2023年等差數列前n項和課堂實錄

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦等差數列前n項和課堂實錄23、等差數列的前n項和

一、教學內容分析

本節(jié)課教學內容是《一般高中課程標準試驗教科書·數學（5）》（人教A版）中其次章的第三節(jié)“等差數列的前n項和”（第一課時）．本節(jié)課主要討論如何應用倒序相加法求等差數列的前n項和以及該求和公式的應用．等差數列在現實生活中比較常見，因此等差數列求和就成為我們在實際生活中常常碰到的一類問題．同時，求數列前n項和也是數列討論的基本問題，通過對公式推導，可以讓同學進一步把握從特別到普通的討論問題辦法．

二、同學學習狀況分析

在本節(jié)課之前同學已經學習了等差數列的通項公式及基本性質，也對高斯算法有所了解，這都為倒序相加法的教學提供了基礎；同時同學已有了函數學問，因此在教學中可適當滲透函數思想．高斯的算法與普通的等差數列求和還有一定的距離，如何從首尾配對法引出倒序相加法，這是同學學習的障礙．

三、設計思想

建構主義學習理論認為，學習是同學樂觀主動地建構學問的過程，因此，應當讓同學在詳細的問題情境中經受學問的形成和進展，讓同學利用自己的原有認知結構中相關的學問與閱歷，自主地在老師的引導下促進對新學問的建構．在教學過程中，按照教學內容，從介紹高斯的算法開頭，探索這種辦法如何推廣到普通等差數列的前n項和的求法．通過設計一些從容易到復雜，從特別到普通的問題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)同學獲得公式的推導思路，并且充分引導同學綻開自主、合作、探索學習，通過生生互動和師生互動等形式，讓同學在問題解決中學會思量、學會學習．同時按照我校的特點，為了促進成果優(yōu)秀同學的進展，還設計了選做題和探究題，進一步培養(yǎng)優(yōu)秀生用函數觀點分析、解決問題的能力，達到了分層教學的目的．

四、教學目標

1.理解等差數列前n項和公式的推導過程；把握并能嫻熟運用等差數列前n項和公式；了解倒序相加法的原理；

2.通過公式的推導過程，體驗從特別到普通的討論辦法，滲透函數思想與方程（組）思想，培養(yǎng)同學觀看、歸納、反思的能力；通過小組研究學習，培養(yǎng)同學合作溝通、自立思量等良好的共性品質．

五、教學重點和難點

本節(jié)教學重點是探究并把握等差數列前n項和公式，學會用公式解決一些實際問題；難點是等差數列前n項和公式推導思路的獲得．

六、教學過程設計

（一）創(chuàng)設情景，喚起同學學問閱歷的感悟和體驗

世界七大奇跡之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，傳奇陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個圖案一共花了多

少寶石嗎？

體展示三角形圖案）

[設計意圖]

更普通的應用，為新課的講解作鋪

墊．

[學問鏈接]高斯，德國聞名數學家，被譽為“數學王子”。200多年前，高1＋2＋3＋…+100＝？

據說，當其他學生忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的辦法快速算出了正確答案：

（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050.

[學情預設]高斯的算法蘊涵著求等差數列前n項和普通的邏輯性．教學時，

應給同學提供充裕的時光和空間，讓同學自己去觀看、探究發(fā)覺這種數列的內在邏輯．同學對高斯的算法是認識的，知道采納首尾配對的辦法來求和，但估量他們對這種辦法的熟悉可能處于記憶階段，為了促進同學對這種算法的進一步理解，設計了以下三道由易到難的問題．

