無限彈性介質(zhì)中的彈性波

無限彈性介質(zhì)中的彈性波第一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日第六章無限彈性介質(zhì)中的彈性波

6.1

彈性波控制方程的建立6.2聲波方程的建立（流體力學(xué)）6.3均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的平面波6.4波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度6.5均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中球面波6.6諧波第二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日無限彈性介質(zhì)中的彈性波聲帶振動，使周圍空氣獲得一個密度的改變量,即產(chǎn)生一個初始“擾動”。第三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日無限彈性介質(zhì)中的彈性波手撥兩端固定的琴弦，在其被撥處將產(chǎn)生一個速度或位移的改變量，產(chǎn)生一個初始“擾動”。第四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日無限彈性介質(zhì)中的彈性波炸藥在地表層爆炸，使地應(yīng)力獲得一個改變，產(chǎn)生一個初始“擾動”。第五頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日地震勘探在地殼某處以一定的方式激發(fā)波動，在離震源很近的地方稱為破裂帶和塑性帶，由于爆炸造成的變形很大，從而巖石不能看作是彈性的；但離震源足夠遠的地方，由于巖石受力很小，且受力時間相當(dāng)短，因此可以看作是彈性介質(zhì)。震源作用的效果，通常可以認為以彈性波的形式在巖石中傳播，這就是地震波。無限彈性介質(zhì)中的彈性波第六頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日◆在彈性動力學(xué)中，研究的整個彈性體恰似一個多自由度的振動系統(tǒng)，當(dāng)某一點處受擾動（可能是位移、速度、應(yīng)力等的改變量）時，該質(zhì)點將發(fā)生振動并引起該處微元體產(chǎn)生變形;無限彈性介質(zhì)中的彈性波◆由于變形彈性體的拉壓力（對固體或液體）和剪切應(yīng)（對固體）的存在，又會引起周圍介質(zhì)也跟著振動起來?！魪椥圆ň褪窃趶椥越橘|(zhì)中傳播的擾動?！舨ㄔ诮橘|(zhì)中傳播時是將擾動或能量由此處傳遞到彼處，而介質(zhì)的質(zhì)點并不隨波遷移。第七頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日◆彈性體既能傳播拉壓應(yīng)力，又能傳播剪切應(yīng)力;無限彈性介質(zhì)中的彈性波……產(chǎn)生各微元體間受到拉壓作用而傳播的漲縮波（無旋波），這時單元體只發(fā)生膨脹或壓縮，單元體對角線不發(fā)生轉(zhuǎn)動。產(chǎn)生各微元體間受到剪切作用而傳播的畸變波（等體積波），這時單元體只發(fā)生對角線轉(zhuǎn)動，其體積不發(fā)生變化。第八頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日◆在介質(zhì)中傳播的擾動總存在著一個前沿。當(dāng)彈性波在介質(zhì)中傳播的某瞬間，介質(zhì)中某個區(qū)域內(nèi)質(zhì)點振動著，而介質(zhì)的這個區(qū)域由兩個閉合的面所限制，此兩個面稱為波陣面。無限彈性介質(zhì)中的彈性波◆在一個面以外的區(qū)域波的影響尚未達到，這個面稱為彈性波在此瞬時的波前；◆在另一個面以內(nèi)的區(qū)域波引起的振動已經(jīng)停止，這個面稱為波尾；波前波尾第九頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日無限彈性介質(zhì)中的彈性波◆根據(jù)波前的形狀，通常把波分為平面波、球面波、柱面波等?！舨ㄇ昂筒ㄎ搽S時間不斷向前推進，不指明哪一時間的波前和波尾，沒有明確意義。平面波球面波第十頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日無限彈性介質(zhì)中的彈性波◆彈性波在傳播過程中遇到兩種不同介質(zhì)的分界面要發(fā)生反射、透射、折射，還會產(chǎn)生轉(zhuǎn)換波，同時存在繞射現(xiàn)象?！魪椥圆梢杂谜穹㈩l率、相位、波速等來描述其特征。第十一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日在彈性力學(xué)中彈性波對傳播介質(zhì)的動力學(xué)效應(yīng)由波動方程來描述?，F(xiàn)在由以位移表示的運動微分方程——拉梅方程出發(fā)來推導(dǎo)出波動方程。拉梅方程的矢量形式（5-11）式為：彈性波控制方程的建立(6-1)第十二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日彈性波控制方程的建立第十三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日彈性波控制方程的建立根據(jù)場論，任一矢量場，如果在其定義域內(nèi)有散度和旋度，則該矢量場可以用一個標(biāo)量位的梯度場和一矢量位的旋度場之和來表示，故作用在彈性介質(zhì)上的體力也可表示為：第十四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日以位移位為擾動函數(shù)的波動方程中可得:第十五頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日以位移位為擾動函數(shù)的波動方程其中：第十六頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日以位移位為擾動函數(shù)的波動方程進一步可得：（6-3）第十七頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日以位移位為擾動函數(shù)的波動方程（6-3）（6-4）（6-5）的解。第十八頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日以位移位為擾動函數(shù)的波動方程其中（6-4）式稱為以標(biāo)量位移位表示的無旋波波動方程，（6-5）式稱為以矢量位移位表示的等容波波動方程。其中：分別為無旋波波速和等容波波速。與第十九頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日以位移矢量為擾動函數(shù)的波動方程對式（6-4）和（6-5）兩端分別進行梯度和旋度運算，可得：（6-4）（6-5）第二十頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日以位移矢量為擾動函數(shù)的波動方程以及：注意到：第二十一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日以位移矢量為擾動函數(shù)的波動方程可得：（6-6）（6-7）方程（6-6）和（6-7）即為無旋變形位移場和等體積變形位移場的波動方程。第二十二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日對拉梅方程（6-1）分別進行散度和旋度運算：以體積應(yīng)變和旋轉(zhuǎn)矢量為擾動函數(shù)的波動方程

