數(shù)據模型與決策一運籌學和特殊情況下的投資決策

運籌學

OperationalResearch林齊寧博士，教授北京郵電大學經濟管理學院Telmail:linqining66@

緒論一、運籌學的起源與發(fā)展二、運籌學的定義和主要研究分支三、運籌學的特點及研究對象四、運籌學解決問題的方法步驟五、運籌學與其他學科的關系一、運籌學的起源與發(fā)展起源于二次大戰(zhàn)的一門新興交叉學科與作戰(zhàn)問題相關如雷達的設置、運輸船隊的護航、反潛作戰(zhàn)中深水炸彈的深度、飛行員的編組、軍事物資的存儲等英國稱為OperationalResearch美國稱為OperationsResearch戰(zhàn)后在經濟、管理和機關學校及科研單位繼續(xù)研究1952年，Morse和Kimball出版《運籌學方法》1948年英國首先成立運籌學會1952年美國成立運籌學會1959年成立國際運籌學聯(lián)合會(IFORS)我國于1982年加入IFORS，并于2023年8月組織了第15屆大會一、運籌學的起源與發(fā)展1、中國運籌學會簡介50年代中期，我國著名科學家錢學森、許國志等教授將運籌學從西方引入國內。1980年4月，中國數(shù)學會運籌學分會成立。1991年，中國運籌學會成立。歷屆學會理事長有，華羅庚、越民義，徐光輝，章祥蓀，袁亞湘，2、中國系統(tǒng)工程學會簡介1、1979年由錢學森、宋健、關肇直、許國志等21名專家、學者共同倡議并籌備。1980年11月18日在北京正式成立。第一屆理事會理事長關肇直，第二、三屆理事長許國志。第四、五屆理事長顧基發(fā)、第六屆理事長陳光亞。3、運籌學、系統(tǒng)工程主要研究人員構成1）數(shù)學：如華羅庚、越民義，徐光輝，章祥蓀，袁亞湘，許國志，顧基發(fā)等；2）控制論：張仲俊，劉豹，陳珽，鄭維敏，趙純均，陳劍等3）管理等專業(yè)相關教學、科研技術人員567一、運籌學的起源與發(fā)展4、相關研究機構和高校1）中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院系統(tǒng)科學研究所2）中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院應用數(shù)學研究所3）哈工大：胡運權，黃梯云，錢國明等4）天津大學：劉豹，顧培亮，張維，杜

綱等5）西安交大：汪應洛，席酉民等6）上海交大：張仲俊，王浣塵等7）清華大學：鄭維敏，趙純均，陳劍等；8）大連理工：王眾托，胡祥培等9）北航：顧昌耀，黃海軍等10）北理工：吳滄浦，吳祈宗，張強等9二、運籌學的定義和主要研究分支運籌學的定義為決策機構對所控制的業(yè)務活動作決策時，提供以數(shù)量為基礎的科學方法——Morse和Kimball運籌學是把科學方法應用在指導人員、工商企業(yè)、政府和國防等方面解決發(fā)生的各種問題，其方法是發(fā)展一個科學的系統(tǒng)模式，并運用這種模式預測，比較各種決策及其產生的后果，以幫助主管人員科學地決定工作方針和政策——英國運籌學會運籌學是應用分析、試驗、量化的方法對經濟管理系統(tǒng)中人力、物力、財力等資源進行統(tǒng)籌安排，為決策者提供有根據的最優(yōu)方案，以實現(xiàn)最有效的管理——中國百科全書現(xiàn)代運籌學涵蓋了一切領域的管理與優(yōu)化問題，稱為ManagementScience10二、運籌學的定義和主要研究分支運籌學的分支數(shù)學規(guī)劃：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、目標規(guī)劃等圖論與網路理論隨機服務理論：排隊論存儲理論網絡計劃方法決策理論對策論系統(tǒng)仿真：隨機模擬技術、系統(tǒng)動力學可靠性理論金融工程11三、運籌學的特點及研究對象運籌學的特點：1)優(yōu)化以整體最優(yōu)為目標，從系統(tǒng)的觀點出發(fā)，力圖以整個系統(tǒng)最佳的方式來協(xié)調各部門之間的利害沖突，從而求出問題的最優(yōu)解。所以運籌學可看成是一門優(yōu)化技術，為解決各類問題提供優(yōu)化方法2定量為所研究的問題提供定量的解決方案。如采用運籌學研究資源分配問題時，其求解結果是一個定量的最優(yōu)資源分配方案。運籌學的研究對象：來自生產管理過程中的具體問題，如資源分配、物資調度，生產計劃與控制等。12四、運籌學解決問題的方法步驟1、理清問題、明確目標2、建立模型討論：什么叫模型3、求解模型。建立模型之后，需要設計相應算法進行求解，實際問題運算量一般都很大，通常需要用計算機求解。4、結果分析討論：模型計算結果與已有的經驗或知識進行比較1）模型計算結果和已有的經驗或知識比較一致2）模型計算結果和已有的經驗或知識差異較大

