第八講正態(tài)分布及隨機變量函數(shù)的分布

第八講正態(tài)分布及隨機變量函數(shù)的分布第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一一、分布函數(shù)（P27）

定義(P27)：設(shè)是隨機變量，對任意實數(shù)，事件的概率稱為隨機變量的分布函數(shù)。記為，即第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一分布函數(shù)的性質(zhì)(P28)

(1)單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)F(x2);(2)規(guī)范性：對任意實數(shù)x，0F(x)1，且

若某函數(shù)滿足上述3條性質(zhì)，則它一定是某隨機變量的分布函數(shù)第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一一般結(jié)論：

設(shè)隨機變量X的分布列為：X

x1 x2

…

xK …

P

p1 p2 … pk …則X的分布函數(shù)為：一般地，對離散型隨機變量，若P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為二、離散型隨機變量的分布函數(shù)第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一三、連續(xù)型隨機變量(P30)

定義(P31)：對任意實數(shù)x，如果隨機變量的分布函數(shù)F（x）可以寫成則稱為連續(xù)型隨機變量，為的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).常記為～,(-<x<+)第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

密度函數(shù)的性質(zhì)(P31-32)(1)非負性

0，(-<x<)；

(2)歸一性（4）對任意實數(shù)b，連續(xù)型隨機變量取該值的概率為零，即(-<b<)，則P{=b}＝0。第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

連續(xù)型隨機變量落入某區(qū)間的概率等于

其密度函數(shù)在該區(qū)間上的積分或

其分布函數(shù)在該區(qū)間“右端點”處

的值減去“左端點”處的值第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一1、均勻分布(P32)則稱服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布。記作~U[a,b]試求其分布函數(shù)F(x)四、常用連續(xù)型隨機變量的分布（P32）

第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一2、指數(shù)分布（P33）第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一要求：（1）明確分布函數(shù)的含義。

（2）掌握連續(xù)型隨機變量的概率分布密度函數(shù)和分布函數(shù)及簡單概率計算。

（3）掌握均勻分布和指數(shù)分布的概率計算。

第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一3、正態(tài)分布（P35）第八講正態(tài)分布及隨機變量函數(shù)的分布

第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

的大小直接影響概率的分布越大，曲線越平坦，說明隨機變量取值越分散越小，曲線越陡峻，說明隨機變量取值越集中。正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一由此可得P37結(jié)論第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一實際中常常有一些隨機變量，它們的分布往往難于直接得到(如滾珠體積的測量)，但是與它們有關(guān)系的另一隨機變量其分布是容易知道的(如滾珠直徑測量值)。因此，要研究由已知的隨機變量的分布求出與之有關(guān)的另一隨機變量的分布。第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一一、隨機變量函數(shù)的概念

定義：設(shè)是定義在隨機變量的一切可能值的集合上的函數(shù)。如果對于的每一個可能取值，有另一個隨機變量的相應(yīng)取值。則稱為的函數(shù)，記為。

隨機變量函數(shù)的分布第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一二、離散型隨機變量函數(shù)的分布（P39）例5：測量一個正方形的邊長，其結(jié)果是一個隨機變量(為簡便起見把它看成是離散型的)，其分布如下表。求周長與面積的分布律。P0.20.30.40.1解：PP0.2

36

0.2

81

0.3400.31000.4440.41210.1480.1144第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一或Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk，k＝1,2,…（其中g(shù)(xk)有相同的，其對應(yīng)概率合并。）一般地若離散型隨機變量X的分布列為：XPk而隨機變量Y是X的函數(shù)，Y=g(X)，則Y的分布列為：PkY可記在P39第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一XPk-101YPk1例6:已知隨機變量X的分布列為：求：Y=X2的分布律解：YPk100第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一課練：設(shè)的分布如下表，求和的分布。P0.20.10.30.30.1P0.10.50.30.1P0.20.10.30.30.1第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布P40第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一注：只有當(dāng)f(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時，才可用以上公式。第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一第二十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一本次課的要求：

（1）掌握一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系，學(xué)會將一般正態(tài)分布的概率問題化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來進行計算。

（2）明確隨機變量函數(shù)的概念。（3）掌握由已知的隨機變量的分布求出與之有關(guān)的隨機變量的分布。重點是離散型隨機變量函數(shù)的分布。第二十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星