垂心余弦定理證明

垂心余弦定理證明如右圖，在ABC中，三內角A、B、C所對的`邊分別是a、b、c.以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標系，于是C點坐標是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).

現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD=CB.

而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，

依據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標是(acos(π-C)，asin(π-C))

即D點坐標是(-acosC，asinC),

∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB

∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)

∴asinC=csinA…………①

-acosC=ccosA-b……②

由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，

∴asinA=bsinB=csinC.

由②得acosC=b-ccosA，平方得：

a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，

即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.

而由①可得a2sin2C=c2sin2A

∴a2=b2+c2-2bccosA.

同理可證b2=a2+c2-2accosB，

c2=a2+b2-2abcosC.

到此正弦定理和余弦定理證明完畢。

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正、余弦定理是解三角形強有力的工具，關于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作幫助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構思方法過于獨特，不易被初學者接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、余弦定理從而進一步理解正、余弦定理，進一步體會向量的奇妙應用和數(shù)學中“數(shù)”與“形”的完善結合.

定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則

(1)(正弦定理)==;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcosC,

b2=a2+c2-2accosB,

a2=b2+c2-2bccosA.

一、正弦定理的證明

證法一：如圖1，設AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有

AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，

CF=asin∠ABC。

所以S△ABC=abcsin∠BCA

=bcsin∠CAB

=casin∠ABC.

證法二：如圖1，設AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有

AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

證法三：如圖2，設CD=2r是△ABC的外接圓

的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

證法四：如圖3，設單位向量j與向量AC垂直。

由于AB=AC+CB，

所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

由于jAC=0，

jCB=|j||CB|cos(90°-∠C)=asinC，

jAB=|j||AB|cos(90°-∠A)=csinA.

二、余弦定理的證明

法一：在△ABC中，已知，求c。

過A作，

在Rt中，，

法二：

，即：

法三：

先證明如下等式：

⑴

證明：

故⑴式成立，再由正弦定理變形，得

結合⑴、有

即.

同理可證

.

三、正余弦定理的統(tǒng)一證明

法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acosB,asinB).

依據(jù)向量的運算：

=(-acosB,asinB)，

=-=(bcosA-c,bsinA),

(1)由=：得

asinB=bsinA,即

=.

同理可得：=.

∴==.

(2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bccosA.

同理：

c2=a2+b2-2abcosC;

b2=a2+c2-2accosB.

法二：如圖5，

,設軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可