2019-2020年高二數(shù)學(xué)概率選修課(四課時)

2019-2020年高二數(shù)學(xué)概率選修課(四課時)教學(xué)目標(biāo):1使學(xué)生了解實際生活中的隨機現(xiàn)象;并能用概率的知識初步解釋這些隨機現(xiàn)象;2使學(xué)生理解頻率,概率的含義;3使學(xué)生理解頻率和概率的區(qū)別和聯(lián)系.教學(xué)重點和難點:1隨機現(xiàn)象的定義;2如何用頻率來理解概率及頻率和概率的關(guān)系.教學(xué)過程一課程引入概率學(xué)的發(fā)展:概率論是機遇的數(shù)學(xué)模型.最初他只是對于帶機遇性游戲的分析,而現(xiàn)在已經(jīng)是一門龐大的數(shù)學(xué)理論,他在社會學(xué),生物學(xué),物理學(xué)和化學(xué)上都有應(yīng)用.概率一詞是和探求真實性聯(lián)系在一起的.在我們所生活的世界里,充滿了不確定性.因此我們就試圖通過猜測事件的真相和未來來掌握這種不確定性.概率這門學(xué)科就應(yīng)運而生了.概率趣話概率與布豐曾經(jīng)做過一個投針試驗.他在一張紙上畫了很多條距離相等的平行直線,他將小針隨意地投在紙上,他一共投了2212次,結(jié)果與平行直線相交的共有704根.總數(shù)2212與相交數(shù)704的比值為3.142.布豐得到地更一般的結(jié)果是:如果紙上兩平行線間的距離為,小針的長為,投針次數(shù)為,所投的針中與平行線相交的次數(shù)為,那么當(dāng)相當(dāng)大時有:.后來有許多人步布豐的后塵,用同樣的方法計算值.其中最為神奇的是意大利數(shù)學(xué)家拉茲瑞尼(Lazzerini).他在1901年宣稱進行了多次投針試驗得到了的值為3.1415929.這與的精確值相比,一直到小數(shù)點后七位才出現(xiàn)不同!用如此巧妙的方法,求到如此高精確的值,這真實天工造物!抽簽的順序抽簽的先后順序與是否抽到有記號的簽無關(guān).概率學(xué)的應(yīng)用:工業(yè)方面問:如果長虹生產(chǎn)的彩電的合格率為99.99%,而康家生產(chǎn)的彩電的合格率為99%,你更愿意買那一家的彩電?你可能買到長虹不合格的彩電,也有可能買到康佳合格的彩電,但你為什么更愿意賣長虹的彩電呢?在這里我們將給你答復(fù).農(nóng)業(yè)方面種子有優(yōu)有劣,每一粒種子在你中下時,你并不知道他將來是否發(fā)芽.但為了將來的發(fā)芽率高,你會怎么辦?你只有在種的時候就選優(yōu)良的種子,這又是為什么呢?日常生活方面今天天氣預(yù)報說:明天的降雨概率為80%,那你明天一定帶傘出門嗎?如果說:今天的降雨概率是20%,你就一定不帶傘出門嗎?如果說中獎的概率是0.1%,你買一千張彩票就一定能中獎嗎?二新課(一)基本概念1隨機現(xiàn)象大千世界,所遇到的現(xiàn)象不外乎兩類.一類是確定性現(xiàn)象,如在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水加熱到100攝氏度時沸騰,是確定會發(fā)生的現(xiàn)象;又如,從地球上看,太陽每天從東方升起.另一類是隨機而發(fā)生的不確定的現(xiàn)象,如適當(dāng)?shù)臈l件下,種子的發(fā)芽,擲一枚硬幣出現(xiàn)正面或反面等等.這種不確定的現(xiàn)象叫做隨機現(xiàn)象.隨機現(xiàn)象:在相同的條件下,重復(fù)同樣的試驗或觀測(今后把”觀測”也看作試驗而不加區(qū)分),其試驗結(jié)果卻不確定,以至于在試驗之前無法預(yù)料哪一個結(jié)果會出現(xiàn)的現(xiàn)象.對隨機現(xiàn)象的理解在一種前提下的隨機事件,在另一種前提下可能成為必然事件.北宋年間的荻青與儂智高的較量.大將荻青奉旨征討儂智高.但敵我的懸殊很大,勝敗沒有把握.他便設(shè)壇拜神,拿出一百枚銅錢,說:”如果這一百枚銅錢的錢面全部朝上,則這次將會大獲全勝.”