你喜歡那一種情況？13五、運籌學與其他學科的關系

運籌學目標分析、建模、求解和結果分析需要用到很多相關學科的知識，它與如下學科的知識關系比較密切。1、數(shù)學：學習、應用運籌學應該具備較廣的數(shù)學知識，許多運籌學者來自數(shù)學專業(yè)就是這個原因，有人甚至認為運籌學是一門應用數(shù)學；2、管理學：運籌學研究對象是生產管理過程的具體問題，在利用運籌學理論和方法解決具體問題時，需要的涉及管理科學的有關理論；3、計算機：運籌學所研究的實際問題通常都是比較復雜，而且規(guī)模比較大，在求解這些問題時，必須借助計算機來完成。14第一章線性規(guī)劃1.1線性規(guī)劃模型1.1.1問題的提出一、例1、多產品生產問題（Max,）甲電纜乙電纜資源量銅（噸）2110鉛（噸）118價格（萬元）64需求無限制7另

問該工廠應如何安排生產才能使工廠的總收入最大？一、例1、多產品生產問題（Max,）設x1,x2

分別代表甲、乙兩種電纜的生產量，f(x)為工廠的總收入，則上述問題可用如下數(shù)學模型來表示其中，OBJ（Objective）表示目標，S.t.（Subjectto）表示滿足于。表示在滿足銅、鉛資源和需求等約束條件下，使工廠的總收入這一目標達到最大。最優(yōu)解為二、例2、配料問題（min,)某混合飼料加工廠計劃從市場上購買甲、乙兩種原料生產一種混合飼料。混合飼料對VA、VB1、VB2和VD的最低含量有一定的要求。已知單位甲、乙兩種原料VA、VB1、VB2和VD的含量，單位混合飼料對VA、VB1、VB2和VD的最低含量以及甲、乙兩種原料的單位價格如下表所示。問該該加工廠應如何搭配使用甲乙兩種原料，才能使混合飼料在滿足VA、VB1、VB2和VD的最低含量要求條件下，總成本最??？二、例2、配料問題（MIN,)設x1,x2分別代表混合單位飼料對甲、乙兩種原料的用量，f(x)表示單位混合飼料所需要的成本，則上述問題的線性規(guī)劃數(shù)學模型如下：該數(shù)學模型的最優(yōu)解為該問題的最優(yōu)解為x1=3.69，x2=0.77，minf(x)=1.49三、線性規(guī)劃數(shù)學模型的特征和定義1、線性規(guī)劃數(shù)學模型的特征：1）有一組決策變量（x1，x2，…，xn）表示某一方案。這一組決策變量的具體值就代表一個具體方案；2）有一個目標函數(shù)，該目標函數(shù)根據其的具體性質取最大值或最小值。當目標為成本型時取最小，而當目標為效益型時取最大。3）有一組約束方程，包括決策變量的非負約束；4）目標函數(shù)和約束方程都是線性的。2、線性規(guī)劃數(shù)學模型的定義定義1.1有一個目標函數(shù)和一組約束方程，且目標函數(shù)和約束方程都是線性的數(shù)學模型稱為線性規(guī)劃數(shù)學模型。四、線性規(guī)劃數(shù)學模型的背景模型和思考1、線性規(guī)劃數(shù)學模型的背景模型：例1.1的多產品生產計劃問題的數(shù)學模型稱為線性規(guī)劃的背景模型。把該背景模型的條件一般化后可敘述如下：用有限量的幾種資源生產若干種產品，如何安排生產，才能使工廠的總收入或利潤達到最大。2、背景模型的思考1）討論：什么叫背景模型能夠幫助我們理解和記住一些相對抽象和復雜問題的簡單問題模型。2）背景模型的思考利用一些相對比較簡單的問題來闡述一些相對復雜和抽象的運籌學中的一些基礎概念和原理是本課程力求在教學中體現(xiàn)的第一個特點，希望大家用心體會。

