實(shí)變函數(shù)測試題-參考答案

/實(shí)變函數(shù)測試題1本試題參考答案由08統(tǒng)計(jì)班15號李維提供有問題聯(lián)系1、設(shè)。解：；設(shè).則存在N.使.因此時..即.所以x屬于下標(biāo)比N大的一切偶指標(biāo)集.從而x屬于無限多.得又顯然.所以。；若有.則存在A.使任意,有。因此若時..即.令得.此不可能.所以。2、證明：為上連續(xù)函數(shù)的充分必要條件是對任意實(shí)數(shù).集和都是閉集。證明：必要性：若是上連續(xù)函數(shù).由第二章習(xí)題8可知和是閉集。充分性：若和E都是閉集。若有.在點(diǎn)不連續(xù)。則存在.或.不妨設(shè)出現(xiàn)第一種情況。令.則.而〔因?yàn)?此與是閉集相矛盾。所以在上是連續(xù)的。證畢。3、設(shè)是任意可測集.則一定存在可測集型集.使得,且3．由外側(cè)度定義.對任意正整數(shù).存在開集,使.令.則為型集.且故。證畢。4、設(shè).可測.且.若.則皆可測。4．證明：先證可測：存在型集使得。令。.。因?yàn)?,即,又,所以,所以..所以,因?yàn)榭蓽y.可測.所以可測。同理可證可測。證畢。5、寫出魯津定理及其逆定理。并證明魯津定理的逆定理。5．魯津定理：設(shè)是上a.e.有限的可測函數(shù).則對任意.存在閉子集.使在上是連續(xù)函數(shù).且.逆定理：設(shè)是上的函數(shù).對.總存在閉子集.使得在上是連續(xù)函數(shù).且.則.是上a.e.有限的可測函數(shù)。證明：對任意.存在閉子集,使在上連續(xù)且,令.則對任意.有。令.得。對任意實(shí)數(shù)a..由在上連續(xù).可知可測.而.所以也可測.從而是可測的。因此是可測的。因?yàn)樵谏嫌邢?故在上有限.所以a.e.有限。證畢。6、設(shè)是上的可測函數(shù).為開集.為閉集.試問與是否是可測集.為什么？6.由已知則開集可寫成直線上可列個開集的并集.即..則可知是可測集。由.則可知也是可測集。證畢。7、設(shè)在Cantor集上定義函數(shù)=0.而在的余集中長為的構(gòu)成區(qū)間上定義為〔,試證可積分.并求出積分值。7．f<x>是非負(fù)可測函數(shù).因而積分確定.只要證明積分有限即可。設(shè)是的余集中長為的構(gòu)成區(qū)間之并.則.因此.所以可積.且積分值為3。證畢。8、設(shè)為上非負(fù)可積函數(shù)列.若則。8．對任意.由于非負(fù)可知：.即證畢。9、設(shè)是上a.e.有限的可測函數(shù).。試證明對.存在上a.e.有界的可測函數(shù).使得。9．因?yàn)槭巧系腶.e.有限的可測函數(shù).設(shè)..令故有所以.故.使得令g<x>=故。證畢。10、求證,。10.由于當(dāng)證畢。實(shí)變函數(shù)測試題21、證明。證明：設(shè).則.使一切..所以,則可知。設(shè).則有,使.所以。因此.=。2、設(shè)。求在內(nèi)的..。解：..。3、若.對.存在開集,使得且滿足.證明是可測集。證明：對任何正整數(shù).由條件存在開集.使得。令,則是可測集.又因.對一切正整數(shù)成立.因而=0.即是一零測度集.故可測。由知可測。證畢。4、試構(gòu)造一個閉的疏朗的集合.。解：在中去掉一個長度為的開區(qū)間.接下來在剩下的兩個閉區(qū)間分別對稱挖掉長度為的兩個開區(qū)間.以此類推.一般進(jìn)行到第次時.一共去掉個各自長度為的開區(qū)間.剩下的個閉區(qū)間.如此重復(fù)下去.這樣就可以得到一個閉的疏朗集.去掉的部分的測度為。所以最后所得集合的測度為.即。5、設(shè)在上.且?guī)缀跆幪幊闪?,則有a.e.收斂于。證明因?yàn)?則存在.使在上a.e.收斂到。設(shè)是不收斂到的點(diǎn)集。.則。因此。在上.收斂到.且是單調(diào)的。因此收斂到〔單調(diào)序列的子列收斂.則序列本身收斂到同一極限。即除去一個零集外.收斂于.就是a.e.收斂到。6、設(shè),是上有限的可測函數(shù)。證明存在定義于上的一列連續(xù)函數(shù).使得于。