第三節(jié)向量的數(shù)量積(能力提高練)

【能力提高練】第三節(jié)向量的數(shù)量積1．(2022?新高考全國II卷)已知向量，若，則()A． B． C．5 D．6【解析】,,即,解得,故選：C【答案】C2．(2022?重慶市育才中學(xué)高三第五次適應(yīng)性考試)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱為“趙爽弦圖”.他用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明，極富創(chuàng)新意識(shí).“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則()A．16 B．15 C．12 D．9【解析】因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e是25，小正方形的面積是1，,設(shè)，則，在中，，即，解得或(舍去)，，.故選：A.【答案】A3．(2022?重慶市第八中學(xué)高三第六次調(diào)研檢測(cè))已知等邊△的邊長為，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，若，且，則()A． B． C． D．【解析】由已知條件,圖形如下圖所示：,解得.故選：.【答案】C4．(2022?天津市耀華中學(xué)高三第三次月考)已知向量，，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為()A． B．C．D．【解析】，則，向量在的投影為，所以，向量在方向上的投影向量為.故選：D.【答案】D5．(2022?四川省南充高級(jí)中學(xué)高三第三次月考)已知向量，，則()．A．3 B．5 C．﹣6 D．﹣12【解析】，所以.故選：D【答案】D6．(2022?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三一模)設(shè)是非零向量，滿足，，則與夾角大小為()A．45° B．60° C．120° D．135°【解析】令，則，，則，.則.故選：D．【答案】D7．(2022?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三第六次適應(yīng)性訓(xùn)練)若的外心為，且，則等于()A． B． C． D．【解析】，故選：C．【答案】C8．(2022?山西省長治市第二中學(xué)高三(上)第三次練考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在邊AC的中線BD上，則·的最小值為()A．－ B．0C．4 D．－1【解析】依題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC，BC所在的直線為x，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(0，2)，D(2，0)，所以直線BD的方程為y＝－x＋2，因?yàn)辄c(diǎn)P在邊AC的中線BD上，所以可設(shè)P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，當(dāng)t＝時(shí)，·取得最小值－，故選：A.【答案】A9．(2022?山東省滕州市第一中學(xué)高三(下)開學(xué)考試)在橢圓上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，，則的最小值為()A． B． C． D．1【解析】由題意得．設(shè)橢圓上一點(diǎn)，則，，又，當(dāng)時(shí)，取得最小值．故選：C．【答案】C10．(2022?吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高三第二次摸底考試)早在公元前十一世紀(jì)，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算經(jīng)》中曾有記載，大意為：“當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為(勾)和(股)時(shí)，徑隅(弦)則為”，故勾股定理也稱為商高定理.現(xiàn)有的三邊滿足“勾三股四弦五”，其中勾的長為，點(diǎn)在弦上的射影為點(diǎn)，則()A． B． C． D．【解析】如下圖所示：由題意可知，，，則，，，所以，..故選：B.【答案】B11．(2022?湖南省長郡中學(xué)高三第四次月考)設(shè)是半徑為2的圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，則的取值范圍是()A． B． C． D．【解析】依題意，其中是兩個(gè)向量的夾角，范圍是，故，所以，故選A.【答案】A12．(2022?湖南省雅禮中學(xué)高三第六次月考)(多選)已知向量(1，1)，(0，)，則()A．B．C．與可以作為一組基底D．在方向上的投影為【解析】∵，∴，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，∴，∴，選項(xiàng)B正確；∵，∴與都是非零向量，且與不共線，∴與可以作為一組基底，選項(xiàng)C正確；在方向上的投影為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：BC．【答案】BC13．(2022?湖北省圓創(chuàng)聯(lián)考高三(下)第二次聯(lián)合測(cè)評(píng))已知向量，，，滿足，，，，則與的夾角為()A． B．C． D．【解析】因?yàn)?，故可得，又，故，代值得，則，則，故可得與的夾角為.故選：C.【答案】C14．(2022?湖北省荊州中學(xué)高三(上)期末)已知向量，若，則在上的投影是()A． B． C． D．【解析】向量，則，因?yàn)?，則，即，所以，在上的投影為.故選：D.【答案】D15．(2022?黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第六次月考)已知向量，若在上的投影為，則()A． B． C． D．【解析】依題意，，故，故，故選：C.【答案】C16．(2022?河北省名校聯(lián)盟高三(下)聯(lián)考)折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，點(diǎn)E在弧CD上，則的最小值是()A．－1 B．1 C．－3 D．3【解析】以為原點(diǎn)，為軸的正方形建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：C【答案】C17．(2022?河北省衡水中學(xué)高三二模)在平行四邊形中，，點(diǎn)M在AB邊上，且，則等于()A． B． C． D．【解析】如圖，作DE⊥AB于E，CD⊥AD于F，易得，，，.故選：A?！敬鸢浮緼18．(2022?廣東省鐵一中學(xué)高三(上)期末)已知中，，，，動(dòng)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)沿線段運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止，動(dòng)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)沿線段運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止，且動(dòng)點(diǎn)的速度是動(dòng)點(diǎn)的2倍.若二者同時(shí)出發(fā)，且一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止，則該過程中的最大值是()A． B．4 C． D．23【解析】中，，，，.由題意，,當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.故選：C.【答案】C19．(2022?廈門外國語學(xué)校高考仿真預(yù)測(cè)試題)在菱形中，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，若，，則()A． B． C． D．【解析】連接，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．設(shè)，，則、、、，所以，，所以，解得，所以，，所以．故選：A．【答案】A【歸納總結(jié)】求平面向量的數(shù)量積常用的方法有：(1)定義法：；(2)坐標(biāo)法：.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.20．(2022?北京市一零一中學(xué)高三(下)開學(xué)檢測(cè))已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是()A． B．C． D．【解析】的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.【答案】A21．(2022?北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三(下)摸底考試)已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是()A． B． C． D．【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，，設(shè)，則，，，則，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，故選：．【答案】B22．(2022?江西模擬)已知圓C的半徑為2，點(diǎn)A滿足，E，F(xiàn)分別是C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是(

