第二章直線和圓的方程單元綜合測試卷（解析版）

第二章直線和圓的方程單元綜合測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則該直線的傾斜角為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橹本€經(jīng)過，兩點(diǎn)，所以直線的斜率為．設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，所以直線的傾斜角為．故選：C2．已知兩點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段有交點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示，直線的斜率，直線的斜率．由圖可知，當(dāng)直線與線段有交點(diǎn)時(shí)，直線的斜率，因此直線的傾斜角的取值范圍是．故選：C3．圓與圓的公共弦長為（）A．6 B． C．4 D．【答案】A【解析】圓與圓的方程相減得，即．又到直線的距離為1，所以公共弦長為．故選：A4．已知直線l：在x軸上的截距的取值范圍是（，3），則其斜率的取值范圍是（）A． B．或C．或 D．或【答案】D【解析】已知直線l：(2+a)x+(a?1)y?3a=0，所以(x+y-3)a+2x-y=0，所以直線過點(diǎn)，由題知，在軸上的截距取值范圍是，所以直線端點(diǎn)的斜率分別為：，如圖：或.故選：D.5．圓關(guān)于直線對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，且關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，所以所求圓的圓心為、半徑為，即所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.6．點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在直線上，則|MN|的最小值是（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】由題意可知，圓心，半徑為，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：C.7．幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問題：“設(shè)點(diǎn)M，N是銳角的一邊QA上的兩點(diǎn)，試在QB邊上找一點(diǎn)P，使得最大．”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)P為過M，N兩點(diǎn)且和射線QB相切的圓與射線QB的切點(diǎn)．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)M（-1，2），N（1，4），點(diǎn)P在x軸上移動，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是（）A．1 B．-7 C．1或-1 D．2或-7【答案】A【解析】由題M（-1，2），N（1，4），則線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），易知，則經(jīng)過M，N兩點(diǎn)的圓的圓心在線段MN的垂直平分線上．設(shè)圓心為，則圓S的方程為．當(dāng)取最大值時(shí)，圓必與軸相切于點(diǎn)（由題中結(jié)論得），則此時(shí)P的坐標(biāo)為，代入圓S的方程，得，解得或，即對應(yīng)的切點(diǎn)分別為P（1，0）和．因?yàn)閷τ诙ㄩL的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，又過點(diǎn)M，N，的圓的半徑大于過點(diǎn)M，N，P的圓的半徑，所以，故點(diǎn)P（1，0）為所求，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1.故選:A．8．如圖，“愛心”圖案是由函數(shù)的圖象的一部分及其關(guān)于直線的對稱圖形組成．若該圖案經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)M是該圖案上一動點(diǎn)，N是其圖象上點(diǎn)M關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，所以.設(shè)直線與函數(shù)相切，聯(lián)立消去y，得．，解得．則直線與直線間的距離為．故MN的最大值為．故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．（多選）已知直線，其中，則（）A．當(dāng)時(shí)，直線l與直線垂直B．若直線l與直線平行，則C．直線l過定點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，其斜率為1，而直線的斜率為，所以當(dāng)時(shí)，直線l與直線垂直，所以A正確，對于B，若直線l與直線平行，則，解得或，所以B錯誤，對于C，當(dāng)時(shí)，，與無關(guān)，故直線l過定點(diǎn)，所以C正確，對于D，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是－1，1，不相等，所以D錯誤，故選：AC10．已知直線l過點(diǎn)，且與直線以及x軸圍成一個(gè)底邊在x軸上的等腰三角形，則（）A．直線l的方程為 B．直線l與直線的傾斜角互補(bǔ)C．直線l在y軸上的截距為1 D．這樣的直線l有兩條【答案】ABC【解析】因?yàn)橹本€l與及x軸圍成一個(gè)底邊在x軸上的等腰三角形，所以l與的傾斜角互補(bǔ)，故B正確；由直線的斜率為，知直線l的斜率為，可得直線l的方程為，即l的方程為，故A正確；令，得，所以l在y軸上的截距為1，故C正確；過點(diǎn)且斜率為的直線只有一條，故D錯誤．故選：ABC．11．已知、，直線上有一動點(diǎn)，則（）A．直線的斜率為 B．直線的截距式方程為C．點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．的最大值為【答案】AC【解析】對于A選項(xiàng)，直線的斜率為，A對；對于B選項(xiàng)，直線的截距式方程為，B錯；對于C選項(xiàng)，設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則直線的斜率為，可得，線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，則，所以，，解得，所以，點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，C對；對于D選項(xiàng)，若，，則，D錯.