1.1.2線性規(guī)劃數(shù)學模型的一般表示方式21

1、和式22

2、向量式23

3、矩陣式24

1.1.3線性規(guī)劃的圖解法f(x)=36線性規(guī)劃問題的幾個特點：1、線性規(guī)劃的可行域為凸集；討論：什么叫凸集？集合中任意兩點連線上的一切點仍然在該集合中，在平面上為凸多邊形，在空間上為凸幾何體；討論：最優(yōu)解在那里取得？2、線性規(guī)劃的最優(yōu)解一定可在其凸集的某一頂點上達到；討論：什么情況有最優(yōu)解？最優(yōu)解的存在性條件？3、線性規(guī)劃若有可行域且其可行域有界，則一定有最優(yōu)解。上述3個結論是線性規(guī)劃的3個基礎定理，可以用嚴格的數(shù)學方法進行證明。我們以簡單、直觀的圖解法方式給出，相信大家是可以接受的。1.3線性規(guī)劃求解的基礎原理和單純形法1.3.1線性規(guī)劃問題的標準形一、線性規(guī)劃模型一般形式二、求解思路1、規(guī)定一標準型線性的規(guī)劃問題數(shù)學模型；2、如何把非標準形的線性規(guī)劃問題數(shù)學模型轉化為標準形線性規(guī)劃問題數(shù)學模型？3、如何求解標準形線性規(guī)劃問題數(shù)學模型。三、線性規(guī)劃問題的標準形在上述線性規(guī)劃標準形中，決策變量的個數(shù)取n+m個是習慣表示法。我們知道，對于線性規(guī)劃背景模型，有m個約束方程，且每個約束方程的不等式均為“”號。如果我們在每個約束方程的左邊加上一個大于等于0的變量，則可將各個約束方程的“”號轉變?yōu)椤?”。此時，決策變量就有n+m個。28

四、變換的方法1、目標函數(shù)為min型，價值系數(shù)一律反號。令g(x)=-f(x)=-CX,有minf(x)=-max[-f(x)]=-maxg(x)2、第i個約束的bi