(6-1)第二十三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日注意到：以體積應(yīng)變和旋轉(zhuǎn)矢量為擾動函數(shù)的波動方程第二十四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日以體積應(yīng)變和旋轉(zhuǎn)矢量為擾動函數(shù)的波動方程

可得：方程（6-8）和（6-9）分別為以體積應(yīng)變和轉(zhuǎn)動矢量表示的無旋波和等容波波動方程。(6-8)(6-9)第二十五頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日彈性波控制方程的建立

綜上，在彈性介質(zhì)中存在兩種類型的波，無旋波(longitudinal,irrotational,compressionalP-ware)和等容波(shear,transverse,rotational,S-ware)。在地震勘探中體力對應(yīng)力的改變量而言可以忽略不計，故波動方程可簡化為齊次方程，上述各種形式的波動方程可以寫成如下統(tǒng)一形式：（6-10）第二十六頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日彈性波控制方程的建立第二十七頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日彈性波控制方程的建立◆求解拉梅方程問題可轉(zhuǎn)化為求解泛定波動方程問題。波動方程來源于拉梅方程，但又超越于拉梅方程，因為它可以描述彈性介質(zhì)對各種物理量的響應(yīng)，而不僅僅是位移擾動的響應(yīng)。

◆波動方程仍然是線性的，滿足迭加原理，這就意味著，如果介質(zhì)中存在由諸多因素所造成的擾動，則每個擾動彼此獨立，而介質(zhì)中的擾動總可以視為多個獨立擾動的迭加。第二十八頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日彈性波控制方程的建立◆均勻各向同性完全彈性介質(zhì)中無旋波和等容波彼此獨立存在和傳播，無旋波不能激發(fā)等容波，等容波也不能激發(fā)縱波，但在不均勻介質(zhì)中，當(dāng)彈性參數(shù)是質(zhì)點位置坐標(biāo)的函數(shù)時，不能把彈性波解耦為相互獨立的無旋波和等容波。第二十九頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日固體介質(zhì)中的縱波（無旋波）是一種脹縮應(yīng)變波（疏密波），它與流體中的聲波具有同樣的性質(zhì)。如果不考慮固體中轉(zhuǎn)換波問題，地震波的傳播問題也可以用聲波方程來研究，即用聲波方程來近似，通常使用的標(biāo)量地震波動方程就是以這類標(biāo)量(如壓力)為未知函數(shù)的方程。聲波方程的建立（流體力學(xué)）彈性波方程聲波方程忽略轉(zhuǎn)換波第三十頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日運動微分方程（質(zhì)點流速與壓強的關(guān)系）第三十一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日運動微分方程（質(zhì)點流速與壓強的關(guān)系）（a）

