高數(shù)常用公式手冊(cè)

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式第第1頁(yè)共9頁(yè)常用高數(shù)公式1、乘法與因式分解公式2、三角不等式3、一元二次方程 的解4n項(xiàng)和5、二項(xiàng)式開放公式6、根本求導(dǎo)公式7、根本積分公式8、一些初等函數(shù)兩個(gè)重要極限9、三角函數(shù)公式正余弦定理10、萊布尼茲公式11、中值定理12、空間解析幾何和向量代數(shù)13、多元函數(shù)微分法及應(yīng)用14、多元函數(shù)的極值15、級(jí)數(shù)16、微分方程的相關(guān)概念1、乘法與因式分解公式1.11.2 an bn (a b)(an1 an2b an3 1.4 〔 為奇數(shù)〕2、三角不等式2.12.22.32.42.63、一元二次方程 的解3.2(韋達(dá)定理)根與系數(shù)的關(guān)系：4n4.24.34.75、二項(xiàng)式開放公式高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式第第6頁(yè)共9頁(yè)6、根本求導(dǎo)公式：(C)0(C為常數(shù)〕

(cotx)csc2x(secx)secxtanx

1sin2x(x)x1(為實(shí)數(shù)〕(ax)axlna (ex)ex

(cscx)cscxcotx1x2(arcsinx1x2(loga

1lna

(lnx)1x

(arccosx) 1(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x

1cos2x

(arctanx) 11x211x2(arccotx) 1 1x27、根本積分公式：0dxCxdx

x1

secxdxlnsecxtanxCcscxdxlncscxcotxC1CxexdxexCax

dx1x21212x2 dxcos2x

arctanxCarcsinxCsec2xdxtanxCaxdx

lnaC

dx

csc2xdxcotxCcosxdxsinxCsinxdxcosxC8、一些初等函數(shù)：兩個(gè)重要極限：雙曲正弦shxexex2雙曲余弦chxexex

sin2xsecxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxCx sinx lim 11x01lim(1 )xe2.718281828459045...2雙曲正切thxshxexex

x xchx

exexarshxln(x x21〕archxln(x x21)arthx1ln1x2 1x9、三角函數(shù)公式：·和差角公式： ·和差化積公式：sin()sincoscossin sinsin2sincoscos()coscossinsin 2 2tantan

sinsin2cos

sintan()1tantan 2 2cot

coscos2cos

coscot()

cot 1 2 2cotcot

coscos2sinsin2 2·倍角公式：sin22sincoscos22cos2112sin2cos2sin2

sin33sin4sin3

cot212cot

4cos33costan33tantan3

2tan1tan2

13tan2·半角公式：

1cos

1cos2 2 2 2

1cos

1cos

sin

1cos

1cos

sin2 1cos sin 1cos 2 1cos sin 1cosa b c 2R·正弦定理：sinA sinB sinC

·余弦定理：

c2a2b22abcosC·反三角函數(shù)性質(zhì)：

arcsinx

arccosx arctanx2 2

arccotx10、高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲〔Leibniz〕公式：(uv)(n)

k0

Cku(nk)v(k)nu(n)vnu(n1)v

n(n1)

n(n1)(nk1)u(n2)v u(nk)v

uv(n)2! k!11、中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f(bf(a)f()(ba)f(b)f(a) f()柯西中值定理： F(b)F(a)

F()當(dāng)F(xx時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。12、空間解析幾何和向量代數(shù)：(xx)2((xx)2(yy)2(zz)2AB1 2 2 1AB

2 1 2 1向量在軸上的投影PrjAB u

cos,是AB與u軸的夾角。Prj(aa)PrjaPrjau 2 1 2ababcos

abxx

ab

ab

,是一個(gè)數(shù)量,xxyyxxyyzza2a2a2 b2b2b2

abx y z x y z i j k caba ax b bx y

a,cabsin.例：線速度：vwr.zbz[[( x y b

bz 為銳角時(shí)，abc

a b)cx c cx

a bccos ,azacz代表平行六面體的體積。平面的方程：1、點(diǎn)法式：A(xxByyC(zzn0 0 n

)0，其中AB,CM

(x,y,z)0 0 0 02、一般方程：AxByCzD03 x y z、截距世方程： 1AxAxByCzD0 0 0A2B2C2d

t s mnp t s mnp y

mtxxm n p 空間直線的方程：0m n p

zz0

,其{,,};參數(shù)方程

nt二次曲面：

0zzpt0x2 y2 z2、橢球面：a2

1b2 c2x2 y2、拋物面： ,,同號(hào)〕2p 2q3、雙曲面：x2 y2 z2單葉雙曲面： 1a2 b2 c2x2 y2 z2雙葉雙曲面：a2

b2 c2

1

馬鞍面〕13、多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dzzdxzdy udzx y x y z全微分的近似計(jì)算：zdzfx多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：