（二）由易到難，在自主探索與合作中學習

問題1圖案中，第1層到第51層一共有多少顆寶石？

該題組織同學分組研究，在合作中學習，并把小組發(fā)覺的辦法一一展現．

[學情預設]同學可能浮現以下求法

辦法1：原式＝（1＋2＋3＋……＋50）＋51

辦法2：原式＝0＋1＋2＋……＋50＋51

辦法3：原式＝（1＋2＋…＋25＋27…＋51）＋26

以上辦法實際上是用了“化歸思想”，將奇數個項問題轉化為偶數個項求解，老師應舉行充分絕對與表揚．

[設計意圖]這是求奇數個項和的問題，若容易地摹仿高斯算法，將浮現不

能所有配對的問題，借此滲透化歸思想．

問題2：求圖案中從第1層到第n層（1＜n＜100，n∈N*）共有多少顆寶石？

[學情預設]同學通過激烈的研究后，發(fā)覺n為奇數時不能配對，可能會分n

為奇數、偶數的狀況分離求解，老師如何引導同學避開研究成為該環(huán)節(jié)的關鍵．

[設計意圖]從求確定的前n個正整數之和到求普通項數的前n個正整數之和，讓同學領悟從特別到普通的討論辦法，旨在讓同學對“首尾配對求和”這一算法的改進．

啟發(fā)：（多媒體演示）如右圖，在三角形圖案右側倒放一個全等的三角形與原圖補成平行四邊形．

[設計意圖]借助幾何圖形的直觀性，能啟迪思路，喚醒同學記憶深處的東西，并為倒序相加法的浮現提供了一個直接的模型．

通過以上啟發(fā)同學再自主探索，信任簡單得出解法：

∵1+2+3+…（n－1）+n

n+（n－1）+（n－2）+…+2+1

____________________________________________________________________

(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)

∴1+2+3+…+n=n（n+1）2

問題3：在公差為d的等差

數列{an}中，定義前n項和

Sn=a1+a2+…+an，如何求

Sn？

由前面的大量鋪墊，同學應

簡單得出如下過程：

∵Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n－1)d]

Sn=an+(an－d)+（an－2d）+…+[an－(n－1)d]

∴1112()()()n

nnnnSaaaaaa=++++???++個

1()2

nnnaaS+∴=

(公式1)組織同學研究：

在公式1中若將an=a1+（n－1）d代入又可得出哪個表達式?

即：1(1)2

nnnSnad-=+（公式2）（三）設置典例，促進同學對公式的應用

對于以上兩個公式，初學的同學在解決一些問題時，往往不知道該如何選?。蠋煈ㄟ^適當的例子引導同學對這兩個公式舉行分析，按照公式各自的特點，協助同學恰當地挑選合適的公式．

例1為了參與冬季運動會的5000m長跑競賽，某學生給自己制定了7天

[設計意圖]該例題是將課本P53習題2.3A組第3題改編成表格形式，可以熬煉同學處理數據信息的能力和選用公式的能力。同學可以從首項、末項、項數動身，選用公式1；也可以從首項、公差、項數動身，選用公式2，通過兩種辦法的比較，引導同學在解題時注重挑選適當的公式，以便于計算．

例2已知等差數列5，427，347

，…求(1)數列｛an｝的通項公式；(2)數列｛an｝的前幾項和為1257

？(3)Sn的最大值為多少？并求出此時相應的n的值。

[設計意圖]通項公式與求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五個基本元素，假如已知其中三個，就可求其余兩個，主要是訓練同學的方程（組）思想。第（3）小題是讓同學初步接觸用函數觀點解決數列問題，為以后函數與數列的綜合打下基礎．

[學問鏈接]（1）由211(1)(),222

nnnddSnadnan-=+=+-若令,2dA=1,2

daB-=2,AnBn=+n則S可知當0d≠時，點(,)nnS是在常數項為0的二次函數圖象上，可由二次函數的學問解決nS的最值問題；

（2）若數列{}na的前n項和2AnBn=+nS（BA∈R、），則數列{}na一定是等差數列；

（3）由2AnBn=+nS，可知SnAnBn=+，點,n

Snn?????

在直線上；（4）在等差數列{}na中，當10,0kkaa+>時，kS最小。

（四）反饋調控，實現同學對學問的把握

練習1已知等差數列｛an｝的前10項和是310，前20項的和是1220，求前n項和Sn.

練習2等差數列｛an｝中，a1=－4，a8=－18，n=8，求公差d及前n項和Sn.

選做題已知函數f（x）=

，則f（-5）+f（-4）+……+f（0）+……+f（5）+f（6）的值為

[設計意圖]分層練習使同學在完成必修教材基本任務的同時，拓展自主進展的空間，讓每一個同學都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的同學都可以

獲得勝利的喜悅，看到自己的潛能，從而實現“以人為本”的教導理念．（五）回顧反思，深入學問

組織同學分組共同反思本節(jié)課的教學內容及思想辦法，小組之間相互補充完成課堂小結，實現對等差數列前n項和公式的再次深入．

1.從特別到普通的討論辦法；

2.體味倒序相加的算法，把握等差數列的兩個求和公式，領悟方程（組）思想；

3.前n項和公式的函數意義

4、用梯形面積公式記憶等差數列的前n項和公式；

[學問鏈接]

（六）布置作業(yè)

1.課本P52習題2．3，第1題（1）（3），第2題（3）（4），第5題

2.探究題

（1）數列{

1

n(n+1)

}的前n項和nS=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1