（b）式中，為梯度算子。考慮到（a）式，進一步得到：（c）

第三十二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日運動微分方程（質(zhì)點流速與壓強的關(guān)系）圖6?1作用于流體中體積單元的壓力第三十三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日運動微分方程（質(zhì)點流速與壓強的關(guān)系）同樣作用在y和z方向為：第三十四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日運動微分方程（質(zhì)點流速與壓強的關(guān)系）于是作用力寫成矢量形式為：（d）第三十五頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日運動微分方程（質(zhì)點流速與壓強的關(guān)系）方程（6-11）稱為流體中速度和壓強表示的質(zhì)點運動方程。（6-11）第三十六頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日連續(xù)性方程（質(zhì)點的流速和密度關(guān)系）第三十七頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)散度定理：連續(xù)性方程（質(zhì)點的流速和密度關(guān)系）代入前式，得到：稱為流體介質(zhì)連續(xù)性方程，是質(zhì)量守恒的數(shù)學(xué)公式。即：（6-12）第三十八頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日設(shè)流體介質(zhì)密度和壓強變化是在常數(shù)背景上的擾動，即（e）將（e）式代入運動方程(6-11)式得：即：物理方程（壓強與密度關(guān)系）第三十九頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日物理方程（壓強與密度關(guān)系）(6-13)第四十頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日物理方程（壓強與密度關(guān)系）再將（e）式代入連續(xù)性方程(6-12)中:由于(6-12)（6-12）第四十一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日物理方程（壓強與密度關(guān)系）(6-14)將（e）式代入(6-14)式進一步得到連續(xù)性方程：(6-15)第四十二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日物理方程（壓強與密度關(guān)系）或(6-16)第四十三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日物理方程（壓強與密度關(guān)系）可見壓強的變化量與密度的變化量成正比，比例系數(shù)為一常數(shù)，也可用氣態(tài)方程來說明這一點。聲波傳播過程中，可以看作是絕熱過程，滿足泊松絕熱方程：（f）第四十四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日物理方程（壓強與密度關(guān)系）展開近似得到：因此：或(6-17)第四十五頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日物理方程（壓強與密度關(guān)系）則:(6-18)稱為流體狀態(tài)方程（物理方程）。

第四十六頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日可壓縮流體中的聲波方程對微分方程(6-13)式取散度:將(6-18)式代入得:（g）再由(6-15)式:代入（g）式得:于是：(6-19)第四十七頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日可壓縮流體中的聲波方程(6-20)第四十八頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日可壓縮流體中的聲波方程(6-21)即流體中聲波是無旋波，或脹縮波，疏密波。寫成分量形式:第四十九頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日可壓縮流體中的聲波方程交換求導(dǎo)順序得：

