自動控制原理拉氏變換

自動控制原理拉氏變換第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一§2-2非線性數(shù)學模型的線性化§2-2非線性數(shù)學模型的線性化1.概念對于非本質(zhì)非線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，假設(shè)系統(tǒng)工作過程中，其變量的變化偏離穩(wěn)態(tài)工作點增量很小，各變量在工作點處具有一階連續(xù)偏導數(shù)，于是可將非線性函數(shù)（數(shù)模）在工作點的某一鄰域展開成泰勒級數(shù)，忽略高次（二次以上）項，便可得到關(guān)于各變量近似線性關(guān)系，我們稱這一過程為非線性系統(tǒng)(數(shù)模)的線性化。第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一2.數(shù)學描述設(shè)系統(tǒng)的輸入為x(t),輸出為y（t），且滿足y(t)=f(x),其中f(x)為非線性函數(shù)。設(shè)t=t0時，x=x0,y=y0為系統(tǒng)的穩(wěn)定工作點（x0,y0）,§2-2非線性數(shù)學模型的線性化第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一§2-2非線性數(shù)學模型的線性化當|x-xo|很小時，忽略其二階以上各項，得：在該穩(wěn)定工作點處將f(x)泰勒展開為：即：第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一也即：是線性化模型例：將上例流體運動非線性方程線性化如：可將非線性特性在處線性化§2-2非線性數(shù)學模型的線性化第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一即有：去掉即為線性化方程。不難看出線性化方程與工作點有關(guān)，工作點不同，方程就不同。代入原方程得：§2-2非線性數(shù)學模型的線性化第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

自動控制系統(tǒng)的典型輸入信號§3-1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應分析一、典型輸入信號為了對系統(tǒng)性能進行分析、比較，給出了幾種典型輸入信號

①階躍輸入定義如下0tAxrA=1時稱為單位階躍信號對于恒值系統(tǒng)，相當于給定值突然變化或者突然變化的擾動量；對于隨動系統(tǒng)，相當于加一突變的給定位置信號。第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一§3-1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應分析②斜坡（勻速）輸入A0txr(t)相當于隨動系統(tǒng)加入一按恒速變化的位置信號，該恒速度為A。第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一§3-1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應分析③拋物線（勻加速）輸入xr(t)0t相當于隨動系統(tǒng)加入一按恒加速度變化的位置信號，該恒加速度為A。第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一§3-1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應分析④脈沖函數(shù)當A=1，ε∞時

稱為單位脈沖函數(shù)δ（t）

，其面積為1δ（t）

εt0ε1⑤正弦函數(shù)用正弦函數(shù)作輸入信號，可以求得系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入函數(shù)的穩(wěn)態(tài)響應，由此可以間接判斷系統(tǒng)的性能。第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

拉普拉斯變換(Laplace變換)拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯逆變換拉普拉斯變換的應用第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

在數(shù)學中，為了把較復雜的運算轉(zhuǎn)化為較簡單的運算，常常采用一種變換手段，所謂積分變換，就是通過積分運算把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)的變換。積分變換包括拉普拉斯（Laplace）變換和傅立葉（Fourier）變換。這里只研究Laplace變換，討論他的定義、性質(zhì)及其應用。第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一在所確定的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫為設(shè)函數(shù)當有意義,而且積分（是一個復參量）

稱上式為函數(shù)的拉普拉斯變換式?

叫做的拉氏變換,象函數(shù).叫做的拉氏逆變換,象原函數(shù),一、拉普拉斯變換的概念=?第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一二、一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換

例2

求單位階躍函數(shù)的拉氏變換

解

?例1

求單位脈沖函數(shù)的拉氏變換

解

?第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一例3

求函數(shù)的拉氏變換

解

?

例4

求單位斜坡函數(shù)的拉氏變換

解

?

第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一例5正弦函數(shù)第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

是周期為當在一個周期上連續(xù)或分段連續(xù)時,則有周期函數(shù)的拉普拉斯變換

這是求周期函數(shù)拉氏變換公式

的周期函數(shù),即可以證明:若?

第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一（1）線性性質(zhì)三拉氏變換的幾個重要定理（2）微分定理（3）積分定理（4）實位移定理（5）復位移定理（6）初值定理（7）終值定理（終值確實存在時）?第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所19應用拉氏變換的終值定理求注意拉氏變換終值定理的適用條件：事實上：

的極點均處在復平面的左半邊。不滿足終值定理的條件。

第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一四拉氏反變換（1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）例1已知，求解.第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一1利用拉普拉斯變換表和性質(zhì)求拉普拉斯逆變換

一些常用函數(shù)的拉氏變換第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所22典型信號的拉氏變換（2）第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一2.用留數(shù)法分解部分分式一般有其中：設(shè)I.當無重根時第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一例2已知，求解.例3已知，求解.第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一II.當有重根時(設(shè)為m重根，其余為單根)第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一例5已知，求解.第二十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一常系數(shù)線性微分方程的拉普拉斯變換解法

利用拉普拉斯變換可以比較方便地求解常系數(shù)線性微分方程（或方程組）的初值問題,其基本步驟如下: