特征理論偏微分方程組

特征理論偏微分方程組第一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組例子

考慮弦振動方程則不是古典解，但它是弱間斷解。第二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組7.1.2特征方程與特征曲面

設光滑曲面

是方程（7.1.1)的弱間斷面。

可以推出它應滿足的條件為下式在上處處成立。第三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組方程特征曲面的例子第四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組7.2方程組的特征理論第五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組7.2.1弱間斷解與特征線第六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組第七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組第八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組7.2.2狹義雙曲型方程組的標準型第九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組將狹義雙曲型方程化為標準型的方法：1.求向量方程的解。

2.令，用T左乘（7.2.2）式得：第十頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組3.第十一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組7.3雙曲型方程組的Cauchy問題

首先指出，并非對一切類型的方程組都可以Cauchy問題，有例子表明，當特征方程（7.2.6)有復根時，方程組（7.2.1)的Cauchy問題的解是不穩(wěn)定的。所以我們僅限于討論雙曲型方程組的Cauchy問題。為便于理解和敘述，這里僅討論兩個自變量的對角型方程組的Cauchy問題。第十二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組7.3.1解的存在性和唯一性第十三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組第十四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組7.3.2解的穩(wěn)定性第十五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組7.4定理第十六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組第十七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組7.4.2Cauchy問題的化簡

首先，把高階非線性C-K型組Cauchy問題化為一個與其等價的一階非線性C-K型組的Cauchy問題。其次，我們可以把一個一階非線性C-K型組Cauchy問題化為一個與其等價的一階擬線性C-K型組的Cauchy問題。方法是將所有對空間變量的微商取作新的未知函數(shù)，然后這些新的未知函數(shù)對時間變量求微商，并利用已知方程式即得。

Cauchy問題(7.4.2)化為如下的一階擬線性C-K型方程組的Cauchy問題:第十八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組

于是，C-K定理7.4.1可等價地敘述為

C-K型定理的證明用的是強函數(shù)的方法，即用一個明顯可解出的問題與所考慮的問題相比較，故須要介紹強函數(shù)的概念。第十九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組7.4.3強函數(shù)第二十頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第7章特征理論偏微分方程組7.4.4C-K定理的證明（1）唯一性（冪級數(shù)解法）。（2）存在性（強函數(shù)方法）。附注1該定理斷言解析解的局部存在唯一性，并沒有保證整體解的存在性。附注2由證明知，若方程右端及Cauchy數(shù)據(jù)是各自變量的解析函數(shù)，則在初始平面上任意點的領域內(nèi)都存在一個解析解。再由解的唯一性