第八講無窮級數課程加持續(xù)

第八講無窮級數2009-2022數—4445數三4044441、對于級數un￥limun0,￥

2

un，

￥￥~u￥￥~uv同斂散

n

3rnfi

un

（或r= ￥

￥則lim

￥，且un

都發(fā)散。nfi

n=1

注：對于任意項級數un，若

值判別法判定的，則un￥4、幾何級數aqn-￥ 在q<1時收斂，且aqn-1 當

1

（或

nlnp p1p￡1￥6、交錯級 (-1)n1￥npp0=1收斂，當p￡0時發(fā)散；0p￡1時條件收斂；p1時絕對收斂。￥1、若limn￥fi

0un發(fā)散；否則進一步判斷；2、若un為正項級數，先化簡unn1中含有n

nalnp

),p級數（p級數）un

中含有形如af(n 3un2判斷un

￥

收斂，則un絕對收斂；￥若un發(fā)散，則看un 若是，用萊布尼茲判別法判斷un2n+￥ ￥n=1n+2

n分析un

2

2 1+n2 ￥nn數學一：判斷級數斂散性 ￥nnn 1+n2￥

( n+

n-

￥￥

(1-cos1n3x￥1x￥

1+x1x

2：0< dx<2

xdx 1+

3 3nn=1(a+n

(a>1nnnfi

=i+￥ =aa+n35￥￥

=anfi￥

(n+

1)n ￥6￥

nln

(p>n￥ ￥

n-ln￥

pp0)的斂散性aan根據比值判別法，因為nfi

nfi

(n+1)

=aa

￥ nn否收斂？并說明理由

(-1)nann

n=1

1

記aliman，則a0￥￥10（041）an limnan=0

an￥￥

收斂￥n（B）若存在非零常數ln￥

an

發(fā)散

a收斂，則lim =0n

nfi

an發(fā)散,則存在非零常數l，使得lim

若u

n

wn￡un￡vn，且wnvn都收斂，則un必收斂 ￥ 若u(-1)nu必收斂nn n

p12、設

=

￥求￥

1(a

+an+2)

試證對任意l> ￥ln=1￥l13、limn!nfi￥nn

nfi

.(n!)2 ￥￥￥￥x￥n=0￥

=1-x

￥￥

(-1)

x

=1+x2n=0￥

ax

=1-x2x2n-

n=0

(-1)n-n1

(2n-1)!

=sinx;x2xn(-1)n=0￥

(2n)!xn

=cosx;(-1)n

=ln(1+x).n

n+￥

(函數項級數un

nfi

un(

（rxlim￥

un(x)￥則unxx?Rrx￥

a?Rr(a1且un(a)收斂a

nn

￥

（或r=lim

a(x-x

的收斂半徑nfi￥

nfi

R=r，收斂區(qū)間為(x0-R,x0+R)，收斂域為(x0-R,x0+ 收斂端點￥n￥n

￥(-

n=0￥

n解題思路：n

=-ln(1-x),x?[-n+n+

￥(-

2￥

=

1-

n=0(2n)!

x3n+x3n+x3n-￥￥1.求

x3n-

的收斂域【分析】由比值判別法nfi

=un(x)

=1x38￥(x-2、求冪級數

n

的收斂域

=lim(n+1)

1R1nfi

nfi

n￥￥3.求

n

nn

nfinfi nfi

n=n

=1R=

冪級數的收斂域為(-￥n4、ax-n

x=0處收斂,x2處發(fā)散 ￥(x- 例5、已知冪級數 在x=-2處條件收斂,則n(x- xln12

(A)絕對收斂；(B)條件收斂；(C)必發(fā)散；(D)a確定￥n2+2n+6.求冪級數

xn的收斂域及和函數

n+1￥￥

4n2-

￥￥

=1，a1=0，an+1

)an)an

)(n=1,2,

Sx)為冪級數an

的和函數（I

1n的收斂半徑不小于1n

（II>證明(1x)SxxSx)0x?(-1,1Sx)的表達式【解I）因為a=1， =0， = (na+ )，所以0￡

￡1 ￥

￥nn

a

的收斂半徑.當|x|1時，因為|ax

nn

￥nn

絕對收斂.(-1,1)?(-R,RR1

n（IISx)naxn-1(n xnn

(1-x)S(x)-xS(x)=(n+

xn-(n+

-a

n￥ n =a+(n+ xn-naxn- n

-na-

]xn n=1-

e-解微分方程(1-x)S(x)-xS(x)=0得S(x)= .由S(0)=a =1得C=1，故S(x) 1- 1- 將f(x)=xarctanx-

ln(1+x)=x-

, (-1<x￡

x2n\ln(1+x2)=x2 +

+,(-1￡xnarctanx

x = 1+t2dt=0=

n=0

(-1)nt2n￥

1)n

10.fx)arctan11-

x的冪級數￥( (x)

1+

1+

11、fx)

1+5x+

x2的冪級數

￥￥

的和￥￥13、

1

的和￥n=2￥ = ￥ = S(x)=

=1( -x )=x -1x (x?0) 2n=2n- 2xn=2n+￥