(x,y)xfy

(x,y)ydz zu zvzf[u(t),v(t)] dt u t vtz zu zvzf[u(x,y),v(x,y)]

uxvx當(dāng)uu(xy)，vv(xy)時(shí)，u u v vduxdxydy 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：dy F

d2y

F dy隱函數(shù)F(x,y)0， x， ( x)＋( x)dx Fy

dx2

x Fy

y F dxyz z 隱函數(shù)F(x,y,z)0，

zFyx Fz

y FzFuGuFvGvF(x,y,u,v)FuGuFvGv隱函數(shù)方程組G(x,y,u,v)0

J(u,v)

u vG Gu vu1(F,G) v1(F,G)x J (x,v) x J (u,x)u1(F,G) v1(F,G)y J (y,v) y J (u,y)微分法在幾何上的應(yīng)用：x(t)空間曲線y

(t)在點(diǎn)M(xyz

xx)處的切線方程： 0

yy0

zz 0z(t)

0 0

(t) (t) (t)0 0 0在點(diǎn)M處的法平面方程：(t0

)(xx0

)(t0

)(yy0

)(t0

)(zz0

)0假設(shè)空間曲線方程為F(x,y,z)

F,則切向量T{ y

F Fz,

F F Fx, x y}G(x,y,z)0

G G G G G G曲面F(xyz)0上一點(diǎn)M(xyz 0 0 0

y z z x x y1、過(guò)此點(diǎn)的法向量：n{Fx

(x,y,z0 0

),Fy

(x,y,z0 0

),F(xz 0

0 02、過(guò)此點(diǎn)的切平面方程：Fx

(x,y,z0 0

)(xx0

)Fy

(x,y,z0 0

)(yy0

)F(x,y,zz 0 0

)(zz0

)03、過(guò)此點(diǎn)的法線方程：

xx0

yy0

zz0F(xx 0

,y,z) F0 0 y

(x,y,z0 0

) F(xz 0

,y,z)0 014、多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)f(xyx 0 0

)fy

(x,y0

)0，令：fxx

(x,y0

)A, fxy

(x,y0

)B, fyy

(x,y0

)C A0,(x,y

)為極大值A(chǔ)CB2時(shí) 0 0A0,(xy)為微小值0 0則ACB2時(shí)， 無(wú)極值A(chǔ)CB20時(shí), 不確定15、級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：等比數(shù)列1qq2qn1

1qn1q等差數(shù)列123n(n)n2調(diào)和級(jí)數(shù)1111是發(fā)散的2 3 n級(jí)數(shù)審斂法：1〔柯西判別法〕：設(shè)：

1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散n n

2、比值審斂法：1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂設(shè)：limUn1，則1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散nUn3、定義法：

suun 1 2

u

;lims存在，則收斂；否則發(fā)散。nnn穿插級(jí)數(shù)uu1 2

uu3

(或u1

uu2

,un0)u

un1，那么級(jí)數(shù)收斂且其和su

,其余項(xiàng)r確實(shí)定值ru 。limu 0

1 n n

n1nn確定收斂與條件收斂：uu1 2

un

，其中u為任意實(shí)數(shù)；nuu1 2

uu3 n假設(shè)(2)收斂，則(1)確定收斂，且稱為確定收斂級(jí)數(shù)；調(diào)和級(jí)數(shù)1()n收斂；n1n2

n收斂；1

np p1時(shí)收斂?jī)缂?jí)數(shù)：1xx2x3xn

xnx1時(shí)，發(fā)散n

11x對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a0

axa1

x2a

xn，假設(shè)它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全R時(shí)收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在R，使xR時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。xR時(shí)不定求收斂半徑的方法：設(shè)limn

anan1a

0時(shí)，R1是(3)的系數(shù)，則0時(shí)，Rn1函數(shù)開放成冪級(jí)數(shù)：

n 時(shí)，R0高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式f(x) f(n)(x)函數(shù)開放成泰勒級(jí)數(shù)：f(x)f(x0f(n1)()

)(xx)0

0(xx2! 0

)2

0(xxn!

)n余項(xiàng)：R

(xx

)n1,f(x可以開放成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是limR0n (n1)!

f(0)

f(n)(0)

nnx0時(shí)即為麥克勞林公式：f(x)f(0f(0)x0

x2 xn2! n!一些函數(shù)開放成冪級(jí)數(shù)：(1x)m1mx

m(m1)

m(m1)(mn1)x2 xn 2! n!x3 x5 x2n1sinxx (1)n1 (x)3! 5! (2n1)!歐拉公式：

eixe cos 2 ：eix

cosxisinx 或sinxeixeix 216、微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程：yf(x,y) 或P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分別變量的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dyf(x)dx的形式，解法：gy)dyf(x)dx 得：Gy)F(xC稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方程可以寫成dyf(x,y)(x,y) y，即寫成的函數(shù)，解法：dx xuy，則dyuxduuduudx du yx dx dx dx x (uux代替u，即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1 dy