《勾股定理的逆定理》示范教學設(shè)計【人教版八年級數(shù)學下冊】

《勾股定理的逆定理》教學設(shè)計一、教學目標1.掌握勾股定理的逆定理，并會證明.2.理解原命題、逆命題和逆定理的概念及關(guān)系.3.進一步掌握勾股定理及其逆定理，并會熟練應用.二、教學重點及難點重點：掌握勾股定理的逆定理.難點：靈活應用勾股定理的逆定理解決實際問題.三、教學用具多媒體課件四、相關(guān)資料《古埃及人畫直角的方法》動畫，《利用三角形三邊平方的數(shù)量關(guān)系判斷三角形的形狀》動畫，《互逆命題》圖片，《常見勾股數(shù)舉例》圖片，《勾股定理與其逆定理的區(qū)別與聯(lián)系》圖片，《勾股定理的逆定理（1）》圖片，《勾股定理的逆定理（2）》圖片五、教學過程【問題導入】問題1：你能說出勾股定理嗎？并指出定理的題設(shè)和結(jié)論.命題1勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.追問1：你能把勾股定理的題設(shè)與結(jié)論交換得到一個新的命題嗎？追問2：新的命題能否把它作為判定直角三角形的依據(jù)呢？本節(jié)課我們一起來研究這個問題.【探究學習】古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13個等距的結(jié)，把一根繩子分成等長的12段，然后以3個結(jié)，4個結(jié)，5個結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角.按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎？實驗操作：（1）畫一畫：下列各組數(shù)中的兩數(shù)平方和等于第三數(shù)的平方，分別以這些數(shù)為邊長畫出三角形（單位：cm），它們是直角三角形嗎？①2.5，6，6.5；②6，8，10．解：2.52+62=6.52，62+82=102（2）量一量：用量角器分別測量上述各三角形的最大角的度數(shù)．（3）想一想：請判斷這些三角形的形狀，并提出猜想．問題2由上面幾個例子你發(fā)現(xiàn)了什么嗎?請以命題的形式說出你的觀點!命題2：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.問題3：把勾股定理記著命題1，上面的結(jié)論作為命題2.命題1和命題2的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？命題1如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.命題2如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.問題4：命題1和命題2的題設(shè)和結(jié)論有著什么的關(guān)系？兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，像這樣的兩個命題叫做互逆命題，如果其中一個叫原命題，那么另一個就叫做它的逆命題.插入《互逆命題》圖片資源以圖示的方式對比互逆命題，加深學生對互逆命題概念的認識.插入《互逆命題》圖片本圖片資源以圖示的方式對比互逆命題，加深學生的概念的認識.如果三角形的較長邊的平方等于其它兩條較短邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形.已知：在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2.求證：△ABC是直角三角形.證明：畫一個△A’B’C’,使∠C’=90°,B’C’=a,C’A’=b.因為∠C′=90°，所以A′B′2=a2+b2.因為a2+b2=c2，所以A′B′2=c2.因為邊長取正值，所以A′B′=c.在△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′，CA=b=C′A′，AB=c=A′B′，所以△ABC≌△A′B′C′（SSS）.所以∠C=∠C′.所以∠C=90°.所以△ABC是直角三角形.插入《常見勾股數(shù)舉例》圖片資源給出一些常見的勾股數(shù)，加深學生對勾股數(shù)的認識.插入《常見勾股數(shù)舉例》圖片本圖片資源給出一些常見的勾股數(shù)，加深學生的概念的認識.【典例講解】例1判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：a=15，b=17，c=8；分析：根據(jù)勾股定理及其逆定理判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方．解：因為152+82=225+64=289，172=289，所以152+82=172.所以以15，8，17為邊長的三角形是直角三角形．像15，17，8這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．例2如圖，某港口P位于東西方向的海岸上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16nmile，“海天”號每小時航行12nmile.它們離開港口一個半小時后分別位于Q、R處，且相距30nmile．如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？解：根據(jù)題意，PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30.因為242+182=302，即PQ2+PR2=QR2所以∠QPR=90°由“遠航”號沿東北方向航行可知，∠1=45°.所以∠2=_45°，即“海天”號沿西北方向航行.設(shè)計意圖：例2從生活實際出發(fā)，讓學生了解在實際生活中對數(shù)學知識的運用，站在數(shù)學角度看待問題解決問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維.插入《勾股定理與其逆定理的區(qū)別與聯(lián)系》圖片，總結(jié)勾股定理與其逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，加深學生對勾股定理和勾股定理逆定理的認識.插入《勾股定理與其逆定理的區(qū)別與聯(lián)系》圖片本圖片資源總結(jié)勾股定理與其逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，加深學生對定理的認識.【隨堂練習】1.說出下列命題的逆命題．這些命題的逆命題是真命題嗎？（1）兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；逆命題：（2）對頂角相等；逆命題：（3）線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．逆命題：2.已知三角形的三邊長為9,12,15,則這個三角形的最大角是＿度;3.△ABC的三邊長為9,40,41,則△ABC的面積為_______;4.三角形的三邊長為8,15,17,那么最短邊上的高為_____;5.如圖，在四邊形ABCD是，AB=3，BC=4，CD=12,AD=13，∠B=90°，求四邊形ABCD的面積.1.內(nèi)錯角相等，兩直線平行．真命題．相等的角是對頂角．假命題．相等的角是對頂角．假命題．2.903.1804.155.解：因為32+42=9+16=25，52=25，即32+42=52所以根據(jù)勾股定理的逆定理，△ABD是直角三角形因為52+122=25+144=169，132=169，即52+122=132所以根據(jù)勾股定理的逆定理，△BCD是直角三角形所以四邊形ABCD的面積=S△ABD+S△BCD=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36.設(shè)計意圖：對勾股定理的逆定理進行練習，讓學生掌握勾股定理逆定理的解題過程，培養(yǎng)學生獨立解決問題的能力.六、課堂小結(jié)1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，這個三角形是直角三角形.2.勾股數(shù)：能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù).3.互逆命題與互逆定理：兩個命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，像這樣的兩個命題叫做互逆命題．如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，稱這兩個定理互為逆定理.七、板書設(shè)計勾股定理的逆定理1.