演示文稿自回歸過(guò)程的性質(zhì)

（優(yōu)選）自回歸過(guò)程的性質(zhì)當(dāng)前第1頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)一、時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性（Stationarity）平穩(wěn)性的定義：如果一個(gè)時(shí)間序列模型可以寫(xiě)成如下形式：其中，xt為零均值平穩(wěn)序列，at為白噪聲，且滿足條件就稱該模型是平穩(wěn)的。（上式又稱Wold展開(kāi)式）返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)當(dāng)前第2頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第3頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)時(shí)間序列模型的可逆性(ivertibility)如果一個(gè)時(shí)間序列（未必平穩(wěn)）的模型可以寫(xiě)成如下形式：其中：at為白噪聲，且有那么，就稱這個(gè)模型是可逆的。返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)當(dāng)前第4頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)對(duì)于一個(gè)有限階的自回歸模型AR(P)總有：所以，一個(gè)有限階的AR(p)模型總是可逆的。當(dāng)前第5頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)自回歸表示有助于理解預(yù)測(cè)機(jī)制，Box和Jenkins證明在預(yù)測(cè)時(shí)，一個(gè)非可逆過(guò)程是毫無(wú)意義的。當(dāng)前第6頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)一、一階自回歸過(guò)程AR(1)的性質(zhì)一階自回歸模型的形式為：或返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)當(dāng)前第7頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：一個(gè)有限階的自回歸模型總是可逆的，所以，AR(1)模型總是可逆的。B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外，于是有：當(dāng)前第8頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第9頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)上式說(shuō)明系統(tǒng)是怎樣記憶擾動(dòng)at上式中的系數(shù)客觀的描述了該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性，故這個(gè)系數(shù)稱為記憶函數(shù)（格林函數(shù)），AR(1)模型的格林函數(shù)可表示為平穩(wěn)序列的這種表示形式，稱為“傳遞形式”，（用無(wú)窮階MA模型來(lái)逼近有限階AR模型）當(dāng)前第10頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)格林函數(shù)的意義是前j個(gè)時(shí)間單位以前進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)現(xiàn)在的影響；客觀的刻劃了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)衰減的快慢程度；是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)真實(shí)描述；格林函數(shù)所描述的動(dòng)態(tài)性完全取決于系統(tǒng)參數(shù)當(dāng)前第11頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)對(duì)于AR(1)來(lái)說(shuō)：若系統(tǒng)受到擾動(dòng)后，該擾動(dòng)的作用逐漸減小，直至趨于零，即系統(tǒng)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)回到均衡位置，那么該系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的，也就是平穩(wěn)的。系統(tǒng)平穩(wěn)對(duì)于格林函數(shù)來(lái)說(shuō)，就是隨著j的增加，趨近于零；若格林函數(shù)趨于無(wú)窮大，那么任意小的擾動(dòng)，只要給定足夠的時(shí)間，就會(huì)使系統(tǒng)響應(yīng)正負(fù)趨于無(wú)窮，永遠(yuǎn)不會(huì)回到其均衡位置，這時(shí)系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的，當(dāng)然是非平穩(wěn)的。當(dāng)前第12頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)2.AR(1)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)當(dāng)前第13頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第14頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第15頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第16頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)通過(guò)上述推導(dǎo)可看出，當(dāng)過(guò)程平穩(wěn)即時(shí)，AR(1)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)（ACF）呈指數(shù)衰減。如果，那么所有的自相關(guān)系數(shù)都為正，并逐漸衰減。如果,自相關(guān)系數(shù)的符號(hào)以負(fù)號(hào)開(kāi)始，并呈正、負(fù)交替逐漸衰減。當(dāng)前第17頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)例1，下面兩圖表分別是模擬生成的249個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(1)過(guò)程趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖當(dāng)前第18頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)-6-4-202482848688909294969800例1，模擬生成的AR(1)過(guò)程趨勢(shì)圖當(dāng)前第19頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)例1：模擬生成的AR(1)過(guò)程自相關(guān)圖::呈指數(shù)衰減當(dāng)前第20頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)例2，下面兩圖表分別是模擬生成的249個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(1)過(guò)程趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖當(dāng)前第21頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)-6-4-2024682848688909294969800Y例2，模擬生成的AR(1)過(guò)程趨勢(shì)圖當(dāng)前第22頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)例2：模擬生成的AR(1)過(guò)程自相關(guān)圖::呈正負(fù)交替指數(shù)衰減當(dāng)前第23頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)3.AR(1)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）A.偏自相關(guān)函數(shù)的一般公式當(dāng)前第24頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第25頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第26頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第27頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第28頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)B.AR(1)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)當(dāng)前第29頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)上述結(jié)論說(shuō)明：AR(1)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)在滯后一階有一峰值，其符號(hào)取決于。滯后一階以后PACF截尾。當(dāng)前第30頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)例1：模擬生成的AR(1)過(guò)程自相關(guān)圖::滯后一階以后截尾當(dāng)前第31頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)例2：模擬生成的AR(1)過(guò)程自相關(guān)圖::滯后一階以后截尾當(dāng)前第32頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)二、二階自回歸AR(2)過(guò)程的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)當(dāng)前第33頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：AR(2)模型總是可逆的。當(dāng)前第34頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第35頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)注：我們下面對(duì)AR(2)性質(zhì)的討論中都假定平穩(wěn)性條件滿足.當(dāng)前第36頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)-202-101實(shí)根復(fù)根AR(2)過(guò)程的平穩(wěn)性區(qū)域如下圖三角域所示當(dāng)前第37頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)2.AR(2)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)當(dāng)前第38頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第39頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第40頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第41頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)通過(guò)上述推導(dǎo)可以如下結(jié)論，在AR(2)過(guò)程的平穩(wěn)性條件滿足時(shí)，如果特征方程的根為實(shí)根，即時(shí)，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減。如果特征方程的根為復(fù)根，即時(shí)，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈阻尼正弦波衰減。當(dāng)前第42頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)3.AR(2)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)當(dāng)前第43頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第44頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)通過(guò)上述證明可以得出如下結(jié)論：當(dāng)前第45頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)例1，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(2)過(guò)程趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖當(dāng)前第46頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)-4-202482848688909294969800例1.模擬生成的AR(2)過(guò)程趨勢(shì)圖當(dāng)前第47頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)例1.模擬生成的AR(2)過(guò)程自相關(guān)圖呈混合指數(shù)衰滯后二階以后截尾當(dāng)前第48頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)例2，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(2)過(guò)程趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖當(dāng)前第49頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)-6-4-2024682848688909294969800例2.模擬生成的AR(2)過(guò)程趨勢(shì)圖當(dāng)前第50頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)例2.模擬生成的AR(2)過(guò)程自相關(guān)圖呈混合指數(shù)衰減滯后二階以后截尾當(dāng)前第51頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)例3，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(2)過(guò)程趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖當(dāng)前第52頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)-4-202482848688909294969800模擬生成的AR(2)過(guò)程趨勢(shì)圖當(dāng)前第53頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)模擬生成的AR(2)過(guò)程自相關(guān)圖呈阻尼正弦波衰減滯后二階以后截尾當(dāng)前第54頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)三、p階自回歸過(guò)程AR(p)的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)當(dāng)前第55頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：AR(p)模型總是可逆的。即如果β1，β2，…，βp是

