)，Xi<X2,當(dāng)

.*X1）之穴X2）時(shí)，X1>X2.當(dāng)y=*x）在給定區(qū)間上是減函數(shù)時(shí)，同理可得相應(yīng)結(jié)論.

2.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性研究參數(shù)的取值范圍，往往會(huì)根據(jù)函數(shù)在某一區(qū)間上

的增減性確定不等式，此時(shí)常需要將含參數(shù)的變量單獨(dú)移到一側(cè)，用變量的范圍

推出參數(shù)的范圍.

第2課時(shí)函數(shù)的最大值、最小值

知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的最大值與最小值

（1）函數(shù)的最大值

一般地，設(shè)y=/u）的定義域?yàn)锳如果存在光使得對(duì)于任意的xea,

都有/U）W/Uo）,那么稱凡的為y=/U）的最大值，記為Vmax=/Uo）.

（2）函數(shù)的最小值

一般地，設(shè)y=/u）的定義域?yàn)锳.如果存在使得對(duì)于任意的XGA,

都有ZU）2/Uo）,那么稱1Axo）為y=/（x）的最小值，記為ymin=/to）.

思考，函數(shù)的最值與值域是一回事嗎？

［提示］不是.最值與值域是不同的，值域是一個(gè)集合，而最值只是這個(gè)集

合中的一個(gè)元素.

考點(diǎn)

口類型1利用圖象求函數(shù)的最值

x1,一iWxWl,

【例1】已知函數(shù)y（x）="1求的最大值、最小值.

一,X>1.

［解］作出函數(shù)yu)的圖象(如圖)?

由圖象可知，當(dāng)x=±i時(shí)，取最大值為

y(i)=A-i)=i.

當(dāng)x=0時(shí)，於)取最小值為貝0)=0,

故/(x)的最大值為1,最小值為0.

反思領(lǐng)悟

圖象法求函數(shù)最值的一般步驟

類型2利用單調(diào)性求函數(shù)的最值

【例2】已知函數(shù)人》)=昔:

(1)用函數(shù)單調(diào)性定義證明/(》)=士Y在(1,+8)上是單調(diào)減函數(shù)；

X1

Y

⑵求函數(shù)八》)=一二在區(qū)間［3,4］上的最大值與最小值.

［解］⑴證明：設(shè)Xl,X2為區(qū)間(1,+8)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且1al42,

,XlX7te-X1)

則以『)一-%2)=用一］一及一］=(汨一］)(1一］)'

因?yàn)?<￥1<X2.

所以及―Xl>0,-1>0,%2—1>0,

所以7Ul)—/(X2)>。，即爪汨)/九2).

X

故函數(shù)在(1,+8)上為單調(diào)遞減函數(shù).

X

(2)由上述(1)可知，函數(shù)凡r)=W在［3,4］上為單調(diào)遞減函數(shù)，

所以在x=3時(shí)，函數(shù)段）=不、取得最大值,；

X4

在x=4時(shí)，函數(shù)取得最小值不

X1D

［母題探究］

Y

（變條件）求函數(shù)_/（》）=曰在［—4，-3］上的最值.

［解］任取Xl,X2G［—4,—3］且X1<X2,

~、XIX2（X2-X\）

則?ri）—/（X2）=r-r=

八'八'X\—\X2—1z（X［—］1V）（X2—1）

x\,尤2G1-4,—3］,

?*.xi—1<0,xi—1<0.

又X\<X2,

".X2—Xl>0,

?；穴》）一外2）>0,

二仙）如2）,

.?JU）在［-4,一3］上單調(diào)遞減，

4

.,.y（x）max=y（-4）=5,

.*X）min=/（—3）=（,

43

在［―4,-3］上最大值為5，最小值為7

〔.....成思領(lǐng)悟??.......................

1.當(dāng)函數(shù)圖象不好作或無法作出時(shí)，往往運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性求最值.

2.函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系

（1）若函數(shù)在閉區(qū)間［a,句上是減函數(shù)，則/（x）在［a,旬上的最大值為4a）,最

小值為膽）;

（2）若函數(shù)在閉區(qū)間儂，句上是增函數(shù)，則1x）在口，句上的最大值為人加，最

小值為4a）；

（3）求最值時(shí)一定要注意所給區(qū)間的開閉，若是開區(qū)間，則不一定有最大（?。?/p>

值.

G類型3二次函數(shù)的最值

【例3】求二次函數(shù)_/U)=f—2ax+2在［2,4］上的最小值.

嘗試與發(fā)現(xiàn)

二次函數(shù)火x)的對(duì)稱軸在區(qū)間［2,4］可能存在幾種位置關(guān)系？

［提示］對(duì)稱軸在［2,4］的左側(cè)即a<2,在區(qū)間［2,4］內(nèi)即2Wa<4,在區(qū)間［2,4］

的右側(cè)即a>4.

［解］..?函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=a,...當(dāng)a<2時(shí)，./U)在［2,4］上是增函數(shù)，

.?g)min=/(2)=6—4a.

