2019版數(shù)學(xué)（理）高分計劃一輪高分講義：第11章　算法、復(fù)數(shù)、推理與證明 11.2　數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精11。2數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入[知識梳理］1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念2．復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點組成的集合是一一對應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點O為起點的向量組成的集合也是一一對應(yīng)的，即（1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R）．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量eq\o（OZ，\s\up16（→)）。3．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算(1）運算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a,b，c,d∈R)，則（2）復(fù)數(shù)加法的運算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2）＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)復(fù)數(shù)乘法的運算定律復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律、分配律，即對于任意z1,z2，z3∈C,有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3），z1(z2＋z3）＝z1z2＋z1z3。（4）復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義①復(fù)數(shù)加法的幾何意義：若復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量eq\o（OZ1,\s\up16（→）)，eq\o（OZ2，\s\up16(→））不共線，則復(fù)數(shù)z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up16(→）），eq\o(OZ2，\s\up16(→）)為兩鄰邊的平行四邊形的對角線eq\o（OZ，\s\up16（→））所對應(yīng)的復(fù)數(shù)．②復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)z1－z2是eq\o（OZ1，\s\up16（→））－eq\o(OZ2,\s\up16（→）)＝eq\o（Z2Z1,\s\up16(→))所對應(yīng)的復(fù)數(shù)．4．模的運算性質(zhì)：①|(zhì)z|2＝｜eq\x\to（z)|2＝z·eq\x\to（z）；②|z1·z2|＝|z1｜｜z2｜;③eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\f（z1,z2）））＝eq\f（｜z1|，｜z2｜）.［診斷自測]1．概念思辨(1）關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a，b,c∈R且a≠0）一定有兩個根．(）(2）若復(fù)數(shù)a＋bi中a＝0，則此復(fù)數(shù)必是純虛數(shù)．（)(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大?。?）(4）復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模．(）答案(1）√(2)×(3）×（4)√2．教材衍化（1）（選修A2－2P116A組T1(3)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,2＋i)（i為虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析z＝eq\f（1,2＋i)＝eq\f（2－i，2＋i2－i)＝eq\f(2,5)－eq\f(1,5）i，其對應(yīng)的點為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2，5)，－\f（1,5）)）,在第四象限．故選D。（2)（選修A2－2P112A組T3）在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對應(yīng)的點分別為A，B。若C為線段AB的中點，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i答案C解析∵A（6,5)，B(－2，3）,∴線段AB的中點C（2，4），則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝2＋4i。故選C。3．小題熱身（1）（2017·全國卷Ⅱ)eq\f(3＋i，1＋i)＝（）A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i答案D解析eq\f（3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－2i，2）＝2－i.故選D.(2）(2015·全國卷Ⅰ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1＋z,1－z)＝i,則｜z|＝（)A．1B.eq\r（2)C.eq\r(3）D．2答案A解析由已知eq\f(1＋z，1－z）＝i，可得z＝eq\f(i－1,i＋1)＝eq\f（i－12,i＋1i－1)＝eq\f(－2i,－2）＝i，∴｜z｜＝｜i｜＝1,故選A.題型1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念eq\o(典例）已知x，y為共軛復(fù)數(shù),且(x＋y）2－3xyi＝4－6i，求x，y.復(fù)數(shù)問題實數(shù)化．解設(shè)x＝a＋bi(a，b∈R），則y＝a－bi,x＋y＝2a,xy＝a2＋b2代入原式，得（2a)2－3（a2＋b2）i＝4－6i根據(jù)復(fù)數(shù)相等得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(4a2＝4，，－3a2＋b2＝－6，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝1,,b＝1））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝1，，b＝－1）)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,,b＝1)）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1.))