有

第五十頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日可壓縮流體中的聲波方程整理得：或(6-22)這就是質(zhì)點運動速度的速度位滿足的波動方程。求解聲波方程時分界面的連續(xù)條件：①聲壓函數(shù)連續(xù)：分界面兩側(cè)介質(zhì)聲壓函數(shù)在分解面處數(shù)值相等；②速度函數(shù)連續(xù)：分界面兩側(cè)介質(zhì)質(zhì)點運動速度沿界面法線方向分量相等。第五十一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日可壓縮流體中的聲波方程通過與固體彈性動力學(xué)方程比較，我們可以這樣理解：壓強相當(dāng)于應(yīng)力，密度相當(dāng)于應(yīng)變，質(zhì)點流速相當(dāng)于位移。在使用連續(xù)條件時，一般用速度位表示聲壓和質(zhì)點速度：第五十二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日可壓縮流體中的聲波方程二維聲波方程可以用(1)式和(2)時來表示:(1)(2)聲波方程的拓展(一)：無反射聲波方程第五十三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日可壓縮流體中的聲波方程對(2)式兩端同取時間t的導(dǎo)數(shù)，得:再將(1)式代入得到：即：第五十四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日可壓縮流體中的聲波方程當(dāng)上式中的密度為常數(shù)時，即化為聲波方程。若密度不為常數(shù)，引入波阻抗第五十五頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日可壓縮流體中的聲波方程若令波阻抗為常數(shù)：或：此即無反射聲波方程第五十六頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日可壓縮流體中的聲波方程聲波方程的拓展(二)：單程波方程對于二維聲波方程：其達朗貝爾解為：內(nèi)行波場外行波場第五十七頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日可壓縮流體中的聲波方程兩邊分別做二維傅氏變換，得到聲波方程頻散關(guān)系為：分離左行波和右行波（吸收邊界處理）分離上行波和下行波（有限差分偏移）第五十八頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日可壓縮流體中的聲波方程聲波方程在地震勘探中的應(yīng)用:◆正演模擬（直達波、透射波、反射波、折射波、多次波、繞射波）第五十九頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日可壓縮流體中的聲波方程聲波方程在地震勘探中的應(yīng)用:◆有限差分偏移（傳統(tǒng)有限差分偏移和逆時偏移）第六十頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日可壓縮流體中的聲波方程聲波方程在地震勘探中的應(yīng)用:◆其他應(yīng)用：深度域濾波：應(yīng)用聲波方程進行波場逆推，剔除面波、直達等干擾多次波剔除：模擬預(yù)測多次波記錄，剔除實際記錄中的多次波信息數(shù)據(jù)處理檢測：基于處理模型正演模擬，與實際記錄比對全波形反演：波動方程正反演技術(shù)結(jié)合，反演介質(zhì)模型第六十一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日可壓縮流體中的聲波方程二階標(biāo)量聲波方程：一階壓力-速度方程組：第六十二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的平面波建立了波動方程之后，還必須求解波動方程，才能描述擾動函數(shù)在介質(zhì)中的傳播規(guī)律。求解波動方程一般要考慮邊界條件和初始條件（稱為定解條件）。我們先討論無限大均勻各向同性彈性介質(zhì)中波動方程的解，即不考慮邊界條件情況，分別研究平面波，球面波，諧波等的傳播規(guī)律。第六十三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的平面波◆

等相位面是平面，且波陣面與波的傳播方向垂直的彈性波平面波?！粼趶椥圆▊鞑ダ碚撝袕V泛使用平面波（plane-wave）的概念。實際上不存在激發(fā)平面波的震源，平面波是波動過程的數(shù)學(xué)抽象。第六十四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的平面波◆從點震源產(chǎn)生的球面波四周傳播，在離震源足夠遠的地方，研究局部等相位面，可看作一個平面。◆球面波的局部等相位面越小，則把它看成平面波所需的足夠距離越小，因此，理論上任何類型的波可以用平面波合成的形式表示?！羝矫娌ㄊ遣▌蝇F(xiàn)象中最基本的形式，是理論研究和實際應(yīng)用的基礎(chǔ)?！诹屙?，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿x軸方向傳播的平面波(6-23)方程(6-23)又稱為一維波動方程，描述平面波，包括平面縱波和平面橫波。第六十六頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿x軸方向傳播的平面波縱波（無旋波）：波的傳播方向與質(zhì)點的振動方向一致，稱為縱波（無旋波）。橫波（等體積波）：波的傳播方向與質(zhì)點的振動方向垂直，稱為橫波（等體積波）。對于縱波：第六十七頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿x軸方向傳播的平面波對于橫波，分兩種：SV波：SH波：第六十八頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿x軸方向傳播的平面波第六十九頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿x軸方向傳播的平面波(6-24)第七十頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿x軸方向傳播的平面波對兩邊求反Fourier變換，并由Fourier變換的頻移定理得：(6-25)第七十一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿x軸方向傳播的平面波

在波的傳播空間中，波的相位相同的點構(gòu)成的曲面為等相位面，平面波的等相位面是空間的一個平面，假設(shè)：第七十二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿x軸方向傳播的平面波第七十三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿x軸方向傳播的平面波圖6?2平面波的時間與空間關(guān)系第七十四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿x軸方向傳播的平面波第七十五頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日質(zhì)點振動方向與傳播方向一致——平面縱波

或：(6-26)方程(6-26)的通解為：(6-27)第七十六頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日質(zhì)點振動方向與傳播方向一致——平面縱波

圖6?3波傳播及速度第七十七頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日質(zhì)點振動方向與傳播方向一致——平面縱波

第七十八頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日質(zhì)點振動方向與傳播方向一致——平面縱波

由幾何方程（5－2）式得：進一步求應(yīng)力分量，由廣義虎克定律（5－3a）式得：第七十九頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日質(zhì)點振動方向與傳播方向一致——平面縱波