故選：AC.12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓：，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓與圓內(nèi)切B．直線與圓相離C．圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)最多兩個(gè)D．過直線上任一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，，則四邊形面積的最小值為【答案】ACD【解析】圓的圓心，半徑，而圓的圓心，所以，所以圓與圓內(nèi)切，A正確；圓心到直線的距離，故圓和直線相切或相交，B錯誤；因?yàn)閳A心到直線的距離為：，因?yàn)?，又因?yàn)閳A的半徑為1，所以上到直線的距離等于1的點(diǎn)最多兩個(gè)，故C正確；過直線上任一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，，四邊形面積為：，當(dāng)垂直直線時(shí)，有最小值，且，因?yàn)?，所以，則四邊形面積的最小值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線經(jīng)過點(diǎn)，，，則直線傾斜角的取值范圍是_____.【答案】【解析】直線經(jīng)過點(diǎn)，，，，，設(shè)直線的傾斜角為，則，得，故答案為：.14．過點(diǎn)且與點(diǎn)、等距離的直線的方程為______．【答案】或【解析】分以下兩種情況討論：①，且直線的斜率為，此時(shí)直線的方程為；②直線過線段的中點(diǎn)，直線的斜率為，此時(shí)直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.故答案為：或.15．過四點(diǎn)，，，中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為______.【答案】或【解析】設(shè)圓的一般方程為，若圓過三點(diǎn)，則，解得，此時(shí)圓的一般方程為；若圓過三點(diǎn)，則，解得，此時(shí)圓的一般方程為；若圓過三點(diǎn)，則，解得，此時(shí)圓的一般方程為；若圓過三點(diǎn)，則，解得，此時(shí)圓的一般方程為；故答案為：或或或16．已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在直線上，則的周長的最小值為______．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，如圖所示，連接交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，由對稱性可知，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，因?yàn)辄c(diǎn)與關(guān)于直線對稱，所以，解得，所以．因?yàn)榕c關(guān)于軸對稱，所以，所以的周長的最小值為．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）（1）求過點(diǎn)且平行于直線的直線的方程；（2）求過點(diǎn)且垂直于直線的直線的方程．【解析】（1）由題意，直線的斜率為由直線方程的點(diǎn)斜式有：即過點(diǎn)且平行于直線的直線的方程為：（2）由題意，直線的斜率為故與直線垂直的直線斜率由直線方程的點(diǎn)斜式有：即過點(diǎn)且垂直于直線的直線的方程為18．（12分）已知直線.(1)若直線不能過第三象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時(shí)直線的方程．【解析】(1)由，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線不過第三象限，合乎題意；當(dāng)時(shí)，在直線的方程中，令，可得，令，可得，若直線不過第三象限，則，解得.綜上所述，.(2)由（1）可知，，又在軸負(fù)半軸，在軸正半軸，所以，，可得.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，的最小值為，此時(shí)直線的方程.19．（12分）如圖，射線與軸正半軸的夾角分別為和，過點(diǎn)的直線分別交，于點(diǎn)．(1)當(dāng)線段的中點(diǎn)為時(shí)，求的方程；(2)當(dāng)線段的中點(diǎn)在直線上時(shí)，求的方程．【解析】（1）由于射線與軸正半軸的夾角分別為和，射線：．：．設(shè)，的中點(diǎn)為點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，．點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)．故的斜率為，又，：．（2）的中點(diǎn)在直線上，，即，，：．20．（12分）如圖所示，等腰梯形ABCD的底邊AB在x軸上，頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，且底邊AB和CD的長分別為6和，高為3．(1)求等腰梯形ABCD的外接圓E的方程；(2)若點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5,2)，點(diǎn)M在圓E上運(yùn)動，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程．【解析】（1）設(shè)，由已知可得：，由得：，∴圓的圓心為，半徑為，∴圓的方程為：．（2）設(shè)，∵為線段的中點(diǎn)，∴，代入點(diǎn)所在圓的方程得：，∴點(diǎn)的軌跡方程為．21．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，過點(diǎn)O及點(diǎn)的圓N與圓M外切．(1)求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)直線MN上是否存在點(diǎn)B，使得過點(diǎn)B分別作圓M與圓N的切線，切點(diǎn)分別為P，Q（不重合），滿足？若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【解析】（1）由題意知，圓N的圓心N在直線上（圓心N在線段OA的垂直平分線上）.設(shè)，圓N的半徑為r．因?yàn)閳AN與圓M外切，且圓M的圓心M（2，4），半徑為.所以，即，①又，即，②由①②得，即，故，即.再代入②可得，解得或，又，得，所以．故所求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，由可知，即，所以，即，整理得．①又直線MN的方程為，②所以由①②解得，，或，，由于P，Q兩點(diǎn)不重合，故，不合題意，舍去．故存在點(diǎn)B（6，8）符合題意．22．（12分）已知直線：，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，動點(diǎn)的軌跡為曲線(1)求曲線