證明：因?yàn)樵谏峡蓽y.由魯津定理.對任何正整數(shù),存在的可測子集.使得.同時存在定義在上的連續(xù)函數(shù).使得當(dāng)時有=。所以對任意的.成立.由此可得。因此.即.由黎斯定理存在的子列.使得a.e于.證畢。7、設(shè)為a.e有限可測函數(shù)列.證明：的充要條件是。證明：若0.由于,則。又.,,常函數(shù)1在上可積分.由勒貝格控制收斂定理得。反之.若〔.而且.對.令,由于函數(shù),當(dāng)時是嚴(yán)格增加函數(shù).因此。所以.即。8、設(shè)..討論為何值時.為上L可積函數(shù)或不可積函數(shù)。解當(dāng)時,因此當(dāng)時.是L不可積。當(dāng)時.在中可積.且滿足.所以是L可積。9、設(shè).a.e.有限的可測函數(shù)列和..分別依測度收斂于和.證明。證明：因?yàn)橛谑?成立.所以即10、試從求證。證明：在時..由L逐項(xiàng)積分定理.另一方面因此可得：。實(shí)變函數(shù)測試題3本套試題參考答案由李石玲提供.1、作出一個和的1-1對應(yīng).并寫出這個對應(yīng)的解析表達(dá)式。解：.對任意..顯然是到的1-1對應(yīng)。2、證明：的充要條件是對任意含有的鄰域〔不一定以為中心中.恒有異于的屬于<事實(shí)上.這樣的還有無窮多個>。而的充要條件是有含有的鄰域〔同樣.不一定以為中心存在.使。證明：若.則對任一含的鄰域.必有以為中心的鄰域.所以存在且.即任何含有的領(lǐng)域中含有一點(diǎn)異于。反之.若任一含有鄰域有異于的點(diǎn),當(dāng)然對任一的鄰域中也有異于的點(diǎn).所以。若.則有。反之.若.必有.則。證畢。3、可數(shù)點(diǎn)集的外測度為零。證明設(shè)對任意,存在開區(qū)間,使,且<在空間中取邊長為的包方的開區(qū)間>,所以.且.由的任意性得.證畢。4、設(shè)是直線上一有界集合..則對任意小于的正數(shù)c.恒有的子集.使。證明：設(shè).則。令.則是上的連續(xù)函數(shù)。事實(shí)上.當(dāng),且時.于是當(dāng)時,,即是右連續(xù)的。類似的方法可證明時..所以是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)。又因?yàn)橐虼藢θ我庹龜?shù)c..存在使。即。令。則。5、設(shè),求證存在型集,.使得且。證明：不妨設(shè)〔否則令即可。對任意的正整數(shù).由外測度的定義.存在開集〔一列開區(qū)間的并.使得且。令.則.于是.且型集。又對任何正整數(shù)有。即即得。證畢6、設(shè)是上的連續(xù)函數(shù).為上的可測函數(shù).則是可測函數(shù)。證明：因?yàn)槭沁B續(xù)函數(shù).所以在上可測.且,為集.所以.所以.又因?yàn)榭蓽y.所以可測。即可測。所以可測。7、設(shè)為可測集..都是上a.e.有限的可測函數(shù).并且當(dāng)時.依測度收斂于。求證存在子列在上"基本上"一致收斂于。證明：不妨假設(shè).需證存在一致收斂于,取k,使得。令則.而.若時.則.即在上一致收斂。8、設(shè)..討論為何值時.為[0,1]上L可積函數(shù)或不可積函數(shù)。證明：當(dāng)時..因此.當(dāng)時.非L可積。當(dāng)時.在中可積..所以L可積。9、設(shè)為上可積函數(shù)列.于,且,為常數(shù).則可積。證明：由法都〔Faou引理.故有可積.所以10、設(shè)在上定義函數(shù)如下：求。解:因?yàn)橛欣頂?shù)集是可數(shù)集.于是令。其次令易知在的測度.于是.即.從而a.e.于.根據(jù)積分的定義與性質(zhì)有：。實(shí)變函數(shù)測試題4本測試題參考答案由董紅英提供如有問題請聯(lián)系：1、設(shè)是一個無窮集合.則必有.使得.而。證明：由于A是一個無窮集合.所以含有一個可數(shù)子集B。設(shè)令.則且,均為可數(shù)集。令則且是可數(shù)集且基數(shù)為c.因?yàn)橛欣頂?shù)集的基數(shù)也為c所以兩者對等.即。又因也是可數(shù)集.