而剪應(yīng)力分量均為零。又有：最后再求相應(yīng)的質(zhì)點振動的速度：第八十頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日質(zhì)點振動方向與傳播方向一致——平面縱波

綜上，任意波函數(shù)的平面縱波，在彈性介質(zhì)中都以疏密波形式向前或向后傳播，其波速為：第八十一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日或

(6-28)質(zhì)點振動方向與傳播方向垂直——平面橫波第八十二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日再應(yīng)用幾何方程（5－2）求得：進一步求應(yīng)力分量，由物理方程（5－3a）式：其余應(yīng)力分量均為零。質(zhì)點振動方向與傳播方向垂直——平面橫波第八十三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日最后求相應(yīng)的質(zhì)點速度質(zhì)點振動方向與傳播方向垂直——平面橫波第八十四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日質(zhì)點振動方向與傳播方向垂直——平面橫波第八十五頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日質(zhì)點振動方向與傳播方向垂直——平面橫波◆地層中縱波速度要比橫波速度大，故在地震勘探中縱波比橫波先到,而地震勘探長期使用縱波。第八十六頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日質(zhì)點振動方向與傳播方向垂直——平面橫波◆目前橫波尤其是轉(zhuǎn)換橫波勘探日益引起人們的重視?！魴M波具有較高的分辨率，能夠?qū)鉁?、小幅度?gòu)造、小斷層、礁體、古潛山等準確定位?！粢驗闄M波不受流體影響，其對非構(gòu)造油氣藏勘探，真假亮點的識別，氣囪內(nèi)部成像，裂縫發(fā)育分析，流體識別等十分有效。第八十七頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿x軸方向傳播的一般情況(6-29)第八十八頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿x軸方向傳播的一般情況式中:第八十九頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿x軸方向傳播的一般情況第九十頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿任意方向傳播的平面波第九十一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿任意方向傳播的平面波圖6?4任意傳播方向坐標(biāo)變換第九十二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿任意方向傳播的平面波則擾動函數(shù)于是第九十三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日沿任意方向傳播的平面波故任意方向傳播的平面波的方程為：(6-30)(6-31)第九十四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日彈性介質(zhì)中平面波傳播的速度(a)(b)第九十五頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日彈性介質(zhì)中平面波傳播的速度將（a）和（b）代入拉梅方程（5-10），且不考慮體力，得到:拉梅方程第九十六頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日彈性介質(zhì)中平面波傳播的速度進一步整理得：（c）第九十七頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日彈性介質(zhì)中平面波傳播的速度行列式展開化簡得：第九十八頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日彈性介質(zhì)中平面波傳播的速度于是:第九十九頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度

現(xiàn)在來研究一般情況，以波前（波陣面）的推進來闡述波傳播的規(guī)律，在彈性介質(zhì)中（各向同性，均勻，無限大）波傳播的速度可理解為波前沿外法線方向擴展的速度。nc=l/t第一百頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度

第一百零一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度

第一百零二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度

根據(jù)動量定理

化簡為:(a)第一百零三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度

又根據(jù)Cauchy公式應(yīng)力矢量三個分量用應(yīng)力分量表示為：（b）第一百零四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度（c）第一百零五頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度將(c)代入（b），再代入（a）中得（d）第一百零六頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度

上式對位置和時間應(yīng)用多元Taylor公式展開，略去高階微量，得:（e）第一百零七頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度

（f）第一百零八頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度

將（f）代入（e）整理（g）第一百零九頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度

同樣用Taylor展開，略去高階微量，得（h）（j）

第一百一十頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度

（k）（j）與(k)比較得(l)式中為待定矢量，式（l）代入（g）式中得：故（m）（j）（g）

第一百一十一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度

那么（n）從而得到波前面上位移矢量對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)與對時間偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，代入動量定理（d）中，將位移矢量對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)全部換成對時間的偏導(dǎo)數(shù)，即得：第一百一十二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度

或第一百一十三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度

第一百一十四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波前面分析與彈性介質(zhì)中任意波前形狀波的傳播速度

