重大電磁場原理習題習題(第2章)

第二章習題答案2-2真空中有一長度為l的細直線，均勻帶電，電荷線密度為。試計算P點的電場強度：（1）P點位于細直線的中垂線上，距離細直線中點l遠處；（2）P點位于細直線的延長線上，距離細直線中點l遠處。解：（1）可以看出，線電荷的場以直線的幾何軸線為對稱軸，產(chǎn)生的場為軸對稱場，因此采用圓柱坐標系，令z軸與線電荷重合，線電荷外一點的電場與方位角無關(guān)，這樣處取的元電荷，它產(chǎn)生的電場與點電荷產(chǎn)生的場相同，為：zylzyl/2圖2-2長直線電荷周圍的電場l/2P其兩個分量：（1）（2）又所以：（3）式（3）分別代入式（1）（2）得：；（4）又（5）式（5）代入式（4）得：由于對稱性，在z方向分量互相抵消，故有（2）建立如圖所示的坐標系在x處取元電荷則它在P點產(chǎn)生的電場強度為oxoxydxPxR其在x方向的分量為：又2-4真空中的兩電荷的量值以及它們的位置是已知的，如題圖2-4所示，試寫出電位和電場的表達式。解：為子午面場，對稱軸為極軸，因此選球坐標系，由點電荷產(chǎn)生的電位公式得：題圖2-4題圖2-4又，，（r>a）或 2-9用雙層電介質(zhì)制成的同軸電纜如題圖2-9所示，介電常數(shù),內(nèi)、外導體單位長度上所帶電荷分別為和（1）求兩種電介質(zhì)中以及和處的電場強度與電通密度；（2）求兩種電介質(zhì)中的電極化強度；（3）問何處有極化電荷，并求其密度。解：(1)由高斯定理可得：圖2-9圖2-9電場強度，故(2)由，得兩種電介質(zhì)中的電極化強度為(3)內(nèi)、外導體圓柱表面上和兩種電介質(zhì)交界面上有極化電荷，它們分別是：在處：在處：在處：:ABCdddQ題ABCdddQ題圖2-10板間三區(qū)域內(nèi)的電場強度；兩介質(zhì)交界面上的極化電荷面密度；A、C板各自的自由電荷面密度。解(1)在A、C板間的三介質(zhì)區(qū)域內(nèi)，分別為均勻電場，在Q為正電荷時各電場方向如圖所示，從而有從而解得（2）在兩介質(zhì)分界面上（3）在A、C板上的電荷面密度分別為2-12如題圖2-12所示球形電容器中，對半地填充有介電常數(shù)分別為和兩種均勻介質(zhì)，兩介質(zhì)交界面是以球心為中心的圓環(huán)面。在內(nèi)、外導體間施加電壓U時，試求：（1）電容器中的電位函數(shù)和電場強度；（2）內(nèi)導體兩部分表面上的自由電荷密度。解：（1）題圖2-12方法一：設(shè)內(nèi)導體帶電荷為，外導體帶電荷，選球坐標，應用高斯定律題圖2-12由媒質(zhì)分界面條件可知，在兩種介質(zhì)中，所以（1）令外導體為參考導體，則電位函數(shù)為（2）將上式帶入（1）（2）得，方法二：用靜電場的邊值問題求解，在均勻介質(zhì)1和介質(zhì)2中，電位分別滿足拉普拉斯方程，并且邊界面條件相同，所以可判斷兩個區(qū)域的電位函數(shù)相同，有取球坐標系有在兩種介質(zhì)中，都與、無關(guān)，所以上式的通解為有邊界條件解得：＝＝所以，(2)兩種介質(zhì)中的電位移矢量分別為，根據(jù)分界面條件對于本題，設(shè)媒質(zhì)2為介質(zhì)，媒質(zhì)1為導體，因此有，則內(nèi)導體兩部分表面上的自由電荷密度為，2-16在半徑分別為a和b（b>a）的同軸長圓柱形導體之間，充滿密度為的空間電荷，且內(nèi)、外筒形導體之間的電壓為U，如題圖2-16所示。試用邊值問題的方法求電荷區(qū)內(nèi)的電位函數(shù)。題圖2-16-解：圓柱形導體之間的電位滿足泊松方程，題圖2-16-在圓柱形坐標中電位僅是的函數(shù)，因此泊松方程有如下形式：上式的通解為由給定的邊界條件確定積分常數(shù)：，所以：2-18兩平行導體平板，相距為d，板的尺寸遠大于d，一板的電位為零，另一板電位為，兩板間充滿電荷，電荷體密度與距離成正比，即。試求兩板間的電位分布（注：x＝0處板的電位為零）。解：兩平行導體平板間的電位滿足泊松方程，忽略邊緣效應，在直角坐標系對應的邊值問題為xoUxoU題圖2-18d其通解由給定的邊界條件確定積分常數(shù)：，所以：上式第一項為電源對電位函數(shù)的貢獻，第二項為電荷的貢獻。2-19在無限大接地導體平面兩側(cè)各有一點電荷和，與導體平面的距離為d，求空間電位的分布。解：因為是無限大接地導體，所以，當單獨作用時，接地導體對相當于屏蔽作用，當單獨作用時，接地導體對相當于屏蔽作用，所以：單獨作用時產(chǎn)生的電位在所在側(cè)，設(shè)和分別為和的鏡像到p的距離，由鏡像法得：單獨作用時產(chǎn)生的電位在所在側(cè)，設(shè)和分別為和的鏡像到p的距離，由鏡像法得：2-27若將某對稱的三芯電纜中三個導體相連，測得導體與鉛皮間的電容為0.051，若將電纜中的兩導體與鉛皮相連，它們與另一導體間的電容為0.037，求：（1）電纜的各部分電容；（2）每一相的工作電容；（3）若在導體1、2之間加直流電壓100V，求導體每單位長度的電荷量。解：三芯電纜的結(jié)構(gòu)及各部分電容如圖（a）所示對應于兩次測量的等值電容電路分別如圖（b）和圖（c）所示：由圖（b）得：，由圖（c）得：圖（a）圖（b）圖（c） 圖（d）圖（e）工作電容是指在一定的工作狀態(tài)下的等值電