時(shí)間序列模型分析

時(shí)間序列模型分析第一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六§7.1時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)一、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性二、時(shí)間序列平穩(wěn)性的檢驗(yàn)三、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程第二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六一、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性

StationaryTimeSeries第三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六⒈問題的提出經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有：時(shí)間序列數(shù)據(jù)（time-seriesdata)；截面數(shù)據(jù)(cross-sectionaldata)平行/面板數(shù)據(jù)（paneldata/time-seriescross-sectiondata)

時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)。經(jīng)典回歸分析暗含著一個(gè)重要假設(shè)：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。第四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)——“一致性”要求——被破懷。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸”（SpuriousRegression）問題。表現(xiàn)為兩個(gè)本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性。例如：如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。第五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六2、平穩(wěn)性的定義假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一隨機(jī)過程（stochasticprocess）生成的，即假定時(shí)間序列{Xt}（t=1,2,…）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到，如果滿足下列條件：（1）均值E(Xt)=是與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)；（2）方差Var(Xt)=2是與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)；（3）協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=k

是只與時(shí)期間隔k有關(guān)，與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)；則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機(jī)過程是一平穩(wěn)隨機(jī)過程（stationarystochasticprocess）。第六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六白噪聲（whitenoise）過程是平穩(wěn)的：零均值同方差的獨(dú)立分布：Xt=t

，t~N(0,2)隨機(jī)游走（randomwalk）過程是非平穩(wěn)的：

Xt=Xt-1+t，t~N(0,2)Var(Xt)=t2隨機(jī)游走的一階差分（firstdifference）是平穩(wěn)的：Xt=Xt-Xt-1=t，t~N(0,2)如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，它常常可通過取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。如何由定義進(jìn)行證明？第七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六二、時(shí)間序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)

第八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六給出一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列，首先可通過該序列的時(shí)間路徑圖來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動(dòng)的過程；而非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時(shí)間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。1.平穩(wěn)性檢驗(yàn)的圖示判斷三、時(shí)間序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)第九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六平穩(wěn)時(shí)間序列與非平穩(wěn)時(shí)間序列圖第十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六進(jìn)一步的判斷:

檢驗(yàn)樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形。

隨機(jī)時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction,ACF）：

k=k

/0

自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于滯后期k的遞減函數(shù)。對(duì)一個(gè)隨機(jī)過程只有一個(gè)實(shí)現(xiàn)(樣本),因此,只能計(jì)算樣本自相關(guān)函數(shù)(Sampleautocorrelationfunction)。第十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

隨著k的增加，非平穩(wěn)序列的樣本自相關(guān)函數(shù)下降緩慢，而平穩(wěn)序列樣本自相關(guān)函數(shù)迅速下降且趨于零。平穩(wěn)時(shí)間序列與非平穩(wěn)時(shí)間序列樣本自相關(guān)函數(shù)圖第十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

考察序列的樣本自相關(guān)函數(shù)圖：平穩(wěn)性與自相關(guān)函數(shù)kρk非平穩(wěn)序列kρk平穩(wěn)序列第十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六銅現(xiàn)貨價(jià)格（月度數(shù)據(jù)）：第十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六銅現(xiàn)貨價(jià)格的樣本自相關(guān)函數(shù)圖（月度數(shù)據(jù)）：第十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

一階差分后銅現(xiàn)貨價(jià)格的樣本自相關(guān)函數(shù)圖（月度數(shù)據(jù)）：第十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

銅現(xiàn)貨價(jià)格的樣本自相關(guān)函數(shù)圖（日數(shù)據(jù)）：第十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

一階差分后的銅現(xiàn)貨價(jià)格樣本自相關(guān)函數(shù)圖（日數(shù)據(jù)）：第十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

一階差分后銅現(xiàn)貨價(jià)格的樣本自相關(guān)函數(shù)圖（周數(shù)據(jù)）：第十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六注意:

Bartlett曾證明:如果時(shí)間序列由白噪聲過程生成，則對(duì)所有的k>0，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以0為均值，1/T

為方差的正態(tài)分布,其中T為樣本數(shù)。可檢驗(yàn)對(duì)所有k>0，自相關(guān)系數(shù)都為0的聯(lián)合假設(shè)，可通過Q統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行。Q統(tǒng)計(jì)量近似服從分布

如果計(jì)算的Q值大于顯著性水平為的臨界值，則有1-的把握拒絕所有k(k>0)同時(shí)為0的假設(shè)。第二十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動(dòng)，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，隨后在0附近波動(dòng)且逐漸收斂于0。

例1（P265），序列Random1是通過一隨機(jī)過程（隨機(jī)函數(shù)）生成的有19個(gè)樣本的隨機(jī)時(shí)間序列。第二十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

由于該序列由一隨機(jī)過程生成，可以認(rèn)為不存在序列相關(guān)性，因此該序列為一白噪聲。

根據(jù)Bartlett的理論：k~N(0,1/19)