將此行列式展開，化簡后，得到：于是這就證明了在各向同性彈性介質(zhì)中，不論波前形狀如何。波的傳播速度只有兩種，即：和。第一百一十五頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中球面波在地震勘探中，由點爆炸所產(chǎn)生的在均勻各向同性彈性介質(zhì)中傳播的地震波是球?qū)ΨQ的。由于球?qū)ΨQ，質(zhì)點只能發(fā)生徑向位移，而不能發(fā)生垂直于徑向的位移，因此波陣面為球面，波為球面縱波Spherical-wave）。第一百一十六頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中球面波對于無限彈性介質(zhì)，三維波動方程齊次形式為：其中：第一百一十七頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中球面波……（a）設(shè)擾動函數(shù)…（b）第一百一十八頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中球面波于是可得同理可得第一百一十九頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中球面波所以……（c）第一百二十頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中球面波所以球坐標(biāo)系下波動方程為：即……（d）或根據(jù)數(shù)學(xué)物理方程，(d)式是關(guān)于擾動函數(shù)的一維波動方程其通解為第一百二十一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中球面波即……（e）是關(guān)于（r-ct）的任意函數(shù)，是關(guān)于(r+ct)的任意函數(shù)，與激發(fā)子波有關(guān)，（e）為波動方程球?qū)ΨQ解或球面解。

顯然，

是由原點向外以波速c傳播的波，而則是向著原點以波速c傳播的波，它們的振幅都隨r增加而減少，稱為球面擴散效應(yīng)（或稱幾何擴散效應(yīng)），這是球面波與平面波的重要區(qū)別。第一百二十二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中球面波原點向外傳播的波在地震勘探中可以由位于原點的球形震源來實現(xiàn)；而向著原點傳播的波可以設(shè)想為由一個具有圓球形外表面的彈性體在其外表受到均勻分布的動力作用時，變形將從外表面以波的形式向球心對稱傳播，但實際難以實現(xiàn)。第一百二十三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日無限彈性介質(zhì)中球面空腔產(chǎn)生的彈性波脹縮點震源引起的球面波即：則其通解為：第一百二十四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日無限彈性介質(zhì)中球面空腔產(chǎn)生的彈性波脹縮點震源引起的球面波取由中心向四周擴散的球面波的解，即為則位移場即第一百二十五頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日無限彈性介質(zhì)中球面空腔產(chǎn)生的彈性波脹縮點震源引起的球面波

這樣，在震源附近，質(zhì)點的位移基本上重復(fù)震源強度函數(shù)變化規(guī)律，稱近震源場，遠離震源時，質(zhì)點的位移是震源強度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。這說明球面波在其傳播過程中波形逐漸改變，這也是區(qū)別平面波的一個重要特點。第一百二十六頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日諧波

波有著多種多樣的形式，從波動方程的通解表達形式知波函數(shù)與激發(fā)子波或震源函數(shù)有關(guān)，但最簡單而最重要的莫過于諧波（Harmonicwave），即簡諧振動在彈性介質(zhì)中的傳播而形成的波。由Fourier級數(shù)理論級可知，任何復(fù)雜的振動都可以看成若干各不相同簡諧振動的合成；因此任何復(fù)雜的彈性波也總可以看成若干個具有各不相同的頻率，相位和振幅的諧波合成起來的。于是諧波在彈性介質(zhì)中傳播時，任何一點處的擾動都不僅隨時間而且隨空間作余弦（或正弦）型變化。第一百二十七頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日諧波--平面諧波所謂的平面諧波是由若干個作簡諧振動的質(zhì)點發(fā)出的擾動所形成的幾何包絡(luò)面為平面的諧波。如下圖所示。第一百二十八頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日諧波--平面諧波沿x軸方向傳播的平面諧波對于沿著x軸正向傳播的平面諧波的擾動函數(shù)可以簡單寫成：（a）也可寫成：第一百二十九頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日諧波--平面諧波若設(shè)振動周期為T，圓頻率而波數(shù)波傳播速度為第一百三十頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日諧波--平面諧波圖6?8振動圖第一百三十一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日諧波--平面諧波圖6?9波剖面圖第一百三十二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日諧波--平面諧波相速度：指一定的相位移動的速度。群速度：指一定的振幅包絡(luò)線移動的速度。相速度和群速度皆為波速，如果各個簡諧波相速度相同，則群速度與相速度相等；若各個簡諧波相速度不同，群速度與相速度不等，此時即發(fā)生頻散。頻散：由各種不同諧波成分組成的波，雖然受同一起始擾動下，但各自以不同的速度傳播，并且起始擾動的形狀在傳播中將產(chǎn)生變化。擾動經(jīng)傳播以后將擴展成為一更長的波列，這種現(xiàn)象我們稱之為頻散。第一百三十三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日諧波--球面簡諧縱波所謂球面諧波是由若干作簡諧振動質(zhì)點發(fā)出的擾動所形成的波陣面為球面的諧波，如下圖所示，對于球?qū)ΨQ情況，則為球面簡諧縱波。波函數(shù)（擾動函數(shù)）可以寫成：寫成復(fù)指數(shù)形式設(shè)