所以。由.所以。證畢。2、證明：每個閉集必是可數(shù)個開集的交集；每個開集可以表示成可數(shù)個閉集的和集。證明：設(shè)F為閉集。令。對令任意取因此則有即.故為開集。設(shè)則取極限得,所以.即另外.對.所以.即.從而因此是可數(shù)個開集的交集。設(shè)G為開集.則為閉集.可知.存在開集.使得.所以.而為開集.因此G是可數(shù)個閉集的和集。3、若.則可測。證明：用定義證明E的可測性。對任一點(diǎn)集T.所以反之.由于.故.又.所以因此。綜上所述.得.E可測。4、設(shè).證明：.并給出等號成立的條件。證明：當(dāng)A可測或B可測則等號成立。若或.結(jié)論顯然成立。我們總假定且。所以存在型集與.使且則對與利用第7題等式有5、設(shè).存在兩列可測集.使得.且則E可測。證明：令.對.有又由.所以當(dāng)時.由.得.由5題知可測。又因?yàn)榭蓽y.B也是可測的.從而可測。6、設(shè)在有界集上"基本上"一致收斂于.證明a.e收斂于。證明：因?yàn)樵贓上"基本上"一致收斂于.所以對.存在可側(cè)集.使在上一致收斂于.且。令則在上處處收斂于。又有==當(dāng)時.。因此在E上a.e.收斂于。7、設(shè)是上的可測函數(shù).并且點(diǎn)集是中的可測集.證明是上的可測函數(shù)。證明：當(dāng)顯然可測。當(dāng)時.因?yàn)?所以所以亦可測.于是當(dāng)時.亦可測。8、證明證明：設(shè)于是〔1是上的可測函數(shù)列；〔2〔3當(dāng)時.；從而現(xiàn)令則因此F〔t可積。9、設(shè).在上可積.如果對于任何有界可測函數(shù).都有則=0a.e.于證明：對任意.設(shè)是的特征函數(shù).則.所以=0.同樣可證因此。又知所以.即=0a.e.于E10、設(shè)求。解：由題意可知.a.e.于；a.e.于。又因?yàn)槿齻€集合互不相交且之并集為I.由積分區(qū)間的可加性.所以有實(shí)變函數(shù)測試題5本套試題參考答案由黃意如〔統(tǒng)計(jì)班2008750414提供.如有問題聯(lián)系1、試找出與對應(yīng)的一種方法.并寫出其解析式。解：因?yàn)槭沁B續(xù)勢集.故存在可數(shù)子集.則是的可數(shù)子集。作到的映射：易見是到上的映射。2、證明：設(shè).則至少有一界點(diǎn)〔即。證明設(shè)令現(xiàn)證明。若則。對任意滿足.必有。任取且.則.所以。若則.且有所以同樣有。因而。證畢。3、試構(gòu)造一個閉的疏朗的集合.且?！苍嚢焉项}推廣到一般情形：試構(gòu)造一個閉的疏朗集.且。解：在中去掉一個長度為的開區(qū)間.接下來在剩下的兩個閉區(qū)間分別對稱挖掉長度為的兩個開區(qū)間.以此類推.一般進(jìn)行到第次時.一共去掉個各自長度為的開區(qū)間.剩下個閉區(qū)間.如此重復(fù)下去.這樣就可以得到一個閉的疏朗集.去掉的部分的測度為。所以最后所得集合的測度為.即。當(dāng)所求測度為時.只要將每一次挖掉的開區(qū)間的值乘以即可得到。4、證明直線上所有可測集合作成的類的基數(shù)等于直線上所有集合類的基數(shù)。證明：設(shè)直線上的所有集合類為。顯然.因此。另一方面.康托爾集是基數(shù)為的零測度集.因而的一切子集的外測度為零.是可測的.且的一切子集與直線上的一切子集是對等的.于是。根據(jù)伯恩斯坦定理從而得到。5、設(shè),求證存在型集,.使得且。證明：不妨設(shè)〔否則令即可。對任意的正整數(shù).由外測度定義.存在開集〔一列開集的并.使得且。令.則且為型集.又對任何正整數(shù)有..令即得。6、設(shè)在上依測度收斂于.是上的連續(xù)函數(shù)。試證明在上依測度收斂于。證明：令因?yàn)?作為的子列.顯然有。由黎斯定理知.存在的子列.使a.e.于。又是上的連續(xù)函數(shù).所以有a.e.于。因此由第四章習(xí)題12的充分性.即得。7、設(shè)在上.而a.e.成立.則有。證明：令。由于在上a.e.成立.所以.即。在上.由于且.所以。在上.對任意..因此。因?yàn)樗?從而.即。8、設(shè)由任取個可測子集.