因此任一ρk(k>0)的95%的置信區(qū)間都將是：

可以看出:

k>0時(shí)，rk的值確實(shí)落在了該區(qū)間內(nèi)，因此可以接受k(k>0)為0的假設(shè)。同樣地，從Q統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后17期的計(jì)算值為26.38，未超過5%顯著性水平的臨界值27.58，因此,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)k(k>0)都為0的假設(shè)。

因此，該隨機(jī)過程是一個(gè)平穩(wěn)過程。

第二十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六例2，序列Random2是由隨機(jī)游走過程Yt=Yt-1+t

生成的一隨機(jī)游走時(shí)間序列樣本。其中，第0項(xiàng)取值為0，t是由Random1表示的白噪聲。第二十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

樣本自相關(guān)系數(shù)顯示：1=0.48，落在了區(qū)間[-0.4497,0.4497]之外，因此在5%的顯著性水平上拒絕1的真值為0的假設(shè)。

該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。

圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，但隨著時(shí)間的推移，則在0附近波動(dòng)且呈發(fā)散趨勢。第二十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六例3，檢驗(yàn)中國支出法GDP時(shí)間序列的平穩(wěn)性1978-2000年中國支出法GDP（單位：億元）年份GDP年份GDP19783605.6199018319.519794073.9199121280.419804551.3199225863.619814901.4199334500.619825489.2199446690.719836076.3199558510.519847164.4199668330.419858792.1199774894.2198610132.8199879003.3198711784199982673.1198814704200089112.5198916466

第二十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

圖形：表現(xiàn)出了一個(gè)持續(xù)上升的過程，可初步判斷是非平穩(wěn)的。

樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降，再次表明它是非平穩(wěn)的。第二十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

所以，拒絕該時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后一期之后的值全部為0的原假設(shè)。

結(jié)論:1978~2000年間中國GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)序列。

從滯后18期的Q統(tǒng)計(jì)量看：

Q

(18)=57.18>28.86=20.05第二十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六課堂練習(xí)P305第1題。第二十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

對(duì)時(shí)間序列的平穩(wěn)性除了用圖形直觀判斷外，用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)則更為準(zhǔn)確。

單位根檢驗(yàn)（unitroottest）是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中普遍應(yīng)用的一種檢驗(yàn)方法。

(1)DF檢驗(yàn)我們已知道，隨機(jī)游走序列Yt=Yt-1+t

是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。序列可看成是隨機(jī)模型Yt=Yt-1+t

中參數(shù)=1時(shí)的情形。2.平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)第二十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

也就是說，對(duì)式

Yt=Yt-1+t

（*）

回歸，如果確實(shí)發(fā)現(xiàn)

=1，就說隨機(jī)變量Yt有一個(gè)單位根。則可以通過（*）式是否有單位根來判斷某時(shí)間序列是否是平穩(wěn)的。

（*）式可變成差分形式：

Yt=(-1)Yt-1+t=Yt-1+t

(**)

檢驗(yàn)（*）式是否存在單位根=1，也可通過（**）式判斷是否有

=0。第三十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六一般地:

檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列Yt的平穩(wěn)性，可通過檢驗(yàn)帶有截距項(xiàng)的一階自回歸模型

Yt=+Yt-1+t

（*）中的參數(shù)是否小于1。

或者：檢驗(yàn)其等價(jià)變形式

Yt=+Yt-1+t

（**）中的參數(shù)是否小于0。

可以證明，（*）式中的參數(shù)

>1或=1時(shí)，時(shí)間序列是非平穩(wěn)的;

對(duì)應(yīng)于（**）式，則是>0或

=0。第三十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六針對(duì)（**）式Y(jié)t=+Yt-1+t

零假設(shè)H0：=0,即原序列存在單位根；

備擇假設(shè)H1：

<0;即原序列是平穩(wěn)的；

上述檢驗(yàn)可通過OLS法下的t

檢驗(yàn)完成。然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t

檢驗(yàn)無法使用。

Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計(jì)量服從的分布（這時(shí)的t統(tǒng)計(jì)量稱為統(tǒng)計(jì)量），即DF分布（見下表）。第三十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

通過OLS法估計(jì)

Yt=+Yt-1+t

計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：如果：t<臨界值，則拒絕零假設(shè)H0：

=0，認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。第三十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

DF檢驗(yàn)的問題：在上述使用Yt=+Yt-1+t

對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)中，實(shí)際上假定時(shí)間序列是由一階自回歸過程AR(1)生成的，并且隨機(jī)誤差項(xiàng)是白噪聲。

為了保證DF檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白噪聲特性，Dicky和Fuller對(duì)DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗(yàn)。(2)ADF檢驗(yàn)第三十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六ADF檢驗(yàn)是通過以下3個(gè)模型完成的：

檢驗(yàn)的假設(shè)都是：H0：

=0，即存在一單位根，H1:<0。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項(xiàng)和趨勢項(xiàng)。模型1：模型2：模型3：第三十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)從模型3開始，然后模型2、模型1。

何時(shí)檢驗(yàn)拒絕零假設(shè)，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，何時(shí)檢驗(yàn)停止。否則，就要繼續(xù)檢驗(yàn)，直到檢驗(yàn)完模型1為止。

