經(jīng)典高等數(shù)學(xué)課件映射與函數(shù)

1第一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一二、數(shù)學(xué)、初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)1.數(shù)學(xué)：研究“數(shù)”和“形”的科學(xué)。2.初等數(shù)學(xué)：

17世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)。研究的“數(shù)”是常數(shù)或常量；研究的“形”是孤立的,不變的,規(guī)則的幾何形體。(又稱為常量數(shù)學(xué))3.高等數(shù)學(xué)：

17世紀(jì)以后的數(shù)學(xué)。研究的“數(shù)”是變數(shù)或變量；研究的“形”是連續(xù)的,變化的,不規(guī)則的幾何形體。(又稱為變量數(shù)學(xué))2第二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一1.分析基礎(chǔ):函數(shù),極限,連續(xù);2.微積分學(xué):一元微積分(上冊(cè));(下冊(cè));3.向量代數(shù)與空間解析幾何;4.無窮級(jí)數(shù);5.常微分方程.高等數(shù)學(xué)主要內(nèi)容多元微積分oyx3第三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一三、數(shù)學(xué)方法及特點(diǎn)1.數(shù)學(xué)方法：

2.特點(diǎn)：3.高等數(shù)學(xué)（微積分）的方法及特點(diǎn)：

用數(shù)學(xué)知識(shí)、理論、方法對(duì)所研究對(duì)象進(jìn)行定量分析、描述、推到和計(jì)算，以便從量的關(guān)系上認(rèn)識(shí)事物發(fā)展變化的規(guī)律性。

高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性、嚴(yán)格的確定性、應(yīng)用的廣泛性。

用變化的觀點(diǎn)去觀察問題；從變化的過程中去認(rèn)識(shí)解決問題。(主要研究函數(shù),工具是極限)4第四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一四、怎樣學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)1.認(rèn)識(shí)高等數(shù)學(xué)的重要性,培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.馬克思恩格斯要辨證而又唯物地了解自然,就必須熟悉數(shù)學(xué).一門科學(xué),只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才能達(dá)到真正完善的地步.2.學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)學(xué).聰明在于學(xué)習(xí),天才在于積累.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不做練習(xí)題，如入寶山而空返.由薄到厚,由厚到薄.華羅庚五、具體要求：具體要求：1.重視每一節(jié)課.2.獨(dú)立按時(shí)完成作業(yè).

把作業(yè)寫在作業(yè)紙上,交給課代表,要在下次上課前交給我,一旦上課,不再收交作業(yè).學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不做練習(xí)題，如入寶山而空返.我講課的方法：遇山開路遇水搭橋.目的：從舉一反三到無師自通.5第五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一第一章數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對(duì)象—研究方法—研究橋梁函數(shù)與極限二、映射三、函數(shù)一、集合第一節(jié)映射與函數(shù)6第六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一一、集合1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集注:

M

為數(shù)集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負(fù)數(shù)的集.簡稱集簡稱元7第七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一常用數(shù)集:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.直積(笛卡爾乘積)：8第八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一2.區(qū)間：是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).稱為開區(qū)間,有限區(qū)間：則實(shí)數(shù)集其中：a稱為區(qū)間的左端點(diǎn)；b稱為的右端點(diǎn).注意：幾何表示：區(qū)間長度:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.9第九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一閉區(qū)間:半開區(qū)間：和區(qū)間長度：引進(jìn)記號(hào)：讀作：無窮大.類似的有：讀作：正無窮大；讀作：負(fù)無窮大；10第十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一無限區(qū)間：注：以后在不需要指明所說區(qū)間是否包含端點(diǎn)，有限區(qū)間還是無限區(qū)間的場(chǎng)合，為“區(qū)間”，且常用I

表示.以及是我們就簡單的稱它11第十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一則數(shù)集記為：(2)幾何意義:3.鄰域:12第十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一注:13第十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一4.常量與變量:

在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意:常量與變量是相對(duì)“過程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.5.絕對(duì)值:絕對(duì)值不等式:14第十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一二、映射:定義:設(shè)X,Y

是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),則稱

f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f下的像,記作元素

x稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.注意:

1)映射的三要素—定義域,對(duì)應(yīng)規(guī)則,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.15第十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一3)對(duì)映射若,則稱f

為滿射;

若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.

X(數(shù)集或點(diǎn)集

)說明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的X(≠

)Y(數(shù)集)f稱為X

上的泛函;X(≠

)Xf稱為X

上的變換;R

f稱為定義在X

上的函數(shù).映射又稱為算子.慣用名稱.例如,16第十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一定義域函數(shù)的定義:設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為函數(shù)圖形:自變量因變量三、函數(shù)的概念17第十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一定義域與對(duì)應(yīng)法則.3.說明：

當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則均相同時(shí)，則這兩個(gè)函數(shù)相同，否則就是不同的.與變量用什么字母無關(guān).(1)函數(shù)的兩要素:不同不同相同(對(duì)應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)18第十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一

表示函數(shù)的記號(hào)除常用的f外，還可用其它的英文字母或希臘字母.如:為區(qū)別不同的函數(shù)，需用不同的記號(hào)來表示它們.(3)單值與多值：如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè),這種函數(shù)叫做單值函數(shù),否則叫做多值函數(shù).

一般把多值函數(shù)附加條件后化為單值函數(shù)進(jìn)行研究.19第十九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一(4)定義域及其求法：有實(shí)際背景的函數(shù)要考慮實(shí)際意義；對(duì)于抽象地用算式表達(dá)的函數(shù)通常約定這種函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍.(自然定義域)在這個(gè)約定下,表示函數(shù)時(shí),不必寫出1)分式函數(shù)：分母不等于零的自變量的值.2)開偶次方：3)對(duì)數(shù)函數(shù)：4)反三角函數(shù)：5)多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的定義域：是其各自定義域的交集.20第二十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一(5)表示法：對(duì)無實(shí)際背景的函數(shù),書寫時(shí)可以省略定義域.對(duì)實(shí)際問題,書寫函數(shù)時(shí)必須寫出定義域；例如,

反正弦函數(shù)定義域值域21第二十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一四、幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1.常數(shù)函數(shù)2.絕對(duì)值函數(shù)圖形是平行于x軸的一條直線.2xyoy=2yxo圖形如圖.22第二十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一稱為符號(hào)函數(shù).它的定義域值域圖形如上.注意到：對(duì)于一切x，有關(guān)系式成立.3.符號(hào)函數(shù)23第二十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一4.取整函數(shù)高斯函數(shù)[x]表示不超過x

的最大整數(shù)如：一般地：-4–3-2-112341234-1-2-3-4oxy圖形稱為階梯曲線，而且在x的整數(shù)值處,圖形發(fā)生跳躍,跳度為1.24第二十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo5.狄利克雷函數(shù)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷對(duì)函數(shù)作了廣義的論述：不管是否可用一個(gè)數(shù)學(xué)公式來表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，能作出圖像，兩個(gè)變量之間,只要有數(shù)值上的確定法則對(duì)應(yīng)關(guān)系,也不管是否均可認(rèn)為是函數(shù)關(guān)系.25第二十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一yxoyxo6.取最值函數(shù)如：26第二十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一定義：自變量在不同的范圍內(nèi)用不同的式子來表示的函數(shù),叫分段函數(shù).如：高斯函數(shù)-4–3-2-112341234-1-2-3-4oxy,符號(hào)函數(shù)等.注意：(1)分段函數(shù)指的是一個(gè)函數(shù)，而非幾個(gè)函數(shù).(2)分段函數(shù)的定義域是將x的值并起來，值域也