假定中任一點(diǎn)至少屬于這個集中的個.試證必有一集.它的測度大于或等于。證明：設(shè)是的特征函數(shù).。由題設(shè)知.在上.。因此.。令.則有.從而.即為所求。9、求狄利克函數(shù)在的勒貝格積分。解：因?yàn)?所以積分為.10、設(shè)有定義在上的實(shí)值函數(shù)。若對任意.存在上的可積函數(shù).和.使得.并且。試證明在上可積。證明：由已知條件得.對任意正整數(shù).存在上的可積函數(shù)和.使..并且。又對任意.有。因此。由黎斯定理.存在子列在上a.e,收斂于零。故由數(shù)學(xué)分析知道得a.e.于。又因?yàn)榇嬖谏系目煞e函數(shù)可積函數(shù).和.使得.故.所以在上可積。實(shí)變函數(shù)測試題6本套試題參考答案由黃玉芳提供〔信計(jì)1班.2008750204.1、設(shè)是一列集合.作.。證明是一列互不相交的集.而且.。證明：〔1設(shè)...不妨設(shè).則.。那么由與不交.可知與不交。由i與j的任意性可知：{}是一列互不相交的集?！?采用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時.由已知可知=.結(jié)論成立。假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立.那么當(dāng)n=k+1時.==>所以.命題成立。2、證明：點(diǎn)集為閉集的充要條件是。證明：必要性：由為閉集可知又所以充分性：.即F的聚點(diǎn)都屬于FF為閉集。3、設(shè).求。解：記所有的有理數(shù)為..……那么A中的元素可由兩個相互獨(dú)立的記號一一加以決定而且各記號跑遍有理數(shù)。則A為可數(shù)點(diǎn)集。又可數(shù)點(diǎn)集的外側(cè)度為0；所以=0。4、證明：若E可測.對于任意>0.恒有開集G及閉集F.使而,。證明：〔1先設(shè)由外側(cè)度定義可知.有一列開區(qū)間{},i=1,2……使得.且令G=.則G為開集且G那么有又所以則其次則E為無界集.但它總可表示成可數(shù)多個互不相交的有界可測集的和：〔.對每個運(yùn)用上面的結(jié)果.可找到開集..且令,則G為開集且G則〔2由E可測.可知可測.則必定存在開集G使得G且.取.則為閉集.且綜合〔1〔2可知.命題得證。5、設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)..是上的實(shí)值可測函數(shù)。試證明是上的可測函數(shù)。證明：由已知可知：必定存在兩列定義在上的簡單函數(shù){}和{}使得：..那么.也為一列簡單.又是上的連續(xù)函數(shù)所以：.=.=即為一列簡單函數(shù)的極限是上的可測函數(shù)。6、作上函數(shù).試證明是上的可測函數(shù).并且對上任何連續(xù)函數(shù).均有.此結(jié)果與魯津定理的第二種形式有無矛盾.為什么?證明：〔1對任意的有限實(shí)數(shù)所以.是上的可測函數(shù)〔2對上任何連續(xù)函數(shù).則必定有界.不妨設(shè)||<M.其中M為一個常數(shù)那么當(dāng)M時.則當(dāng)M=0時..命題得證?！?不矛盾魯津定理的第二種形式的結(jié)論為：閉集F和R上的連續(xù)函數(shù).在F上.=.且也就是說滿足并不要求7、試求。解：.設(shè)則=8、設(shè)為上可積函數(shù)列.于,且,為常數(shù).則可積。證明：設(shè)對有則|那么K又即所以故||可積.所以可積。9、設(shè)在[a,b]上R反常積分存在〔可積.證明：在[a,b]上L可積的充分必要條件為在[a,b]上R反常積分存在〔可積.并且此時成立證明：必要性由數(shù)學(xué)分析中可知顯然成立顯然成立.下證充分性顯然不可能在[a,b]上的積分同時為+.否則.與在[a,b]上R反常積分存在即有限矛盾。所以積分確定.又由在[a,b]上R反常積分存在〔可積.在[a,b]上R反常積分存在〔可積可知在[a,b]上的積分均有限。所以在[a,b]上L可積10、設(shè)在上可積.且。試證明存在使得。