有關(guān)線性代數(shù)的矩陣方面的問題

有關(guān)線性代數(shù)的矩陣方面的問題第一頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六簡記為元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.主對角線副對角線第二頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六例如是一個實矩陣,是一個復(fù)矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣.第三頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六例如是一個3階方陣.幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作第四頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).

稱為對角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如的方陣,不全為0第五頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如記作第六頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六(5)方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.

全為1第七頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六定義1矩陣的運算設(shè)有兩個矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為第八頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六說明只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運算.例如第九頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六2、矩陣加法的運算規(guī)律第十頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六定義2第十一頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.（設(shè)為矩陣，為數(shù)）第十二頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六cij=ai1b1j+ai2b2j+...+aisbsj（即cij等于A的第i行與B的第j列對應(yīng)元素積之和）例1

計算下列乘法：1)2)3)=[5]一般，AB≠BA設(shè)A=[aij]m×s,B=[bij]s×n,定義：AB=[cij]m×n定義3第十三頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六注意

只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.例如不存在.第十四頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六矩陣乘法的運算規(guī)律（其中為數(shù)）;若A是階矩陣，則為A的次冪，即并且第十五頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六注意

矩陣不滿足交換律，即：例

設(shè)則第十六頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六但也有例外，比如設(shè)則有第十七頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六例3

計算下列乘積：解第十八頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六解=(）第十九頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六解例4第二十頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六由此歸納出第二十一頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時，顯然成立.假設(shè)時成立，則時，第二十二頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六所以對于任意的都有第二十三頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例（1）轉(zhuǎn)置矩陣矩陣的其它運算第二十四頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)第二十五頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六例5已知解法1第二十六頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六解法2第二十七頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六（2）方陣的行列式定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運算性質(zhì)第二十八頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六定義1分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，3.2n元向量及其線性相關(guān)第二十九頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六

n維向量的表示方法

維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行矩陣，通常用等表示，如：

維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列矩陣，通常用等表示，如：第三十頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六注意

１．行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩陣的運算法則進(jìn)行運算；

３．當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時，都當(dāng)作列向量.第三十一頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六定義2a,b為數(shù)域F上的n元向量，，將a，b的對應(yīng)分量相加所得的n元向量稱為a與b的和，記為a+b；將k乘a的每一個分量所得的n元向量，稱為k與a的數(shù)量乘積，記為ka.第三十二頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六定義3線性組合第三十三頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六

向量能由向量組線性表示．第三十四頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六注意定義4則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)．第三十五頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六定理向量組（當(dāng)時）線性相關(guān)的充分必要條件是中至少有一個向量可由其余個向量線性表示．證明充分性

設(shè)中有一個向量（比如）能由其余向量線性表示.即有第三十六頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六故因這個數(shù)不全為0，故線性相關(guān).必要性設(shè)線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)使第三十七頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六因中至少有一個不為0，不妨設(shè)則有即能由其余向量線性表示.證畢.第三十八頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六推論1兩個向量線性相關(guān)的充要條件是它們的對應(yīng)分量成正比（或稱這兩個向量成正比）推論2含零向量的向量組線性相關(guān)推論3線性無關(guān)向量組的不分組線性無關(guān)第三十九頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六定理若線性無關(guān)而線性相關(guān)則可唯一表為的線性組合。證明及例題見書38第四十頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六3.3向量組的秩向量組的等價具有以下性質(zhì)：1任意一組向量與它自身等價；2如果組（1）與組（2）等價，組（2）與組（3）等價，那么組（1）與組（3）等價。第四十一頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六定義2最大線性無關(guān)向量組最大無關(guān)組第四十二頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第四十三頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六定義3向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為向量組的秩有定義可得如下重要結(jié)論：1等價向量組等秩2向量組的秩是r，則向量組中任意r個線性無關(guān)的向量都是該向量組的極大線性無關(guān)組。3向量組線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它的秩等于它所含向量的個數(shù)第四十四頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:3.4矩陣的秩與初等變換第四十五頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六定義2矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換第四十六頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六等價關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價．例如，兩個線性方程組同解，就稱這兩個線性方程組等價第四十七頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六矩陣的秩第四十八頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六定義2矩陣A的行向量組的秩和列向量組的秩，分別稱為A的行秩和列秩。定理3.4.1矩陣的行（列）初等變換不改變矩陣的行（列）秩。定理3.4.2矩陣的行秩與列秩相等。第四十九頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六例1解第五十頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六例2解第五十一頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六例3解計算A的3階子式，第五十二頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六另解顯然，非零行的行數(shù)為2，此方法簡單！第五十三頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六問題：經(jīng)過變換矩陣的秩變嗎？證矩陣秩的求法第五十四頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第五十五頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第五十六頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變．第五十七頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六證畢第五十八頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例4解第五十九頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第六十頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第六十一頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第六十二頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六由階梯形矩陣有三個非零行可知第六十三頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第六十四頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六則這個子式便是的一個最高階非零子式.第六十五頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第六十六頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六例5解分析：第六十七頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第六十八頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第六十九頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六用矩陣的初等行變換解方程組（1）：第七十頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第七十一頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第七十二頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第七十三頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六特點：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．第七十四頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．

行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形．第七十五頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六例如，第七十六頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六特點：所有與矩陣等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個等價類中最簡單的矩陣.第七十七頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六定義由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣.矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運算，應(yīng)用廣泛.3.5初等矩陣第七十八頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第七十九頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第八十頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第八十一頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第八十二頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第八十三頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第八十四頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第八十五頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第八十六頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六則矩陣稱為的可逆矩陣或逆陣.3.6可逆矩陣

一、概念的引入在數(shù)的運算中，當(dāng)數(shù)時，有其中為的倒數(shù)，（或稱的逆）；在矩陣的運算中，單位陣相當(dāng)于數(shù)的乘法運算中的1，那么，對于矩陣，如果存在一個矩陣,使得第八十七頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六二、逆矩陣的概念和性質(zhì)定義

對于階矩陣，如果有一個階矩陣

則說矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣.,使得例設(shè)第八十八頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六說明若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的.若設(shè)和是的可逆矩陣，則有可得所以的逆矩陣是唯一的,即第八十九頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六例設(shè)解設(shè)是的逆矩陣,則利用待定系數(shù)法第九十頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六又因為所以第九十一頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六定理1

矩陣可逆的充要條件是，且

證明若可逆，第九十二頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六第九十三頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六按逆矩陣的定義得證畢奇異矩陣與非奇異矩陣的定義第九十四頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，星期六推論證明逆矩陣的運算性質(zhì)第九十五頁，共一百一十六頁，編輯于2023年，