第一章空間向量與立體幾何章末重點(diǎn)題型大總結(jié)（精講）（原卷版）

第一章空間向量與立體幾何章末總結(jié)（精講）目錄第一部分：本章知識(shí)框架第二部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：空間向量的概念及運(yùn)算重點(diǎn)題型二：利用空間向量證明位置關(guān)系重點(diǎn)題型三：利用空間向量計(jì)算距離重點(diǎn)題型四：利用空間向量求空間角第一部分：本第一部分：本章知識(shí)框架空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何空間向量及其運(yùn)算空間向量在立體幾何中的應(yīng)用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算空間向量的基本定理兩個(gè)向量的數(shù)量積空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算共線(xiàn)向量定理共面向量定理空間向量分解定理平行與垂直的條件直線(xiàn)的方向向量與直線(xiàn)的向量方程平面的法向量與平面的向量表示直線(xiàn)與平面的夾角二面角及其度量距離第二部分：第二部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：空間向量的概念及運(yùn)算1．已知向量，，且，，，則一定共線(xiàn)的三點(diǎn)是（

）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D2．在四面體中，，，，，，用向量，，表示，則等于（

）A． B．C． D．3．如圖，在三棱錐中，平面，，，點(diǎn)在三棱錐的表面上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知向量，，則下列向量中，使能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的向量是（

）A． B． C． D．5．（多選）對(duì)空間任意一點(diǎn)和不共線(xiàn)三點(diǎn)，，，能得到，，，四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．6．已知，，若向量，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)___．7．已知A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿(mǎn)足.（1）判斷，，三個(gè)向量是否共面；（2）若三棱錐為棱長(zhǎng)為2正四面體，求.重點(diǎn)題型二：利用空間向量證明位置關(guān)系1．在四棱錐中，，，，，M是AC的中點(diǎn),若平面平面BCDE，則下列三個(gè)結(jié)論：①；②；③中，正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．已知正方體是直線(xiàn)上一點(diǎn)，（

）A．若，則直線(xiàn)平面B．若，則直線(xiàn)平面C．若，則直線(xiàn)平面D．若，則直線(xiàn)平面3．如圖正方體中，，，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．時(shí)，平面平面B．時(shí)，平面平面C．面積最大時(shí)，D．面積最小時(shí)，4．已知正方體，是棱的中點(diǎn)，則在棱上存在點(diǎn)，使得（

）A． B．C．平面 D．平面5．如圖，正方體中，點(diǎn)，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)，，分別為，和的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下面結(jié)論中正確的是___________.①與異面且垂直；②與相交且垂直；③平面；④，，，四點(diǎn)共面.6．在平行六面體中，面面，底面為矩形，，，面為菱形，，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，問(wèn)_______時(shí)，面面．7．如圖在平行六面體中，，.(1)求證：直線(xiàn)平面；8．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).求證：平面；9．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，若M，N分別為棱，的中點(diǎn)，為中點(diǎn).求證：平面平面10．已知直三棱柱中，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)，．證明：；重點(diǎn)題型三：利用空間向量計(jì)算距離1．如圖所示，ABCD—EFGH為邊長(zhǎng)等于1的正方體，若P點(diǎn)在正方體的內(nèi)部且滿(mǎn)足，則P點(diǎn)到直線(xiàn)BC的距離為（

）A． B． C． D．2．在三棱錐中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，底面，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．3．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為的中點(diǎn)，Q為上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF的長(zhǎng)為定值，則點(diǎn)Q到平面PEF的距離（

）A．等于 B．和EF的長(zhǎng)度有關(guān)C．等于 D．和點(diǎn)Q的位置有關(guān)4．如圖所示的多面體，底面ABCD為長(zhǎng)方形，DF⊥平面ABCD，DFCC1BE，AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，則點(diǎn)C到平面AEC1F的距離為（

