定積分概念、性質(zhì)

定積分的概念微積分基本公式2021/5/91

17世紀，從實際需要中人們提出許多問題，歸結(jié)起來有兩類：速度問題、切線問題。導數(shù)研究了事物變化的速度，定積分則研究相反的問題：事物變化的累積和。如面積、路程、電量多少、變量作功等等。本章將重點學習定積分的概念、幾何意義及微積分基本定理。

前言2021/5/92

4.1定積分概念一、定積分的引入—曲邊梯形面積的求法注：此“面積”一定是以x軸為一邊的曲邊梯形；yxbaAy=f(x)2021/5/93例如：求曲線y=x2、直線x=0、x=1和y=0所圍成的面積？如圖所示此問題的難點是圖形有一邊是曲的，如何求它的面積呢？研究此問題的基礎(chǔ)是已知矩形的面積公式S=長*寬=a*b，那么研究方法是“無限細分，以直代曲”，將曲邊圖形分劃為若干個小矩形，用小矩形面積△Si矩近似代替小曲邊梯形面積△Si曲，即:xyy=x21A0如果右邊的和式有極限（n→∞），則極限值即為整個曲邊梯形的面積，即：2021/5/94如圖所示：

1）將區(qū)間[0,1]n等分。其分點分別為：2）得n個小條形，每個小條形的寬均為高則分別取區(qū)間右端點xi(i=1,2,…,n)的函數(shù)值3）相乘為第i個小矩形面積：xy0x2x3xn=1xn-1y=x2x0x14）第i個小曲邊梯形面積近似：5）曲邊梯形面積S曲近似：2021/5/95xy010y=x2x01若取n=10容易發(fā)現(xiàn)n越大（即區(qū)間分得越細）則此面積誤差越小，6）直到用極限方法令n→∞，得曲邊梯形的精確值：2021/5/96總結(jié)：求曲邊梯形面積的步驟引例1——曲邊梯形的面積（演示）其中設(shè)物體的運動速度引例2——變速直線運動的路程分割區(qū)間取近似值作和取極限

（1）細分區(qū)間ti-1ti(2)取近似值

（3）作和（4）取極限

T1T2vt2021/5/97曲邊梯形面積A：變速運動的路程S：記為記為二、定積分的概念（演示）2021/5/98

定積分定義

如果當最大的子區(qū)間的長度時，此和式有極限，則此極限叫作f(x)在[a，b]上的定積分，

記為：即2021/5/99在定積分中其中“∫”為積分號（把字母s拉長），a，b為積分下限和上限，即積分變量x的范圍：a≤x≤b，又叫積分區(qū)間；f(x)為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式。上例曲邊圖形的面積用定積分表示注意：據(jù)定義有如下說明:(1)定積分是特殊和式極限,它是一個定數(shù);(2)定積分的大小僅與區(qū)間[a,b]和被積函數(shù)f(x)有關(guān)；(3)規(guī)定：2021/5/9101.若函數(shù)在上連續(xù)，2.若函數(shù)在上有界，且只有有限個間斷點，三、定積分存在的充分條件則在上可積。則在上可積。有界是函數(shù)在區(qū)間[a,b]上可積的必要條件。2021/5/911表示曲線與x軸圍成的圖形面積的代數(shù)和。表示曲線與x軸圍成的圖形面積。四、定積分的幾何意義（演示）abA1A2A3（1）（2）2021/5/912（2）若是奇函數(shù)，則（1）若是偶函數(shù)，則a-a五、定積分的幾何性質(zhì)-aa由定積分幾何意義可得：2021/5/913補充規(guī)定：abxx+dx2021/5/914定積分幾何意義的應(yīng)5/9150xy-332021/5/916把區(qū)間分成n等份，每份長，各分點是：解

因為在上連續(xù)，所以存在例

用定義求定積分=2021/5/917規(guī)定：abxx+dx六、定積分的基本性質(zhì)2021/5/918無論a,b,c的相對位置如何，（3）式均成立?？赏茝V至有限個函數(shù)的代數(shù)和的情形。bca···acb···◆定積分的基本性質(zhì)2021/5/919..則有推論1設(shè)

，對任意òò≤babadxxgdxxf)()(（5）對任意)≥0，則有(xf2021/5/920.性質(zhì)6（介值定理）：設(shè)f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最小值m，于是，由性質(zhì)5有.幾何意義也很明顯再根據(jù)閉區(qū)間上的聯(lián)系函數(shù)的介值定理可得2021/5/921

如果變速直線運動物體的運動方程是

S=S(t)，則在時間段[T1,T2]內(nèi)所發(fā)生的位移變化為S(T2)-S(T1)如果物體的運動方程為V=V(t)，則由定積分可知

連續(xù)函數(shù)

在區(qū)間

上的定積分等于它的一個原函數(shù)

在積分區(qū)間上的增量◆微積分基本公式而？2021/5/922微積分基本公式（一）——變上限的積分定理axb2021/5/923證明思路參見書2021/5/924例1例2

解：用分點0插分區(qū)間[x,-2x]2021/5/925例3例42021/5/926設(shè)

在區(qū)間

上連續(xù)，

是它的任意一個原函數(shù)，則有微積分基本公式（二）——牛頓—萊布尼茲公式證明思路

記作2021/5/927例2求下列定積分解

因為

在

上連續(xù)，

是它的一個原函數(shù)

所以

2021/5/928或解原式

幾何意義2021/5/929解原式

幾何意義2021/5/930解原式

解原式

合理應(yīng)用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)，簡化定積分的計算。2021/5/931解設(shè)，求分段函數(shù)的積分計算，應(yīng)分區(qū)間選取相應(yīng)的函數(shù)函數(shù)在x=1處間斷2021/5/932exit引例曲邊梯形的面積

2021/5/933exit定積分的定義

2021/5/934exit定積分的幾何意義2021/5/935exit估值定理

2021/5/936exit積分中值定理

2021/5/937牛頓-萊布尼茲公式返回2021/5/938若

是奇函數(shù)，則若

是偶函數(shù)，則a-a◆定積分的幾何意義是偶函數(shù)，是奇函數(shù)。-aa偶函數(shù)奇函數(shù)2021/5/939

廣義積分*定義假設(shè)對在[a,b]有定義且可積，

(1)對于[a,+∞]上的無窮積分如果存在，我們稱收斂，且定義：

否則，稱發(fā)散。

(2)對于[-∞，b]的無窮積分

如果存在，我們稱收斂，且定義：

否則，稱發(fā)散。

2021/5/940

廣義積分*（3）對于區(qū)間（-∞，+∞）的無窮積分

如果=A+B.

如果右邊每一個無窮積分都存在，我們稱收斂，