當(dāng)。>4時(shí)，/U)在［2,4］上是減函數(shù)，

，/(x)min=A4)=18—8a.

當(dāng)2W&W4時(shí)，.*x)min=*a)=2—a?.

6—4a,a<2,

2—a2,2WaW4,

{18-8a,a>4.

［母題探究］

i.在本例條件下，求的最大值.

［解］..?函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=a,

當(dāng)aW3時(shí)，Xx)max=X4)=18-8a,

當(dāng)a>3時(shí)，/U)max=A2)=6—4a.

J18—8a,aW3,

/.y(X)max=］

(6—4a,a>3.

2.在本例條件下，若兀r)的最小值為2,求。的值.

6~4a,a<2,

2—a2,2WaW4,

{18—8a,a>4.

當(dāng)。<2時(shí)，6—4a=2,a=1;

當(dāng)2WaW4時(shí)，2一層=2,a=0(舍去)；

當(dāng)a>4時(shí)，18-8a=2,a=2(舍去).

：.a的值為1.

廠.......成思領(lǐng)悟.........................

求二次函數(shù)的最大（?。┲涤袃煞N類型：一是函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,這時(shí)只

要根據(jù)拋物線的開口方向，應(yīng)用配方法即可求出最大（?。┲?；二是函數(shù)定義域?yàn)?/p>

某一區(qū)間，這時(shí)二次函數(shù)的最大（?。┲涤伤膯握{(diào)性確定，而它的單調(diào)性又由拋

物線的開口方向和對(duì)稱軸的位置（在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間左側(cè)，在區(qū)間右側(cè)）來決定，

當(dāng)開口方向或?qū)ΨQ軸位置不確定時(shí)，需要進(jìn)行分類討論.

5.4函數(shù)的奇偶性

知識(shí)點(diǎn)1奇函數(shù)與偶函數(shù)的概念

（1）偶函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)?如果對(duì)于任意的都有一xGA,

并且外一x）=/U）,那么稱函數(shù)是偶函數(shù).

（2）奇函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)锳,如果對(duì)于任意的xGA,者隋一xGA,

并且八一X）=—/（x）,那么稱函數(shù)y=/U）是奇函數(shù).

如果函數(shù)/U）是奇函數(shù)或偶函數(shù),我們就說函數(shù)兀v）具有奇偶性.

周道良具有奇偶性的函數(shù)，其定義域有何特點(diǎn)？

［提示］定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

知識(shí)點(diǎn)2奇、偶函數(shù)的圖象性質(zhì)

⑴偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)一定是偶函數(shù).

⑵奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)一定是奇函數(shù).

考點(diǎn)

□類型1函數(shù)奇偶性的判斷

【例1】（1）若函數(shù)“r）的圖象如圖所示，則,心）為

函數(shù).（填“奇”或“偶”或“非奇非偶”）

(2)判斷下列函數(shù)的奇偶性

2

w)=畝;

②/(x)="+1+ln(l—x)；

③/(x)=、4—；

④危尸奉.

［思路點(diǎn)撥］(1)觀察圖象的對(duì)稱性.

(2)利用奇偶性的定義，先確定定義域，再看式外與犬一x)的關(guān)系.

(1)偶［因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)是偶函數(shù).］

(2)［解］①因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?一8,0)U(0,+8),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

22

又人一”尸虧二百寸6所以函數(shù)1x)是偶函數(shù).

x+120,

②定義域要求＜

J-x>0,

所以一1WxV1,所以Xx)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

所以/U)是非奇非偶函數(shù).

4—feo,

③由'

,X2—4^0,

得xS{2,-2},定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且八±2)=0,

所以7U)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

1—x22。，f—iWxWl,

④由〈得〈

1|x+2|—2WO,［x#0且x#—4,

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?1,0)U(()/］.

此時(shí)於尸售W=尸，gT,0)U(0,l］,所以人—X尸亞尸

I乙|乙人A

qi-w

+^=fx)，

所以函數(shù)人x)是奇函數(shù).

廠......成思領(lǐng)悟.............................

判斷函數(shù)奇偶性的方法

(1)定義法

/電義城是否、

/(-工)=加)財(cái)T)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是否成立:

|奇函數(shù)或偶函藪］

(2)圖象法

若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

則函數(shù)為偶函數(shù).此法多用于選擇題中.

D類型2奇偶函數(shù)的圖象問題

【例2】已知奇函數(shù)凡r)的定義域?yàn)椋?5,5］,且在區(qū)間［0,5］上的圖象如圖

所示.

⑴畫出在區(qū)間［-5,0］上的圖象；

(2)寫出使/U)<0的x的取值集合.

［解］(1)因?yàn)楹瘮?shù)五x)是奇函數(shù)，所以y=/@)在［-5,5］上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

由y=/(x)在［0,5］上的圖象，可知它在［-5,0］上的圖象，如圖所示.

(2)由圖象知，使函數(shù)值)，<0的x的取值集合為(-2,0)U(2,5).

［母題探究］

(變條件)將本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”，再求解上述問題.

［解］(1)如圖所示.