對稱問題與圓錐曲線綜合問題

對稱問題與圓錐曲線綜合問題知識要點對稱問題是解析幾何中的一個重要問題，主要類型有：點關(guān)于點成中心對稱問題（即線段重點坐標公式的應(yīng)用問題）設(shè)點，對稱中心為，則點關(guān)于的對稱點為點關(guān)于直線成軸對稱問題由軸對稱定義可知，對稱軸即為兩對稱點連線的垂直平分線，利用“垂直”“平分”這兩個條件建立方程，就可以求出對稱點的坐標，一般情形如下：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則有可求得；特殊情形：點關(guān)于直線對稱的點為；點關(guān)于直線對稱的點為；若對稱軸的斜率為，則可把直接代入對稱軸方程求得對稱點的坐標.直線關(guān)于直線軸對稱問題求直線關(guān)于直線的對稱直線有以下兩種解法：轉(zhuǎn)化為直線上的點關(guān)于直線的對稱問題；轉(zhuǎn)化為角相等問題（這種解法文科不予以考慮）特殊情形：直線和直線平行，則直線關(guān)于直線對稱的直線也與直線平行，且到的距離等于到的距離，由兩條平行線之間的距離公式即可求得.曲線關(guān)于點，曲線關(guān)于直線的中心或軸對稱問題曲線關(guān)于點、曲線關(guān)于直線的中心或軸對稱問題，一般轉(zhuǎn)化為點的中心或軸對稱（這里既可以選擇特殊點，也可以選擇任意點實現(xiàn)轉(zhuǎn)化）.一般結(jié)論如下：曲線關(guān)于已知點對稱的曲線方程是曲線關(guān)于已知直線的對稱曲線的求法：設(shè)曲線上任意一點，點關(guān)于直線的對稱點為，則與坐標滿足從中解出，代入已知曲線，即應(yīng)用利用坐標代換法就可以求出曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程，若對稱軸的斜率為，則可直接代入求得對稱軸曲線方程.解析幾何中對稱問題與函數(shù)圖象中的對稱問題具有一致性，可以互為參照.圓錐曲線的綜合問題主要體現(xiàn)在探究與圓錐曲線有關(guān)的定值、最值、參數(shù)范圍問題.定值問題指會處理動曲線（含直線）過定點的問題以及會證明與曲線上的動點有關(guān)的定值問題.圓錐曲線中最值問題以及變量的取值范圍問題的求解：一是注意題中圖形的幾何特征，充分考慮圖形的性質(zhì)；二是運用函數(shù)思想、建立目標函數(shù)、求解最值，也即是幾何法與代數(shù)法兩種不同的處理方法，幾何法常須扣住圓錐曲線的定義并和平面幾何有關(guān)的結(jié)論巧妙結(jié)合，代數(shù)法則常把有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用配方法、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性來解.經(jīng)典例題例1已知橢圓的焦點，且與直線有公共點，求其中長軸最短的橢圓方程.解法一：利用圓錐曲線的定義：先求得關(guān)于直線對稱的點，且直線與動橢圓交點為，當為直線與橢圓的交點時（即三點共線）橢圓的長軸最短，即取，此時橢圓方程為.設(shè)直線的方程為，代入得.設(shè)，由點在橢圓上，又直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，在上式之中以代替，可得，所以直線的斜率.例4范圍問題已知過點的直線與橢圓交于不同的兩點，點是弦的中點.若，求點的軌跡方程；求的取值范圍.解：（1）①若直線//軸，則點為②設(shè)直線：，并設(shè)點的坐標分別是，則消去得（）由直線與橢圓有兩個不同交點，可得由及方程（）得即由于（否則直線與橢圓無公共點），將以上方程組兩式相除得，代入到方程中，整理得.綜上所述，點的軌跡方程為.當直線//軸時，分別是橢圓長軸的兩個端點，則點在原點處，所以；由方程（）得例5最值問題已知點分別是橢圓的左頂點和上頂點，點是線段上的任意一點，點分別是橢圓的左、右焦點，且的最大值是1，最小值是.求橢圓的方程；設(shè)橢圓的右頂點為，點是橢圓上位于軸上方的動點，直線與直線分別交于兩點，求線段的長度的最小值；當線段長度取得最小值時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積是？若存在，確定點的個數(shù)，若不存在，說明理由.解：設(shè)，，則，，.在線段上，可以看成線段上的點到原點距離的平方，結(jié)合圖形可以知道當點運動到點時取得最大，最大值為，所以的最大值為.當時，取得最小值，最小值運用等面積法可以得到的最小值為，所以的最小值為.又的最大值是1，最小值是，所以，解得，所以橢圓的方程是.直線的斜率為，顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而，由得.設(shè)，則，又由得故.當且僅當即時等號成立.時線段長度取得最小值.由（2）知，當取最小值時，此時的方程為，要使橢圓上存在點使得的面積是，只需點到直線的距離為，所以在平行于且與的距離等于的直線上.設(shè)直線的方程為，則由解得或.當時，由得，由于，故直線與橢圓有兩個不同的交點.當時，由得，由于，故直線與橢圓沒有交點.綜上所述，當線段長度取得最小值時，在橢圓上僅存在這兩個點，使得的面積是.例6已知曲線的方程為若曲線是橢圓，求的取值范圍；若曲線是雙曲線，且有一條漸近線的傾斜角是，求此雙曲線的方程；滿足（2）的雙曲線上是否存在兩點關(guān)于直線對稱，若存在，求出的直線方程；若不存在，請說明理由.解：（1）當時，曲線表示直線.當時，方程為①上式表示橢圓的充要條件是即是或.方程①表示雙曲線的充要條件是，即或或.當或時，雙曲線的焦點在軸上，，，其一條漸近線的斜率為當時，雙