2022-2023學(xué)年廣西玉林市高一下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣西玉林市高一下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知（為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用復(fù)數(shù)除法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合純虛數(shù)條件列出方程，求出的值.【詳解】為純虛數(shù)，，，故選：C.2．已知，，若與共線，則等于（

）A．6 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示列方程求即可.【詳解】因?yàn)榕c共線，，，所以，所以.故選：B.3．在中，，則的值為（

）A． B．－ C．－ D．【答案】C【分析】由題意可設(shè)，再根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以設(shè)，由余弦定理可得.故選：C.4．如圖是一個(gè)水平放置的直觀圖，它是一個(gè)底角為，腰和上底均為1，下底為的等腰梯形，那么原平面圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先判斷原平面圖形為直角梯形，且直角腰長(zhǎng)為2，上底邊長(zhǎng)為1，下底邊長(zhǎng)，代入梯形的面積公式計(jì)算．【詳解】平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為，腰和上底長(zhǎng)均為1，下底為的的等腰梯形，原平面圖形為直角梯形，且直角腰長(zhǎng)為2，上底邊長(zhǎng)為1，梯形的下底邊長(zhǎng)為，原平面圖形的面積．故選：A．5．民間娛樂(lè)健身工具陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址．如圖所示的是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖．已知底面圓的直徑，圓柱體的高，圓錐體的高，則這個(gè)陀螺的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合組合體表面積的計(jì)算方法計(jì)算出正確答案.【詳解】圓柱、圓錐的底面半徑為，圓錐的母線長(zhǎng)為，所以陀螺的表面積是.故選：C6．若，，向量與向量的夾角為150°，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用投影向量的定義直接求解.【詳解】因?yàn)?，，向量與向量的夾角為150°，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D7．如圖,三棱錐中,,,且,則三棱錐的外接球表面積為A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵面，面，∴，∵，，∴面，∵面，∴，取的中點(diǎn)，則，∴為球心，∵，∴，∴球半徑為，∴該三棱錐的外接球的表面積為，故選B.8．在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P為CE上的任意一點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．3 D．不確定【答案】C【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可推出，，所以有，然后利用平面向量共線的推論即可求出【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為則在中有，，所以，所以有，同理可得因?yàn)樗砸驗(yàn)槿c(diǎn)共線，所以有，即故選：C【點(diǎn)睛】遇到三點(diǎn)共線時(shí)，要聯(lián)想到平面向量共線的推論：三點(diǎn)共線，若，則.二、多選題9．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．的虛部為 B．的共軛復(fù)數(shù)C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義即可判斷A；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可判斷D.【詳解】復(fù)數(shù)的虛部為，故A錯(cuò)誤；的共軛復(fù)數(shù)，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.10．已知是兩個(gè)不重合的平面，是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】CD【分析】根據(jù)空間中線、面的位置關(guān)系，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：若，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則與可平行也可異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則，故C正確；對(duì)于D：若，則，又，則，故D正確.故選：CD11．已知平面向量，，則下列命題中正確的有（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由向量的定義判斷A，由模的坐標(biāo)表示求出模判斷B，根據(jù)垂直的坐標(biāo)表示判斷C，由數(shù)量積求得向量的夾角余弦判斷D．【詳解】對(duì)于A，由于向量不能比較大小，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，∴，故B正確；對(duì)于C，∵，∴不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵，故D正確．故選：BD．12．已知是鈍角三角形，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，則最大的邊的取值可能是（

）A．5 B．6 C． D．7【答案】BC【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】由于是鈍角三角形，且最大，所以，故，進(jìn)而，所以均符合要求，而D不符合兩邊之和大于第三邊，故選：BC三、填空題13．已知是方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.【答案】5【分析】將方程的根代入方程求解即可.【詳解】由題意知，，整理得：，解得，故答案為：5.14．如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn)．該圓柱的體積與球的體積之比為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，從而可求出兩個(gè)幾何體的體積，進(jìn)而可得答案【詳解】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，，，故答案為：15．趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“趙爽弦圖”——由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖1所示.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖2所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形.在中，若，則___________.【答案】【分析】由條件可得，，由余弦定理可得答案.【詳解】由題意為等邊三角形，則,所以根據(jù)條件與全等，所以在中，所以故答案為：16．若的外接圓半徑為，且，則的取值范圍是_________．【答案】【分析】根據(jù)的幾何意義可確定取得最值時(shí)點(diǎn)的位置，由此可求得的取值范圍.【詳解】的外接圓圓心為，過(guò)作，如下圖所示，，的幾何意義為在方向上的投影，當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值；當(dāng)與重合時(shí)，取得最小值；，為等邊三角形，，又，，又，，則，，解得：，；同理可得：，，，.故答案為：.四、解答題17．如圖，PA是圓柱的母線，AB是底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A．B的一點(diǎn)，且．(1)求證：平面PAC(2)若M是PC的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)證明來(lái)證得平面.（2）先求得三棱錐的高，進(jìn)而求得三棱錐的體積.【詳解】（1）∵PA為圓柱母線，∴平面ACB，∵平面，∴，∵AB為底面圓直徑，∴，∵平面APC，平面APC，，∴平面PAC.（2）∵平面APC，平面平面APC，∴平面ACM，BC為三棱錐的高，，∵，M為PC中點(diǎn)，∴，，，∴.18．如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上.(1)求漁船甲的速度；(2)求的值.【答案】(1)14海里小時(shí)；(2).【分析】（1）由題意知，，，.在△中，利用余弦定理求出，進(jìn)而求出漁船甲的速度.（2）在△中，，，，，由正弦定理，即可解出的值.【詳解】（1）(1）依題意，，，，.在△中，由余弦定理，得.解得.故漁船甲的速度為海里小時(shí).即漁船甲的速度為14海里小時(shí).（2）在△中，因?yàn)?，，，，由正弦定理，得，?的值為.19．如圖，在正方體中，分別為，AB中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求異面直線EF與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】取的中點(diǎn)M，連接，推導(dǎo)出，利用線面平行的判定定理即可證明平面；由可知為異面直線EF與所成角，從而利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)M，連接，在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形MEFA為平行四邊形，有，又平面平面，所以平面；（2）不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，由可知為異面直線EF與所成角，在中，已知，由余弦定理得，所以異面直線EF與所成角的余弦值為20．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求角；(2)若是邊上一點(diǎn)，且，，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式得到求解；（2）根據(jù)，得到，再分別在和中，利用余弦定理根據(jù)，得到，再在中利用余弦定理，兩者結(jié)合得到，利用基本不等式得到，然后利用三角形面積公式求解.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以；?）因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，兩式相加得，又在中，由利用余弦定理得：，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，面積的最大值21．如圖，四棱錐中，底面為菱形，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，且平面．(1)證明：平面；(2)若，，，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，，可得，由直線與平面平行的判定可得平面；（2）作，垂足為，連接，作，垂足為，即可證明平面，分別求出和的值，設(shè)直線與平面所成角為，求出直線與平面所成角的正弦值即可．【詳解】（1）連接，則為與的交點(diǎn)，連接，底面為菱形，所以為的中點(diǎn)，又的中點(diǎn)為，可得，平面，平面，平面；（2）作，垂足為，連接，作，垂足為，平面，平面，，又，，平面，平面，平面，，又，，平面，平面，，四邊形為菱形，為等邊三角形，又，，，，，，在中，，由，得，點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線