士兵們很是惶恐,力權(quán)荻青不可如此,憑大家的經(jīng)驗可知,這是不可能發(fā)生的.但是荻青不停勸阻,毅然投下一百枚銅錢,讓大家驚奇的是,一百枚銅錢的前面全部朝上,這大大鼓舞了將士們的士氣,在兵力相差很大的條件下,擊退了儂智高的部隊.在一種前提下的必然事件,在另一種前提下可能不出現(xiàn).從死亡線上生還的人頻率的穩(wěn)定性,概率投擲硬幣試驗人們知道:擲一枚硬幣,事先無法哪一面向上.但是出現(xiàn)正面和反面的機會是相等的.在大量的投擲時,正面和反面出現(xiàn)的次數(shù)”差不多”,從歷史上看,這經(jīng)歷了很長一個時期.試驗人投擲次數(shù)出現(xiàn)正面頻率(出現(xiàn)正面次數(shù)/投擲次數(shù))荻摩更204810610.5181布豐404020480.5069皮爾遜240001xx0.5005羅曼若夫斯基80640396990.4923相差得多與不多是相對于試驗的次數(shù)而言的.上表告訴我們:當(dāng)試驗的次數(shù)增加時,正面出向的頻率,即正面出現(xiàn)的次數(shù)與總的試驗次數(shù)之比都在的左右.這表明:頻率是隨機的,事先無法確定.頻率又”穩(wěn)定”在一個數(shù)常數(shù)的附近.頻率偏離這個常數(shù)很大的可能性雖然存在,但是試驗的次數(shù)越大,頻率偏離這個常數(shù)的可能性越小.也就是說:隨機事件的每一次觀察結(jié)果都是偶然的,但是多次觀察某個隨機現(xiàn)象可以知道,在大量的偶然事件中存在這必然的規(guī)律.男女出生率頻率的穩(wěn)定性,可以從人類的生育中得到生動的例子.一般人或許認為:生男生女的可能性是相等的,因而推測出男嬰和女嬰的出生數(shù)的比因當(dāng)是1:1,可事實并非如此.公元1814年法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace1794---1827)在他的新作＜＜概率的哲學(xué)探討＞＞一書中,記載了一下有趣的統(tǒng)計.他根據(jù)倫敦,彼得堡,柏林和全法國的統(tǒng)計資料,得出了幾乎完全一致的男嬰和女嬰出生數(shù)的比值是22:21,即在全體出生嬰兒中,男嬰占51.2%,女嬰占48.8%.可奇怪的是,當(dāng)他統(tǒng)計1745---1784整整四十年間巴黎男嬰出生率時,卻得到了另一個比是25:24,男嬰占51.02%,與前者相差0.14%.對于這千分之一點四的微小差異!拉普拉斯對此感到困惑不解,他深信自然規(guī)律,他覺得這千分之一點四的后面,一定有深刻的因素.于是,他深入進行調(diào)查研究,終于發(fā)現(xiàn):當(dāng)時巴黎人”重男輕女”,又拋棄男嬰的陋俗,以至于歪曲了出生率的真相,經(jīng)過修正,巴黎的男女嬰的出生比率依然是22:21.中數(shù)字出現(xiàn)的穩(wěn)定性(法格遜猜想)在的數(shù)值式中,各個數(shù)碼出現(xiàn)的概率應(yīng)當(dāng)均為1/10.隨著計算機的發(fā)展,人們對的前一百萬位小數(shù)中各數(shù)碼出現(xiàn)的頻率進行了統(tǒng)計,得到的結(jié)果與法格遜猜想非常吻合.概率某一隨機事件的頻率在一個常數(shù)附近,這個常數(shù)我們稱之為這一隨機事件的概率.例如1/2就是投擲一枚硬幣”出現(xiàn)正面”這一隨機事件的概率.而且大數(shù)定理說:當(dāng)試驗的次數(shù)很大時,隨機事件出現(xiàn)的頻率,穩(wěn)定地在某個數(shù)值附近擺動.這個穩(wěn)定值,叫做隨機事件的概率,并記為.大數(shù)定理是貝努利對數(shù)學(xué)的一個非常重要的貢獻.很明顯,是0和1之間的一個數(shù),即問:=0是什么意思?這時我們稱事件為不可能事件,如太陽從東邊升起.=1是什么意思?這是我們稱事件為必然事件,如地球繞著太陽轉(zhuǎn).