一元二次方程及其應(yīng)用

（2014?，第8題3分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ A．B．C．考點(diǎn)：根的判別式．專題：計(jì)算題．分析：先根據(jù)判別式的意義得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．解答：解：根據(jù)題意得△=（﹣3）2﹣4m＞0， ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，（2014?廣西玉林市、防城港市，第9題3分）x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否存在實(shí)數(shù)m使 +=0成立？ A．m=0時(shí)成 B．m=2時(shí)成 C．m=0或2時(shí)成立D．不存 =0成立， 解：∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，答：∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假設(shè)存在實(shí)數(shù)m =0成立， ∴∴m=0符合題意．A． 本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的兩評：根時(shí)，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．[來源:學(xué)*科*網(wǎng)]3．(2014年市，第10題3分)要組織一次排球邀請賽，參賽的每個(gè)隊(duì)之間都要比賽一xx滿足的關(guān)系式為（）A． B． 考點(diǎn)：分析：關(guān)系式為：球隊(duì)總數(shù)×每支球隊(duì)需賽的場數(shù)÷2=4×7，把相關(guān)數(shù)值代入即可．解答：解：每支球隊(duì)都需要與其他球隊(duì)賽（x﹣1）21點(diǎn)評：本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是得到比賽總場數(shù)212．4（2014 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2考點(diǎn)：解一元二次方程－分析：直接利用十字相乘法分解因式，進(jìn)而得出方程的根解答：解：x2﹣x﹣2=0（x﹣2（x+1）=0，5（2014? D．沒有實(shí)數(shù) 把a(bǔ)=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷方程根的情況． 解答：∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0， 本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b2﹣評：4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；6.（2014·云南，第3題3分）已知x、x是一元二次方程x24x10的兩個(gè)根， x1x2等于

a1b4c1，x

c1

本題考查一元二次方程ax2bxc0(a07.（2014·云南，第6題3分）某果園2011年水果產(chǎn)量為100噸，2013年水果產(chǎn)量 144(1x)2 100(1x)2 144(1x)2 100(1x)2 果園從2011年到2013年水果產(chǎn)量問題，是典型的二次增長問題． 答：100(1x)2144，D． 時(shí)必有實(shí)數(shù)解”，能說明這個(gè)命題是假命題的一個(gè)反例可以是（