故所求復(fù)數(shù)為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1＋i,，y＝1－i,））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－i，,y＝1＋i)）或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－1＋i，，y＝－1－i））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－1－i,，y＝－1＋i。））方法技巧有關(guān)復(fù)數(shù)的基本概念問題的關(guān)鍵因為復(fù)數(shù)的分類、相等、模、共軛復(fù)數(shù)等問題都與實部與虛部有關(guān),所以處理復(fù)數(shù)有關(guān)基本概念問題的關(guān)鍵是找準復(fù)數(shù)的實部和虛部，即轉(zhuǎn)化為a＋bi（a，b∈R）的形式，再從定義出發(fā)，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實數(shù)問題來處理．見典例．沖關(guān)針對訓(xùn)練(2018·山西四校聯(lián)考）i是虛數(shù)單位，若eq\f（2＋i,1＋i)＝a＋bi(a,b∈R)，則lg(a＋b)的值是（)A．－2B．－1C．0D。eq\f（1,2)答案C解析因為eq\f（2＋i，1＋i）＝eq\f（2＋i1－i,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(i,2),所以a＝eq\f(3，2），b＝－eq\f（1,2）,a＋b＝1，所以lg（a＋b）＝0，故選C。題型2復(fù)數(shù)的幾何意義eq\o(典例）(2017·全國卷Ⅲ）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1＋i）z＝2i，則|z|＝(）A.eq\f(1,2）B。eq\f（\r(2),2)C.eq\r(2）D．2先求z的代數(shù)形式，再求|z|。答案C解析由(1＋i)z＝2i得z＝eq\f（2i,1＋i)＝1＋i，∴|z|＝eq\r（2).故選C。方法技巧復(fù)數(shù)幾何意義及應(yīng)用1．復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量eq\o(OZ,\s\up16(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a,b∈R）?Z(a，b）?eq\o（OZ，\s\up16（→）).2．由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法,使問題的解決更加直觀．提醒:｜z｜的幾何意義:令z＝x＋yi(x，y∈R),則｜z|＝eq\r(x2＋y2），由此可知表示復(fù)數(shù)z的點到原點的距離就是｜z｜的幾何意義；｜z1－z2|的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z1，z2的兩點之間的距離．沖關(guān)針對訓(xùn)練若復(fù)數(shù)z滿足①|(zhì)z|≥1；②|z＋i|≤｜－1－2i｜，則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為________．答案4π解析設(shè)z＝x＋yi(x,y∈R），由｜z|≥1及|z＋i｜≤|－1－2i|易得x2＋y2≥1及x2＋(y＋1）2≤5知z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)圖形的面積為5π－π＝4π。題型3復(fù)數(shù)的代數(shù)運算eq\o(典例）（2016·全國卷Ⅲ)若z＝1＋2i，則eq\f(4i,z\x\to(z）－1)＝(）A．1B．－1C．iD．－i先作乘法z·eq\x\to(z)運算,然后作除法運算．答案C解析∵zeq\x\to（z）＝(1＋2i）(1－2i）＝5，∴eq\f(4i,z\x\to（z)－1)＝eq\f(4i,4)＝i,故選C.方法技巧1．加減乘除用法則（1)復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式．(2)記住以下結(jié)論，可提高運算速度:①（1±i)2＝±2i；②eq\f(1＋i，1－i)＝i;③eq\f（1－i,1＋i）＝－i；④eq\f(a＋bi，i）＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1,i4n＋3＝－i(n∈N)．2．復(fù)數(shù)方程要求解，運用概念相等來解決解決復(fù)數(shù)與三角函數(shù)、方程等綜合問題，關(guān)鍵是抓住復(fù)數(shù)的實部、虛部，運用好復(fù)數(shù)的概念來解決問題．沖關(guān)針對訓(xùn)練eq\f(－2\r（3)＋i,1＋2\r（3)i）＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r（2)，1－i)））2018＝________。答案2i解析原式＝eq\f（i1＋2\r(3）i,1＋2\r(3）i）＋eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（2）,1－i）)）2））1009＝i＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2，－2i））)1009＝i＋i1009＝i＋i4×252＋1＝i＋i＝2i。1．(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)有下面四個命題p1：若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1，z)∈R，則z∈R;p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R,則z1＝eq\x\to（z）2；p4:若復(fù)數(shù)z∈R，則eq\x\to(z)∈R。其中的真命題為（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p答案B解析設(shè)z＝a＋bi(a,b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i（a2，b2∈R)．對于p1，若eq\f(1,z）∈R,即eq\f(1,a＋bi）＝eq\f(a－bi,a2＋b2）∈R，則b＝0且a≠0?z＝a＋bi＝a∈R,所以p1為真命題．對于p2，若z2∈R，即(a＋bi）2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0。