)A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]【解析】取EF的中點(diǎn)M，連接CM，則，，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)向量與共線同向時(shí)，取得最大值22；向量與共線反向時(shí)，取得最小值6，故選：C．【答案】C23．(2022?江蘇模擬)(多選)已知向量，，，，則(

)A．若，則B．若，則C．的最小值為D．若向量與向量的夾角為銳角，則的取值范圍是【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，，，所以，解得，所以A正確.對(duì)于B，由，得，則解得，故，所以B正確.對(duì)于C，因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，為，所以C正確.對(duì)于D，因?yàn)?，，向量與向量的夾角為銳角，所以，解得；當(dāng)向量與向量共線時(shí)，，解得，所以的取值范圍是，所以D不正確.故選：ABC.【答案】ABC24．(2022?山東濟(jì)寧·一模)等邊三角形ABC的外接圓的半徑為2，點(diǎn)P是該圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為(

)A．4 B．7 C．8 D．11【解析】如圖，等邊三角形ABC，O為等邊三角形ABC的外接圓的圓心，以O(shè)為原點(diǎn)，AO所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，等邊三角形ABC的邊長為，則，所以，則.又因?yàn)镻是該圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)，，,，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，的最大值為8.故選：C.【答案】C25．(2022?高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理))設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．【解析】設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．【答案】26．(2022?重慶市第八中學(xué)高三第六次月考)已知不共線的平面向量，，兩兩所成的角相等，且，則||=___________.【解析】由不共線的平面向量，，兩兩所成的角相等，可設(shè)為θ，則.設(shè)||=m.因?yàn)?，所以，即，所以，即，解得：?.所以||=2或3故答案為：2或3【答案】2或327．(2022?云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三第七次月考)已知，為單位向量，且在方向上的投影為，則______________．【解析】由題得在方向上的投影為，又因?yàn)?，為單位向量，則，所以，所以，即．故答案為：．【答案】28．(2022?四川省成都市石室中學(xué)高三專家聯(lián)測(cè)卷(二))在四邊形中，已知是邊上的點(diǎn)，且，，若點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是______.【解析】，是邊上的點(diǎn)，，所以，因此，在等腰中,點(diǎn)到線段上的一點(diǎn)的距離最大值為1,取最小值時(shí),為的中點(diǎn),此時(shí),所以的取值范圍為:.【答案】29．(2022?陜西省西安中學(xué)高三三模)在中，，若O為外接圓的圓心，則的值為__________．【解析】過作，垂足分別為，因?yàn)镺為外接圓的圓心，所以分別為的中點(diǎn)，所以,故答案為：10【答案】1030．(2022?山東省滕州市第一中學(xué)高三(下)開學(xué)考試)已知在邊長為4的等邊中，，則________；【解析】由題意，.故答案為：10.【答案】31．(2022?寧夏銀川市第二中學(xué)高三一模)已知非零向量，，滿足且，則向量與的夾角為___________.【解析】，，.又因?yàn)?，所以，設(shè)與的夾角為，，則，.故答案為：【答案】##32．(2022?遼寧省沈陽市第二中學(xué)高三二模)已知兩個(gè)不相等的非零向量，，兩組向量，，，，和，，，，均由2個(gè)和3個(gè)排列而成.記，表示所有可能取值中的最小值.則下列命題正確的是___________(寫出所有正確命題的編號(hào)).①有5個(gè)不同的值②若，則與無關(guān)③若，則與無關(guān)④若，則【解析】的可能值有，，，故①錯(cuò)誤而，則，③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，與無關(guān)，故②正確；當(dāng)時(shí)，故④正確；故答案為：②④【答案】②④33．(2022?江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高三(下)開學(xué)檢測(cè))在梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，則=_______【解析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，，，所以，故答案為?4【答案】1434．(2022?東北師大附中、黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三聯(lián)合模擬考試)已知向量，，則______.【解析】因?yàn)橄蛄?，，所以，所以，故答案為?.【答案】535．(2022?黑龍江省雙鴨山市第一中學(xué)高三(上)期末)已知向量，則在方向上的投影為_________，【解析】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以在方向上的投影為，故答案為：．【答案?#0.536．(2