實(shí)變函數(shù)測試題7本套試題參考答案由付佳〔08統(tǒng)計(jì)班.2008750421.如有問題聯(lián)系1、證明：由直線上某些互不相交的開區(qū)間作為集的元素.則至多為可數(shù)集。證明：由有理數(shù)的稠密性可知.可從中每個區(qū)間中取出一個有理數(shù).組成集合。由于中的區(qū)間互不相交.所以中元素互不相同。因此可以令中每個區(qū)間與其中取出的有理數(shù)對應(yīng).可知。由于有理數(shù)集是可數(shù)集.而是有理數(shù)集的子集.故至多為可數(shù)集.從而至多為可數(shù)集。2、設(shè)是中的全部有理點(diǎn).求在中..。解：=[0,1],=.=[0,1]3、設(shè)..可測.且.試證明可測。證明：因?yàn)?可測.于是對.有=+令,則。又因?yàn)?所以。又因?yàn)椴⑶遗c都可測.所以可測。4、證明康托爾〔Cantor集合的測度為零。證明：記為康托爾集.由康托爾集的構(gòu)造知：在上的余集測度為.記余集為.由則.因此.。5、設(shè)是上a.e.有限的可測函數(shù)列.而a.e.收斂于有限函數(shù)。則對任意.存在常數(shù)與可測集.使在上對一切.有。這。證明：由題意.,都是零測集.,令.則.在上都有限.且收斂于。令.則.則.且.因此。從而存在,使。令..在上.對.有。6、若..若.證明可測。證明：因?yàn)?則有界閉集.使得。①又.所以開集.使得。②由①、②得..所以.即.于是.可測。8、在上定義則的兩個累次積分都存在且相等.但在上不可積分。證明：當(dāng)、中一個固定時.是另一個變量的連續(xù)奇函數(shù).所以積分與都在存在.并且積分值都為零。所以==0但在上不可積.否則也必在上可積.于是二次積分應(yīng)存在.而這是不正確的.因?yàn)樵谏喜豢煞e.所以在上不可積。9、設(shè)在上可積分.。則于。證明：⑴由。因?yàn)?令.則它是可測集。但。故從而.即。⑵由。.于是。所以。10、試敘述幾乎處處收斂于依測度收斂的區(qū)別與聯(lián)系。解：1、區(qū)別。①定義不同.幾乎處處收斂：.則稱幾乎處處收斂。依測度收斂：對則稱依測度收斂于。②處處收斂但并不依測度收斂.如.見課本P93.例題2③依測度收斂但并幾乎處處收不斂.如.見課本P92.例題12、聯(lián)系①在前提下.可由幾乎處處收斂推出依測度收斂；見課本P95,定理2②依測度收斂可以推出存在幾乎處處收斂的子列。見課本P94.定理1實(shí)變函數(shù)測試題8本套試題參考答案由陳潔<2008750416>提供.如有問題聯(lián)系10、設(shè)在上絕對連續(xù).且.a.e.于.則為增函數(shù)。證明：任取且。由于在上絕對連續(xù).則a.e.于.。即為增函數(shù)。實(shí)變函數(shù)測試題9本套試題參考答案由肖新星08級統(tǒng)計(jì)班

2008750417

.如有問題聯(lián)系1、若的基數(shù)為.證明：存在.使得的基數(shù)也是。證明：由于.我們不妨設(shè)。用反證法.若.設(shè)為到中如下定義的映射：若.則。令.則。所以對每個.存在。于是。下證。事實(shí)上.若.則存在.使得.于是.這與矛盾.所以.這又與矛盾.所以至少存在某個.使。證畢。2、用三進(jìn)位無限小數(shù)表示康托爾集中的數(shù)時.完全可以用不著數(shù)字1.試用此事實(shí)證明的基數(shù)為。證明先用三進(jìn)位有限小數(shù)來表示集的余區(qū)間的端點(diǎn)〔都屬于.則有一般地.第次挖掉的個開區(qū)間中..其中都只是0或2。因此.在中的數(shù)展成三進(jìn)位小數(shù)時.其中至少有一位是1.于是把中的數(shù)展成三進(jìn)位無限小數(shù)時可以用不著數(shù)字1.即若.則可表示成.其中或?yàn)?或?yàn)?.記這種小數(shù)全體為.則.事實(shí)上.由于.而中的數(shù)展成三進(jìn)位小數(shù)時.諸中至少有一位是1.所以中沒有中的數(shù).因此。作到二進(jìn)位小數(shù)全體的映射：。其中＝0或2.則是到上的1－1映射.所以的基數(shù)為。由.得.又.所以。證畢。3、設(shè)是一列遞增的可測集合.則證明