當a＝0，b≠0時,z＝a＋bi＝bi∈/R，所以p2為假命題．對于p3,若z1z2∈R，即(a1＋b1i)（a2＋b2i）＝(a1a2－b1b2）＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0。而z1＝eq\x\to（z)2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2。因為a1b2＋a2b1＝0?/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題．對于p4，若z∈R，即a＋bi∈R,則b＝0?eq\x\to（z)＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命題．故選B。2．（2018·安徽安慶模擬)設(shè)i是虛數(shù)單位，如果復(fù)數(shù)eq\f（a＋i，2－i）的實部與虛部相等，那么實數(shù)a的值為（）A.eq\f（1，3)B．－eq\f（1,3)C．3D．－3答案C解析eq\f（a＋i,2－i）＝eq\f(2a－1＋a＋2i,5)，由題意知2a－1＝a＋2，解之得a＝3.故選C。3．(2017·浙江高考）已知a，b∈R,(a＋bi)2＝3＋4i（i是虛數(shù)單位)，則a2＋b2＝________,ab＝________。答案52解析（a＋bi)2＝a2－b2＋2abi。由（a＋bi）2＝3＋4i，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a2－b2＝3，，ab＝2.））解得a2＝4，b2＝1。所以a2＋b2＝5，ab＝2.4．（2017·天津高考）已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若eq\f(a－i，2＋i）為實數(shù)，則a的值為________．答案－2解析∵a∈R，eq\f（a－i,2＋i)＝eq\f(a－i2－i，2＋i2－i）＝eq\f（2a－1－a＋2i，5）＝eq\f（2a－1，5）－eq\f（a＋2,5）i為實數(shù),∴－eq\f（a＋2，5）＝0,∴a＝－2.[基礎(chǔ)送分提速狂刷練]一、選擇題1．(2018·湖南長沙四縣聯(lián)考）i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足zi＝－1＋i，則復(fù)數(shù)z的實部與虛部的和是（)A．0B．1C．2D．3答案C解析復(fù)數(shù)z滿足zi＝－1＋i，可得z＝eq\f(－1＋i，i)＝eq\f(－1＋ii,i·i）＝1＋i.故復(fù)數(shù)z的實部與虛部的和是1＋1＝2，故選C。2．（2018·湖北優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位），則eq\f（2，z)－z2的共軛復(fù)數(shù)是(）A．－1＋3iB．1＋3iC．1－3iD．－1－3i答案B解析eq\f(2，z）－z2＝eq\f（2，1＋i)－（1＋i）2＝eq\f（21－i，1＋i1－i）－2i＝1－i－2i＝1－3i,其共軛復(fù)數(shù)是1＋3i,故選B。3．(2017·河南洛陽模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq\o(z，\s\up16（－)）＝|1－i｜＋i（i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z＝(）A。eq\r（2）－iB.eq\r（2）＋iC．1D．－1－2i答案A解析復(fù)數(shù)z滿足eq\o（z,\s\up16（－)）＝｜1－i｜＋i＝eq\r(2）＋i,則復(fù)數(shù)z＝eq\r（2)－i.故選A。4．（2018·廣東測試）若z＝(a－eq\r（2）)＋ai為純虛數(shù),其中a∈R,則eq\f（a＋i7,1＋ai）＝（）A．iB．1C．－iD．－1答案C解析∵z為純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a－\r(2）＝0,，a≠0，))∴a＝eq\r(2），∴eq\f(a＋i7，1＋ai）＝eq\f（\r（2)－i,1＋\r(2)i)＝eq\f(\r(2)－i1－\r(2）i,1＋\r(2）i1－\r（2)i)＝eq\f（－3i,3）＝－i。故選C。5．（2018·安徽江南十校聯(lián)考）若復(fù)數(shù)z滿足z（1－i)＝｜1－i|＋i,則z的實部為（）A.eq\f（\r（2)－1,2)B.eq\r（2）－1C．1D。eq\f（\r（2)＋1,2）答案A解析由z（1－i)＝|1－i｜＋i，得z＝eq\f(\r(2)＋i，1－i)＝eq\f(\r(2)＋i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(\r（2）－1，2）＋eq\f(\r（2）＋1，2）i，z的實部為eq\f(\r(2)－1,2)，故選A。6．（2017·安徽江南十校聯(lián)考）若z＝eq\f(2－i,2＋i)，則|z｜＝（)A。eq\f（1，5）B．1C．5D．25答案B解析解法一：z＝eq\f（2－i，2＋i)＝eq\f（2－i2－i，2＋i2－i）＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i，故｜z｜＝1。故選B。解法二：|z|＝eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f(2－i,2＋i）)）＝eq\f(｜2－i|，|2＋i|）＝eq\f（\r(5），\r（5）)＝1。故選B.7．(2017·河南百校聯(lián)盟模擬）已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為eq\o(z，\s\up16(－）)，若eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3z,2)＋\f（\o(z,\s\up16（－）)，2））)(1－2eq\r(2）i）＝5－eq\r(2)i(i為虛數(shù)單位）,則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案A解析依題意,設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R），則eq\f（3z，2)＋eq\f（\o（z,\s\up16（－)),2）＝2a＋bi,故2a＋bi＝eq\f（5－\r(2）i,1－2\r（2）i）＝1＋eq\r(2）i，故a＝eq\f（1,2），b＝eq\r（2),則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2），\r(2))),位于第一象限．故選A。8．