．

．

考點(diǎn) 專題 常規(guī)題型分析 解答：解：△=b2﹣4b=﹣1b＜0，而△＜0，方程沒b=﹣1時(shí)，可說明這個(gè)命題是假命題．點(diǎn)評：本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許（2014?益陽，第5題，4分）一元二次方程x2﹣2x+m=0總有實(shí)數(shù)根，則m應(yīng)滿足的條 A． 根據(jù)根的判別式，令△≥0，建立關(guān)于m的不等式，解答即可． 解：∵方程x2﹣2x+m=0總有實(shí)數(shù)根，答：∴△≥0， 評：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；10（2014? A（a，c，ax2+bx+c=0的兩根x1，x2判斷正確的是（ A． B． D．x1+x2x1?x2 析：在該函數(shù)圖象的另外一支上，得出b＜0，c＜﹣1，再根據(jù)x1?x2=，x1+x2=﹣，即 答：∴C． 評：鍵；若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的兩個(gè)x1+x2=﹣，x1x2=11.（2014?63分）xx2+ax+b=0有一個(gè)非零根﹣b，a﹣b的值為（） 考點(diǎn)：分析：xx2+ax+b=0有一個(gè)非零根﹣b，那么代b2﹣ab+b=0b即可求解答 A． 12（2014每盆植3株時(shí)，平均每株4元；若每盆增加1株，平均每株減少0.5元，要使每盆的達(dá)到15元，每盆應(yīng)多植多少株？設(shè)每盆多植x株，則可以列出的方程是 A（3+x（4﹣0.5x）=15 B（x+3（4+0.5x）=15C（x+4（3﹣0.5x）=15 D（x+1（4﹣0.5x）=15x株，則每盆花苗有（x+3）株，得出平均單株為（4﹣0.5x）元，由題意得（x+3（4﹣0.5x）=15即可．（3x（﹣0.x）=15點(diǎn)評：此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)每盆花苗株數(shù)×平均單株=總得二.1.（2014?廣西賀州，第16題3分）已知關(guān)于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的最大整數(shù)值是0 根據(jù)判別式的意義得到△=（1﹣m）2﹣4×＞0，然后解不等式得到m的取值范 m0．0． 本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，評：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒2（2014? 析：解得原方程的解． 答：解得，x1=0，x2=3． 評：左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點(diǎn)解出方程的根．因式分解法是解一元3.（2014?17題，3分）a，bx2﹣x﹣3=02a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值為 根據(jù)一元二次方程解的定義得到a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3，則析：2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5，整理得2a2﹣2a+17，然后再把a(bǔ)2=a+3代入后合并即可． 解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的兩個(gè)根，答：∴a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0=23．[來源:學(xué)&科&網(wǎng) 評：問題；利用因式分解簡化計(jì)算問題．也考查了一元二次方程解的定義．4.（2014?呼和浩特，第15題3分）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2﹣ 解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且一元二次方程的求根將m=﹣1、n=﹣1﹣代入m2﹣mn+3m+n=8；將m=﹣1﹣、n=﹣1代入m2﹣mn+3m+n=8； 此題主要考查了一元二次方程根根的計(jì)算，根據(jù)題意得出m和n的值是解決問評：題的關(guān)鍵．5.（2014?164分）x2+2kx+k2﹣2k+1=0x1，x2x12+x22=4，則k的值為 1 1 1 由x2+x2=x2+2x?x+x2﹣2x?x=（x+x 1 1 12 解；x12+x2 1 1 1x2+x2=x2+2x?x+x2﹣2x?x=（x+x）2﹣2x?x=4， 1 1 14k2﹣4（k2﹣2k+1）=4，k=1． 本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為評：x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=．6（2014?2m﹣4，則 （ab＞0 ∴∴ 本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一評：元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式三.1.（2014?249分）1011.9萬輛，估計(jì)每年報(bào)廢的電動車數(shù)量是上一年年底電動車擁有量的0.1%） 析：量，進(jìn)而得出不等式求出即可； （1）答：由題意可得出：今年將報(bào)廢電動車：10×10%=1（萬輛（10﹣1）+x=1（明年年底電動車擁有量為：11.9萬輛， 評：與明年電動車數(shù)量是解題關(guān)鍵．2（2014?400AB，BC各為 設(shè)AB的長度為x，則BC的長度為（100﹣4x）米；然后根據(jù)矩形的面積列出方析：程． 解：設(shè)AB的長度為x，則BC的長度為（100﹣4x）米．答：根據(jù)題意得（100﹣4x）x=400，解得100﹣4x=20∴x2=5AB，BC20米、20 評：條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．3.2014年，第22題9分）已知關(guān)于x的方程（1）（1）25x若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為1120元，求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次． 分析 解答 25xx﹣1點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．最大銷售利潤的問題常利5.（2014?襄陽，第16題3分）若正數(shù)a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一個(gè)根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一個(gè)根，則a的值是5 把x=a代入方程x2﹣5x+m=0，得a2﹣5a+m=0①，把x=﹣a代入方程方程x2+5x﹣析：m=0，得a2﹣5a﹣m=0②，再將①+②，即可求出a的值． 解：∵a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一個(gè)根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的答：一個(gè)根，①+ 評：邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解（2014?26題）y=﹣x2+bx+cx=2，且經(jīng)過原點(diǎn)，直ACy=kx+4，（2） =，求（1題圖 （0，0，B，C對x軸的垂線，進(jìn)而有B，C橫坐標(biāo)的比為=．由B，C為直線與二次函數(shù)B，Ck易得．B，CEB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易證k （1）∵答：∴﹣=2，0=0+0+c，1OB，OCAAE⊥yEBBF⊥y∵y=kx+4y=﹣x2+4xk=9（y軸右邊，不符題意，舍去）∵xB=，xC=，且B、C過y=kx+4，[來源:]整理得 評：識．題目特殊，貌似思路不難，但若思路不對，計(jì)算異常復(fù)雜，題目所折射出來的（2014?21題，6分）x的一元二次方程=0a、b、c分別為△ABC （1）直接將x=﹣1代入得出關(guān)于a，b的等式，進(jìn)而得出a=b，即可判斷△ABC的析：形狀； （1）△ABC答：理由：∵x=﹣1是方程的根，∴△ABCc[ ∴△ABC 評：確由已知獲取等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．（2014年江蘇，第22題，8分）某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成2.6x．x3年的可變成本為2.6（1+x）2x．考點(diǎn)：列一元二次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用%]（1）2.6（1+x2.6（1+x）2，故得出答案；（1）．10%．（2014年江蘇，第24題）已知二次函數(shù)y=x2﹣2mx+m2+3（m是常數(shù)yx軸只x軸的交點(diǎn)問題，根的判別式，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與幾（1）（1）mx（2）y=（x﹣m）2+3y3（m，0x