為負值，則該行左右兩端系數(shù)同時反號，同時不等號也要反向3、第i個約束為型，在不等式左邊增加一個非負的變量xn+i

，稱為松弛變量；同時令cn+i

=04、第i個約束為型，在不等式左邊減去一個非負的變量xn+i

，稱為剩余變量；同時令cn+i

=05、若xj0，令

xj=-xj

，代入非標準型，則有xj

06、若xj不限，令

xj=xj-xj，xj

0，xj0，代入非標準型29

五、

變換舉例：1.3.2線性規(guī)劃問題的解和基礎定理本章開始到現(xiàn)在已討論的內容，相信大部分讀者都會感到比較容易理解和掌握。這一節(jié)我們將要討論關于線性規(guī)劃問題解的一些基礎概念和定理，與前面討論的內容相比，線性規(guī)劃問題解的一些基礎概念略顯難一些，其中比較難的概念有線性規(guī)劃問題的基和基礎解等相關概念。為了幫助大家比較容易理解這些概念，我們先從大家熟悉的兩個變量兩個線性方程組這一簡單問題入手，然后逐步過渡到我們所要討論的線性規(guī)劃問題的基和基礎解等相關概念。著名數(shù)學家笛卡爾曾說過，他最擅長做的兩件事是：1)第一做簡單事；2)第二是將復雜事變?yōu)楹唵问?。本課程將從大家熟悉的一些簡單問題入手，然后逐步過渡到運籌學一些相對比較抽象和難的概念和原理。這是本課程教學力求的另一特點。一、線性方程組的解考慮如下線性方程組的解：再考慮如下線性方程組的解：一、線性方程組的解類似地，如果將方程組（3）中的變量x2或x1當成常數(shù)，分別移到其方程的右邊后采用消元法進行求解，則也可得到如下兩組通解及其特解：一、線性方程組的解仔細觀察和思考方程組（3）的三組通解（4）、（6）和（8）或三組特解（5）、（7）和（9）是如何得到的，以及能夠得到這些通解或特解的條件是什么？根據求解線性方程組克萊姆條件可知，能夠得到方程組（3）的通解（4）或特解（5）的條件是方程組（3）中的變量x1和x2的系數(shù)矩陣行列式不等于0，即或變量x1和x2的系數(shù)矩陣B1是非奇異矩陣或變量x1和x2的系數(shù)列向量是線性無關。顯然，這三個條件是等價的。一、線性方程組的解同樣，由于方程組組（3）中的變量x1和x3的系數(shù)矩陣行列式|B2|不等于0與變量x2和x3的系數(shù)矩陣行列式|B3|不等于0，即才能得到方程組（3）的通解或特解（6）或（7）與通解或特解（8）或（9）。將上面討論的方程組（3）加上一目標函數(shù)和變量非負約束條件后就變成一標準型線性規(guī)劃。如：一、線性方程組的解對于上述標準型線性規(guī)劃（10）,稱

B1

、B2和B3為線性規(guī)劃（10）的基。因利用其中任何一個基B1

或B2或B3，都能得到線性規(guī)劃（10）的一組通解和特解（見式（4）--（9））。變量x1和x2為基變量，變量x3為非基變量，令x3=0，得解（5）為線性規(guī)劃（10）的基礎解，但因該基礎解中x1=-1<0，不滿足線性規(guī)劃（10）的變量非負約束條件，因此，該基礎解（5）是線性規(guī)劃（10）的基礎非可行解。變量x1和x3為基變量，變量x2為非基變量，令x2=0，得解（7）為線性規(guī)劃（10）的基礎解。該基礎解中x1和x3均大于0，滿足線性規(guī)劃（10）的變量非負約束條件，因此，該基礎解（7）是線性規(guī)劃（10）的基礎可行解。變量x2和x3為基變量，變量x1為非基變量，令x1=0，得解（9）為線性規(guī)劃（10）的基礎解.該基礎解中x2和x3均大于0，滿足線性規(guī)劃（10）的變量非負約束條件，因此，該基礎解（9）是線性規(guī)劃（10）的基礎可行解。二、標準型線性規(guī)劃解的若干基礎概念標準型有n+m個變量，m個約束行“基”的概念在標準型中，技術系數(shù)矩陣有n+m列，即

A=(P1,P2,…,Pn+m)A中線性獨立的m列，構成該標準型的一個基，即

B=(P1,P2

,…,Pm)，|B|0

P1,P2

,…,Pm稱為基向量與基向量對應的變量稱為基變量，記為

XB=(x1,x2

,…,xm

)T，其余的變量稱為非基變量，記為XN=(xm+1,xm+2,…,xm+n

)T

，故有

X=（XB，

XN)最多有個基二、標準型線性規(guī)劃解的若干基礎概念可行解與非可行解滿足約束條件和非負條件的解X稱為可行解，不滿足約束條件或非負條件的解X稱為非可行解基礎解對應某一基B且令其非基變量XN=0，求得基變量XB的值。稱X=(XB,XN)T為基礎解。其中，XB=B1

b，XN=0XB

是基礎解必須滿足如下條件：1）非0分量的個數(shù)m；2、m個基變量所對應的系數(shù)矩陣為非奇異的；3、滿足m個約束條件。二、標準型線性規(guī)劃解的若干基礎概念