）A． B．C． D．5．若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則直線(xiàn)A1C1到平面ACD1的距離為（）A．1 B．C． D．6．在棱長(zhǎng)為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A． B．C． D．7．如圖，已知四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，垂直于正方形所在的平面，且，則點(diǎn)B到平面的距離為_(kāi)__________.8．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在棱上移動(dòng)．(1)證明：；(2)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到面的距離．重點(diǎn)題型四：利用空間向量求空間角角度1：異面直線(xiàn)所成角1．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，的中點(diǎn)為，底面，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．三棱錐中，，，則異面直線(xiàn)與所成的角可能是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°3．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面，，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)PD與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，若線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得異面直線(xiàn)與成30°的角，則線(xiàn)段長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在正方體的對(duì)角線(xiàn)(不含端點(diǎn))上.設(shè)，若為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，異面直線(xiàn)和分別在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，且，若與所成角為60°時(shí)，則與側(cè)面ADD1A1所成角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°7．如圖，在正四棱錐中，二面角為60°，E為的中點(diǎn).已知F為直線(xiàn)上一點(diǎn)，且F與A不重合，若異面直線(xiàn)與所成角為60°，則=_____________.8．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，在棱上是否存在一點(diǎn)，使得異面直線(xiàn)與所成角為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．角度2：線(xiàn)面角1．在所有棱長(zhǎng)都相等的直三棱柱中，、分別為棱、的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面的夾角為（

）A． B． C． D．3．如圖，在四棱柱中，底面為正方形，側(cè)棱底面，，，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，記與平面所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．4．已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．5．2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國(guó)，給人民生命財(cái)產(chǎn)安全和生產(chǎn)生活造成了嚴(yán)重影響.在黨和政府強(qiáng)有力的領(lǐng)導(dǎo)下，全國(guó)人民眾志成城，取得了抗擊疫情戰(zhàn)爭(zhēng)的重大勝利，社會(huì)生產(chǎn)、生活全面恢復(fù)正常.某中學(xué)結(jié)合抗疫組織學(xué)生到一工廠(chǎng)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，加工制作臨時(shí)隔離帳篷.將一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形材料先按如圖1所示的陰影部分截去四個(gè)全等的等腰三角形（其），然后，將剩余部分沿虛線(xiàn)折疊并拼成一個(gè)四棱錐型的帳篷（如圖2），該四棱錐底面是正方形，從頂點(diǎn)向底面作垂線(xiàn)，垂足恰好是底面的中心.則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為_(kāi)_____.6．如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AB＝2，CF＝3．若直線(xiàn)OF與平面BED所成的角為45°，則AE＝________．7．如圖，在正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為_(kāi)____．8．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，M是棱的中點(diǎn)，且．(1)求證：平面；(2)棱上是否存在一點(diǎn)N，使得直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．9．在正四棱柱中，，E為的中點(diǎn).（用向量的方法證明）(1)求證：平面.（用向量的方法證明）(2)若F為上的動(dòng)點(diǎn)，使直線(xiàn)與平面所成角的正弦值是，求BF的長(zhǎng).10．三棱錐中，三角形為等腰直角三角形，，側(cè)面為等邊三角形，.(1)求證：；(2)若側(cè)棱上有一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，直線(xiàn)與平面所成的角最大？角度3：二面角1．已知是各棱長(zhǎng)均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則平面與平面所成的銳二面角為（

）A．45° B．60° C．75° D．30°2．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，四棱柱為長(zhǎng)方體，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則二面角的余弦值為（）A． B． C． D．3．如圖，四邊形，，，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角的大小在時(shí)，直線(xiàn)和所成角為，則的最大值為A． B． C． D．4．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=2BC=2，D為AA1上一點(diǎn).若二面角B1-DC-C1的大小為30°，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)___.

5．如圖，在四棱柱中，底面ABCD和側(cè)面都是矩形，E是CD的中點(diǎn)，，若平面與平面所成的銳二面角的大小為，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為_(kāi)_________．6．如圖，平面平面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，分別為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求平面與平面的夾角的大小.7．如圖，四棱柱中，側(cè)棱底面ABCD，，，，，E為棱的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的正弦值；(3)設(shè)點(diǎn)M在線(xiàn)段上，且直線(xiàn)AM與平面所成角的正弦值為，求線(xiàn)段AM的長(zhǎng)．8．如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，底面為等腰梯形，且(1)證明：平面平面；(