在這里,我們需要區(qū)分”頻率”和”概率”這兩個概念:頻率具有隨機性,它反映的是某一隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度,它反映的隨機事件出現(xiàn)的可能性.概率是一個客觀常數(shù),它反映了隨機事件的屬性.隨機現(xiàn)象的兩個特征結(jié)果的隨機性即在相同的條件下做重復(fù)的試驗時,如果試驗的結(jié)果不止一個,則在試驗前無法預(yù)料哪一種結(jié)果將發(fā)生.頻率的穩(wěn)定性即大量重復(fù)試驗時,任意結(jié)果(事件)出現(xiàn)的頻率盡管是隨機的,卻”穩(wěn)定”在某一個常數(shù)附近,試驗的次數(shù)越多,頻率與這一常數(shù)的偏差大的可能性越小.這一常數(shù)就成為該事件的概率.概率選修課教案(第三,四課時)教學(xué)目標(biāo):理解幾個隨機事件的交,并,對立事件和互斥事件;掌握公式;掌握幾個互斥事件概率的加法公式;教學(xué)重點:各種概率的計算公式教學(xué)難點：對公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)的理解；兩兩互斥事件概率的加法公式.新課一、簡單的概率計算逆事件或?qū)α⑹录x設(shè)事件是事先給定的事件,我們用記號表示”不發(fā)生”.我們稱為事件的逆事件或?qū)α⑹录?這樣我們有例如:廠家進行有獎銷售,表示”買產(chǎn)品中獎”,其概率為0.7,即.則表示”買產(chǎn)品不中獎”,而且P(A)=1-P(A)=1-0.7=0.3.關(guān)于事件,的概率定義給定兩個事件.我們來構(gòu)造兩個新的事件,.發(fā)生是指:都發(fā)生.發(fā)生是指當(dāng)中至少有一個發(fā)生例如:A=”產(chǎn)品長度合格”,8=”產(chǎn)品的質(zhì)量合格”，則人8=”產(chǎn)品的長度和質(zhì)量都合格”,二”產(chǎn)品的長度，質(zhì)量指標(biāo)至少有一項合格”.例1. 100個產(chǎn)品中有93個產(chǎn)品長度合格,90個產(chǎn)品重量合格,其中長度,重量都合格的有85個.現(xiàn)從中任取一產(chǎn)品，記人=”產(chǎn)品長度合格”,B=”產(chǎn)品重量合格”，我們有93 90P(A)= ,P(B)= ,P(AB)=100 10085100而=”產(chǎn)品的長度,重量至少有一個合格”的概率:這是因為,顯然不會等于.而是P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AB)=93 90 85 + - 100100100=0.98例2. 甲乙二人射擊時,若A="甲命中目標(biāo)”的概率為0.5口="乙命中目標(biāo)”的概率為0.6八8二”甲乙都命中目標(biāo)”的概率為0.3,則=”甲乙二人至少有藝人命中目標(biāo)”的概率P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6—0.3=0.8從上面的兩個例子我們不難看出:只有當(dāng)兩個事件不可能同時發(fā)生時(即時)才有公式互斥事件的加法公式定義不可能同時發(fā)生的兩個事件我們稱為互斥事件或互不相容事件.由上面的討論我們可以得出如下的結(jié)論設(shè)事件互斥,則.下面我們考慮個事件,我們用表示都發(fā)生,用表示中至少有一個發(fā)生.如果中任意兩個都互斥(稱這種情形為兩兩互斥),則P(AUAU…UA)=P(A)+P(A)+…P(A)12 n 1 2 n如果不滿足倆倆互斥,的計算公式比較復(fù)雜,我們再此不予考慮.例3. 設(shè)某種產(chǎn)品分為一等品,二等品,三等品和不合格品四個等級.=”產(chǎn)品為一等品”的概率為0.5,=”產(chǎn)品為二等品”的概率為0.45,=”產(chǎn)品為三等品”的概率為0.03自然為兩兩互斥的事件,則P(AUAUA)=0.5+0.45+0.03=0.98123這就是說,該產(chǎn)品的合格率為0.98.