常微分方程的基本概念

1.微分方程的基本概念2.一階常微分方程3.二階線性微分方程1

十七世紀(jì)末，力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)提出大量需要尋求函數(shù)關(guān)系的問題。在這些問題中，函數(shù)關(guān)系不能直接寫出來(lái)，而要根據(jù)具體問題的條件和某些物理定律，首先得到一個(gè)或幾個(gè)含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即微分方程，然后由微分方程和某些已知條件把未知函數(shù)求出來(lái)。學(xué)科背景2解A.求曲線方程問題的提出：3一質(zhì)點(diǎn)在重力作用下自由下落（不計(jì)空氣阻力），試求質(zhì)點(diǎn)下落距離S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。

解：將質(zhì)點(diǎn)的初始位置取為原點(diǎn)，沿質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向取正向。已知自由落體的加速度為g,即：B.質(zhì)點(diǎn)自由下落4定義1:

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程稱為微分方程.

未知函數(shù)是一元函數(shù),含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為常微分方程.

未知函數(shù)是多元函數(shù),含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.例如5.1微分方程的基本概念5例如定義2:

(微分方程的階)未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階.一階二階二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程.6定義3:

(微分方程的解)稱為微分方程的通解.通解中各任意常數(shù)取特定值時(shí)所得到的解稱為特解.

微分方程的通解：7定義5:(積分曲線與積分曲線族)積分曲線族

891.微分方程的通解和特解有何區(qū)別和聯(lián)系?2.判斷下列函數(shù)是否是微分方程的解，是通解還是特解?(1)(2)(3)(4)10§5.2一階常微分方程1.變量可分離型3.一階線性方程2.可化為可分離變量主要類型115.2.1可分離變量的微分方程如果一階微分方程這類方程的解法，通常是先將變量分離，再兩邊積分即可.12兩邊積分通解分離變量這兩個(gè)方程的共同特點(diǎn)是變量可分離型13(1)[解]兩邊積分分離變量即于是得到方程通解14(2)[解]分離變量?jī)啥朔e分,得通解奇異解15成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對(duì)方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡(jiǎn),得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.t

足夠大時(shí)例165.2.2可化為可分離變量的方程解齊次方程時(shí),通常用變量替換法,即將齊次方程化為可變量分離的方程.17這兩個(gè)方程的共同特點(diǎn)是什麼?可化為齊次型方程求解方法這是什麼方程？可分離變量方程！18分離變量?jī)啥朔e分由此又得到通解19兩端積分得通解2021例3解2223可得OMA=OAM=例在制造探照燈反射鏡面時(shí),解:設(shè)光源在坐標(biāo)原點(diǎn),則反射鏡面由曲線繞

x

軸旋轉(zhuǎn)而成.過曲線上任意點(diǎn)M(x,y)作切線MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x

軸平行于光線反射方向,從而AO=OM要求點(diǎn)光源的光線反射出去有良好的方向性,試求反射鏡面的形狀.而AO于是得微分方程:24利用曲線的對(duì)稱性,不妨設(shè)

y>0,積分得故有得

(拋物線)故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面.于是方程化為(齊次方程)

25頂?shù)降椎木嚯x為

h,說(shuō)明:則將這時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面方程為若已知反射鏡面的底面直徑為d,代入通解表達(dá)式得2627(1)如何解齊次方程？標(biāo)準(zhǔn)形式：5.3一階線性微分方程分離變量齊次通解解得非齊次齊次28(2)用常數(shù)變易法解非齊次方程假定(1)的解具有形式將這個(gè)解代入(1),經(jīng)計(jì)算得到29化簡(jiǎn)得到即積分從而得到非齊次方程(1)的通解非齊次通解30非齊次通解齊次通解31例1

求

的通解。原方程化為其中解