的根，那么它們的絕對(duì)值|βi|>1當(dāng)前第56頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)其實(shí)也就是要求特征方程的特征根都在單位圓內(nèi)。即如果λ1，λ2…λp是上述特征方程的p個(gè)特征根，那么為滿足平穩(wěn)性條件，必須有|λi|<1注：下面對(duì)AR(p)性質(zhì)的討論，都假定平穩(wěn)性條件滿足。當(dāng)前第57頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)對(duì)于高階的自回歸過(guò)程，其平穩(wěn)性條件用其模型參數(shù)表示雖比較復(fù)雜，但都有最基本的一點(diǎn)：這是自回歸過(guò)程平穩(wěn)的必要條件之一。當(dāng)前第58頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)一個(gè)可逆過(guò)程不一定是平穩(wěn)的，對(duì)于一個(gè)有限階的AR(P)模型：自回歸過(guò)程的平穩(wěn)性條件(stationaritycondition)它是平穩(wěn)過(guò)程的必要條件是:的根都在單位圓外，即如果β1，β2，…，βp是的根，那么它們的絕對(duì)值必須大于1返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)當(dāng)前第59頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)注當(dāng)前第60頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)移項(xiàng)得推導(dǎo)過(guò)程如下由

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，上式可以展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，即當(dāng)前第61頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)根據(jù)平穩(wěn)性的條件有：即級(jí)數(shù)必須收斂。而要滿足這個(gè)條件，則必須有:的根都在單位圓外。當(dāng)前第62頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)通過(guò)上述推導(dǎo)，可以得出如下結(jié)論：一個(gè)有限階的AR(p)模型，可以表示成一個(gè)無(wú)限階的MA模型當(dāng)前第63頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)2.AR(p)的自相關(guān)函數(shù)ACF當(dāng)前第64頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第65頁(yè)\共有69頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)通過(guò)上述推導(dǎo)有如下結(jié)論：對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程，有|λi|<1，AR(p)過(guò)程的ACF是由差分方程的根確定的，呈混合指數(shù)衰減或出現(xiàn)復(fù)根時(shí)的阻尼正弦波衰減。當(dāng)前第