基礎可行解與基礎非可行解基礎解XB的非零分量都0時，稱為基礎可行解，否則為基礎非可行解。退化解基礎可行解的非零分量個數(shù)<

m

時，稱為退化解可行基

對應于基礎可行解的基稱為可行基最優(yōu)解

使目標函數(shù)達到最優(yōu)的基礎可行解稱為最優(yōu)解無窮多最優(yōu)解

當最優(yōu)解的基變量組成不止一個時，線性規(guī)劃有無窮多最優(yōu)解39

三、線性規(guī)劃標準型問題解的關系約束方程的解空間基礎解可行解非可行解基礎可行解退化解四、線性規(guī)劃解的判定對于某一線性規(guī)劃的任意一個解X，我們如何判定X是基礎解、或是基礎可行解、或是基礎非可行解、或是非可行解、或是可行解呢？判定步驟：1、寫出給定線性規(guī)劃問題的標準型線性規(guī)劃；2、根據基礎解的三個條件判定X是否是基礎解。當三個條件均滿足時，X才是基礎解；否則X不是基礎解。若X是基礎解，轉3；否則，轉4；3、X是否滿足非負約束，即其基變量值是否都大于0？若是，X是基礎可行解；否則X是基礎非可行解。4、將X代入給定線性規(guī)劃的所有約束方程，包括非負約束，若X滿足所有約束方程，則X為可行解，否則X為非可行解。41五、線性規(guī)劃解的判定舉例六、線性規(guī)劃問題解的一些基本定理42定理1若線性規(guī)劃問題存在可行域，則其可行域是凸集。定理2線性規(guī)劃問題可行域的頂點與其基礎可行解一一對應。定理3若線性規(guī)劃問題存在可行域，則它必有基礎可行解。定理4若線性規(guī)劃問題存在可行域且其可行域有界，則它必有最優(yōu)解。定理5若線性規(guī)劃問題存在最優(yōu)解，則其最優(yōu)解一定可以在其可行域的某個頂點上取得。43

1.3.3單純型法的基礎原理一、單純形法的基礎思路和步驟（一）基礎思路從一個基礎可行解出發(fā)，設法得到另一個更好的基礎可行解，直到目標函數(shù)達到最優(yōu)時，基礎可行解即為最優(yōu)解。（二）基礎步驟1、求一個基礎可行解，稱為初始基礎可行解。求初始基礎可行解的方法必須簡單實用，且具有通用性；2、最優(yōu)檢驗。即檢驗任一基礎可行解是否是最優(yōu)解。若是，則停止計算；否則，轉3）；3、確定改善方向，求得另一個更好的基礎可行解；轉2，直到求得最優(yōu)解為止。通常把這三個基礎步驟稱為最優(yōu)化三步曲。事實上，這三部曲對求解其它最優(yōu)化問題（如非線性規(guī)劃等）也是適用的。44

單純型法的基礎步驟二、單純性法基本原理45為了使大家比較直觀容易地理解利用單純形法求解線性規(guī)劃問題三個步驟的基礎原理，我們先以解線性方程組的方法來求解例1線性規(guī)劃。解：（一）標準化（二）選擇初始基礎可行解46從系數(shù)矩陣A中可知，x3、x4和x5的系數(shù)列向量P3，P4和P5是線性獨立，這些向量可構成一個基B0（初始基）對應于基B0的變量x3、x4和x5為基變量，其它兩個變量x1和x2為非基變量。即XB0=（x3，x4，x5)T，XN0=（x1，x2)T令非基變量x1=x2=0，可得一初始基礎可行解X(0)=(0，0，10，8，7)T此時，對應于X(0)的目標函數(shù)f(X(0))=6x1+4x2=0（三）最優(yōu)檢驗47將（2）式代入(1)的目標函數(shù)后可得f(X)=0+6x1+4x2