為位移場的標(biāo)量位，則：當(dāng)r>>波長時，第一項起主要作用，稱為遠震源場。第一百三十四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日廣義胡克定律第一百三十五頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日聲波方程數(shù)值模擬

――地球物理場論

基礎(chǔ)Ⅰ期末作業(yè)（1）

任課教師：宋鵬聲波方程數(shù)值模擬

――地球物理場論

基礎(chǔ)Ⅰ期末作業(yè)（1）

第一百三十六頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日一、地震勘探基本原理

二、波動方程類型及其局限性

三、數(shù)值算法類型及其局限性

四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬內(nèi)容提綱第一百三十七頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日138一、地震勘探基本原理＊▽▽▽▽▽xt第一百三十八頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日 同相軸為雙曲線，即反射波的時距曲線為雙曲線，反射波一個同相軸可帶來一個地層的信息。實際地下介質(zhì)非常復(fù)雜，所得到的炮集記錄也包含更多的地下信息。實際的炮集記錄見圖1-1和1-2。第一百三十九頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日圖1-1陸上某區(qū)實際地震記錄第一百四十頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日圖1-2海上某區(qū)實際地震記錄第一百四十一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日地震波場模擬即地震正演，是指已知模型結(jié)構(gòu)，通過物理或數(shù)值計算的方法模擬該地質(zhì)結(jié)構(gòu)下的地震波的傳播，最終合成地震記錄，也可以認為其是野外數(shù)據(jù)采集過程的室內(nèi)再現(xiàn)。物理模擬花費昂貴，人們一般采用比較經(jīng)濟的數(shù)值模擬技術(shù)。地震波場數(shù)值模擬是在給定數(shù)學(xué)模型（如彈性波方程，聲波方程等）、震源和地下幾何界面、物性參數(shù)（巖層密度、速度等）情況下，研究彈性波或聲波的傳播規(guī)律。第一百四十二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日廣義的地震反演即是從地震炮集記錄出發(fā)，經(jīng)過復(fù)雜的去噪、速度分析以及偏移成像處理等手段得到反映地下的地質(zhì)結(jié)構(gòu)的地震剖面。實際的地震剖面見圖1-3和1-4。第一百四十三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日圖1-3 陸上某區(qū)地震剖面第一百四十四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日圖1-4海上某區(qū)地震剖面第一百四十五頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日 一、地震勘探基本原理

二、波動方程類型及其局限性

三、數(shù)值算法類型及其局限性

四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬內(nèi)容提綱第一百四十六頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日二、波動方程類型及其局限性1、聲波方程：

一階壓力-速度方程組：二階標(biāo)量聲波方程：第一百四十七頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日二、波動方程類型及其局限性能夠描述且只能描述縱波的傳播規(guī)律，包括直達波、反射波、透射波、折射波等，但不能描述轉(zhuǎn)換波傳播規(guī)律。需要的已知條件包括：1）震源函數(shù)2）地層速度/密度3）邊界條件第一百四十八頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日2、彈性波方程：第一百四十九頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日能夠描述縱、橫波的傳播規(guī)律，包括直達波、反射波、透射波、折射波以及轉(zhuǎn)換波等。需要的已知條件包括：1）震源函數(shù)2）地層速度或根據(jù)方程的類型需要提供的地層的其它彈性參數(shù)3）邊界條件第一百五十頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日3、粘聲波/彈性波方程 前面討論的是理想彈性介質(zhì)，波在其中傳播時，沒有能量的損耗，介質(zhì)中應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系嚴格遵循胡克定律（這種理想介質(zhì)稱虎克固體），但波在實際介質(zhì)中傳播時，是有能量損耗的，這就是所謂的彈性波吸收。波在傳播過程中，實際介質(zhì)的不同部位之間會出現(xiàn)某種摩擦力，稱為內(nèi)摩擦力或粘滯力。這種力導(dǎo)致機械能向其他形式能量轉(zhuǎn)換，最終轉(zhuǎn)化為熱能消耗掉。第一百五十一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日 在地震勘探中，地震波傳播的實際介質(zhì)是十分復(fù)雜的。在一定條件下，即震源作用時間短，作用力微小，地球介質(zhì)可以看作完全彈性模型，但隨著地震勘探技術(shù)的發(fā)展，勘探精度要求提高，面臨復(fù)雜地質(zhì)目標(biāo)時，要求地震勘探采用更加符合實際的介質(zhì)模型進行研究。粘彈性介質(zhì)模型更符合實際。 但是到目前為止，在地震資料反演處理中應(yīng)用最多的還是聲波方程，彈性波以及粘彈性波方程的應(yīng)用還只是停留在模擬層次上。第一百五十二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日 一、地震勘探基本原理

