行列式展開定理與法則

行列式展開定理與法則第一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一

一、余子式與代數(shù)余子式

定義1

在n階行列式D=|aij|中去掉元素a

ij

所在的第i行和第j列后,余下的n-1階行列式，稱為D中元素aij

的余子式，記作Mij.令Aij(1)ijMij，Aij稱為元素aij的代數(shù)余子式.a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

再如，求4階行列式中a13的代數(shù)余子式a21a31a41

a22a32a42

a24a34a44

M13

A13(-1)1+3M13=M13下頁第二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一觀察三階行列式下頁第三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一二、展開定理

定理3

n階行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都為0，則行列式等于aij與其對應的代數(shù)余子式的乘積.即DaijAij第四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一

定理3

n階行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都為0，則行列式等于aij與其對應的代數(shù)余子式的乘積.即DaijAij二、展開定理第五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一

定理3

n階行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都為0，則行列式等于aij與其對應的代數(shù)余子式的乘積.即DaijAij二、展開定理第六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一

定理4

n階行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積的和.即Dai1Ai1ai2Ai2

ainAin(i=1,2,

,n)，Da1jA1ja2jA2j

anj

Anj(j=1,2,

,n).下頁二、展開定理第七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一

定理4

n階行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積的和.即Dai1Ai1ai2Ai2

ainAin(i=1,2,

,n)，Da1jA1ja2jA2j

anj

Anj(j=1,2,

,n).下頁二、展開定理第八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一

定理5

n階行列式D=|aij|的某一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零.即ai1Aj1ai2Aj2

ainAjn

0(i

j)，a1iA1ja2iA2j

ani

Anj0(i

j).下頁二、展開定理？第九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一

例1．分別按第一行與第二列展開行列式11-2013-231D=解：按第一行展開13311-2311-213a11A11a12A12a13A13D=1(-1)1+1+0(-1)1+2(-1)1+3+(-2)=1(-8)+0+(-2)5=-18.三、利用展開定理計算行列式下頁第十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一按第二列展開1-2311-2-2111-23

=0+1(-3)+3(-1)5=-3-15=-18.

例1．分別按第一行與第二列展開行列式11-2013-231D=解：按第一行展開a11A11a12A12a1nA1nD=1(-8)+0+(-2)5=-18.(-1)3+2+3(-1)2+2+1(-1)1+2=0a12A12a22A22a32A32D下頁第十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一解：

將某行(列)化為一個非零元后展開例2．計算行列式1

2

34120-53-1-101

012D==

-2-2-20-3-9-7-10-121

110-3-9

-20-3

-5=-24.1

2

3400-3-90-7-10-120-2-2-21

2

34120-53-1-101

012D=下頁第十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一解：

將某行(列)化為一個非零元后展開例2．計算行列式1

2

34120-53-1-101

012D==(-1)(-1)3+2

7

147-2-51

126

029

0-11

12=1(-1)2+2

692-1=-6-18=-24.7

0

1470-2-53-1-101

0121

2

34120-53-1-101

012D=下頁第十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一例3.計算行列式解：下頁第十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一例4

計算行列式解：下頁第十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一下頁第十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一(D2=5)解：例5.計算行列式下頁第十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一證明：從最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得例6.

證明范得蒙德（Vandermonde）行列式下頁第十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一下頁第十九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一下頁第二十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一由此推得…

…即…

…下頁第二十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一例7下頁解第二十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一例8過平面上的n個互異點能否惟一確定一條n-1次曲線：解假設(shè)曲線過平面上的n個點分別為：下頁即得：過平面上的n個互異點惟一確定一條n-1次曲線。第二十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一

求解行列式的基本方法☆對角線法——僅對二、三階行列式適合．☆定義法——對一般行列式可利用定義進行求解，利用該方法對行列式進行計算通常會比較麻煩．☆公式法——對一些行列式可利用性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為上(下)三角形行列式、范德蒙德(Vandermonde)行列式等特殊行列式，利用公式進行計算．☆降階法——利用按行(列)展開定理，把高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式進行計算．☆遞推法——對規(guī)律性強且元素多的行列式，可用按行(列)展開公式建立遞推關(guān)系式求解行列式的值．下頁第二十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一行列式階數(shù)余子式消元法加法乘法

加法乘法和除法2121335951042340142351192053044103687996235300285339公式法與降階法計算效率的比較：下頁第二十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一j=1,2,…,n.有且僅有一個解第3節(jié)

克拉默法則定理1含有n個未知量n個方程的線性方程組當其系數(shù)行列式時,

其中，Dj是把系數(shù)行列式D的第j列換為方程組的常數(shù)列b1,b2,…,bn所得到的n階行列式（j=1,2,…,n）.

下頁第二十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期一例1.

解線性方程組

下頁解:

方程組的系數(shù)行