（3）從目標函數(shù)（3）可知，非基變量x1和x2的系數(shù)都是正數(shù)，所以X(0)不是最優(yōu)解。（四）求另一個更好的基礎可行解1、確定換入變量及其值從從目標函數(shù)（3）可知，非基變量x1的系數(shù)大于x2的系數(shù)，所以，可確定x1為換入變量由于所以，當另一個非基變量x2仍然為0時，由（4）式可得到換入變量x1的值為x1=Min{10/2，8/1，--}=52、確定換出變量48由于基變量的個數(shù)只能等于約束方程的個數(shù)m，在本例中，m=3，所以，當有一個非基變量做為換入變量變?yōu)榛兞繒r，就必須有一個基變量做為換出變量變?yōu)榉腔兞?。即從所有基變量中，將其中一個大于0的基變量變?yōu)榈扔?的非基變量，該非基變量就是換出變量。從（4）式可知，當x1=5時，x3=0，所以x3為換出變量。由此得到線性規(guī)劃（1）的一個新的基B1和一組新的基變量與非基變量。XB1=（x1，x4，x5)T，XN1=（x3，x2)T3、求另一個更好的基礎可行解49將（1)約束方程中對應于基B1的非基變量x3和x2移到方程的右邊后可得令非基變量x2=x3=0，可得另一基礎可行解X(1)=(5，0，0，3，7)T此時，對應于X(1)的目標函數(shù)f(X(1))=6x1+4x2=30>f(X(0))=0（五）最優(yōu)檢驗將（5）式代入(1)的目標函數(shù)后可得f(X)=30+x2-3x3

（6）從目標函數(shù)（6）可知，非基變量x2的系數(shù)是正數(shù)，所以X(1)不是最優(yōu)解。（六）求另一個更好的基礎可行解501、確定換入變量及其值從從目標函數(shù)（6）可知，只有非基變量x2的系數(shù)為正，所以，可確定x2為換入變量。由于所以，當另一個非基變量x3仍然為0時，由（7）式可得到換入變量x1的值為x2=Min{10/0.5，3/0.5，7/1}=62、確定換出變量從（7）式可知，當x2=6時，x4=0，所以x4為換出變量。由此得到線性規(guī)劃（1）的一個新的基B2和一組新的基變量與非基變量。B2=(P1,P2,P5),XB2=（x1，x2，x5)T，XN2=（x3，x4)T513、求另一個更好的基礎可行解將（1)約束方程中對應于基B2的非基變量x3和x4移到方程的右邊后可得令非基變量x3=x4=0，可得另一基礎可行解X(2)=(2，6，0，0，1)T此時，對應于X(2)的目標函數(shù)f(X(2))=6x1+4x2=36>f(X(1))=30（七）最優(yōu)檢驗將（8）式代入(1)的目標函數(shù)后可得f(X)=36-2x3-2x4

（9）從目標函數(shù)（9）可知，非基變量x3和x4的系數(shù)都是負數(shù)，所以X(2)是最優(yōu)解。即X*=X(2)=(2，6，0，0，1)T,f(X*)=36三、求初始基礎可行解（背景模型，MAX,≤)52設線性規(guī)劃問題為另設bi0(i=1,2,…,m)。標準化后，若對xj和aij重新編號，則約束方程可化為變量x1，x2，…，xm作為初始基變量，其余變量作為初始非基變量，并令xm+1=xm+1=…=xn+m=0，則得初始本可行解四、最優(yōu)檢驗53對于標準化線性規(guī)劃問題(2)，經過若干次迭代后，如果對xj及aij重新編號，則約束方程可化為其中，b’i和a’ij表示經過若干次迭代后，當前的右端系數(shù)和技術系數(shù)，以便區(qū)別于原始的右端系數(shù)bi和技術系數(shù)aij。將上式代入（2）的目標函數(shù)后可得機會成本54在一般情況下，目標函數(shù)值OBJ計算公式和機會成本計算公式可寫成四、最優(yōu)檢驗其中，I為基變量的下標集。最優(yōu)檢驗條件為其中，J表示非基變量的下標集。對于基變量的檢驗數(shù)為因為基變量的技術系數(shù)滿足：aij=1,當i=jaij=0,當ij五、求另一個更好的基礎可行解