檢驗(yàn)原理與DF檢驗(yàn)相同，但對(duì)模型1,2,3進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，有各自相應(yīng)的臨界值。

Dicky和Fuller推導(dǎo)了3個(gè)模型所使用的ADF分布臨界值表。第三十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

同時(shí)估計(jì)出上述3個(gè)模型的適當(dāng)形式，然后通過ADF臨界值表檢驗(yàn)零假設(shè)H0：=0。

1）只要其中有一個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認(rèn)為時(shí)間序列是平穩(wěn)的；

2）當(dāng)3個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時(shí)，則認(rèn)為時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。ADF檢驗(yàn)過程：第三十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

例4，檢驗(yàn)1978~2000年間中國支出法GDP時(shí)間序列的平穩(wěn)性。1）經(jīng)過償試，模型3取了2階滯后：

通過拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)對(duì)隨機(jī)誤差項(xiàng)的自相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)：

LM(1)=0.92，LM(2)=4.16，小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2的2分布的臨界值，可見不存在自相關(guān)性。第三十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

從的系數(shù)看，t>臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。時(shí)間T的t統(tǒng)計(jì)量小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?

。第三十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六2）經(jīng)試驗(yàn)，模型2中滯后項(xiàng)取2階：

LM檢驗(yàn)表明模型殘差不存在自相關(guān)性。從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量小于AFD分布表中的臨界值，不能拒絕不存在常數(shù)項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。第四十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六3）經(jīng)試驗(yàn)，模型1中滯后項(xiàng)取2階：

LM檢驗(yàn)表明模型殘差項(xiàng)不存在自相關(guān)性，因此模型的設(shè)定是正確的。從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。結(jié)論：根據(jù)ADF檢驗(yàn)結(jié)果，可斷定中國支出法GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。第四十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

例5，檢驗(yàn)關(guān)于人均居民消費(fèi)與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時(shí)間序列的平穩(wěn)性。第四十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

從滯后14期的Q統(tǒng)計(jì)量看：

CONSP與GDPP序列的Q統(tǒng)計(jì)量計(jì)算值均為57.18，超過了顯著性水平為5%時(shí)的臨界值23.68。再次表明它們的非平穩(wěn)性。

就此來說，運(yùn)用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的回歸方程是無實(shí)際意義的。如果兩個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列是協(xié)整的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，而這兩時(shí)間序列恰是協(xié)整的。

從圖形上看：人均居民消費(fèi)（CONSP）與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPP）是非平穩(wěn)的。第四十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六1)對(duì)中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPP來說，經(jīng)過償試，三個(gè)模型的適當(dāng)形式分別為：模型3：ADF檢驗(yàn)過程：第四十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六模型2：模型1：第四十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六3個(gè)模型中參數(shù)的估計(jì)值的t統(tǒng)計(jì)量均大于各自的臨界值，因此不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。

結(jié)論:人均國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDPP)是非平穩(wěn)的。第四十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六2）對(duì)于人均居民消費(fèi)CONSP時(shí)間序列來說，3個(gè)模型的適當(dāng)形式為：模型3：模型2：第四十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六3個(gè)模型中參數(shù)CONSPt-1的t統(tǒng)計(jì)量的值均比ADF臨界值表中各自的臨界值大，不能拒絕該時(shí)間序列存在單位根的假設(shè)，

結(jié)論：可判斷人均居民消費(fèi)序列CONSP是非平穩(wěn)的。模型1：第四十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六課堂練習(xí)P305第2題。第四十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六三、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程第五十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六1、單整與非單整

如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)序列,也稱原序列是1階單整(integratedof1)序列,記為I(1)過程。如果經(jīng)過d次差分后變成平穩(wěn)序列,則稱原序列是d階單整(integratedofd),記為I(d)。

I(0)代表平穩(wěn)時(shí)間序列。多次差分無法變?yōu)槠椒€(wěn)的時(shí)間序列稱為非單整的(non-integrated)。第五十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

例如，用中國的勞動(dòng)力時(shí)間序列數(shù)據(jù)與美國GDP時(shí)間序列作回歸，會(huì)得到較高的R2

，但不能認(rèn)為兩者有直接的因果關(guān)系，而只不過它們有共同的趨勢罷了，這種回歸結(jié)果我們認(rèn)為是虛假的。2.虛假回歸、偽回歸(spuriousregression)第五十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

如果一個(gè)包含有某種確定性趨勢的非平穩(wěn)時(shí)間序列，可以通過引入表示這一確定性趨勢的趨勢變量，而將確定性趨勢分離出來。注意：這種做法,只有當(dāng)趨勢性變量是確定性的(deterministic)而非隨機(jī)性的(stochastic),才會(huì)有效。3.確定性趨勢與隨機(jī)趨勢第五十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期六

1)如果=1，=0，則（*）式成為一個(gè)帶漂移的隨機(jī)游走過程：

Yt=+Yt-1+t

（**）根據(jù)的正負(fù)，Yt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為隨機(jī)性趨勢(stochastictrend)。

考慮如下的含有一階自回歸的隨機(jī)過程：