(2018·新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研）復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1＝m＋(4－m2)i,z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i（m，λ，θ∈R），并且z1＝z2，則λ的取值范圍是（)A.eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（－1，1）） B.eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f（9,16），1))C。eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f(9，16),7）） D.eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(9,16），7)）答案C解析由復(fù)數(shù)相等的充要條件,可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝2cosθ，,4－m2＝λ＋3sinθ，）)化簡得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ,由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝4eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（sinθ－\f(3,8)))2－eq\f(9，16）,因為sinθ∈[－1,1],所以λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9，16)，7））.故選C.9．對于復(fù)數(shù)z1，z2，若(z1－i）z2＝1，則稱z1是z2的“錯位共軛"復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)eq\f(\r（3)，2）－eq\f(1，2）i的“錯位共軛"復(fù)數(shù)為（）A．－eq\f（\r（3）,6)－eq\f（1,2）i B．－eq\f（\r（3)，2）＋eq\f(3，2）iC。eq\f（\r（3），6）＋eq\f(1，2）i D。eq\f（\r（3），2)＋eq\f(3,2）i答案D解析由(z－i)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r（3)，2）－\f(1，2)i)）＝1，可得z－i＝eq\f(1，\f（\r（3）,2)－\f（1,2）i)＝eq\f（\r（3),2）＋eq\f（1，2）i，所以z＝eq\f（\r（3），2)＋eq\f（3，2)i.故選D。10．已知z＝a＋bi（a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，z1,z2∈C，定義：D（z）＝｜｜z||＝｜a｜＋|b｜，D（z1，z2）＝｜|z1－z2｜|,給出下列命題：（1)對任意z∈C，都有D（z)〉0；(2)若eq\x\to(z)是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則D（eq\x\to(z））＝D(z)恒成立;(3）若D（z1）＝D（z2)(z1，z2∈C），則z1＝z2；(4）對任意z1，z2，z3∈C，結(jié)論D(z1，z3)≤D（z1,z2)＋D(z2，z3）恒成立．其中真命題為（)A．（1)（2）（3）（4）B．(2)（3）(4)C．(2)（4）D．（2)(3）答案C解析對于（1)，由定義知當z＝0時，D（z)＝0,故（1)錯誤，排除A；對于(2），由于共軛復(fù)數(shù)的實部相等而虛部互為相反數(shù)，所以D(eq\x\to（z））＝D(z)恒成立，故（2)正確；對于（3），兩個復(fù)數(shù)的實部與虛部的絕對值之和相等并不能得到實部與虛部分別相等，所以兩個復(fù)數(shù)也不一定相等，故（3）錯誤，排除B，D,故選C.二、填空題11．(2017·江蘇高考)已知復(fù)數(shù)z＝（1＋i）（1＋2i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是________．答案eq\r（10)解析解法一：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，∴|z|＝eq\r(－12＋32）＝eq\r(10)。解法二：|z｜＝|1＋i｜|1＋2i|＝eq\r（2）×eq\r(5）＝eq\r（10）。12．（2016·天津高考）已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若（1＋i)(1－bi)＝a，則eq\f(a,b）的值為________．答案2解析由（1＋i）（1－bi）＝a得1＋b＋（1－b)i＝a，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（b＋1＝a，,1－b＝0，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，）)所以eq\f(a,b）＝2.13．（2016·北京高考)設(shè)a∈R。若復(fù)數(shù)(1＋i）（a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則a＝________。答案－1解析（1＋i)(a＋i)＝(a－1）＋(a＋1）i，∵a∈R，該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，∴a＋1＝0,∴a＝－1.14．若虛數(shù)z同時滿足下列兩個條件：①z＋eq\f(5,z)是實數(shù)；②z＋3的實部與虛部互為相反數(shù)．則z＝________.答案－1－2i或－2－i解析設(shè)z＝a＋bi(a,b∈R，b≠0),則z＋eq\f(5,z）＝a＋bi＋eq\f（5,a＋bi)＝aeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f(5，a2＋b2）））＋beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(5,a2＋b2)))i。又z＋3＝a＋3＋bi實部與虛部互為相反數(shù)，z＋eq\f（5,z)是實數(shù)，根據(jù)題意有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(b\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(5,a2＋b2)）)＝0，，a＋3＝－b，))因為b≠0，所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a2＋b2＝5，,a＝－b－3,））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－1，，b＝－2））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4