55若某一基礎可行解經過最優(yōu)檢驗表明不是最優(yōu)解，則需要設法求得另一個更好的基礎可行解。求另一個更好的基礎可行解的主要步驟如下：1、確定換入變量；2、確定換出變量；3、通過基變換或初等變換求得另一個更好的基礎可行解。我們已在前面例子中說明了這種初等變換方法的基礎思路。下一小節(jié)我們將用單純形表進一步說明這種初等變換方法。56

1.3.4單純形法表及單純形法57

例

試列出下面線性規(guī)劃問題的初始單純型表單純形法步驟581、求初始基礎可行解

將線性規(guī)劃模型標準化，建立初始單純形表，求初始基礎可行解。2、最優(yōu)檢驗：對任一基礎可行解X，若其所有檢驗數(shù)j

=cjzj0，jJ則X為最優(yōu)解，即X*=X，計算最優(yōu)解所對應的最優(yōu)目標函數(shù)值f(X*)，算法停止。否則轉3。3、求另一個更好的基礎可行解1）確定入變量xk

若則xk為換入變量；2）確定換出變量xl*

計算若l為空集，則為無界解，算法停止。否則與右端系數(shù)b’l

同一行的基變量xl*為換出變量。轉3）3）初等變換，得到另一個更好的基礎可行解將入變量xk所在列k，出變量xl*所在行l(wèi)的主元技術系數(shù)a’lk變換為1，主元a’lk所在列的其余元變換為0。更換基變量（用入變量xk替換出變量xl*）及其價值系數(shù)，得到另一個更好的基礎可行解。轉2。幾種特殊情況下的投資決策?設備更新決策設備更新決策是比較設備更新與否對企業(yè)的利弊。通常采用凈現(xiàn)值作為投資決策指標。設備更新決策可采用兩種決策方法，一種是比較新、舊兩種設備各自為企業(yè)帶來的凈現(xiàn)值的大?。涣硪环N是計算使用新、舊兩種設備所帶來的現(xiàn)金流量差量，考察這一現(xiàn)金流量差量的凈現(xiàn)值的正負，進而做出恰當?shù)耐顿Y決策。?例（教材97－98頁）

方法1，新舊設備凈現(xiàn)值比較繼續(xù)使用舊設備:每年經營現(xiàn)金流量為20萬元，凈現(xiàn)值為：NPV＝20萬元×PVIFA（10％，10）＝20萬元×6.145＝122.9萬元?使用新設備：初始投資額＝120－10－16＝94(萬元)經營現(xiàn)金流量現(xiàn)值＝40×PVIFA(10%,10)＝40×6.145＝245.8(萬元)終結現(xiàn)金流量現(xiàn)值＝20×0.386＝7.72(萬元)凈現(xiàn)值＝－94＋245.8＋7.72＝159.52(萬元)由于使用新設備的凈現(xiàn)值大于繼續(xù)使用舊設備的凈現(xiàn)值，故采用新設備。?方法2：差量比較法初始投資額＝120－10－16＝94(萬元)經營現(xiàn)金流量差量＝40－20＝20(萬元)經營現(xiàn)金流量差量現(xiàn)值＝20×6.145＝122.9(萬元)終結現(xiàn)金流量現(xiàn)值＝20×0.386＝7.72(萬元)現(xiàn)金流量差量凈現(xiàn)值＝－94＋122.9＋7.72＝36.62(萬元)?設備比較決策這一決策比較購置不同設備的效益高低。一般來講，進行這一決策時應比較不同設備帶來的成本與收益，進而比較其各自凈現(xiàn)值的高低。但有時我們也假設不同設備帶來的收益是相同的，因而只比較其成本高低即可。很多情況下，不同設備的使用期限是不同的，因此我們不能直接比較不同設備在使用期間的凈現(xiàn)值大小，而需要進行必要的調整。這種調整有兩種：一種是將不同設備的凈現(xiàn)值轉化為年金。一種是將不同設備轉化為相同的使用年限。?例