二、波動方程類型及其局限性

三、數(shù)值算法類型及其局限性

四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬內(nèi)容提綱第一百五十三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日三、數(shù)值算法類型及其優(yōu)缺點地震波波動方程數(shù)值模擬方法主要包括克?；舴蚍e分法、傅里葉變換法、有限元法和有限差分法等?？讼；舴蚍e分法引入射線追蹤過程，本質(zhì)上是波動方程積分解的一個數(shù)值計算，在某種程度上相當(dāng)于繞射疊加。該方法計算速度較快，但由于射線追蹤中存在著諸如焦散、多重路徑等問題，故其一般只能適合于較簡單的模型，難以模擬復(fù)雜地層的波場信息。第一百五十四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日傅里葉變換法是利用空間的全部信息對波場函數(shù)進行三角函數(shù)插值，能更加精確地模擬地震波的傳播規(guī)律，同時，利用快速傅里葉變換(FFT)進行計算，還可以提高運算效率，其主要優(yōu)點是精度高，占用內(nèi)存小，但缺點是計算速度較慢，對模型的適用性差，尤其是不適應(yīng)于速度橫向變化劇烈的模型。第一百五十五頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日波動方程有限元法的做法是：將變分法用于單元分析，得到單元矩陣，然后將單元矩陣總體求和得到總體矩陣，最后求解總體矩陣得到波動方程的數(shù)值解；其主要優(yōu)點是理論上可適宜于任意地質(zhì)體形態(tài)的模型，保證復(fù)雜地層形態(tài)模擬的逼真性，達到很高的計算精度，但有限元法的主要問題是占用內(nèi)存和運算量均較大，不適用于大規(guī)模模擬，因此該方法在地震波勘探中尚未得到廣泛地應(yīng)用。第一百五十六頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日相對于上述幾種方法，有限差分法是一種更為快速有效的方法。雖然其精度比不上有限元法，但因其具有計算速度快，占用內(nèi)存較小的優(yōu)點，在地震學(xué)界受到廣泛的重視與應(yīng)用。第一百五十七頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日 一、地震勘探基本原理

二、波動方程類型及其局限性

三、數(shù)值算法類型及其局限性

四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬內(nèi)容提綱第一百五十八頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬對于二維速度-深度模型，地下介質(zhì)中地震波的傳播規(guī)律可以近似地用聲波方程描述：是介質(zhì)在點（x,z）處的縱波速度，為描述速度位或者壓力的波場，為震源函數(shù)。(4-1)第一百五十九頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日空間模型網(wǎng)格化（如圖4-1所示）：圖4-1差分網(wǎng)格劃分示意圖第一百六十頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日網(wǎng)格間隔長度，時間采樣步長表示(i,j)點k時刻的波場值

第一百六十一頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日 時間二階、空間二階差分格式推導(dǎo)如下：(4-2)(4-3)第一百六十二頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日將上兩式相加，略去高階小量，整理得(i,j)點k時刻的二階時間微商為：(4-4)第一百六十三頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日同理可得(i,j)點k時刻的二階空間微商分別為：(4-5)(4-6)第一百六十四頁，共一百八十頁，編輯于2023年，星期日這就實現(xiàn)了用網(wǎng)個點波場值的差商代替了偏微分方程的微商，將上三個式子代入(4-1)式中得：(4-7)式中第一百六十