二、古典概率隨機事件發(fā)生的頻率的穩(wěn)定性人們經(jīng)歷了相當(dāng)一段時間才認識到.例1,投一枚硬幣,當(dāng)試驗的次數(shù)很大時,出現(xiàn)的頻率在的附近.投之一枚硬幣時,由于硬幣的對稱性,正反兩面出現(xiàn)的機會是相等的,而再沒有別的情況發(fā)生.因此,每個結(jié)果發(fā)生的概率相等,均等于.例2,擲一枚篩子,他只有六種可能的結(jié)果,我們記().同樣由于對稱性,這6種可能的結(jié)果出現(xiàn)1的機會相同，股枚各每個結(jié)果發(fā)生的概率應(yīng)是.即P(A)=，。=123,4,5,6).i6問題:投一枚均勻的篩子,出現(xiàn)偶數(shù)點奇數(shù)點的概率各是多少?設(shè),則事件包含有三種結(jié)果,而且他們兩兩互斥.他們之中有一個發(fā)生則發(fā)生,反之發(fā)生,他們中一定有一個發(fā)生.即,因此我們有3P(B)=P(A)+P(A)+P(A)=—2 4 66問題：投擲一枚均勻硬幣，事件C="投擲點數(shù)不超過4點”的概率是多少？4P(C)=P(A)+P(A)+P(A)+P(A)=—1 2 3 46由于這些都是歷史上最早研究的概率模型,對上述的數(shù)學(xué)模型我們稱為古典概率.為了便于研究,我們首先假設(shè):1試驗只有有限個結(jié)果發(fā)生.設(shè)為個,我們記為.每次試驗的結(jié)果只發(fā)生且發(fā)生一個（這實質(zhì)上是指:兩兩互斥）.每次有一個發(fā)生表明:是必然事件.以后稱為個基本事件.2每個基本事件出現(xiàn)的機會相同,即對任意一個基本事件有:對任意事件,若它包含個基本事件,則發(fā)生的概率為:DS、B包含的基本事件的個數(shù)kP（B）==（） 總的基本事件個數(shù) n例1從紅，白,黑三個球中任取兩個，求A=”取到紅球”的概率.解答：例2任意投擲3枚硬幣,恰有一枚正面朝上的概率是多少?解答:可能的結(jié)果有:（上上上）,（上上下）,（上下上）,（下上上）,（下上下）,（下下下）8種可能,其中（上下下）,（下上下）,（下下上）意味著恰有一枚硬幣正面朝上,所以概率為例4任選一個兩位數(shù),他恰好是10的倍數(shù)的概率是多少? 解答:補充：排列與組合基礎(chǔ)加法原理：做一件事，完成他有類方法,第一類方法有種,第二類方法有種,……,第類方法有種,那么完成這一件事共有種不同的方法.乘法原理:做一件事,完成他需要個步驟,做第一步的方法有種,做第二步的方法有種,…..,做第步的方法有種,那么完成這件事共有種不同的方法.排列的定義:從個不同的元素中,任意取個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列.階乘：自然數(shù)1到的連乘積,叫做的階乘，即n!=n（n-1）（n—2）…3義2*1.規(guī)定:.排列數(shù)公式:n!Pm= =n(n—1)?…(n—m+1)n(n-m)!組合的定義:從個不同的元素中,任意取個元素,并成一組,叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.Pm組合數(shù)公式:Cm=寸

n Pmmn! n(n—1)?…(n—m+1)m!(n—m)! m!例1乘積（a+a+a+a）（b+b+b）（c+c+c+c+c）展開后共有多少項?1 2 3 41 2 31 2 3 4 5例2已知一個集合有5個元素,求他的所有非空子集的個數(shù).例3把6個蘋果平均分給3個小孩,不同的分配方案有多少種?6乂54乂3解答： C2c4C22=------1=90種例4用0,1,3,5,7,9這6個數(shù)字,可以組成多少個:沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)?解答:沒有重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)?解答:例5把個黑球，個白球從袋子中依次取出，求人=”第次取